2000年全国统一高考数学试卷(文科)
2000年全国统一高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合{|A x x Z =∈且101}x --，{|B x x Z =∈，且||5}x ，则A B 中的元
素个数是( ) A ．11
B ．10
C ．16
D ．15
2．（5分）在复平面内，把复数33i -对应的向量按顺时钟方向旋转3
π
，所得向量对应的复数是( ) A ．23
B ．23i -
C ．33i -
D ．33i +
3．（5分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( ) A ．23
B ．32
C ．6
D ．6
，
4．（5分）已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( )
A ．若α、β是第一象限角，则cos cos αβ>
B ．若α、β是第二象限角，则tan tan αβ>
C ．若α、β是第三象限角，则cos cos αβ>
D ．若α、β是第四象限角，则tan tan αβ> 5．（5分）函数cos y x x =-的部分图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
《
6．（5分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元
的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A ．800~900元
B ．900~1200元
C ．1200~1500元
D ．1500~2800元
7．（5分）若1a b >>，P =1()2Q lga lgb =+，2
a b
R lg +=，则( )
A ．R P Q <<
B ．P Q R <<
C ．Q P R <<
D ．P R Q <<
8．（5分）已知两条直线1:l y x =，2:0l ax y -=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0,)
12
π
内变动时，a 的取值范围是( )
-
A ．(0,1)
B ．
C ．，1)(1?
D ． 9．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A ．
122π
π
+ B ．
144π
π
+ C ．
12π
π
+ D ．
142π
π
+ 10．（5分）过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y = 11．（5分）过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与
FQ 的长分别是p 、q ，则
11
p q
+等于( ) A ．2a B ．
12a
C ．4a
D ．
4a
12．（5分）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为( )
》
A ．
3
2
B ．
12
C ．
2
D ．
4
2
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）．
14．（4分）椭圆22194
x y +=的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P
横坐标的取值范围是 ．
15．（4分）设{}n a 是首项为1的正项数列，且22
11(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，
2，3，)?，则它的通项公式是n a = ．
16．（4分）如图，E 、F 分别是正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都填上）
@
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知函数3cos y x x =+，x R ∈．
（
1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图象可由sin y x = ()x R ∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 18．（12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77S =，1575S =，n T 为数列n S n ??
????
的前n 项和，求n T ．
19．（12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，
（1）证明：1C C BD ⊥； （2）当
1
CD
CC 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明． ·
20．（12分）设函数2()1f x x ax =+，其中0a >， （1）解不等式()1f x ；
（2）证明：当1a 时，函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调函数．
21．（12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()p f t =；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t =；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元2/10kg ，时间单位：天）
*
22．（14分）如图，已知梯形ABCD中||2||
AB CD
，点E分有向线段AC所成的比为8
11
，
双曲线过C、D、E
三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．
2000年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合{|A x x Z =∈且101}x --，{|B x x Z =∈，且||5}x ，则A B 中的元
素个数是( )
》
A ．11
B ．10
C ．16
D ．15
【解答】解：由集合A 中的条件可得A 中的元素有：10-，9-，8-，?，1-共10个； 集合B 中的不等式||5x 解得55x -且x Z ∈，所以B 中的元素有：5-，4-，3-，2-，
1-，0，1，2，3，4，5共11个
所以A
B 中的元素有：10-，9-，8-，?，1-，0，1，2，3，4，5共16个
故选：C ．
2．（5分）在复平面内，把复数3对应的向量按顺时钟方向旋转3
π
，所得向量对应的复数是( )
A ．
B ．-
C 3i
D ．3+
【解答】解：由题意知复数3对应的向量按顺时钟方向旋转
3
π， ^
∴旋转后的向量为1(3)[()sin()](333
2cox i ππ
-+-==-． 故选：B ．
3．（5，这个长方体对角线的长是( )
A ．
B ．
C ．6
D
【解答】解：设长方体三度为x ，y ，z ，
则yz zx xy ==
三式相乘得2226,1x y z xyz x y z ==== 故选：D ．
·
4．（5分）已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( )
A ．若α、β是第一象限角，则cos cos αβ>
B ．若α、β是第二象限角，则tan tan αβ>
C ．若α、β是第三象限角，则cos cos αβ>
D ．若α、β是第四象限角，则tan tan αβ> 【解答】解：若α、β同属于第一象限，则02
π
βα<，cos cos αβ<；故A 错．
第二象限，则
2
π
αβπ<，tan tan αβ<；故B 错．
第三象限，则32
π
παβ
<，cos cos αβ<；故C 错． ，
第四象限，则
322
πβαπ<，
tan tan αβ>．（均假定0α，2βπ．)故D 正确． 故选：D ．
5．（5分）函数cos y x x =-的部分图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：设()y f x =，则()cos ()f x x x f x -==-，()f x 为奇函数； 又02
x π
<<
时()0f x <，此时图象应在x 轴的下方
？
故选：D ．
6．（5分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计
算：
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A ．800~900元
B ．900~1200元
C ．1200~1500元
D ．1500~2800元
【解答】解：设收入为S 元，税款为M 元，则 当800S
时，0M =；
￥
当[800S ∈，1300]时，5005%25M =；
当(1300S ∈，2800]时，25150010%175M +=． 题设26.78M =，
故1300(26.7825)10%1317.8S =+-÷=． 故选：C ．
7．（5
分）若1a b >>
，P =1()2Q lga lgb =+，2
a b
R lg +=
，则( )
A ．R P Q <<
B ．P Q R <<
C ．Q P R <<
D ．P R Q <<
【解答】,(),22
a b a b lg Q R ++<
． %
,2
lga lgb
P
Q +<<．
故选：B ．
8．（5分）已知两条直线1:l
y x =，2:0l ax y -=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0,)
12
π
内变动时，a 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．
C ．，1)(1?
D ． 【解答】解：直线1:l y x =的倾斜角为4
π
，令直线2:0l ax y -=的倾斜角为θ，则有tan a θ=
∴过原点的直线1:l y x =，2:0l ax y -=的夹角在(0,
)12
π
内变动时，可得直线2l 的倾斜角的
范围是(
6π，)(44
ππ?，)3π． 2l ∴的斜率的取值范围是3(
，1)(1?，3)，即3
(a ∈，1)(1?，3)， 故选：C ．
/
9．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A ．
122π
π
+ B ．
144π
π
+ C ．
12π
π
+ D ．
142π
π
+ 【解答】解：设圆柱底面积半径为r ，则高为2r π， 全面积：侧面积222[(2)2]:(2)r r r πππ=+ 21
2ππ
+=
． 故选：A ．
10．（5分）过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( ) A ．3y x =
B ．3y x =-
C ．3
y x =
D ．3y x =-
）
【解答】解：如图，圆方程为222(2)1x y ++=， 圆心为(2,0)A -，半径为1， 13
sin ,,26tg πθθθ===
． 故选：C ．
11．（5分）过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与
FQ 的长分别是p 、q ，则
11
p q
+等于( )
A．2a B．1
2a
C
．4a D．
4
a
【解答】解：如图：
,
设PQ直线方程是
1
4
y kx
a
-=，
则
1
x，
2
x是方程2
1
4
ax kx
a
=+的两根，
2222
11111
1
()()
4
p x y x kx x r
a
=+-=+=-，
其中2
1
r k
=+．同理
2
q x r
=．
从而
2
22
1212
2112
2
121212
2
1
()4
()4
()
114
4
1
4
k
x x x x
x x r x x
p q a a
a p q pq x x r x x r r
a
+
+-
--
+
+======
-
．
故选：C．
12．（5分）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为()
&
A
32
B．
1
2
C
2
D
42
【解答】解：如图，设1
OB=，则cot
ODθ
=，sin
AC ADθ
=，2
cos sin cos
ODθθθ
=，
24
11
,
333
DBB ODAA
V cot V DO AC cot cos
π
θπθπθ
''
==?=?
圆锥圆锥
，
由题意知4
1
cos
2
θ=，故知
4
cos
2
θ．
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
`
13．（4分）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 252 种（用数字作答）．
【解答】解：3名主力队员要安排在第一、三、五位置， 其余7名队员选2名安排在第二、四位置，
∴根据分步计数原理共有32
3
732176252A A ==． 故答案为：252．
14．（4分）椭圆22
194
x y +=的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P
横坐标的取值范围是 为：3535
() ． 【解答】解：如图，
设(,)p x y ，则12(5,0),(5,0)F F ，
…
且12F PF ∠是钝角
22222221212(5)(5)20PF PF F F x y x y ?+
22510x y ?++<
2
2
4(1)59
x x ?+-<
293535
5x x ?<
?<<
． 故答案为：3535
()．
15．（4分）设{}n a
是首项为1的正项数列，且22
11(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，
2，3，)?，则它的通项公式是n a =
1
n
． ！
【解答】解：22
11(1)0n n n n n a na a a +++-+=
∴1114(1)1
n n n n n n
a a a n +-±++==+（另解n a -不合题意舍去），
∴
321211
n n a a a a a a n
-?=，即111,,1,2n n a a n a n n ===，
故答案为：
1
n
． 16．（4分）如图，E 、F 分别是正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是 ②③ ．（要求：把可能的图的序号都填上）
【解答】解：因为正方体是对称的几何体，
所以四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面11ABB A 、面11ADD A 上的射影．
~
四边形1BFD E 在面ABCD 和面11ABB A 上的射影相同，如图②所示；
四边形1BFD E 在该正方体对角面的11ABC D 内，它在面11ADD A 上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确 故答案为 ②③
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知函数3cos y x x =+，x R ∈． （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图象可由sin y x = ()x R ∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
—
【解答】解：（1）3cos y x x =+ 2(sin cos
cos sin )66
x x π
π
=+
2sin()6
x π
=+，x R ∈ y 取得最大值必须且只需
26
2
x k π
π
π+
=
+，k Z ∈，
即23
x k π
π=
+，k Z ∈．
所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {|23
x x k π
π=
+，}k Z ∈．
【
（2）变换的步骤是：
①把函数sin y x =的图象向左平移
6π，得到函数sin()6
y x π
=+的图象； ②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数2sin()
6y x π
=+的图象；
经过这样的变换就得到函数cos y x x =+的图象．
18．（12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77S =，1575S =，n T 为数列n S n ??
????
的前n 项和，求n T ．
【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 11
(1)2n S na n n d =+-．
77S =，1575S =，
;
∴1172171510575.a d a d +=??+=?
即11
317 5.a d a d +=??+=?
解得12a =-，1d =．
∴
111
(1)2(1)22n S a n d n n =+-=-+-， 11
12
n n S S n n +-=+， ∴数列{}n S n 是等差数列，其首项为2-，公差为12
， ∴219
44
n T n n =
-． 19．（12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，
:
（1）证明：1C C BD ⊥； （2）当
1
CD
CC 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．
【解答】（1）证明：如图，连接11A C 、AC 和BD 交于O ，连接1C O ．
四边形ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥，BC CD =．
又11BCC DCC ∠=∠，11C C C C =，
!
∴△1C BC ?△1C DC ，
11C B C D ∴=，
DO OB =
1C O BD ∴⊥，（3分） 又AC BD ⊥，1AC
C O O =，
BD ∴⊥平面1AC ，
又1C C ?平面1AC ， 1C C BD ∴⊥．
（6分） |
（2）当
1
1CD
CC =时，能使1A C ⊥平面1C BD ．
1
1CD
CC =，
1BC CD C C ∴==，
又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠， 由此可推得11BD C B C D ==．
∴三棱锥1C C BD -是正三棱锥．（9分）
设1A C 与1C O 相交于G ． 11//AC AC ，且11:2:1AC OC =，
$
1:2:1C G GO ∴=．
又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线，
∴点G 是正三角形1C BD 的中心，
CG ∴⊥平面1C BD ，
即1A C ⊥平面1C BD ．（12分）
20．（12分）设函数()f x ax =，其中0a >， （1）解不等式()1f x ；
（2）证明：当1a 时，函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调函数．
-
【解答】（1）解：不等式()1f x 1ax +， 由此得11ax +，即0ax ，其中常数0a >． 所以，原不等式等价于221(1)0.
x ax x ?++??
即20(1)20x a x a ??-+?
（3分）
所以，当01a <<时，所给不等式的解集为2
2{|0}1a
x x a -； 当1a 时，所给不等式的解集为{|0}x x ．（6分） （2）证明：在区间[0，)+∞上任取1x ，2x
使得22
12121212()()11()x x f x f x x x a x x <-=+-+--
~
22
12
122212
()11
a x x x x =
--+++
()()12
122212911x x a x x ?? ?=--? ?
+++??
分
122
21
2
1,111
a x x <+++且，
∴
12221
2
011
a x x -<+++，
又120x x -<， 12()()0f x f x ∴->，
即12()()f x f x >．
所以，当1a 时，函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调递减函数．（12分）
21．（12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()p f t =；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t =；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元2/10kg ，时间单位：天）
【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
300,0200 ()
2300,200300
t t
f t
t t
-
?
=?
-<
?
（2分）
由图二可得种植成本与时间的函数关系为2
1
()(150)100,0300
200
g t t t
=-+．（4分）
（2）设t时刻的纯收益为()
h t，则由题意得()()()
h t f t g t
=-，
即
2
2
11175
,0200
20022
()
171025
,200300
20022
t t t
h t
t t t
?
-++
??
=?
?-+-<
??
（6分）
当0200
t时，配方整理得2
1
()(50)100
200
h t t
=--+．
所以，当50
t=时，()
h t取得区间[0，200]上的最大值100；
当200300
t
<时，配方整理得2
1
()(350)100
200
h t t
=--+，
所以，当300
t=时，()
h t取得区间(200,300)上的最大值87.5（10分）、
综上，由10087.5
>可知，()
h t在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时50
t=，
即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．（12分）
22．（14分）如图，已知梯形ABCD中||2||
AB CD
=，点E分有向线段AC所成的比为
8
11
，双曲线过C、D、E
三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．
【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD y
⊥轴．
因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．（2分）
依题意，记(,0)A c -，(2
c
C ，)h ，(,0)B c ，
其中c 为双曲线的半焦距，1
||2
c AB =
，h 是梯形的高． 由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为87112819111E c c x c -+
?=
=-+，80811819111
E
h
y h +?==+．（5分）
设双曲线的方程为22221x y a b -=，则离心率c
e a
=．
由点C 、E 在双曲线上， 得22
22
22
22
1144964 1.361361c h a b c h a b ?-=????-=??（10分） 解得2222
114h c b a =-，化简可得229c a =，
所以，离心率2
2
3c e a ==（14分）