考研数学真题解析总结

考研数学真题解析 一.选择题

1.若1])1(1[lim =--→x

o

x e a x

x 则a =

A0 B1 C2 D3

2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使

21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则

A 21,21==

μλ B 21

,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3

2,32==μλ

3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是

A 0)(<'a f

B 0)(>'a f

C 0)(<''a f

D 0)(>''a f 4设10

10

)(,)(,ln

)(x

e x h x x g x x

f ===则当x 充分大时有

Ag(x)

5设向量组线性表示，，

，：，可由向量组s I βββααα??21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>s

C 若向量组II 线性无关，则s r ≤

D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02

=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于

A ??????? ??0111

B ??????? ??-0111

C ??????? ??--0111

D ????

?

?

? ??---0111 7.设随机变量X 的分布函数?????≥-<≤<=-1

,110,21

,0)(x e x x x F x

，则P （X=1)=

A0 B

21 C 12

1--e D 11--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若

???<>≥≤=)0,0(0),(0),()(2

1b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：

A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2

二.填空题

9.设可导函数y=y(x),由方程??

=+-x

y

x t dt t x dt e 0

20

sin 2

确定，则

____________0

==x dx

dy

10.设位于曲线)()

ln 1(12

+∞<≤+=

x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴

旋转一周所得空间区域的体积为____________

11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为3

1p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则

R(p)=________________

12.若曲线12

3

+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________

13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A 14.设

_

__________ET ,

1T )0)(,(N ,,1

2

2

321==>?∑=则计量的简单随机样本。记统是来自总体n i i X n X X X σσμ 三.解答题

15.求极限x

x

x x ln 11

)

1(lim -+∞

→

16.计算二重积分

??+D

dxdy y x 3

)(，其中D 由曲线21y x +=与直线围成及0202=-=+y x y x 。

17.求函数u=xy+2yz 在约束条件102

2

2

=++z y x 下的最大值和最小值。 18. （1）比较

[]??

?=+1

1

),2,1(ln )1ln(ln n dt t t dt t t n n

与的大小，说明理由。

（2）记[]?

?=+=1

),2,1()1ln(ln n dt t t u n

n ,求极限.lim n n u ∞

→

19.设

f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

)3()2()()0(22

f f dx x f f +==?

（1）证明：存在);0()(),2,0(f f =∈ηη使 （2）证明：存在0)(),3,0(=''∈ξξf 使 20

.的通解。

求方程组、）求（个不同的解。

存在已知线性方程组设b Ax a b Ax a b A ==???

?

? ??=????? ??-=)2(.

12.11,1101011λλλλ 21.设?

???

?

??--=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T

为对角矩阵，若Q 的第一列为T )1,2,1(61，求a 、Q.

22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为+∞

<<-∞+∞<<-∞=-+-y x Ae y x f y xy x ,,),(2

2

22求常数A 及条件概率密度).(x y f X Y

23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2

个球，记X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数。 （1）求随机变量（X,Y ）的概率分布； （2）求Cov （X,Y ）.

2010年考研数学三之答案与解析

答案：CABC ADCA

9.-1 10.4

2

π 11 )

1(3

13

-p pe

12.3 13.3 14.2

2μσ+

三解答题 15.解：

1

ln 11ln 2ln ln )

1(lim 1

ln ln 1lim ln 1ln lim ln )1ln(lim

,0ln ,,ln 11lim ln )1ln(lim

ln ln -+∞

→+∞→+∞→+∞→∞→∞→=-∴-=-=-?=-→+∞→-?-=-e x x x

x

x x

x e x e x

x

x x x e xe x e x

x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x 故而当

16.解:

15

14

)(3)321(21)3(2)3()33(1

1210

10424

22

3

2332232=

-+-+=+=+=+++=??

??????+y y

D

D

dy y y dy y y dx xy x dy dxdy

xy x dxdy y y x xy x 原式

17.

解

：

5

5-550,55-,;55,).2,0,22(),2,0,22(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(,0

1002202202)10(2),,,(min max 222222=====--------??

?????

=-++='=+='=++='=+='-++++=u u u F E u C B u D A F E D C B A z y x F z y F y z x F x y F z y x yz xy z y x F z y x ，所以。两点处；在两点处在两处因为在最可能的最值点

令设λλλλλλ 18.

lim ,0ln lim )1(111ln ln .

ln )]1[ln(ln 0)1()2(.

ln )]1[ln(ln ,

ln )]1[ln(ln ,)1ln(,10)1(1

102

10101

1

1

1

==∴+=+=-=≤+=≤≤+≤+∴≤+≤≤∞

→∞→????????n n n n n n

n

n n

n n n

n n u dt t t n dt t n tdt t dt t t dt t t dt t t u dt t t dt t t t t t t t t t 从而知由因此，当解：

19.

)(),3,0(),,0)(,0)(0,30),()()0().

0()(),0(2

)

3()2(.

2

)

3()2()(],3,2[]3,2[)(2

)

3()2()

2().

0()(),0(2)()(2)(),(2)(2)0()2(20).

0()2()(),20()()()1(2121212

2

2

=''?∈='='∈∈≤<<====++=∈+===='=-∈-=≤≤=????ξξξξξξζηξηξζηζηζζζηηηηηf f f f f f f f f f f f f f x f f f f f f dx x f f dx x f f F F F F F dx x f x dt t f x F x 使得（从而存在），使，（），，（根据罗尔定理，存在且由于故由题设知使存在值定理，间，根据连续函数的介上的最小值与最大值之在介于故由题设知即），使，（，存在根据拉格朗日中值定理则设证：20.解：

为任意常数。

其中的通解为所以时，

当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去。所以时，因为当。或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设k k x b Ax B a a b Ax B

a a

b A b Ax b Ax b A r A r A Ax b Ax ,10101321,021230000101012,1)2(.2221

2300001010111111020111),1-,),,()(11-1,0)1()1(0-2,)1(22121???

?? ??+????? ??-==?????

?

?

?

??--=-=-=-=∴==?????

?

?

?

??+--→????? ?

?---====≠====+-===λλλλλλληηηη

21

为所求矩阵。

故则有令）

，，（的一个单位特征向量为属于特征值），，（的一个单位特征向量为属于特征值的特征值为所以的特征多项式由于解得的一个特征向量，于是

为），，解：由题设，（Q AQ Q Q A A E A a a a A A T

T

T

,452,21316

103162213161

1012

14;

11-1315.

4,5,2),4)(5)(2(.2,1,121121043141012112111T

?????

??-=?

???????? ??--=---+--=-=-=???

?

? ??=????? ??????? ??--=????? ??λλλλλλ

22.

.

,1

1

11

)(),()(),(.1

,)(1,,),()(2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2)(222)()

(22+∞<<-∞=

=

=

=+∞-∞∈=

===+∞<<-∞=====---+---+-∞

+∞--∞

+∞

--∞

+∞

----+∞

∞

----+∞

∞

--+-+∞

∞

-??

?

???y e e e

e x

f y x f x y f x A A dx e A dx x f x e A dy e Ae dy

e A dy e

A dy y x f x f y x y xy x

x y xy x

X X Y x X x x y x

x x y y xy x X π

π

π

π

π

πππ时，当从而所以解：因

23.解：

（1）随机变量（X ，Y ）的概率分布为：

.

45

4

3231152)(),(.

15

2

)(.3215121581520,

15

1

}2{,158}1{,52}0{31

311320,31}1{,32}0{-=?-=?-===?+?+?========?+?=====EY EX XY E Y X Cov XY E EY Y P Y P Y P EX X P X P 所以又所以，因为。

所以因为

2011年考研数学三试题及解析

一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==. (B) 1,4k c ==-. (C) 3,4k c ==. (D) 3,4k c ==-.

(2) 已知函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()()

233

2lim

x x f x f x x

→-=( )

(A) -2()0f '. (B) -()0f '. (C) ()0f '. (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是( ) (A) 若1

n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21

()n n n u

u ∞

-=+∑收敛. (B) 若2121

()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1

n

n u ∞

=∑收敛.

(C) 若1

n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛. (D) 若2121

()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1

n

n u ∞

=∑收敛.

(4) 设4

ln sin I x dx π

=

?

，40

ln cot J x dx π=?，40

ln cos K x dx π=?，则,,I J K 的大

小关系是( )

(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．

(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3

行得单位矩阵，记1100110001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ?= ? ???

，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1

21P P -．

(6) 设A 为43?矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，

12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )

(A)

23

121()2k ηηηη++-．

(B)

23

121()2k -+-ηηηη．

(C) 23121231()()2k k ++-+-ηηηηηη． (D) 23121231()()2

k k -+-+-ηηηηηη．

(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )

(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．

(C) 12()()f x F x ． (D) 1221()()()()f x F x f x F x +． (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,

,(2)n X X X n ≥为来自总体X

的简单随机样本，则对应的统计量111,n i i T X n ==∑ 12111

1n i n i T X X n n

-==+-∑( ) (A) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (B) 12()()E T E T >，12()()D T D T >． (C) 12()()E T E T <，12()()D T D T <． (D) 12()()E T E T <，12()()D T D T <． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9) 设()()0

lim 13x

t

t f x x t →=+，则()f x '= .

(10) 设函数1x y

x z y ??

=+

???

，则()

1,1=dz .

(11) 曲线tan 4y

x y e π??

++= ??

?

在点()0,0处的切线方程为 . (12)

曲线y =

2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体

的体积为 .

(13) 设二次型()

123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 ．

(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()

22,;,;0N μμσσ，则()

2

E XY = ．

三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

(15) (本题满分10分)

求极限0

x →．

(16) (本题满分10分)

已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，

(),,=+????z f x y f x y ，求()21,1z

x y

???.

(17) (本题满分10分)

求

. (18) (本题满分10分)

证明44arctan 03

x x π

-+

=恰有2实根. (19) (本题满分10分)

设函数()f x 在[]0,1有连续导数，(0)1f =，且

()()t

t

D D f x y dxdy f t dxdy '+=????,

{}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t D x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.

(20) (本题满分11分)

设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===，不能由向量组1(1,1,1)T

β=，

2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．

(I) 求a 的值；

(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示． (21) (本题满分11分)

A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -???? ? ?

= ? ? ? ?-????

．

(I) 求A 的特征值与特征向量；

(II) 求矩阵A ．

(22) (本题满分11分)

设随机变量X 与Y 的概率分布分别为

且{}

221P X Y ==．

(Ｉ)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II)求Z XY =的概率分布； (III)求X 与Y 的相关系数XY ρ． (23) (本题满分11分)

设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与

0y =所围成的区域．

(I)求边缘概率密度()X f x ； (II)求条件密度函数|(|)X Y f x y ．

2011年考研数学三试题答案

一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因为03sin sin 3lim

k x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim

k

x x x x x x

cx →--= ()

20

sin 3cos 22cos lim

k

x x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x x

cx -→--= ()221

32cos 12cos lim

k x x x

cx -→---=221

10044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 3

04

lim

1k x cx -→==．

所以4,3c k ==，故答案选(C). (2)【答案】(B)． 【解析】()()

233

2lim

x x f x f x x →-

()()()()

2233

0220lim

x x f x x f f x f x

→--+=

()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →??

--??=-????

()()()0200f f f '''=-=-．

故答案选(B). (3)【答案】(A).

【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例． 选项(B)取(1)n

n u =-，这时2121

1

()0n n n n u

u ∞

∞-==+=∑∑收敛，但1

1

(1)n

n

n n u ∞∞

===-∑∑发散，故选项(B)错误；

选项(C)取1(1)n n u n --=，这时111

(1)n n n n u n -∞∞==-=∑∑收敛，但212111

()n n n n u u n ∞∞

-==-=∑∑发散，

故选项(C)错误；

选项(D)取1n u =，这时21

21

1

()0n n n n u

u ∞

∞-==-=∑∑收敛，但1

1

1n n n u ∞∞

===∑∑发散，故选项(D)

错误．故正确答案为(A).

(4)【答案】(B)．

【解析】因为04

x π

<<

时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，

又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．

【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故

100110001A B ?? ?

= ? ???

， 即1AP B =，1

1A BP

-=． 由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故

100001010B E ??

?= ? ???

， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，1

21A P P -=，故选(D)．

(6)【答案】(C)．

【解析】由于123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，所以3121,ηηηη--是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项．

又因为23

02

A ηη-=，

所以23

2

ηη-是0Ax =的解，不是Ax β=的解，故排除(D)选项，

因此选(C)．

事实上，由于123,,ηηη是Ax β=的三个线性无关的解，所以2131,--ηηηη是0Ax =的两个线性无关的解，即0Ax =的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3()2r A -≥，故()1r A ≤．由于A O ≠，所以()1r A ≥，故()1r A =．这样，0Ax =的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知2131,--ηηηη是0Ax =的一个基础解系．

因为123,,ηηη是Ax β=的解，所以23,A A ηβηβ==，因此23

2

A

ηηβ+=，所以

23

2

ηη+是Ax β=的一个特解．

由非齐次线性方程组解的结构，可知Ax β=的通解为

23

121231()()2

k k ++-+-ηηηηηη．

(7)【答案】(D)．

【解析】选项(D)

1122()()()()f x F x f x F x dx +∞

-∞

??+???

2211()()()()F x dF x F x dF x +∞

-∞??=+???

21()()d F x F x +∞

-∞

??=??

?

12()()|F x F x +∞

-∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度. (8)【答案】(D)． 【解析】因为12,,

,()

n

X X X P λ，

所以()i E X λ=，()i D X λ=，从而有

()()()1111()11

()n n

i i i i X E X E T n n n n

E E X E X λ===??====∑∑

()11

2111111()()11--==??

=+=+ ?--??∑∑n n i n i

n i i E T E X X E X E X n n n n

()()111λ?

?=+

=+ ???E X E X n n ．

因为111n

<+

，所以()()12

又因为 ()()1121((11))λ

===??==∑n i i D T D n D X D X n n X n n

．

()11

22

1121111

()()1(1)()--==+?+--==∑∑n n i n i n i i X X D X D n n D n D X n T

2211(111)()1D X D X n n n n λ=

?+?-??=+ ?-?? ．

由于当2≥n 时，

2111

1<+-n n n

，所以()()12D T D T <． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9)【答案】()313x

e

x +.

【解析】因为()()()31300

lim 13lim 13x t x

t

t

t

t t f x x t x t ?

→→?

?=+=+??

?

?

3x x e =?，

所以，()()313'=+x

f x e

x .

(10)【答案】()()12ln 2dx dy +-.

【解析】ln(1)(1)x

x

x

y y y

x z e y

+=+=,

11(1)ln(1)1x y

dz x x x y x dx y y y y y ????=+++?????+????,22(1)ln(1)1x

y x dz x x x x y x dy y y y y y ?

?-??=+-++?????

+????

， 所以，

(1,1)2ln 21dz dx =+，(1,1)

12ln 2dz

dx =--， 从而 ()()()1,112ln 212ln 2dz dx dy =+-+或()()()1,112ln 2dz dx dy =+-.

(11)【答案】2y x =-.

【解析】方程tan 4y

x y e π?

?

++

= ??

?

的两端对x 求导，有 ()2sec 14y x y y e y π?

?''++?+= ??

?，

将0,0x y ==代入上式，有

()2

1

1cos 4

y y π

''+=，解得()0,02y '=-， 故切线方程为：2y x =-.

(12) 【答案】43

π. 【解析】如图２所示：

2

21

V y dx π=?

()2

2

1

1x dx π

=-?

43

π=．

(13)【答案】213y ．

【解析】因为A 的各行元素之和为3，所以1113111A ????

? ?

= ? ? ? ?????

，故3为矩阵A 的特征值．

由()1r A =知矩阵A 有两个特征值为零，从而1233,0===λλλ．

由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次

型在正交变换下的标准形为2

13y ．

(14)【答案】()

22μμσ+．

【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()

22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2

,X Y ．从而有

()()()()()()22222

E XY E X E Y D Y E Y μμμσ??==+=+??

． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．

指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

(15) (本题满分10分)

【解析】0

0x x →→=

0x →=

x →=

000

1.

2x x x →→→===-=- (16) (本题满分10分) 【解析】

121[(),(,)][(),(,)](,)z

f x y f x y f x y f x y f x y x

?'''=+++?? ()()()()()()()(){}

()()()

211122212221212,1,(,)

,,(,)(,),,z

f x y f x y x y

f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ?''=++???????'''+++?????''''''++++++?????????'''+++?????

由于()1,12f =为(),f u v 的极值，故()()121,11,10f f ''==，

所以，

()()()2112122,22,21,1.z

f f f x y

?'''''=+??? (17) (本题满分10分)

【解析】令t =

2x t =,2dx tdt =，所以

2arcsin ln 2t t tdt t +=??()22arcsin ln t t dt =+?

2222arcsin 22ln 2t

t t t t t dt t

=?-+?-?

?

222arcsin 2ln 4t t t t t =?+?-

22arcsin 2ln 4t t t t t C =?+?-+

.x C =++

(18) (本题满分10分)

【解析】设4()4arctan 3

f x x x π

=-+

则

24()11f x x '=

-=+， 令()0f x '=

，解得驻点12x x ==.

所以，

当x <()0f x '<，故()f x 单调递减；

当x <()0f x '>，故()f x

单调递增；当x >

()0f x '<，故()f x 单调递减.

又当(,(3,3)x ∈-∞-时()0

f x >，且(

0f =，故(x ∈-∞

时只

有一个零点；

又803f π=

->

，()4lim lim 4arctan 03x x f x x x π→+∞→+∞?=-+

-=-∞<

?，由零点定理可知，存在)

0x ∈

+∞，使()00f x

=； 所以，方程44arctan 03

x x π

-+=恰有两实根. (19) (本题满分10分) 【解析】

21

()()2

t

D f t dxdy t f t =??

，

00

0()()(()())()()t

t

t x

D t t

f x y dxdy dx f x y dy

f t f x dx tf t f x dx

-''+=+=-=-??

??

??

由题设有 20

1

()()()2

t

tf t f x dx t f t -

=?

，

上式两端求导，整理得

(2)()2()t f t f t '-=，

为变量可分离微分方程，解得2

()(2)

C

f t t =

-，

带入(0)1f =，得4C =. 所以，2

4

(),01(2)

f x x x =

≤≤-. (20) (本题满分11分)

【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：

123123113101(,,,,,)12401313115a ?? ?

= ?

???

βββααα

113101011112023014a ?? ?→- ? ?-??113101011112005210a ?? ?→- ? ?--??

． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，

1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．

(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：

123123101113(,,,,,)013124115135?? ?

= ? ???

αααβββ

101113013124014022?? ?→ ? ???101113013124001102?? ?→ ? ?--?? 1002150104210001102?? ?→ ? ?--??

， 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-．

(21) (本题满分11分)

【解析】(I)由于111100001111A -????

? ?

= ? ? ? ?-????

，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则

()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为

121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．

由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．

由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,T

x x x α=，则

1323

0,0,T T

?=?=?αααα即13130,

0x x x x -=??+=?． 解此方程组，得()30,1,0T

α=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．

(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：

))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T T

αααβββααα=

=-====． 令()123,,Q βββ=，则110T

Q AQ -??

?=Λ= ? ???

， T

A Q Q =Λ

02201220011000

1002

2

?

-?? ??-?? ?? ?= ?? ?

? ? ??? ? ?

- ? ???

???

00001220000000221000

1002

2

??- ? ?

?? ? ? ?

== ? ? ? ? ?

??? ? ? ? ??? ??

?

．

(22) (本题满分11分)

【解析】(I)因为{}

221P X Y ==，所以{}{}

222210≠=-==P X Y P X Y ． 即 {}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==-=======． 利用边缘概率和联合概率的关系得到

{}{}{}{}1

0,000,10,13

P X Y P X P X Y P X Y ====-==--===；

{}{}{}1

1,110,13P X Y P Y P X Y ==-==--==-=；

{}{}{}1

1,110,13

P X Y P Y P X Y ====-===．

即(),X Y 的概率分布为

(II)Z 的所有可能取值为1,0,1-．

{}{}1

11,13P Z P X Y =-===-=．

{}{}1

11,13P Z P X Y =====．

{}{}{}1

01113

P Z P Z P Z ==-=-=-=．

Z XY =的概率分布为

(III)因为()()()()

()()

()()

XY Cov XY E XY E X E Y D X D Y D X D Y ρ-?==

，

其中

()()1111010333E XY E Z ==-?+?+?=，()111

1010333

E Y =-?+?+?=．

所以()()()0-?=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．

(23) (本题满分11分)

【解析】二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为

1,01,2,

(,)0,.y y x y f x y <<<<-?=?

?

其它 (Ｉ)当01x <<时，0

()(,)1x

X f x f x y dy dy x +∞

-∞

=

==?

?．

Z -1 0 1 P 1/3

1/3

1/3

X

-1 0 1 0 1/3 0 1

0 1/3

1/3