狭义相对论公式及证明
相对论常用公式
相对论常用公式相对论是现代物理学中的一个重要理论，它的公式可不简单哟！咱先来说说狭义相对论中的一个重要公式——质能方程：E = mc²。
这里的“E”代表能量，“m”是物体的质量，“c”则是真空中的光速。
这个公式可厉害啦，它告诉我们质量和能量其实是等价的。
就比如说，核能的利用就是基于这个公式。
核电站里，通过核反应让一点点质量减少，就能释放出巨大的能量。
想象一下，一小块铀燃料，经过反应，产生的能量能点亮无数家庭的灯，驱动工厂的机器，是不是很神奇？再来讲讲另一个常用公式——洛伦兹变换公式。
这玩意儿用来描述不同惯性参考系之间的时空变换关系。
我记得有一次，我给学生们讲解这个公式的时候，有个调皮的小家伙就问我：“老师，这公式能让我跑得比光还快吗？”我笑着回答他：“孩子呀，根据相对论，有质量的物体是达不到光速的，更别说超过啦。
”然后我详细给他解释了为什么，看着他似懂非懂又努力思考的样子，我心里特别欣慰。
还有相对论中的时间膨胀公式。
假设一个宇航员以接近光速的速度飞行，对于地球上的我们来说，他的时间就会变慢。
这意味着他可能感觉只过了几年，但地球上已经过去了几十年。
说到这，我想起曾经看过的一部科幻电影，里面的主人公经历了高速飞行后回到地球，发现一切都变得陌生，亲人朋友都已老去。
虽然这是电影情节，但它也是基于相对论的原理来构想的。
相对论的这些公式虽然复杂，但它们却揭示了宇宙中一些极其深刻的奥秘。
通过质能方程，我们知道了能量和质量的奇妙转换；洛伦兹变换公式让我们理解了时空的相对性；时间膨胀公式则让我们对时间的概念有了全新的认识。
在我们的日常生活中，虽然不太会直接用到这些公式去计算什么，但它们却影响着我们对世界的认知。
比如GPS导航，就需要考虑相对论效应来进行精确的定位。
总之，相对论的常用公式虽然看似高深莫测，但它们却是人类探索宇宙和理解世界的重要工具。
希望大家能对这些公式保持好奇和敬畏之心，说不定未来的某一天，你就能用它们做出惊人的发现呢！。
狭义相对论几个公式公式推导
狭义相对论几个公式公式推导福建省永春县东关中间小学 陈金江活动物体的长度缩率公式和不合点上的时刻公式推导 爱因斯坦曾假设：“在真空中,光的传播速度相对任何参照系都一样：不管发光体的活动速度若何,也不管光接收体的活动速度若何,光波相对它们的传播速度都是一样的.”不然,我们不雅察到遥远的恒星（特殊是双星）将会产生十分凌乱的现象.依据这个假设,可以推导出：活动偏向上长度的缩率和另参照系看我参照系同时事宜的情况的纪律.设在S 系中看到两条等长线段AB 和A ’B ’,它们分离在S 参照系和S ’参照系.S 和S ’相对活动速度为v 光秒/秒.并且在S 参照系看来：AB=A ’B ’=a 光秒.如图所示：图1设A 和A ’相遇时,A 和A ’会发出闪光,或B 和B ’相遇时,B 和B ’也会发出闪光.我们在S 系看来,因为AB=A ’B ’,所以A 和A ’与B 和B ’是V 光秒/秒A （0秒）B （0秒）QV 光秒/秒ABQ0秒）S’系 S 系B ’A （0秒）同时相遇的,所以它们同时发出闪光.光波将在AB 中点Q 相遇,在S ’系中光波也必在响应点Q ’相遇（因为光波对S ’系的传播速度和S ’活动无关）.因为Q ’点不在A ’B ’的中央,所以在S ’系看来,两次闪光不是同时的.因为B ’发出的光波走的距离B ’Q ’比A ’发出的光波走的距离A ’Q ’ 多.因而是B ’先闪光,A ’后闪光.也就是B 和B ’先相遇,A 和A ’后相遇.A ’和B ’的时刻在S ’系看来是不合时的,而是B ’早,A ’迟.在S ’系中,因为A.A ’和B.B ’不合时相遇,所以S ’系看到的两条段AB 和A ’B ’也不相等.因为 B.B ’先相遇,所以必是A ’B ’>AB.情况如图2所示：t 秒后发出闪光时,A.A ’的时刻数,B.B ’的时刻数与在S 系中看到A （ 秒）B （0秒）V 光秒/秒S’系S 系A ’（0秒）B ’（0秒）V 光秒/秒A ’B ’（t 秒）V 光秒/秒S’系 S 系Q图2P ’的是一样的.光波相遇点Q在AB中的地位比例,Q’在A’B’中的地位比例和在S系中看到的一样,所以其实不抵触.综上所述,在S系看来是同时的事宜,相等的线段,而在S’系中看来倒是不合时,不相等的.那它们有什么纪律呢？在S系看来AB的长度为a光秒,而在S’系看来则缩短了,小于a光秒.同样,在S系看来A’B’也是a光秒,其实也是缩小了的,在S’系中看到的A’B’现实长度要大于a光秒.它们的缩率是相等的,设为n.由图1得,在S系中,从AB发光到光波相遇,两系已相对活动.也就是AB与A’B’的中点错开的距离P’Q’（见图1）因为S系系已把这距离缩短了,在S’系看来应是P’Q’所以在S’系看来B’发出的光波比A秒.假设S’系中看到B.B’相遇发出闪光后,再经由t秒,A.A’才相遇发出闪光.则在S系看到的A’的时刻数应比B’的时刻数多t秒.是以S’系以为B’发出的光波比A’发出的光波多ct光秒.因为活动偏向上长度缩短,所以在S系中看到的AB=A’B’=a光秒,而在S ’系中则看到AB=na光秒,A ’B ’.由图2联立（1）（2）可得方程组：（1）（2）化成： av=c （3）=vnt （4）得到长度缩率公式：代入（1,越往后时刻数越多）：S ’系中有一点P,S 系中有线段AB,S.S ’系的相对速度是v 光秒/秒.当P 遇A 时,P 和A 时光的时刻数都是0秒,如图1所示：S’系P （0秒光秒/秒图1在S 系中,看到经由t 秒后,P 从A 活动到B,AB=vt(光秒),A 和B 的时刻数都是t 秒,P 的时刻数是t ’秒,如图2所示：在S ’系看到这一进程又是若何？S ’系中看到P 是不动的,A.B 在向右活动,因为活动偏向上的线段长度缩短,所以在S ’系中看到.P 在0秒时刻时和A 相遇,A 的时刻数也是0秒（如图3所示）.经由t ’秒后,P 和B 相遇.P 的时刻数是t ’秒,B 的时刻数是t 秒.（如图4所示）t ’P 与B 相遇,经由了t 秒钟,而看到S ’系中的P 在0秒时刻与A 相遇,与B 相遇时,P 上的时刻是t ’秒,即,比t 秒钟缩小.所以时光的缩率也是：A （0秒）S 系B （0秒）P （t ’秒V 光秒/秒S’系 S 系 A （t 秒）B （t 秒） 图2P （0秒A （0秒）B （ 秒）图3S’系 V A （ 秒） B （t 秒）图4即活动物体上的时光缩率公式是：因为在高速（与光速比拟）活动时,活动物体上的长度与时光产生了变更,因而不合参照系中速度的合成也不是简略的v1+v2就可以的.设有三个个惯性坐标系S1.S2.S3,我们在S2不雅察,S1向右活动,S3向左活动,速度分离是v1.v2.某个时刻,三个系的A.B.C三重合于一点,这三点的时刻数都为0秒,t秒后,情况如图1 所示.t秒后此时,t At E这个进程,假如我们在S3系不雅察,将会看到图2情况.S1系S2系S3系V2B（0秒C（0秒）S1系 1S2系S3系A（t A秒）B（t秒）C（秒）D（t秒）E（t E秒）图1S1系S2系S3系A（0秒B（0秒C（0秒）t E秒后开端时,A.B.C重合于一点,时刻数都为0秒.C点不动,B点以V2的速度向右活动,A点以更快的V合速度向右活动.t E秒后,A点活动到S3系的E点处.此时,E点处的时刻数为t E 秒,而A点的时刻数为t A秒.（只有如许,才干和要S2系中看到的情况相一致.）依据t A.t E和V合的关系,可列出方程：双方平方得到：V2S1系合S2系S3系2A（t A秒B（C（t E秒）D（t秒E（t E秒）图21v合2v合2得到速度合成公式：。
相对论核心概念及公式简析
相对论核心概念及公式简析
相对论的核心公式主要围绕狭义相对论和广义相对论展开。
由于篇幅限制，这里无法列出20个公式，但我会尽量涵盖相对论中最重要的公式和概念。
狭义相对论
相对速度公式：
Δv = |v1 - v2| / √(1 - v1v2/c^2)
描述了两个相对运动的物体之间的速度关系。
相对长度公式：
L = Lo * √(1 - v^2/c^2)
描述了运动物体相对于静止观察者看起来缩短的长度。
相对质量公式：
M = Mo / √(1 - v^2/c^2)
描述了运动物体的质量相对于静止物体的增加。
相对时间公式：
t = to * √(1 - v^2/c^2)
描述了运动物体相对于静止观察者所经历的时间膨胀。
能量-质量等价公式（E = mc^2）：
描述了质量和能量之间的等价关系。
广义相对论
爱因斯坦场方程（R_uv - 1/2R g_uv = κ * T_uv）：
描述了物质和能量如何弯曲时空。
其中，R_uv 是里奇张量，R 是里奇标量，g_uv 是度规张量，κ是爱因斯坦常数，T_uv 是能量-动量张量。
测地线方程：
描述了自由下落的物体在弯曲时空中如何运动。
相对论公式
1广义相对论：R_uv-1/2×R×g_-uv=κ×T_-uv2狭义相对论：S（R4，ηαβ）三。
相对速度公式：△v=| v1-v2 |/√（1-v1v2/c^2）4相对长度公式L=Lo*√（1-v^2/c^2）Lo5相对质量公式M=Mo/√（1-v^2/c^2）Mo6相对时间公式t=to*√（1-v^2/c^2）to7质能方程E=mc^2相对论是一种关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立。
根据研究对象的不同，可以分为狭义相对论和广义相对论。
相对论和量子力学给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
相对论极大地改变了人类对宇宙和自然的“常识”概念，提出了“同时相对论”、“四维时空”、“弯曲时空”等新概念。
然而，近年来，人们对物理理论的分类有了新的认识，经典物理和非经典物理是根据其理论是否具有确定性来划分的，即“非经典=量子”。
从这个意义上说，相对论仍然是一个经典理论。
扩展信息：狭义相对论与广义相对论的区别传统上，在爱因斯坦提出相对论的早期，人们用非惯性参照系作为狭义相对论和广义相对论分类的标志。
随着相对论的发展，这种分类方法越来越暴露出它的缺点：参照系与观察者有关，而用这样一个相对的物理对象对物理理论进行分类被认为不能反映问题的本质。
目前人们普遍认为狭义相对论与广义相对论的区别在于所讨论的问题是否涉及引力（弯曲时空），即狭义相对论只涉及那些没有引力效应或可以忽略不计的问题，而广义相对论讨论的是引力效应。
物理学。
用相对论的语言来说，狭义相对论的背景时空是平坦的，即四维平凡流型与闵的度量相匹配，其曲率张量为零，也称为闵时空；而广义相对论的背景时空是弯曲的，其曲率张量不为零。
狭义相对论的简单解释
狭义相对论的简单解释1. 简介狭义相对论是由爱因斯坦于1905年提出的一种物理学理论，用于描述高速运动物体之间的时空关系。
相对论是现代物理学中最重要的理论之一，它在解释宇宙和微观领域中的现象中起着关键作用。
2. 相对性原理狭义相对论基于两个基本原理：相对性原理和光速不变原理。
相对性原理指出，所有惯性参考系下的物理定律都具有相同的形式。
简而言之，无论我们处于任何匀速运动状态下，物理定律都应该保持不变。
这意味着没有绝对静止参照物，只有相对运动。
光速不变原理是狭义相对论的核心概念之一。
它指出，在真空中光速是一个恒定值，与光源和观察者的运动状态无关。
这个恒定值被称为光速常数，通常表示为”c”。
根据这个原理，无论观察者如何移动，他们测量到的光速都将保持不变。
3. 时空观念狭义相对论引入了一种新的时空观念。
传统的牛顿物理学中，时间和空间是绝对独立的，而在相对论中，它们却是相互关联的。
根据狭义相对论，时间和空间不再是绝对的，而是取决于观察者的运动状态。
当一个物体以接近光速运动时，时间会变得更慢，并且长度会在运动方向上收缩。
这种时空关系被称为洛伦兹变换，它描述了不同惯性参考系之间的时空转换规则。
洛伦兹变换包括时间膨胀效应和长度收缩效应。
4. 时间膨胀根据狭义相对论，当一个物体以接近光速运动时，时间会相对于静止参考系变慢。
这被称为时间膨胀。
假设有两个人：A在地球上静止不动，B乘坐一艘以接近光速运行的太空船。
当B返回地球后，他会发现自己的时间比A慢了一些。
这意味着B在太空中度过的时间更少。
这个效应已经通过实验证实，并且与爱因斯坦的理论预测非常吻合。
时间膨胀是狭义相对论中最重要的结果之一，它改变了我们对时间的理解。
5. 长度收缩与时间膨胀类似，根据狭义相对论，当一个物体以接近光速运动时，它在运动方向上的长度会收缩。
这被称为长度收缩。
假设有一艘太空船以接近光速运动，船长为100米。
根据相对论，当我们以地面上的观察者的角度来看这艘太空船时，它的长度将会变得更短。
狭义相对论基本变换公式
t 2 d 2 (vt)2 2 d2 (vt)2 2d 1 (v )2 ( t )2
c
c
c
c t
t t'
1
v2 c2
( t )2 t
t
t
1
v2 c2
我们对于同一个过程算出的时间不一样都是因为认定了光速相对于你我都是c，这样算出的 时间就是不一样的，加入我们认为光速相对于你我不是c是不是就能算出一样的时间来呢， 嗯，的确是的，但是光速在不同参考系中是不会变的，这受到了迈克尔逊莫雷实验以及后
v
v 1 v2 c2
1 v2 c2
这里有一个需要注意的问题：那就是通过尺缩效应容易得到空间坐标之间的变换关系，之 后，根据光速不变原理可以直接得到时间的关系，也算是第二种推导方法吧，那就是对于 一束光x2+y2+z2=c2t2,在第S'系中的坐标应该是x'2+y'2+z'2=c2t'2,既然光线的传播方程 具有这足这个关系，那么光速就不是不变的了，与假设矛盾，因此要这样求解。
运动参考系的空间坐标 在初始时刻，两个坐标系的原点重合，O=O',此时认为t=t'=0，将 钟对准。假如在另一个时刻将时空定格，空间中的一点在S系中是(x,y,z,t)，在S'系中是 (x',y',z',t')，我们的目标是测量出这两个坐标系之间的变换关系，根据引言可知， y=y',z=z'，这个是不变的，否则就违背了惯性系速度方向不变的假设。下面求x方向的坐 标变换关系。
x x ' vt 1 (v)2 c
根据这个长度的关系我们可以推导出时间的关系：
t 1 (x x
相对论公式
相对论公式1. 引言相对论是由爱因斯坦在20世纪初提出的一种理论，它描述了质量和速度对空间和时间的影响。
相对论的核心是一组数学公式，这些公式用来计算物体在高速运动中的时空效应。
在本文档中，我们将介绍相对论中一些重要的公式，并解释它们的意义和用途。
2. 狭义相对论公式狭义相对论是相对论的最基本形式，它适用于不存在引力场的时空。
以下是狭义相对论中一些重要的公式：2.1 洛伦兹变换公式洛伦兹变换是用来描述物体在不同参考系中的时空坐标变换的公式。
它由两个方程组成：x' = (x - vt) / sqrt(1 - v^2/c^2)t' = (t - vx/c^2) / sqrt(1 - v^2/c^2)其中，x和t是物体在一个参考系中的坐标，x'和t'是物体在另一个参考系中的坐标，v是两个参考系之间的相对速度，c是光速。
2.2 相对论能量-动量关系相对论能量和动量之间存在一种特殊的关系，可以用以下公式描述：E = γmc^2p = γmv其中，E是物体的能量，p是物体的动量，m是物体的质量，γ是洛伦兹因子，定义为γ = 1 / sqrt(1 - v^2/c^2)。
3. 广义相对论公式广义相对论是相对论的扩展形式，适用于存在引力场的时空。
以下是广义相对论中一些重要的公式：3.1 时空弯曲公式根据广义相对论，物质和能量会导致时空的弯曲。
时空弯曲可以用爱因斯坦场方程来描述：R_{μν} - 1/2 R g_{μν} + Λ g_{μν} = 8πG T_{μν}其中，R_{μν}是时空的黎曼曲率张量，R是黎曼标量曲率，g_{μν}是时空度规，Λ是宇宙常数，G是引力常数，T_{μν}是物质和能量的能动张量。
3.2 黑洞质量-半径关系在广义相对论中，黑洞是一种极度弯曲时空的天体。
黑洞的质量和半径之间有一种特殊的关系，可以用以下公式表示：r_s = 2GM / c^2其中，r_s是黑洞的事件视界半径，G是引力常数，M是黑洞的质量，c是光速。
相对论公式
1广义相对论：R_uv-1/2×R×g_V=κ×T_V2狭义相对论：S（R4，ηαβ）三个。
相对速度公式：△v=| v1-v2 |/√（1-v1v2/c^2）4相对长度公式L=Lo*√（1-v^2/c^2）Lo5相对质量公式M=Mo/√（1-v^2/c^2）Mo6相对时间公式t=to*√（1-v^2/c^2）to7质能方程E=mc^2相对论是一个关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立。
根据研究对象的不同，可以分为狭义相对论和广义相对论。
相对论和量子力学给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
相对论极大地改变了人类对宇宙和自然的“常识”概念，提出了“同时相对论”、“四维时空”、“弯曲时空”等新概念。
然而，近年来，人们对物理理论的分类有了新的认识。
经典物理和非经典物理按其理论是否确定来划分，即“非经典=量子”。
从这个意义上说，相对论仍然是一个经典理论。
扩展信息：狭义相对论与广义相对论的区别传统上，在爱因斯坦提出相对论的早期，人们用非惯性参照系作为狭义相对论和广义相对论分类的标志。
随着相对论的发展，这种分类方法越来越暴露出它的缺点：参照系与观察者有关，利用这样一个相对的物理对象对物理理论进行分类被认为不能反映问题的本质。
目前，人们普遍认为狭义相对论与广义相对论的区别在于所讨论的问题是否涉及引力（弯曲时空），即狭义相对论只处理没有引力效应或可忽略不计的问题，而广义相对论则讨论引力效应。
物理学。
在相对论的语言中，狭义相对论的背景时空是平坦的，即四维平凡流型与Min的度量相匹配，其曲率张量为零，也称为最小时空；广义相对论的背景时空是弯曲的，其曲率张量不为零。
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狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标： m (x, y, z) 力： N F(f)时间： s t(T) 质量:kg m(M)位移： m r 动量:kg*m/s p(P)速度： m/s v(u) 能量: J E加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I长度： m l(L) 动能：J E k路程： m s(S) 势能：J E p角速度： rad/s ω力矩：N*m M角加速度:rad/s^2α功率：W P一：牛顿力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=E k2-E k1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，E k1+E p1=E k2+E p2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。
同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。
)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。
)(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。
(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
(此处先给出公式再给出证明)(二)洛仑兹坐标变换：X=γ(x-ut)Y=yZ=z(三)速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c2))V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c2))(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)(光源与探测器在一条直线上运动。
)(七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm.(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt(九)质能方程：E=Mc2(十)能量动量关系：E2=E02+P2c2(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。
)三：三维证明：(一)由实验总结出的公理，无法证明。
(二)洛仑兹变换：设(x, y, z, t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y, Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。
在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。
可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。
)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y, z, Y, Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。
当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：X=γ(x-ut)Y=yZ=zT=γ(t-ux/c2)(三)速度变换：V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)同理可得V(y),V(z)的表达式。
(四)尺缩效应：B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ(五)钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c2),故△t=γ(△T+△Xu/c2),又△X=0,(要在同地测量)，故(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。
)(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。
B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v2/c2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
牛顿力学中，v=dr/dt, r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x, y, z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。
即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。
牛顿动量为p=mv, 将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。
定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。
（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）(八)相对论力学基本方程：由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。
（相对论中质量是变量）(九)质能方程：Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv=Mv2-∫mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2=Mc2-mc2即E=Mc2=Ek+mc2(十)能量动量关系：E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c2四：四维证明：(一)公理，无法证明。
(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。
定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。
dS2>0称类空间隔，dS2<0称类时间隔，dS2=0称类光间隔。
相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。
因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。
由数学的旋转变换公式有：（保持y, z轴不动，旋转x和ict轴）X=xcosφ+(ict)sinφicT=-xsinφ+(ict)cosφY=yZ=z当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：X=γ(x-ut)Y=yZ=zT=γ(t-ux/c2)(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。
(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)令r=(x, y, z, ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。
则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。
（以下同理）四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv, icM)四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)四维加速度：ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)则f=mdV/dτ=mω(九)质能方程：f V=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v为三维矢量，且Fv=dE k/dt(功率表达式))故dE k/dt=c2dM/dt即∫dE k=c^2∫dM,即:E k=Mc2-mc2故E=Mc2=E k+mc2关于第六条：通过速度变换和质能方程（E=Mc2）可以导出两个坐标系间的能量变换公式（证明很简单，但很繁琐，就不写了）：E'=γE(1-u*v/c2)(注：u、v都是矢量，u为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做：E'=γE(1-uv（x）/c2))上式对任意粒子都成立，对于光子：E=hν代入得：ν'=γν（1-ucosθ/c） (普遍公式)对于θ=0可得：ν'=νsqr((1-β)/（1+β）) （特例）利用速度变换和动量关系（p=Mv）一样可导出两坐标系之间的动量变换公式：p(x)'=γp(x)(1-u/v(x))p(y)'=p(y)p(z)'=p(z)动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。