狭义相对论推导详细计算过程
第5章--狭义相对论(时空观)
L0 = u
的棒， 例2 有一固有长度为 L0 的棒，在S系中沿 x 轴放置。另存在一 ´ 系中沿 轴放置。另存在一S´ 相对S 轴正方向运动。 当棒在S系中沿轴以 系中沿轴以v 系，以 u 相对 系沿 x 轴正方向运动。求：当棒在 系中沿轴以 运动时， 运动时，从S´系中测得该棒的长度为多少？ ´系中测得该棒的长度为多少？ 系中以v 运动时， 解：当棒在 S 系中以 运动时，在 S´系看其速度为 ´
(原长 原长) 原长
l0
o x1
x2
x
o'
x'
S’系中 观测者必须同时测 x1 、2 , 系中: 观测者必须同 同时测 ′ x′
′ ′ ′ ′ t1 = t2 = t′ 得 l′ = x2 − x1 = ?
x2 =
−
x = 1
x′ + ut′ 1 1− β
2
′ x2 + ut′ 1− β 2
1− β 2
可见S认为 的钟慢了， 也认为S的钟慢了 的钟慢了. 可见 认为S’的钟慢了，而S’也认为 的钟慢了 认为
时间延缓在研究介子的寿命时，得到了直接的验证。 时间延缓在研究介子的寿命时，得到了直接的验证。
静止的介子平均寿命为 2.6×10−8 s , 在高能加速器中 过的距离， 过的距离，并不是 Lπ = 0.75c × 2.6 ×10−8 = 5.85m , 而是 8.5± 0.6m 。 介子获得了0.75c 的速度， 的速度， 介子获得了 实验测得 π 介子衰变前通 π
5.3 狭义相对论的时空观
一、同时性的相对性
S’系
′ ′ A(x1, t1)
′ ′ B(x2 , t2 )
′ ′ t2 = t1
′ ′ x2 ≠ x1
狭义相对论
相对论速度变换公式
相对论认为,如果一路沿平直轨道高速行驶的 火车对地面的速度为v,车上的人以速度u'沿着 火车前进的方向相对火车运动,那么这人相对 地面的速度u
u'+v u= u' c 1+ 2
c
u'+v u= u' c 1+ 2
c
理解这个公式时请注意 1.如果车上的人的运动方向与火车的运动方向相反,则u' 如果车上的人的运动方向与火车的运动方向相反, 如果车上的人的运动方向与火车的运动方向相反 ' 取负值 2.如果 如果v<<c, u'<<c ,这时(u'v)/c可忽略不计,这 这时( ' ) 可忽略不计 可忽略不计, 如果 ' 这时 时相对论的速度合成公式可近似变为u=u'+u 时相对论的速度合成公式可近似变为 ' 3.如果 '与u的方向垂直或成其他角度时,情况比较复杂, 如果u' 的方向垂直或成其他角度时, 如果 的方向垂直或成其他角度时 情况比较复杂, 上是不适用. 上是不适用.
以m01和m02分别表示反应粒子和生成粒 子的总的静质量, 子的总的静质量,以Ek1和Ek2分别表示 反应前后它们的总动能.根据能量守恒: 反应前后它们的总动能.根据能量守恒:
m 1c2 + Ek1 = m c2 + Ek 2 o 02 Ek 2 Ek1 = (m m )c2 01 02
表示核反应后粒子总动能的增量, Ek2-Ek1表示核反应后粒子总动能的增量,也就 是核反应所释放的能量, 表示; 是核反应所释放的能量,以△E表示; M01-m02表示经过反应后粒子的总的静质量的减 质量亏损" 表示.所以: 少,叫"质量亏损",以-△m0表示.所以:
狭义相对论的
1 1 1 2 2 2 − 1 − 1 = 2 m 0 c Ek = m A0c − 1 + m B 0 c u2 u2 u2 1− 2 1− 2 1− 2 c c c
M= m A0 u 1− 2 c
2
−
mB 0 u 1− 2 c
2
=
2m0 u2 1− 2 c
这个过程中质量的增量为： 2m0 1 M − 2m0 = − 2m0 = 2m0 ( − 1) 2 2 u u 1− 2 1− 2 c c 显然这个过程质量不守恒，但质能守恒成立。增加的 能量来源于两质点的初动能。即：
c2 dm -u2dm- umdu=0
Ek = ∫(u2dm+mudu)
Ek = ∫ F dx = ∫ c 2 dm = c 2 (m − m0 ) = ∆mc 2
m0 m
以后把m称为质量 称为质量， 称为静止质量。 以后把 称为质量，m0称为静止质量。 1 2 Ek = m c −1 0 u2 1− 2 c
11
4）低速时
1 u2 3u 4 1 2 2 − 1 = m 0 c (1 + + 4 + ⋯ ⋯ − 1) = m 0 u 2 Ek = m0c 2 c 2 8c 2 u2 1− 2 c
相对论动能表示式过渡到经典力学的动能表示式。 2、动量与能量的关系 由质量与速度的关系式：
m= m0 u2 1− 2 c
上式两边取平方并改写为: m2（c2-u2)=m02c2 由 E=mc2、 P=mu 将上式两边乘上 c2 后得： m2c4-m2u2c2=m02c4
12
狭义相对论简单推导
狭义相对论简单推导狭义相对论是爱因斯坦创立的物理学理论，它考虑了时间和空间的相对性，解决了一些奇怪的现象，例如光速不变原理和双胞胎悖论等问题。
在本文中，我们将介绍狭义相对论的一些基本概念和简单推导。
时空的相对性在经典力学中，我们认为时间和空间是绝对不变的。
例如，如果你想要从A点到达B 点，你需要走一定的距离，并且需要一定的时间。
然而，爱因斯坦却发现了这个观点的一个问题，那就是光速。
光速是宇宙中的最快速度，可以达到每秒299,792,458米。
如果我们在地球上以每秒299,792,458米的速度运动，我们会看到光从我们的眼前飞过。
但如果我们运动得更快，例如移动的火车上，我们看到的光速是否有所不同？在经典力学中，我们认为光速是绝对不变的，而不受观察者的运动状态的影响。
然而，爱因斯坦认为光速对每个观察者来说都是相等的，无论他们的运动状态如何。
这个观点被称为光速不变原理。
为了解释光速不变原理，我们需要重新定义时间和空间。
在狭义相对论中，时间和空间是相对的，而不是绝对的。
如果两个事件在一个参考系中同时发生，在相对于这个参考系以不同速度运动的另一个参考系中，这两个事件可能不再同时发生。
这个观点可以通过“钟慢效应”进行解释。
如果你拿着一个时钟站在一个相对静止的地方，一个在高速运动的时钟会比你的时钟慢。
当你们再次相遇时，两个时钟的时间读数将不同。
这个现象是由于高速运动的时钟所处的时空相对于你的时空被压缩了。
这个压缩效应被称为“洛伦兹收缩”。
双胞胎悖论双胞胎悖论是狭义相对论中的一个有趣的问题。
假设你有一对双胞胎，其中一个在地球上，另一个进入了宇宙飞船，并且以接近光速的速度运动。
在飞船上的双胞胎将会看到一些奇怪的现象。
他们的时钟运行得更慢，他们感觉时间过得更慢，并且他们的身体收缩了。
然而，对于地球上的双胞胎来说，他们看到的是飞船双胞胎正在以极快的速度运动，并且时间似乎对他们来说过得更快。
这就形成了一个悖论：到底是哪个双胞胎年龄更大？答案是：地球上的双胞胎年龄更大。
1-3节 狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
vt
o
z z
z'z'
x' x
2
第十四章 相对论
物理学
第五版
s y
y
s'
y'
y'
v
x'
o 'x
* P ( x, y, z )
( x ' , y' , z ' )
vt
o
z z
z'z'
x' x
3
第十四章 相对论
物理学
第五版
速度变换公式
u u x v x uy u y uz uz
牛顿的绝对时空观 牛顿力学的相对性原理
注意
牛顿力学的相对性原理, 在宏观、 低速的范围内,是与实验结果相一致的. 但在高速运动情况下则不适用.
第十四章 相对论
举例如下页 所示： 8
14-3
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换式
对电磁现象的研究表明: 电磁现象所遵从的麦克斯韦方程组 不服从伽利略变换.
真空中的光速
第十四章 相对论
24
二 洛伦兹变换式
1、洛仑兹变换的导出
t t 0
o o 重合 s
z
y
s'
o
z'
y'
v
P( x, y, z, t )
* ( x' , y ' , z ' , t ' )
事件 P 的时空坐标如图所示.
S
寻找
Px, y, z, t
o'
x' x
S Px, y, z, t
狭义相对论的原理
狭义相对论的原理狭义相对论的原理狭义相对论是爱因斯坦于1905年提出的一种物理学理论，它是描述物质和能量之间关系的一种理论。
狭义相对论的原理可以分为以下几个方面：一、光速不变原理光速不变原理是狭义相对论的核心原理之一。
它认为在任何惯性参考系中，光速都是恒定不变的，即无论光源和观察者相对运动的状态如何，光速都保持不变。
这个原理可以用以下公式来表示：c = λf其中c代表光速，λ代表波长，f代表频率。
这个公式说明了在任何情况下，光速都是定值。
二、等效性原理等效性原理认为，在任何加速度下观察到的现象与在重力场中观察到的现象是等价的。
这个原理意味着重力可以被视为加速度。
三、时空相对性原理时空相对性原理认为，在所有惯性参考系中物理规律都应该具有相同的形式。
这个原理意味着时间和空间是相互关联且互不可分割的。
四、质能等价原则质能等价原则是狭义相对论的另一个核心原理。
它认为质量和能量是等价的，即E=mc²。
这个公式说明了质量和能量之间的转换关系。
五、洛伦兹变换洛伦兹变换是狭义相对论中最重要的数学工具之一。
它描述了不同惯性参考系之间时间和空间的变换关系。
洛伦兹变换包括时间、长度、速度和动量等方面。
六、相对性原理相对性原理是狭义相对论的基础之一。
它认为物理规律在所有惯性参考系中都应该具有相同的形式，而没有一个特定的惯性参考系是绝对正确的。
七、时间膨胀时间膨胀是狭义相对论中比较奇特的现象之一。
它指出，在高速运动状态下，时间会变慢，即观察到同一事件所需的时间会增加。
总结：以上就是狭义相对论的原理，其中包括光速不变原理、等效性原理、时空相对性原理、质能等价原则、洛伦兹变换、相对性原理以及时间膨胀等方面。
这些原理共同构成了狭义相对论的理论框架，为我们理解物质和能量之间的关系提供了重要的理论基础。
狭义相对论公式
狭义相对论是物理学家阿尔伯特·爱因斯坦在20世纪初提出的一种理论，用来描述光和物体在高速运动时的相对观测效应。
狭义相对论的主要公式包括：
1.能量-质量关系：E=mc^2，其中E表示物体的能量，m表示物体的质量，c是光速
的常数。
2.动能公式：E_k=mc^2(γ-1)，其中E_k表示物体的动能，γ是Lorentz因子，表示物
体在高速运动时质量的增大程度。
3.观测长度变化公式：L'=L/γ，其中L'表示观测者看到的物体长度，L表示物体在静
止系下的长度。
4.观测时间变化公式：t'=t/γ，其中t'表示观测者看到的物体运动所花费的时间，t表
示物体在静止系下运动所花费的时间。
5.相对论动能公式：E_k=γmc^2，其中E_k表示物体的动能，m表示物体的质量，c
是光速的常数，γ是Lorentz因子。
6.光行差公式：Δt=ΔL/c，其中Δt表示光从物体传播到观测者所花费的时间，ΔL表
示光传播的路程，c是光速的常数。
狭义相对论的五个公式
狭义相对论的五个公式高考物理高分之路《数理天地》高lf1版高考物理高分之路?狭义相对论五个式徐学金(河南省洛阳市第十九中学471000)1.相对长度z—z./1一(一u)V\c,(1)公式中l.是相对于杆静止的观察者测量出的杆的长度,而l可认为是杆沿杆的长度方向以速度7d运动时,静止的观察者测量出的杆的长度,也可以认为是杆不动,而观察者沿杆的长度方向以速度运动时测量出的杆的长度.(2)由公式可知运动的物体长度缩短.注意:杆沿运动方向的长度缩短,而垂直于运动方向上的长度不变.(3)长度的相对性又称为长度缩短.当物体以光速C运动,即一C时,由公式可得l一0,物体缩短为一个点;当物体运动速度q~tl,时,即《C时,由公式可得z—z.,回归到经典力学和经典时空观.例1惯性系S中有一边长为z的正方形(如图(A)所示),从相对S系沿z轴方向以接近光速匀速飞行的飞行器上测得该正方形的图象是(A)(B)(C)(D)(2008年江苏卷)分析由相对论知,沿运动方向的长度变短,垂直于运动方向的长度不变,所以正方形在z轴方向的边长变短,在Y轴方向的边长不变,图象(C)正确.2.相对时间间隔△￡垒三√卜()(1)公式中△r是相对于事件发生地静止的观察者测量同一地点两个事件发生的时间间隔,At则是相对于事件发生地以速度7-)运动的观察者测量同一地点同样两个事件发生的时间间隔.(2)由公式可知,运动的事件变化过程变慢,时问变长,即动钟变慢.钟慢效应不仅仅是时问变慢,物理,化学过程和生命过程都变慢了.(3)当物体运动速度很小时,即《C时,由公式可得At一△r,回归到经典力学和经典时空观.例2A,B,C是三个完全相同的时钟,A放在地面上,B,C分别放在两个火箭上,以速度和朝同一方向飞行,>.在地面上的人看来,关于时钟快慢的说法正确的是()(A)B钟最快,C钟最慢.(B)A钟最快,C钟最慢.(C)C钟最快,B钟最慢.(D)A钟最快,B钟最慢.分析根据狭义相对论的运动时钟的钟慢效应,速度越大,钟走得越慢,(D)正确.,03.相对速度变换公式”一±1+C(1)公式中和”如果满足《C,”《C,,则可忽略不计,这时相对论的速度变换公C式成为”一/d,+,与经典物理学的速度合成公式相同.(2)公式只适用于和V在一条直线上的情况.例3如图所示,强09c05c强乘速度为0.9c(c为光j——b速)的宇宙飞船追赶正前强强光束壮壮方的壮壮,壮壮的飞行速度为O.5c,强强向壮壮发出一束光进行联络,则壮壮观测到该光束的传播速度为()(A)0.4c.(B)O.5c.(C)0.m是物体以速度22运动时的质量. 公式表明,物体的质量随物体运动速度的增大而增大.(2)当《C时,IT/一Ⅲ..也就是说,低速运动的物体,可认为质量与速度无关.(3)对于光子,速度为c,静质量为零.微观粒子,运动速度很大,粒子运动质量远远大于静质量.5.质能方程E—lYt(“.(1)公式中m为运动质量.静止物体的能量—TH.c,称为物体的静质能.每个具有静质量的物体都具有静质能.(2)物体的能量等于静质能与动能之和,即E—Ek+E【】一?HC.物体动能Ek一(E(j一7D7ufm.f2,√一()一(3)当物体质量变化Am时,其能量变化AE—Amc.(4)频率为的光子能量E—hv,由E一“z(1.,可知质量Ⅲ一hv.例4设宇宙射线粒子的能量是其静止能量的k倍.则粒子运动时的质量等于其静止质量的倍,粒子运动速度是光速的分析根据相对论,运动粒子的能量E一.,静止粒子的能量E.一m.c,由运动粒子的能量是其静止能量的k倍可知,粒子运动时的质量等于其静止质量的k倍;由m一—竺=可得k一——,√一().√一()解得粒子运动速度与光速的比值√一1一—一.(上接41页)例3如图3所示,一轻杆可绕过0点的水平轴无摩擦地转动,杆两端各固图3定一个小球,球心到0轴的距离分别为r和r,球的质量分别为m1和Ⅲ2,且Dql>Ⅲ2,r1>r2, 将杆由水平位置从静止开始释放,不考虑空气阻力,求小球摆到最低点时的速度是多少?分析以轻杆两端的小球,组成的系统为研究对象,在摆下的过程中系统机械能守恒.摆到最低点时,其重力势能减少了1gr,动能增加了去,在此过程中,.的厶1动能,势能分别增加了去m.和mgr..根据机厶械能守恒定律能量转移的观点AE一一AE,减少的机械能(即减少的重力势能减去其增加的.4n?动能)等于.增加的动能和重力势能之和,列出表达式为gF1一一一1,-m2v~+m2gr21721grgr,①一l一十’又,m.的角速度cU相同,有口1二==,口2一r2,即一,,17”2所以712摆到最下端时的速度为/2r;g(1r】一2,-2)一√—一?1rj十2r;另外,也可将①式写成如下形式7121gr一:gr.一2+1.z,②②式中左端表示系统重力势能的减少量,右端表示系统动能的增加量,该式从能的转化角度反映了机械能守恒定律.。
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狭义相对论狭义相对论基本原理：1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的。
2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c ，与光源的运动状态无关。
假设S 系和S ’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S ’系沿S 系的x 轴正方向以速度v 相对于S 系作匀速直线运动，x ’、y ’、z ’轴分别与x 、y 、z 轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。
Ⅰ洛伦兹变换现假设，x ’=k(x-vt) ①，k 是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S ’系的坐标变换为S 系，有x=k(x ’+vt) ②，另有y ’=y ，z ’=z 。
将①代入②：x=k[k(x-vt)+vt ’] x=k^2*(x-vt)+kvt ’ t ’=kt+(1-k^2)x/kv 两原点重合时，有t=t ’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S 系，x=ct ，在S ’系，x ’=ct ’，将两式代入①和②：ct ’=k(c-v)t 得 ct ’=kct-kvt 即t ’=(kct-kvt)/c ct=k(c+v)t ’ 得 ct=kct ’+kvt ’ 两式联立消去t 和t ’ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/c c^2=k^2c^2-k^2v^2k=22/11cv -将k 代入各式即为洛伦兹变换： x ’=22/1cv vt x --y ’=y z ’=z t ’=222/1/cv c vx t --或有x=k(x ’+vt ’) x ’=k(x-vt) =k(1+v/c)x ’ =k(1-v/c)x 两式联立，x’=k(1-v/c)k(1+v/c)x ’ k=22/11cv -Ⅱ同时的相对性S 中取A （x 1,y,z,t 1）和B （x 2,y,z,t 2），同时发出一光脉冲信号，即t 1= t 2，且x 1≠x 2。
在S 中，Δt= t 1- t 2=0 在S ’中，t 1’=22211/1/cv c vx t -- t 2’=22222/1/cv c vx t --，Δt ’= t 1’- t 2’=22212/1/)(cv c v x x --，由于x 1≠x 2，则S ’中，Δt ’≠0。
即在S 系中不同位置同时发生的两个事件，在S ’系中看来不是同时发生的。
亦可说明时间和空间是相互联系的。
Ⅲ时间延缓效应（时钟变慢）如Ⅱ中，对于S 系同时发生的两事件，在S ’系中出现了时间间隔，即时间膨胀或延缓。
设S ’系中的x 0’处先后在t 1’和t 2’发生两事件，则Δt ’= t 2’- t 1’。
在S 系中，Δt= t 2- t 1=22202/1/''cv c vx t -+-22201/1/''cv c vx t -+=22/1t'cv -∆＞Δt ’说明在S ’系中，两事件的时间间隔小于在S 系看来的间隔，即在S 系看来，S ’系中的时钟变慢了。
（对于确定的两事件，时间间隔应相同，时间起点相同，S 中观察到的间隔要长一些，便认为是S ’系中的时钟变慢了。
）Ⅳ长度收缩效应（尺缩）S’系中放置一沿x 轴方向的长杆，设两端点的坐标是x 1’和x 2’，则静止长度ΔL ’=ΔL 0= x 2’- x 1’，称为固有长度。
在S 系中要测量长杆的长度，必须同时测出x 1和x 2，即t 1= t 2。
由x 1’=2211/1c v vt x --和x 2’=2222/1c v vt x --得ΔL 0=ΔL ’= x 2’- x 1’=2212/1c v x x --=22/1c v L -∆则ΔL=ΔL 022/1c v -＜ΔL 0即在S 系中观察运动的杆时，其长度比静止时缩短了。
Ⅴ速度变换法则设一质点在两惯性系中的速度分量为 u x =dx/dt u y =dy/dt u z =dz/dt (S 系)u x ’=dx ’/dt u y ’=dy ’/dt u z ’=dz ’/dt (S ’系) 由洛伦兹变换得 dx ’=22/1cv vdt dx --dy ’=dy dz ’=dz dt ’=222/1/cv c vdx dt --前三式分别除以第四式得 u x ’=2/1cvu vu x x --u y ’=222/1/1cvu c v u x y --u z ’=222/1/1cvu c v u x z -- 相应地有， u x =2/1'c vu vu x x ++u y =222/1/1'c vu c v u x y +-u z =222/1/1'c vu c v u x z +-狭义相对论动力学 Ⅵ质速关系设S 系中的x 0处有一静止粒子，因内力分裂为质量相等的A 、B 两部分，且分裂后m A以速度v 沿x 轴正方向移动，m B 以速度-v 沿x 轴负方向移动。
则在S ’系看来m A 静止，即v A ’=0。
而v B ’=2/)(1c v v v v ----=22/12c v v+-，则v= -c^2/v B ’[1-22/'1c v B -]③。
同时质心仍在x 0处未移动，有v 0’= -v 。
由于动量守恒，（m A +m B ）=m A v A ’+m B v B ’，而v A ’=0，则-v= m B v B ’/（m A +m B ）m B /m A =-v/( v B ’+v)= v B ’/( v B ’+v)-1 将③代入上式m B /m A =1/'1''222222--+-cv cc v v B B B=222222222/'1'/'1cv cc v c v c c B B B -+---VBA·mV V S S ’=22/'11c v B -得m B =22/'1cv m B A -，在S 系中二者以相同的速度沿相反方向运动，而在S ’系中，m A静止，可看做静质量（m 0）。
m B 以速率v B ’运动，可视为运动质量，称相对论质量。
则运动物体的质量与其静质量的一般关系即m=220/1cv m -Ⅶ相对论动力学基本方程 相对论动量p=mv=220/1c v v m - （p 、v 均为矢量）物体受力F=dp/dt=d 220/1cv v m -/dt (F 、p 、v 均为矢量)当v<<c 时，即为牛顿第二定律，pmv=F Δt Ⅷ质能关系由Ⅶ知，F= dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt 。
另有dx=vdt经典力学中，质点动能增量即合力做的功，应用的相对论中， E k =⎰Fdx =⎰+dx m dtdvv dt dm )(=⎰+)(2dm v mvdv ④ 对质速方程m=220/1cv m -求微分有dm=dv c v m )'/1(220-=dv c v c v m )'/1()'/11(22220--=dv c v c v m 32220)/1(-将上式与220/1cv m -代入④式，E k =⎰-+-dv c v c v m cv v m ))/1(/1(32223022=⎰-+--dv c v c v m c v c c v vc m ))/1()/1()/1((32223032222220=⎰-dv c v cvm c 322202)/1( （dm 代入此式）=⎰dm c 2=mc^2+C其中C 为积分常量，知v=0时，m=m 0,E k =0，代入求得C= -m 0c^2。
则 E k =mc^2- m 0c^2 = m 0c^2(1/1122--cv ) ⑤当v<<c 时对22/11cv -作泰勒展开，得22/11cv -=1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+……取前两项有E k = m 0c^2（1+ v^2/2c^2-1）= m 0v^2/2，即经典力学动能表达式。
而⑤式可改写为mc^2=E k +m 0c^2，m 0c^2是物体静止时的能量，称物体的静能，而mc^2为物体的总能量。
将总能量用E 表示，写作E=mc^2=2220/1cv c m -即相对论质能关系。
泰勒展开：根据泰勒公式的简单形式，即迈克劳林公式，有f(x)=f(0)+f ’(0)x+f ’’(0)x^2/2!+……+f n (0)x^n/n!。
对于f(v)=22/11cv -f’(v)= 3222)/1(21*2c v c v ---=3222)/1(c v c v-f ’’(v)= 25222*)/1(23*2c v c v c v ---+3222)/1(1c v c - =52242)/1(3c v c v -+3222)/1(1c v c -f 3(v)=427222*)/1(25*6c v c v c v ---+45222*)/1(23c v c v -+252221*)/1(23*2cc v c v --- =72263)/1(15c v c v -+5224)/1(9c v c v -f 4(v)=639222*)/1(2105*2c v c v c v ---+627223*)/1(215c v c v -+47222*)/1(215*2cv c v c v ---+5224)/1(6c v c -+47222*)/1(215*2c v c v c v ---+5224)/1(3c v c - =92284)/1(105c v c v -+72262)/1(90c v c v -+5224)/1(9c v c -此处，f(v)=f(0)+f ’(0)v+f ’’(0)v^2/2!+ f 3(v)v^3/3!+ f 4(v)v^4/4!+……=1+0+v^2/2c^2+0+3v^4/8c^4+…… =1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+…… Ⅸ能量-动量关系将p=mv=220/1cv vm -中的v^2解出，得v^2=220222c m p c p +，代入质能方程，得 E=)/(12202220c m p p c m +-=220222020c m p c m c m +=2202c m p c +则E^2=p^2c^2+m 0^2c^4即相对论能量-动量关系。
同时可知，对于静质量为零的粒子，如光子，有E=pc ，则p=mc^2/c=mc ，与p=mv 比较可得，静止质量为零的粒子总以光速c 运动。
结合普朗克的理论，由E=mc^2=h ν可得到光子的相对论质量m=h ν/c^2。