状态空间分析法
第9章 线性系统的状态空间分析与综合
?重点与难点
—、基本概念
1. 线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态
反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量
确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动
状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上
的点来表示。
状态方程
状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是 关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空 间表达式一般用矩阵形式表示：
x y
（2） 状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、 传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3） 状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数） 是
确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作 为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性 变换的目的在于使系统矩阵 A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性 变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵 A 化为三种规范形式:
对角形、约当形和模式矩阵。
（4） 线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵
Bu
Du
（9.1）
Ax Cx 结构
图、
（t ）（即矩阵指数e At ）及其性质:
x(k) 1
UkT ))
Dkk)G(T)u(k)
(9.8)
i . (0) I
ii . (t) A (t) (t)A
iii . (t 1 t 2 ) (t 1 ) ( t 2) (t 2)(t 1)
iv. 1
(t) ( t) v.
[(t)]k
(kt)
vi. exp(At) exp(Bt) exp[( A B)t] (AB B
vii .
exp(P 1APt) P 1
exo( At)P (P 非奇异) 求状态转移矩阵 (t)的常用方法:
拉氏变换法
(t) L[(sl
A)1]
级数展开法
At ,
", 1 A 2 2 1"k,k e I
At A t
A t k!
齐次状态方程求解
x(t) (t)x(0)
非齐次状态方程式(9.1)求解
t
x(t) (t)x(0)
0 (t )Bu( )d
(5) 传递函数矩阵及其实现
传递函数矩阵G(s):输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系
1
G(s) C(sl A) 1B D
(9.6)
传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵 G(s)，找一个系统｛代B,C, D ｝使式(9.6) 成立，则将系统｛A, B,C,D ｝称为G(s)的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数 时，称该系统为 G(s)的最小实现。
传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标 准形实现、对角形实现和约当形实现等。
(6) 线性定常连续系统的离散化及其求解
对式(9.1)表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述 为 其中
(T)
(t)tT
T
(9.2)
(9.3)
(9.4)
(9.5)
G仃)0 ( )Bd
离散状态方程式(9.1)的解为
k 1
x(k) k(T)x(0) k1i仃)G(T)u(i) (9.9)
i 0
2.线性系统的可控性与可观测性
(1)系统的(状态)可控性。设系统状态方程为x Ax Bu，若在有限时间间隔
t [t o，t f]内存在无约束的分段连续控制函数U(t)，能使系统从任意初始状态X(t o )转移到任意的终止状态x(t f )，则称系统是状态完全可控的，简称可控。
线性定常连续系统可控性常用判据：
2 n 1
1)rank[B AB A B A B] n (9.10)
2)当A为对角矩阵且特征根互异时，输入矩阵B中无全零行(当矩阵A有相同特征根时不适用)。
当A为约当矩阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵中与约当块最后一
行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零(当相同特征根
分布在两个或两个以上约当块时不适用)。
1
3)(Si A) B的行向量线性无关。
4)单输入系统｛A, B｝为可控标准形。
5)
单输入单输出系统，当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消时，系统可控、可观测(对多输入多输出系统不适用)。
连续系统状态方程离散化后的可控性：连续系统不可控，离散化的系统一定不可控；
连续系统可控，离散化后的系统不一定可控(与采样周期的选择有关)。
(2 )系统输出可控性。设系统状态空间表达式为式( 9.1),若在有限时间间隔
t [t o，t f]内，存在无约束的分段连续控制函数u(t)，能使系统从任意初始输出y(t。)转移到最终内测量到的输出y(tj，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。
输出可控性判据为
rank[CB CAB CA n 1B D] q(C阵的行数)
状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。
单输入单输出系统，若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。
(3)系统状态可观测性。已知输出U(t)及有限时间间隔t [t0,t f]内测量到的输出
y(t)，若能唯一确定初始状态x(t。)，则称系统是完全可观测的，简称可观测。
常用可观测性判据：
x(k) 1UkT))Dkk)G(T)u(k) (9.8)
1）ran k[C T A T C T（A T）n1C T] n （9.11）
2）当A为对角矩阵且有相异特征值时，输出矩阵无全零列（A阵有相同特征值时不适用）。
当A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全为零，输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零（相同特征值分布在两个或更多个约当块时不适用）。
1
3）C（sl A）的列向量线性无关。
4）单输出系统｛A,C｝为可观测标准形。
连续系统离散化后的可观测性：连续系统不可观测，离散化后一定不可观测；连续系统可观测，离散化后不一定可观测（与采样周期的选择有关）。
对偶原理：线性系统S1｛A,B,C｝与S2｛A T,C T,B T｝互为对偶系统。若系统S,可控，则S2可观测；若系统S1可观测，则S2可控。
（4）线性定常系统的规范分解。从可控性、可观测性出发，状态变量可分解为可控
可观测X c o、可控不可观测X co、不可控可观测X co和不可控不可观测X co四类。以此对应将状态空间划分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的规范分解。研究规范分解能更明显地提示系统结构特性和传递特性。
3.线性定常系统的状态反馈与状态观测器
（1）状态反馈与极点配置。用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可控。
状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的极点。
在引入状态反馈后，系统可控性不变，但其可观测性不一定与原系统一致。单输入无零点系统在引入状态反馈后不会出现零极点对消，故其可观测性与原系统保持一致。
（2）输出反馈（到状态微分处）与极点配置。用输出反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可观测。
输出反馈不改变系统的零点。
在引入输出反馈后不改变系统的可观测性，但其可控性不一定与原系统保持一致。
（3）输出到输入参考点的常值增益反馈可以配置的闭环极点数为min｛n,p q 1｝，式中p rankB,q rankC，故一般情况下不能像输出到状态微分处反馈那样任意配置
系统闭环极点。
（4）状态观测器及其设计。若被控系统｛ A,B,C｝可观测，则其状态可用形如
X（A HC）? Bu Hy
（9.1
2）
的全维状态观测器给出估值。矩阵H按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰
减的速率。
分离定理：若被控系统可控可观测，当用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。即矩阵K与H的设计可分别独立进行。
4.李雅普诺夫稳定性分析
(1 )李雅普诺夫意义下的稳定性：
平衡状态：在无外部激励的条件下，系统能维持在某个状态而不变化，即x x违0
则称x e为一个平衡状态。
零状态是线性系统的平衡状态，且当系统矩阵非奇异时，零状态是唯一的平衡状态。
李雅普诺夫稳定性：若要求||x(t o) X e || 0，存在(，t o) 0,只要||X(t°) X e || (t,t o)，上述条件更可满足，则称系统在X e处稳定。
(2 )李雅普诺夫第二法(直接法)：
标量函数V(x)(如二次型函数)的定号性：正定、正半定、负定、负半定、不定。
李雅普诺夫稳定性定理：设系统状态方程为x f(x,t)，其平衡状态满足f (0,t) 0，并设在原点邻域存在V(x,t)对x的连续一阶偏导数，则有
定理1：若V(x,t)正定，V(x,t)负定，则原点是渐近稳定的。
定理2：若V(x,t)正定，V(x,t)负半定，V[x(t；x°,t0),t]在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。
定理3：若V(x,t)正定，V(x,t)负半定，V[x(t；x°,t0),t]在非零状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。
定理4：若V(x,t)正定，V(x,t)正定，则原点是不稳定的。
当平衡状态不在原点时，可通过坐标变换将其置于原点上，坐标变换不改变系统的
固有性质。
(3)线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析。设系统状态方程为x Ax,A为
非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。取二次型函数V(x)作为可能的李雅普诺夫函数，
即
V(x) x T Px
则V(x) x T Qx X T(A T P AP)x
系统渐近稳定的充要条件是：给定一正定实对称矩阵Q，有唯一的正定实对称矩阵P，
A T P AP Q成立。x T Px是系统的一个李雅普诺夫函数。
线性定常离散系统x(k 1) x(k)，零平衡状态x e 0渐近稳定的充要条件是：
任意给定一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程。
T P P Q
纯量函数V[x(k)] x T(k)Px(k)是该离散系统的一个李雅普诺夫函数。如果沿系统任一状态轨迹运动(x(k) 0除外)，其V[x(k)] x T(k)Qx(k)工0，则Q可取正半定矩阵。
二、基本要求1．线性系统的状态空间描述
( 1)正确理解状态空间有关概念。
( 2)熟练掌握建立元件、系统状态空间表达式的方法。
( 3)掌握状态空间表达式向可控、可观测标准形、对角形、约当形等规范形式变换的基本方法。
( 4)熟练掌握系统实现的常用方法。
(5)熟练掌握依状态空间表达式{A,B,C,D}求系统传递矩阵G(s)的方法。
( 6)熟练掌握线性系统状态方程求解方法。特别要掌握状态转移矩阵(t) 的性质及
求取方法。
2．线性系统的可控性和可观测性
( 1)正确理解可控性、可观测性的基本概念。
( 2)熟练掌握判定系统可控、可观测性的充要条件及有关方法。
( 3)理解可控性、可观测性与系统传递函数的关系。
( 4)理解线性系统规范分解的作用和意义，了解规范分解的一般方法。3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器
( 1)正确理解利用状态反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握按系统指标要求确定状态反馈矩阵K 的方法。
( 2)正确理解利用输出反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握指标要求确定输出反馈矩阵H 的方法。
( 3)正确理解分离定理，熟练掌握依状态观测器要求设计观测器的方法，并会用之构成状态反馈控制系统。
4．李雅普诺夫稳定性分析
( 1)正确理解李雅普诺夫稳定性的有关概念。
( 2)初步掌握寻求系统李雅普诺夫函数判定系统稳定性的方法。三、重点与难点
1. 重点
( 1)状态转移矩阵的定义；矩阵指数的求取；状态方程的解。
( 2)系统能控性和能观测性定义的理解；系统能控性和能观测性的判别。
( 3)状态反馈的设计。