数值积分与微分MATLAB公式

数值积分与微分

实验目的：1）用matlab软件掌握梯形公式、辛普森公式和蒙特卡罗方法计算数值积分；

2）通过实例学习用数值积分和数值微分解决实际问题。

实验内容：

第一题：用梯形、辛普森和蒙特卡罗方法计算积分。改变步长（对梯形），改变精度要求（对辛普森），改变随机点数目（对蒙特卡罗），进行比较、分析。

1e22x-,-2≤x≤2

y=

π2

解：用三种方法计算积分的源程序如下：

10-,108-；对对梯形公式取h=4/50,4/100,4/10000;对辛普森分别取精度为103-，7

从得到的结果可以看到对梯形公式，步长越小，计算的积分结果越准确；对于辛普森公式，在一般的103-精度下结果已经很准确（小数点后前六位均为准确数字），提高精度后结果更加精确，可见辛普森具有很高的优越性，但它的局限性在于必须要有函数解析式；对于蒙特卡罗方法，虽然结果具有随机性，但随着n 增大，得到的结果越来越接近准确值。

解：用中点公式计算导数k.则∆P＝k∆V。因为∆V＝1，所以∆P数值上等于k。

取h=0.1，利用三次样条计算P在V－h，V+h处的数值，从而利用中点公

式计算导数。

结果为 ∆p =2.3341（2/in lbf ） 同理可以算出V=50时,∆p=2.7891（2/in lbf ） 求导的问题也可以用书后补充知识中样条求导的方法解决，计算后可以得到相同结果。

利用三次样条插值计算V 在40～70之间时相应的一系列P 值，然后用梯形公式计算积分即得气体作功。

第三题：冰淇淋的下部为锥体，上部为半球。设它由锥面z=22y x +和球面1)1(222=-++z y x 围成，用蒙特卡罗方法计算它的体积。

解：两个曲面方程联立可以解得几何体的边界方程为单位圆：22y x +＝1。 应用蒙特卡罗均值估计法计算体积的思路如下：

利用计算机每次产生两个0～1的随机数x,y ，若落在单位圆内，则计算球面与锥面上在（x,y ）处的z 值之差，产生n 次随机数，并将得到的z 值累加，累

即所求冰淇淋的体积为3.1336。

小结：通过本章的学习掌握了用matlab软件利用梯形公式、辛普森公式和蒙特卡罗方法计算数值积分的方法。虽然利用数值积分与微分得到的不是我们一贯接触的那种百分之百准确的“完美”的结果，但是现实当中许多问题是不能用经典的解析方法来描述的，而

只能通过数值积分和数值微分的方法得到满足我们精度要求的结果，所以学好本章的内容对我们解决许多实际问题有很大的帮助。另外在本章当中还有许多精巧的思维方法，比如蒙特卡罗方法，他的这种思想方法很朴素，但是由此推广得到的各种方法（比如均值估计法）却可以解决很多实际问题。我想我们不仅应该学好解决问题的具体方法，更应该体会、理解方法当中蕴涵的深刻的数学思想和精巧的思维方式。