几何图形中地最值问题

几何图形中的最值问题

引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:

1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。

2.不等式: ①如x ≤7，最大值是7；②如x ≥5，最小值是5.

3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

一、最小值问题

例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M 在DC 上，且DM=2，N 为线

段AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。

解: 作点D 关于AC 的对称点D /，则点D /与点B 重合，连BM,交AC 于N ，连DN ，则DN+MN 最短,且DN+MN=BM 。

∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt △BCM 中,BM=

682

2 =10,

∴DN+MN 的最小值是10。

例2，已知，MN 是⊙O 直径上，MN=2,点A 在⊙O 上，∠AMN=300,B 是弧AN 的中点，P 是MN 上的一动点，则PA+PB 的最小值是

解:作A 点关于MN 的对称点A /,连A /B,交MN 于P ，则PA+PB 最短。

图1

L

B'

C

B

A

图4

N

C

D M

P

O

N

M

A

连OB ，OA /,

∵∠AMN=300,B 是弧AN 的中点， ∴∠BOA /=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA /=600, ∴∠MOA /=900,

在Rt △A /BO 中，OA /=OB=1, ∴A /B=2 即PA+PB=2

例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x 上确定一点P ，使点P 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出最小值。

解:作点E 关于直线y=x 的对称点M ， 连MD 交直线y=x 于P ，连PE ， 则PE+PD 最短；即PE+PD=MD 。 ∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),

过M 作MN ∥x 轴的直线交过D 作DN ∥y 轴的直线于N ，

则MN ⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1), 在Rt △MND 中,MN=5,ND=2, ∴MD=252

2 =29。

∴最小值是29。 练习

1.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲

cm ．

A /

E

A

M

O

P

N

B 图6

-4

y=x

y

x

4

3

2

O

1

1

2-1

-2

-3

-4

-1

-2-3

P

N

M

E

D

【答案】15。

【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，

连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。

由轴对称的性质和三角形三边关系知

AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。

由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。

在Rt△BCD中，由勾股定理得2222

=+=+=。

BC DC BD91215

∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，

即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。

2.正方形ABCD边长是4，∠DAC的平分线交CD与点E，点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ的最小值是

解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，

则DF即为PQ+DQ的最小值．

∵正方形ABCD的边长是4，

∴AD=4，∠DAC=45°，

在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，

∴DF=AD •sin45°=4×2

2

=22 故答案为2

3.（2009•陕西）如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC

＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是______．

解:过B 作关于AD 的对称点B /,则B /在AC 上， 且AB=AB /=4

,MB=MB /,B /MN 最短，即为B /H 最短。

在Rt △AHB /中， ∠B /AH ＝45°，AB /=4，

∴B /H=4,

∴BM ＋MN 的最小值是4.

4.如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 ，

解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，

∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°， 作点P 关于直线BD 的对称点P ′，连接P /Q ，PC ， 则P /Q 的长即为PK+QK 的最小值，由图可知， 当点Q 与点C 重合，CP /⊥AB 时PK+QK 的值最小， 在Rt △BCP /中，∵BC=AB=2，∠B=60°， ∴CP /=BC •sinB=2×=

．

H

B /D N

M

C B

A

D N

M

C

B

A