初中数学课件-因式分解经典课件北师大版3
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八年级数学下册 4.1 因式分解课件 (新版)北师大版
（4） m(a+b+c)
(3) y2-6y+9=__(y_-_3_)_2
=__m__a_+_m__b_+mc
(4)ma+mb+mc
= m(a+b+c)
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 7
算变形过程. 最新初中数学精品课件设计
2019/11/12
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形 最新初中数学精品课件设计
12
2019/11/12
作业： 书94页3,4,5
最新初中数学精品课件设计
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2019/11/12
所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗?
最新想初中数一学精品课想件设计:答9：93-99还98能，被9哪9 些整数整除2019?/113/12
将99换成其他任意一个大于1 的整数,上述结论仍然成立吗?
用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3 a a a2 a a (a 2 1) a (a 1)(a 1) (a 1) a (a 1)
2（2）2 4x y–8xy +1=4xy(x–
y)+1
2
2
2
2
答（：3）第a（(a4–）b)式=a是–因ab式分解（，4）其2余a 都–不2b是=。2(a–b)
注意：
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系； （2）分解因式的结果要以积的形式表示； （3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数； （4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
《因式分解》因式分解PPT-北师大版八年级数学下册
4．1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过 程．
2 了解因式分解的意义, 以及它与整式乘法的相互关 系．
3 感受因式分解在解决相关问题中的作, 属于因式分解的是( D )
A.a(x－y)＝ax－ay
B.x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C.(x＋1)(x＋3)＝x²＋4x＋3 D.x³－x＝x(x＋1)(x－1)
2.因式分解的结果是2x(x－3)的多项式是( C)
A.6x－2x²
B.2x²＋6x
C.2x²－6x
D.－2x²－6x
3.若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1), 则m, n的值分别为( D )
A.2, 3 B.－2, 3 C.2, －3 D.－2, －3
A.m²＋3(m＋3)＝(m＋3) ² C.m²＋3(2m＋3)＝(m＋3)²
B.m²＋3(m＋6)＝(m＋3) ² D.m²＋3(2m＋6)＝(m＋3) ²
强化训练
2． 小马虎在一次因式分解练习中, 一不小心弄脏了一部分, x2＋x－6＝(x＋ 3)(x－■), 你能帮他确定污染部分是多少吗?
解:设污染部分为a, 由整式乘法, 得 (x＋3)(x－a) ＝x2＋3x－ax－3a ＝x2＋(3－a)x－3a． 由题意可知, －3a＝－6, 所以a＝2．
（2）(y－3)²＝ y²－6y＋9 ;
（3）3x(x－1)＝ 3x²－3x ;
（4）a(a＋1)(a－1)＝ a³－a .
根据上面的算式填空:
（1）m²－16＝( m＋4 )( m－4 );
（2）y²－6y＋9＝( y－ 3 )²;
（3）3x²－3x＝( 3x )( x－1 );
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过 程．
2 了解因式分解的意义, 以及它与整式乘法的相互关 系．
3 感受因式分解在解决相关问题中的作, 属于因式分解的是( D )
A.a(x－y)＝ax－ay
B.x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C.(x＋1)(x＋3)＝x²＋4x＋3 D.x³－x＝x(x＋1)(x－1)
2.因式分解的结果是2x(x－3)的多项式是( C)
A.6x－2x²
B.2x²＋6x
C.2x²－6x
D.－2x²－6x
3.若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1), 则m, n的值分别为( D )
A.2, 3 B.－2, 3 C.2, －3 D.－2, －3
A.m²＋3(m＋3)＝(m＋3) ² C.m²＋3(2m＋3)＝(m＋3)²
B.m²＋3(m＋6)＝(m＋3) ² D.m²＋3(2m＋6)＝(m＋3) ²
强化训练
2． 小马虎在一次因式分解练习中, 一不小心弄脏了一部分, x2＋x－6＝(x＋ 3)(x－■), 你能帮他确定污染部分是多少吗?
解:设污染部分为a, 由整式乘法, 得 (x＋3)(x－a) ＝x2＋3x－ax－3a ＝x2＋(3－a)x－3a． 由题意可知, －3a＝－6, 所以a＝2．
（2）(y－3)²＝ y²－6y＋9 ;
（3）3x(x－1)＝ 3x²－3x ;
（4）a(a＋1)(a－1)＝ a³－a .
根据上面的算式填空:
（1）m²－16＝( m＋4 )( m－4 );
（2）y²－6y＋9＝( y－ 3 )²;
（3）3x²－3x＝( 3x )( x－1 );
《分解因式》PPT课件
巩固深化
1、36a2b2-4a4 3、(b2+c2)2-4b2c2 5、x4-8y2(x2-2y2)
2、-x2-4xy-4y2 4、(x2-3) 2+2(3-x2)+1
6、xn+2-2xn+1+xn (n为大于1的整数)
2022年8月18日星期四
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五、实际应用： 家庭收纳盒的制作与计算
在一个边长为acm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为
5、分解因式时，若出现相同的因式，一般写成幂的形式。
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基本概念
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解， 也叫分解因式。
ma mb mc 因 整式式乘 分法解m(a b c)
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我们学习了因式分解，请同学们想一下我们学 习了几种因式分解的方法：
阅读 体验 ☞
分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式
的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 若x=-3,求20x2-60x的值. 3. 1993-199能被200整除吗?还
2、字母是母的最低次数。
练习：①5x2－25x的公因式为
；5x
②－2ab2＋4a2b3的公因式为
-2，ab2
③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是
。x-1
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22
提取公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将 多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
《因式分解》北师大版ppt课件
结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它 们是互逆过程。
7
拓展应用 993-99能被100整除吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
8
因式分解与整式乘法是互逆过程. 因式分解要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的
乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
4.1 因式分解
1
我相信：在这个百花盛开的季节，你们也 争奇斗艳 香飘毕节
2
看谁算得快
1. 7.3×2+7.3×8 解：原式=7.3×（2+8） =7.3×10=73
ma+mb+mc
m(a+b+c)
x2+2x+1
(x+1)2
3
整式乘法：由整式积的形式转化成单项式和的形 式
a(a+1)=______a_2+_a_ (m+4)(m-4)=_______m_2_-_16 (y-3)2 = ____y_2_-6_y_+_9_
5
理解概念
下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?为什么？ (1).a(x+y)=ax+ay+4x+4=(x+2)2 (4).t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t
整式乘法 因式分解 因式分解
恒等变形
6
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式乘法它们之间有什么关系吗?
a2+a=(
)a( )a+1
m2-16= ( m) +( 4 )m- 4 y2-6y+9= ( y) - 3 2
7
拓展应用 993-99能被100整除吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
8
因式分解与整式乘法是互逆过程. 因式分解要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的
乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
4.1 因式分解
1
我相信：在这个百花盛开的季节，你们也 争奇斗艳 香飘毕节
2
看谁算得快
1. 7.3×2+7.3×8 解：原式=7.3×（2+8） =7.3×10=73
ma+mb+mc
m(a+b+c)
x2+2x+1
(x+1)2
3
整式乘法：由整式积的形式转化成单项式和的形 式
a(a+1)=______a_2+_a_ (m+4)(m-4)=_______m_2_-_16 (y-3)2 = ____y_2_-6_y_+_9_
5
理解概念
下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?为什么？ (1).a(x+y)=ax+ay+4x+4=(x+2)2 (4).t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t
整式乘法 因式分解 因式分解
恒等变形
6
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式乘法它们之间有什么关系吗?
a2+a=(
)a( )a+1
m2-16= ( m) +( 4 )m- 4 y2-6y+9= ( y) - 3 2
北师大版分解因式法课件
题目2
分解因式：x^2 + 7x + 10。
题目3
求解方程组：2x^2 + 5x = 0。
解因式的概念与方法，并掌握它在解决数学问 题时的实际运用能力。
掌握因式分解公式
1
应用技巧
2
掌握因式分解公式的灵活应用技巧，解
决更复杂的分解因式问题。
3
基础公式
学习基本的因式分解公式，为后续深入 学习奠定基础。
综合练习
通过练习题，巩固对因式分解公式的掌 握程度。
提高分解因式的实际运用能力
1 实际应用
了解分解因式在实际问题中的应用场景，培养实际运用能力。
2 解决难题
通过解决一些复杂的问题，提高对分解因式的实际运用能力。
3 总结与回顾
总结学习成果，回顾分解因式的重要概念与方法。
北师大版分解因式法ppt 课件
本课件将带你深入了解分解因式的概念与方法，掌握因式分解公式，并通过 练习题与答案提高你的实际运用能力。
分解因式的概念与方法
什么是分解因式？
学习分解因式的基本概念， 掌握它在数学问题中的作用 与意义。
分解因式的步骤
了解分解因式的一般步骤， 从简单到复杂逐渐掌握。
分解因式的思路
使用适当的思路和方法，解 决更具挑战性的分解因式问 题。
因式分解公式
二元一次方程
学习因式分解公式在解二元一次 方程中的应用。
两个二次项的和与差
掌握因式分解公式在处理两个二 次项的和与差中的技巧。
二次三项式相乘
了解因式分解公式在二次三项式 相乘中的应用方法。
分解因式的练习题与答案
题目1
解决方程：x^2 - 6x + 9 = 0。
北师大版八年级数学下册课件：4.3 用平方差公式因式分解 (共16张PPT)
与差相乘
相同项 相反项
平方差公式
（1）公式：
a2 b2 (a b)(a b)
（4）形象表示： □2－△2＝(□＋△)(□－△)
☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
平方差公式
（1）公式：
a2 b2 (a b)(a b)
（5）举例说明：
x2 16
9m2 4n2
x2 42 (3m)2 (2n)2
16
4
64x2 y2 （8 x q ）2
牛刀小试
练习2：下列多项式可不可以用平 方差公式分解因式？
x2 y×2 x2 y√2
x2 y×2 x2 (y)√2
多项式具有什么特征时， 可以用平方差公式因式分解？
（1）多项式是二项式; （2）每一项都可以写成平
总结提升
能写成( )2-( )2的式子，可以 用平方差公式分解因式.
公式中的a , b可以是单独的数 字、字母、单项式、多项式. 分解因式，有公因式时先 “提”后“公”，应进行到每 一个多项式因式不能再分解为
方的形式; （3）两项的符号相反，
一正一负.
例题讲解
例1：把下列各式分解因式
(1) 1 9x2
(2) 25x2 1 y2 4
(3) 25(m n)2 9(m n)2
(4) 3y3 48y
学以致用
把下列各式分解因式
(1) a2b2 m2
(2) x2 a b c2
(3) 5ax4 5ay2 (4) (x y z)2 (x y z)2
拓展延伸
分解因式
、 x4 81y 4 2、(x 1) b2 (x 1)
相同项 相反项
平方差公式
（1）公式：
a2 b2 (a b)(a b)
（4）形象表示： □2－△2＝(□＋△)(□－△)
☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
平方差公式
（1）公式：
a2 b2 (a b)(a b)
（5）举例说明：
x2 16
9m2 4n2
x2 42 (3m)2 (2n)2
16
4
64x2 y2 （8 x q ）2
牛刀小试
练习2：下列多项式可不可以用平 方差公式分解因式？
x2 y×2 x2 y√2
x2 y×2 x2 (y)√2
多项式具有什么特征时， 可以用平方差公式因式分解？
（1）多项式是二项式; （2）每一项都可以写成平
总结提升
能写成( )2-( )2的式子，可以 用平方差公式分解因式.
公式中的a , b可以是单独的数 字、字母、单项式、多项式. 分解因式，有公因式时先 “提”后“公”，应进行到每 一个多项式因式不能再分解为
方的形式; （3）两项的符号相反，
一正一负.
例题讲解
例1：把下列各式分解因式
(1) 1 9x2
(2) 25x2 1 y2 4
(3) 25(m n)2 9(m n)2
(4) 3y3 48y
学以致用
把下列各式分解因式
(1) a2b2 m2
(2) x2 a b c2
(3) 5ax4 5ay2 (4) (x y z)2 (x y z)2
拓展延伸
分解因式
、 x4 81y 4 2、(x 1) b2 (x 1)
《因式分解》示范公开课教学PPT课件【北师大版八年级数学下册】
三、 探究新知
993－99还能被哪些正整数整除？ 还能被99，98，980，990，9702等整除． 从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成 了几个数的积的形式．
三、 探究新知
2．议一议 你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流． 大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式． a3－a=a(a2－1)=a(a－1)(a+1)
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形
式．
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，
是乘法运算．等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，
是因式分解．即ma+mb+mc ＝m(a+b+c)．
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．
四、 典例精讲
例1 下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式？ （1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab； （2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)； （3）a2－4＝(a＋2)(a－2)； （4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．
a2－b2=(a+b)(a－b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即 将学习的内容：因式分解的问题．
三、 探究新知
1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？ 与同伴交流． 993－99能被100整除．
因为993－99=99×992－99=99×(992－1) =99×9800=99×98×100 其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除．
三、 探究新知
3．做一做 （1）计算下列各式：
①(m+4)(m－4)=_m___2 ___1_6_____； ②(y－3)2=__y_2___6__y____9_； ③3x(x－1)=_3__x_2____3_x____；
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4. 如何找公因式。
带着以上问题，自学课本 p114115
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复习 分解因数：
(1)6 23 ;
(2)122 23;
一个整数写成什么形式？ 把一个整数写成几个整数的乘积的
形式叫做因数分解。
1、分别写出下列多项式的公因式：
(1) axay
( a)
(2) 3x3y412x2y
( 3x2y )
(3) 2a 3 5 b 2 1a 2 5 b 5 a 3 b 3 ( 5a2b )
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18和30的最小公倍数是 2×3×3×5＝90
把所有的除数和最后的两个商连乘起来， 就得到这两个数的最小公倍数
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教学目标
1．什么叫因式分解？
2. 整式乘法与因式分解的区别
3. 什么是公因式？
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因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的乘积
的形式，叫做把这个多项式因式分解 (分解因式)。
ma mb m (ab)
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因式分解
公因式
a 3x
③4a2b+10ab2 2ab
④x4y3+x3y3
x3y3
⑤12x2yz-9x3y2 3x2y
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例1: 找出3 x 2 – 6 x 的公因式。并分解因式。
3
系数：各项系数的
m m a m b m ( c a b c )
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下列由左边到右边的变形中，哪些是因式分解， 哪些不是？
（1）a2b2ab2ab(a2b)（ ）
温馨提示
（2）(x+2)(x-2）= x2-4（ ）
判断是否是因式分 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1（ ）解 要看等式的左边是 （4）ax2+ay2=a(x2+y2) （ ） 否是一个多项式，右
边是否是几个整式的 积的形式。
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公因式的定义： 一个多项式的各项都有的公共的
因式，叫做这个多项式的公因式。
m am bmc
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公因式m
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确定公因式的方法：
（1）看系数——取各项的最大公因数 （2）看字母——取各项相同字母 （3）看指数——取各项相同字母的最低次幂
提公因式法
把6、28、60写成比它本身小的两
个数相乘的形式。
6
28
2× 3 4× 7
28 4× 7 2× 2× 7
60
60
6 × 10 2 × 30
60
60
60
6 × 10
2 × 30
2 × 30
60ห้องสมุดไป่ตู้
4 × 15
60 4 × 15
用短除法分解质因数
短除号 除数…… 2 6 ……被除数
3 ……商
所得的商作为另一个因式； 3、把多项式写成两个因式的积的形式。 4、把多项式写成两个因式的积的形式。
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归纳 整式乘法与因式分解的关系： 整式乘法与分解因式是互为逆
运算关系。
整式乘法 互为逆运算 因式分解
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求:18和30的最小公倍数和最大公因数公倍数
2 18 30 3 9 15
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
3
5
除到两个商是互质数为止
18和30的最大公因数是 2×3＝6
把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数
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（4）看整体——如果各项中含有相同的多项 式，把它看作整体，不要拆开
（5）看首项符号——若多项式中首项是“—” 则公因式符号为负数
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因式分解方法一
提公因式法分解因式：
把公因式提出后，将一个多项式 分解成两个整式的积的形式的方法， 叫做提公因式法。
用心观察，找到答案
多项式 8x+12y 8ax+12ay 8a3bx+12a2b2y
9x2-6xy+3x
公因式
4 4a 4a2b
3x
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指出下列各多项式中各项的公因式,
并试着分解因式。
①ax+ay+a ②3mx-6nx2
最大公约数。
指数：相同字母
x 1 的最低次幂
字母：各
想一想
项的相同 字母
另一个因式x-2是 如何得到的？
所以，公因式是3x
3x2-6x=3x（x-2）
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提公因式法—因式分解的步骤：
1、确定应提取的公因式； 2、用公因式去除这个多项式，
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用短除法分解质因数及书写格式 把“28”分解质因数：
2 28
2 14 7
28 ＝2×2×7
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每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这 个合数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来， 叫做分解质因数。