专项07 平面直角坐标系综合(解析版)
专项7 平面直角坐标系综合【解析】
1．已知点O(0，0)，B(1，2)．
(1)若点A在y轴的正半轴上，且三角形OAB的面积为2，求点A的坐标；
(2)若点A(3，0)，BC∥OA，BC＝OA，求点C的坐标；
(3)若点A(3，0)，点D(3，－4)，求四边形ODAB的面积．
解：(1)∵点A在y轴的正半轴上，
∵可设A(0，m)．
∵三角形OAB的面积为2，
∵·1
2
m×1＝2，
∵m＝4.
∵A(0，4)．
(2)∵A(3，0)，
∵OA＝3.
∵BC∵OA，BC＝OA，B(1，2)，∵C(4，2)或(－2，2)．
(3)如图，S四边形ODAB＝S三角形ABO＋S三角形OAD＝1
2
×3×2＋
1
2
×3×4＝9.
2．在直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），a，b满足方程组
23
6
a b
a b
+=-
?
?
-=
?
，
C为y轴正半轴上一点，且∥ABC的面积S∥ABC＝6．（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）坐标系中是否存在点P（m，m），使S∥PAB＝1
2
S∥ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【详解】
（1）解方程组
23
6
a b
a b
+=-
?
?
-=
?
得
1
5
a
b
=
?
?
=-
?
，
∵A（1，0），B（﹣5，0），∵AB＝6，
∵S∵ABC＝1
2 AB?OC，
∵6＝1
6
2
OC ??，
解得OC＝2，∵C（0，2）；（2）存在，
∵S∵ABC＝6，S∵PAB＝1
2
S∵ABC，
∵S∵PAB＝1
2
AB?|m|＝3，
∵m ＝±1，
∵P 点坐标为（1，1）或（﹣1，﹣1）．
3．已知∥A′B′C′是∥ABC 平移后得到的，已知∥ABC 三顶点的坐标为A （-2，3），B （-4，-1），C （2，0），∥ABC 中任一点()00P x y ，经平移后得到∥A′B′C′中对应点P′（x 0+5，y 0+3），试求A′，B′，C′的坐标．
解：根据题意三角形ABC 的平移规律为：向右平移5个单位，向上平移3个单位， 则点A ′的坐标为(?2+5,3+3)即(3,6)， 点B ′的坐标为(?4+5,?1+3)即(1,2)， 点C ′的坐标为(2+5,0+3)即(7,3).
4．如图，DEF 是ABC 经过某种变换得到的图形，点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 分别是对应点
，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
()1分别写出点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
() 2若点()P a 3,4b +-与点()Q 2a,2b 3-也是通过上述变换得到的对应点，求a 、b 的值．
()1由图象可知，点()A 2,3，点()D 2,3--，点()B 1,2，点()E 1,2--，点()C 3,1，点()F 3,1--；
对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；
()2由()1可知，a 32a 0++=，4b 2b 30-+-=，
解得a 1=-，b 1=-．
5．如图，(1,0)A -，(1,4)C ，点B 在x 轴上，且3AB =. (1)求点B 的坐标，并画出ABC ?; (2)求ABC ?的面积;
(3)在y 轴上是否存在点P ，使以,,A B P 三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请直接写出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.
【详解】
（1）点B 在点A 的右边时，-1+3=2， 点B 在点A 的左边时，-1-3=-4， 所以，B 的坐标为（2，0）或（-4，0），
（2）∵ABC 的面积=
1
2
×3×4=6； （3）设点P 到x 轴的距离为h ，
则
1
2
×3h=10， 解得h=
203
， 点P 在y 轴正半轴时，P （0，
203）， 点P 在y 轴负半轴时，P （0，-
203
），
综上所述，点P 的坐标为（0，
203）或（0，-203
）．
6．已知平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,23m m -+ (1)当m 为何值时，点P 到x 轴的距离为1? (2)当m 为何值时，点P 到y 轴的距离为2？
(3)点P 可能在第一象限坐标轴夹角的平分线上吗？若可能，求出m 的值；若不可能，请说明理由． 解：()
1点P 到x 轴的距离为1,12311m m ∴+=∴=-，22m =-
()2点P 到y 轴的距离为2,1123m m ∴-=∴=，21m =-
()
3如果点P 可能在第一象限坐标轴夹角的平分线上123,4
m m m ∴-=+∴=-点P 在第一象限
10
m
∴->，230
m+>,14
m m
∴>∴=-不合题意
∴点P不可能在第一象限坐标轴夹角的平分线上．
7．已知点M (39
a-, 4 - 2a)在y 轴负半轴上.（1）求点M 的坐标；（2）求(2 -a)2018+ 1 的值.
解：（1）由题意得
390 420
a
a
?-=
?
-<
?
，
∵
3
2
a
a
=±
?
?
>
?
，
∵ a = 3.
M 点的坐标是(0 , - 2).
（2）由（1）可知a = 3.
(2 -a)2018+ 1，
=(2 - 3)2018+ 1，
=(- 1)2018+ 1，
= 2.
8．已知平面直角坐标系中有一点P(m-1,2m+3)．（1）若点P在第二象限，求m的取值范围；（2）若点P到x轴的距离为3，求点P的坐标.解：（1）由题意可得：m-1＜0，2m+3＞0，
解得：-1.5＜m＜1；
（2）由题意可得：|2m+3|=3，
解得：m=0或m=-3，
当m=0时，点M的坐标为（-1，3）；
当m=-3时，点M 的坐标为（-4，-3）； ∵点P 的坐标为（-1，3）或（-4，-3）.
9．（1）已知点()23,47P x x +-的横坐标减纵坐标的差为6，求这个点到x 轴、y 轴的距离； （2）已知点()23,6A x x --到两坐标轴的距离相等，且在第二象限，求点A 的坐标； （3）已知线段AB 平行于y 轴，点A 的坐标为()2,3-，且4AB =，求点B 的坐标． 解：（1）根据题意得，()()23476x x +--=， 解得，2x =， ∵()7,1P ，
∵这个点到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是7； （2）∵()23,6A x x --在第二象限， ∵230x -<，60x ->，
根据题意得，()236x x --=-，解得，3x =-， ∵()9,9A -；
（3）∵线段AB 平行于y 轴，点A 的坐标为()2,3-， ∵点B 点的横坐标是2-， 又∵4AB =，
∵当B 点在A 点上方时，B 点的纵坐标是347+=，
当B 点在A 点下方时，B 点的纵坐标是341-=-， ∵B 点坐标是()2,7-或()2,1--．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ．连接AC ，BD ． (1)写出点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积.
(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S 三角形PAB ＝S 四边形ABDC ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由；
(3)点Q 是线段BD 上的动点，连接QC ，QO ，当点Q 在BD 上移动时(不与B ，D 重合)，给出下列结论：∥
DCQ BOQ CQO +∠∠∠的值不变；∥DCQ CQO
BOQ
+∠∠∠的值不变，其中有且只有一个正确，请你找
出这个结论并求值.
【详解】
(1)∵将点A ，B 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度， ∵C(0，2)，D(4，2)，AB∵CD 且AB=CD=4， ∵四边形ABDC 是平行四边形， ∵S 四边形ABCD ＝4×2＝8. (2)存在，
设点P的坐标为(0，y)，根据题意，得1
2
×4×|y|＝8.
解得y＝4或y＝－4.
∵点P的坐标为(0，4)或(0，－4).
(3)结论∵正确.
过点Q作QE∵AB，交CO于点E.∵AB∵CD，
∵QE∵CD.
∵∵DCQ＝∵EQC，∵BOQ＝∵EQO.∵∵EQC＋∵EQO＝∵CQO，
∵∵DCQ＋∵BOQ＝∵CQO.
∵
DCQ BOQ
CQO
∠∠
∠
＝1.