导数大题练习带答案

1.已知ｆ(x ）＝x ln x -ax ,g (x )＝－x 2－2,

(Ⅰ)对一切ｘ∈（0,+∞)，f (ｘ）≥ｇ(x )恒成立，求实数ａ的取值范围；(Ⅱ)当ａ＝-１时,求函数ｆ(x ）在[m ,m +３]（ｍ>0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切ｘ∈(0,+∞),都有l ｎx +1＞ex

e x 2

1-

成立. ２、已知函数2

()ln 2(0)f x a x a x

=

+->.(Ⅰ)若曲线y =f (x ）在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x ＋2垂直，求函数y =f (x ）的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有ｆ (x )>2（ａ―１）成立,试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )＝f (x )＋x ―ｂ(b ∈Ｒ）.当ａ=１时，

函数g (x )在区间［e ―１

,e]上有两个零点,求实数b 的取值范围.

3. 设函数ｆ (x )=ln x +（x －a )2,a ∈R .(Ⅰ)若ａ＝0,求函数f (ｘ)在[1,e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1

[,2]2

上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围; (Ⅲ）求函数f (x )的极值点.

?? ? ? 4、已知函数2

1()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =

-++∈R . （Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值;（Ⅱ)求()f x 的单调区间;（Ⅲ)设2

()2g x x x =-,若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得

12()()f x g x <,求a 的取值范围.

5、已知函数())0(2ln 2

>-+=

a x a x

x f (Ⅰ)若曲线y =f (ｘ)在点P (1，ｆ（1))处的切线与直线ｙ=x ＋２垂直,求函数ｙ=ｆ(ｘ)

的单调区间; (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围；

（Ⅲ)记g (x )=f （x )+x -b （b ∈Ｒ).当a =1时,函数g (x )在区间[

]

e ,e 1

-上有两个零点,求

实数b 的取值范围.

６、已知函数1ln ()x

f x x

+=

. (１)若函数在区间1

(,)2

a a +

(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时,不等式()1

k

f x x ≥+恒成立，求实数ｋ的取值范围.

１．解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立,即2ln 2

--≥-x ax x x 恒成立．

也就是+

+≤x x a ln x

2

在),0(+∞∈x 恒成立.………１分 令x

x x x F 2ln )(+

+= , 则F '2

222)

1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分

在)10(，上F '0)(x , 因此，)(x F 在1=x 处取极小值,也是最小值， 即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a ．……４分

(Ⅱ)当时，

1-=a x x x x f +=ln )(, f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21

e

x =

． ………６分 ①当210e

m <

<时,在)1,[2e m x ∈上f '0)(

(2

+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =

处取得极小值，也是最小值. 2

min 1

)(e

x f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+

………８分

②当时21

e

m ≥

，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增, 所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ,

]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分

(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2

ln +∞∈->

+x e

e x x x x x ，………10分 由(Ⅱ)知1-=a 时,x x x x

f +=ln )(的最小值是2

1e

-，当且仅当21

e x =时取得,……１１分 设)),0((2)(+∞∈-=

x e e x x G x ，则G 'x

e

x

x -=1)(,易知

e

G x G 1

)1()(max -==，当且仅当1x =时取到, (2)

但，e e

112

->-

从而可知对一切(0,)x ∈+∞, 都有ex

e x x 2

11ln ->

+成立． ………13分 ２、解：(Ⅰ)直线y =ｘ+２的斜率为1．函数f (x )的定义域为(０,+∞），因为22'()a f x x x

=-

+,所以22'(1)111

a

f =-+=-,所以ａ=1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=．由

'()0f x >解得x >0；由'()0f x <解得0

单调减区间是（0，２).…… 4分

(Ⅱ)22

22'()a ax f x x x x -=-+=, 由'()0f x >解得2

x a

>；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，

在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2

x a

=时，函数f (x ）取得最小值，min 2

()y f a

=. 因为对于(0,)x ?∈+∞都有()2(1)f x a >-成

立,

所以2()2(1)f a a

>-即可. 则

22

ln 22(1)2a a a a

+->-.由2ln a a a >解得20e a <<．所以a 的取值范围是2(0,)e

.? ?

??……………… 8分

（Ⅲ）依题得2

()ln 2g x x x b x

=++--,则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得ｘ＞

１;由'()0g x <解得0

因为函数()g x 在区间[e -１

,e ］上有两个零点,所以1()0

()0(1)0

g e g e g -?≥?≥??

.解得21e 1e b <≤+-．所以b

的取值范围是2

(1,

e 1]e

+-． ? ……………… 13分 3．解：（Ⅰ)f (x )的定义域为(0,+∞)．?

?

……………… 1分

因为1

'()20f x x x

=

+>，所以f (x )在［１,e ］上是增函数， 当x =1时,f (ｘ)取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[１,ｅ]上的最小值为１. ?

?

?……………… ３分

（Ⅱ)解法一:21221

'()2()x ax f x x a x x

-+=+-=

设ｇ (x )=2ｘ2―２a ｘ+１，??

?

??

……………… ４分

依题意,在区间1[,2]2

上存在子区间使得不等式g (x )>0成立.

?…… ５分

注意到抛物线g (x )=2x 2―2ａx +1开口向上，所以只要g (２)＞０,或1()02

g >即可

?

?

???

?……………… 6分

由g （2）＞0,即８―4a +1＞0，得94

a <, 由1()02g >，即1102a -+>,得32

a <, 所以94

a <

, 所以实数ａ的取值范围是9(,)4

-∞．

???……………… 8分

解法二：21221'()2()x ax f x x a x x

-+=+-=,

?……………… 4分

依题意得,在区间1[,2]2

上存在子区间使不等式２x ２

―2ａx +1>０成立.

又因为x >0，所以12(2)a x x

<+. ……………… 5分

设1()2g x x x =+

,所以２ａ小于函数ｇ (ｘ）在区间1

[,2]2的最大值. 又因为1

'()2g x x

=-,

由2

1

'()20g x x

=-

>解得2x >；

由2

1

'()20

g x x =-

<解得02x <<.

所以函数ｇ (x )在区间2)2上递增,在区间1(,22

上递减. 所以函数g （x )在1

2

x =

,或ｘ=2处取得最大值. 又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，9

4

a <

所以实数a 的取值范围是9

(,)4

-∞. ?

……………… ８分

（Ⅲ）因为2221

'()x ax f x x

-+=，令h （x )=2x 2―２a ｘ+1

①显然，当a ≤0时,在(０，＋∞)上h (x )>０恒成立,ｆ '(ｘ)>0,此时函数ｆ (x ）没有极值点； ? ???……………… 9分 ②当a ＞0时，

(i)当Δ≤０，即0a <≤

时,在（0,+∞)上h (x ）≥0恒成立，这时f '(ｘ)≥0,此时,函

数f （ｘ)没有极值点；?

??? ……………… 10分

(ii ）当Δ＞0时，即a >

易知,x <

当02a x <<或2a x >时,h (ｘ）>0，这时ｆ '（ｘ)＞0；

所以，当a >,2a x =是函数ｆ (ｘ)的极大值点；2

a x +=是函

数f (x )的极小值点.?? ? ??

……………… １２分

综上,当a ≤

,函数f (x )没有极值点;

当a >,x =是函数f （ｘ）的极大值点;x =是函数f (x )的

极小值点.

?

4．解：2

()(21)f x ax a x

'=-++

(0)x >. ………1分 (Ⅰ）(1)(3)f f ''=,解得2

3

a =

． ………3分 （Ⅱ)(1)(2)

()ax x f x x

--'=

(0)x >． ………4分

①当0a ≤时,0x >，10ax -<,

在区间(0,2)上，()0f x '>;在区间(2,)+∞上()0f x '<,

故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………5分

②当102a <<

时，1

2a

>,

在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>;在区间1(2,)a

上()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞,单调递减区间是1(2,)a

. ………６分

③当12

a =时，2

(2)()2x f x x -'=，

故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分

④当12a >

时,1

02a <<, 在区间1(0,)a

和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a

上()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是1(0,)a

和(2,)+∞,单调递减区间是

1

(,2)a

. ………８分 （Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………９分

由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当1

2

a ≤

时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+, 所以,222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1

ln 212

a -<≤

.……10分 ②当12a >

时,()f x 在1(0,]a 上单调递增,在1

[,2]a

上单调递减， 故max 1

1

()()22ln 2f x f a a

a

==--

-． 由12a >

可知11

ln ln ln 12e

a >>=-，2ln 2a >-,2ln 2a -<,

所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-. ………12分

5、(Ⅰ)直线ｙ＝x ＋2的斜率为１, 函数f (x ）的定义域为 ()+∞,0

因为x a x x f +-=2'

2)(,所以()11

1212'

-=+-=a f ，所以a ＝1

所以()()2'2,2ln 2x

x x f x x x f -=-+= 由()0'

>x f

解得x ＞2 ; 由()0'

解得0<ｘ<２

所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0 ………4分 (Ⅱ)2

2'

2

2)(x ax x a x x f -=

+-

= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'

所以ｆ(x )在区间),2(+∞a 上单调递增,在区间)2

,0(a 上单调递减

所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2

(min a

f y =

因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立， 所以)1(2)2(->a a

f 即可

则

)1(222ln 22->-+a a a a

，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e

……… ８分

（Ⅲ)依题意得b x x

x g --+=2ln 2)(，则2

2'

2)(x x x x g -+= 由()0'

>x g 解得x >1，由()0'

所以函数g （x ）在区间[

]

e ,e 1

-上有两个零点，

所以??

?

??<≥≥-0

)1(0)(0

)(1g e g e g 解得121-+≤

所以b 得取值范围是]12

,

1(-+e e

……… 12分 6、解:

(１)因为1ln ()x f x x +=

,0x >，则2ln ()x

f x x

'=-， …1分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<. ∴()f x 在(0,1)上单调递增;在(1,)+∞上单调递减, ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分

∵函数()f x 在区间1

(,)2

a a +(其中0a >）上存在极值，

∴1,11,2

a a

?+>??解得

1

12a <<．……….５分

(2）不等式()1k f x x ≥

+，即为(1)(1ln )

x x k x ++≥, ………7分 记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x x

g x x x '++-++-'==

,…9分 令()ln h x x x =-，则1

'()1h x x

=-

，∵1x ≥,∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增, ∴min [()](1)10h x h ==>,从而()0g x '>,故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==,∴2k ≤．………１２分