概率论与数理统计习题解答——第1章

1 — 5

概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答一一第一章

1 — 1

解：(1)ABC ；(2)ABC ；(3)ABC ；(4)ABC ABC ABC ；

(5)A B C ；( 6)ABC ABC ABC ABC 。

1 — 2

解：(1) A i B ; (2) A e B ; (3) A i BC ; (4) A e ( B U C)

1 — 3

解：1 + 1= 2点，…，6 + 6= 12点，共11种；

样本空间的样本点数：n = 6X 6= 12, 和为 2, A={1,1} , n A = 1 , P(A)=^=丄,

n 36

和为 6, A= {1,5;2,4;3,3;4,2;5,1} , n A = 5 , P(A)= ^ = -^ ,

n 36 和为(2 + 12)/2=7 , A= {1,6; 2,5;3,4;4,3;5,2;6,1} , n A =6 , P(A) = = — = 1 2 n 36 6

和为 8 , A= {2,6;3,5;4,4; 5,3;6,2}, n A = 5 , P(A) =

=—, n 36

和为 12 , A= {6,6} , n A = 1 , P(A)=￥ 二占 出现7点的概率最大

1 — 4 解：只有n = 133种取法,设事件A 为取到3张不同的牌,贝U n A A ；, (1) P(A)= h n A 3 13 创1

2 11 133

132 169 (2) P(A)= 1- P(A) = 37 169

解:

(1) P(ABC)二 P(A)- P(AB)- P(AC)+ P(ABC)二 0.45- 0.10- 0.08+ 0.03= 0.30 (2) P(ABC)= P(AB)- P(ABC) = 0.10- 0.03= 0.07 (3)

v ABC, ABC, ABC 为互不相容事件，参照(1)有

P(ABC U ABC U ABC) =P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)

=P(A)- P(AB)- P(AC)+ P(ABC) + P(B)- P(AB)- P(BC)+ P(ABC) + P(C)- P(AC)- P(BC) + P(ABC)

=P(A) + P(B) + P(C)- 2[P(AB) + P(BC) + P(AC)] + 3P(ABC) =0.45+ 0.35+ 0.30- 2(0.10 + 0.08+ 0.05) + 0.09 =0.73

(4) v ABC, ABC, ABC 为互不相容事件，参照(2)有

P(ABCU ABCU ABC)= P(ABC)+ P(ABC) + P(ABC) =P(AB) + P(AC) + P(BC)- 3P(ABC) =0.10+ 0.08+ 0.05- 3? 0.03 =0.14 (5)

P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)- P(AC)- P(BC)+ 3P(ABC) =0.45+ 0.35+ 0.30- 0.10- 0.08- 0.05+ 3? 0.03 0.90

(5) P(AU BUC)= 1- P(AU BUC) = 1- 0.90= 0.10 。

1-6

解：设A 1, A 2, A 3为(1)、(2)、(3)的事件，由题意知

1-7

解：5卷书任意排列的方法有n =5!种，设事件A = ｛第i 卷书放在两边｝ ,i = 1,2,3,4,5

(1) P(A)= |r = C 10

1 C 2

1

12；

(2) P

(A

2)=C 0 = 2)； (3)

"A 3"

C 4 / C 5

20

C 130

2' 4! 5!= 2

(1) A = ｛第1卷书放在两边｝,n A1 = 4!+ 4!，P(A)二

1- 10

4 1 5

⑵ p(Auc )=p(A )+p(c )-p(Ac )=存石-°=石

(2) (3) (4)

P(AA s ) = 2!' 3! 1 5!

10 ；

2

1

7 P(AUA 5)= P(A)+ P(A 5)- P(AA 5)= 2?

二—

5 10

10

1

9

P (AUA 5)= P (AA)=仁 P (AA 5)=仁 一二三。

1-8

解：这是一个几何概率问题，设折断点为 x, y ,( xv y )

由题意及三角形的特点知:

(1)

折断点在棍内：0< xv y< L ； 折成三段后，每段小于棍的一半: (3)

任两段之和大于棍的一半:

y>

1 , xv L, y-

2

1

2L ， L- x> 1 1 xv L, L- y < L ; 2 2 1 L- y+ x> L ; 2

整理条件:

< x< y< L > ^L 2 衣<1L

2 y- xv 」L ? 2

」L 2

所包含的区域如图，故P(A) =

1-9

解：设 A= {AA}, B = {Aa}, C = {aa}。 (1) P(A) =

200 = 200+ 600+ 50

—,P(B) = 17 600

=Z P (C )=

50

=—

200+ 600+ 50

17

200+ 600+ 50 17

解：设 A = ｛活到20岁｝; B =｛活到25 岁｝, P(A)= 0.8, P(B)= 0.4

显然A?" AIB=B，由题意得p(B|A)=^=器)=0.5

1—11

解：设A =｛第i次取到次品｝, i = 1,2,3。由题意得

90「89 10 P(A傀人)：=P(A,)P(A2|A1)P(A3|A2A1)= 创=0.8256

100 99 98

1—12

解：设A =｛第i人译出密码｝, i = 1,2,3。由题意得

4人上3 P(AU A2U A a)= 1- P(A U A?U 人)=1- P(A)P(A2)P(A3)= 1- - 创 =0.6

5 3 4

1—13

解：设A i =｛第i道工序的合格品｝(i = 1,2,3,4 ),且AAAA相互独立。由题意得PSA2AA)二P(A)P(A2)P(A3)P(A4)

；)][1- P(A4)]

=[1- P(A1)][1- P(A2)][1 - P(A

=(1- 0.005)(1- 0.002)(1- 0.001)(1- 0.008)

=0.984

1—14

解：这是贝努里概型：P n(k)= CnP k(1- P)n-k, (k= 0,1,L , n)，由题意

R(k?1) 1- P.(k= 0) = 1- (1- p)n侈0.95 (1- p)n人0.05 n ? 99

1—15

解：设A、A、A分别为从甲袋取到1个红、白、黑球，设B、B、R分别为从乙袋取到

1个红、白、黑球，由题意知

1- 18

P(AB I UA 2B 2U^B 3)= P(ABJ+ P ?B 2)+P(AB 3) =P(A)P(B I )+ P(A 2)P(B 2)+ P(A)P(BJ

= Z?￡ 2? 10 15?? 25 25 25 25

25 25

1- 16

解：设A 1, A 2 , A 3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产， B 表示为正品。

AI,A 2,A 3构成一个完备事件组，且有 P(A 1)= 0.5, P(A 2)= 0.3, P(A 3)= 0.2 ;

P(B/A) = 9/10, P(B/A 2)

=14/15, P(B/A 3) =

19/20。

(1)由全概率公式

P (B )= ? P (A )P (B /A )= 9

= 0.5?-

14 0.3?- 19

0.2? 0.92

■

10 15 20

(2)由贝叶斯公式

P(A)P(B/AJ 0.5' 0.9 45

P(A/B)_

-

= ---- P(B) 0.92 92

由全概率公式

由贝叶斯公式

1680

P(A 3/B) = P

(A3)P(B/A 3

)= 廻 _?20

= 0.238

P(B)

7056 220' 220

2, 3); B =｛第二次取到3个新球｝。则 G 9G 2

C 3

P (A 0)= 3H P (A)=右，P (A)=好，P (A)= r 12

C 3 C 12 G 12 G 12

0.3312

3

G 3 G 3

P(B)= ? P(A)P(B/A)=苗？汙

G

12 G

12

互？108?

220? 220 220? 220 k= 0

丄？ 220? 220 GG 2?G 3_ G ； 2 1 3 3 3

9 C 3 ? C 7 C 9 ? C 6

3 ? G 3 G 3 ? G 3

C 12 G 12 G 12 G 12

20 7056

；业？ 220 220 220' 220

=0.146

解：设A i,A分别表示甲、乙击中目标，由题意知AI,A2相互独立。

(1 P(AA2)= P(A)P(A2)= 0.8? 0.9 0.72

(2)P(A A U A A)= P(A,A2)+ P(AA)

=P(A)P(A2)+ P(A)P(A) = 0.8? 0.1 0.9? 0.2 0.26

(3)P(AA)=1- P(AA)=1- P(A)P(A2)=1- 0.2? 0.1 0.98

(4)P(AA)= P(A1)P(A2) = 0.2? 0.1 0.02

1- 19

解：与1- 10 题类似。P(B| A)= P(AB)=旦巴二085二 0.9239 P(A) P(A) 0.92

1-20

解法1:设Ai = ｛3000小时未坏｝, (i = 1, 2, 3), A, A, A相互独立，所以

(1) P(AA2A3)= P(A)P(A2)P(AO= 0.83= 0.512

(2) P(^A>A3U AAA3U 入代民)=3P(A1)P(A2)P(AS) = 3创0.82 0.2= 0.384

(3) P(AAA3U AAA3U AAA U AA2A3) = 0.512+ 0.384 = 0.896

解法2:这是n重贝努里概型，P n(k)= C k p k(1- p)n-k, n = 3, p =

(1) P n(k= 3)= c：p k(1- p)n-k= Cs(0.8)3(1- 0.8)3-3= 0.512

(2) P n(k = 2) = C：p k(1- p)n-k = C；(0.8)2(1- 0.8)3- 2 = 0.384

(3) P n(k? 2) R(k= 2)+ P n(k= 3) = 0.512+ 0.384 = 0.896

1-21

解：这是贝努里概型，P n(k)二 C：p k(1- p)n-k, n= 12, p= 7

12

事件设A = ｛>9台同时使用｝P(A) = ?巳(k)? 0.4925

k = 9

1-22

解：

(1)为贝努里概型，设Ai =｛第i个人的血型为O型｝, (i = 1, 2, 3, 4, 5),则恰有2

人血型为O型的概率为

R(k= 2) = C：p k(1- p)n-k二C；P2(1- p)5-2=10创0.462 (1- 0.46)5-2 = 0.3333