狭义相对论新的延伸推导、纵质量、横质量
相对论中的质量与动量
相对论中的质量与动量爱因斯坦是第一位明确表述全部物理学的新运动学基础的物理学家，虽然这种新运动学在Lorentz 的电子论中已经存在了.1905年，通过他对时空间隔概念的批判性考察，这种运动学出现了.基本相互作用统一物理世界图象的方向是爱因斯坦在创立相对论的过程中开辟的.他在解决牛顿力学和电动力学不协调矛盾中没有因循上述的归一思想，他不企图把力学现象和电磁学现象归结为其中任何之一，而是在一个新的时空构架中把两者统一起来.他的狭义相对论实现了在运动学水平上的两者统一.相对论质量公式的简单推导：推导的依据：质量守恒(其实质是能量守恒)、动量守恒、洛伦兹速度变换.设S 系中有两个相同的球A 、B ，其中B 静止，A 以速度v 与B 发生完全非弹性碰撞.S 系：质量守恒： o m m M +=动量守恒：)1.........()(mv V m m MV o =+=所以有：)2..(..........V v m m m o =+ S /系：质量守恒： o m m M +=动量守恒：)3.........()(mv V m m MV o -='+=比较（1）、（3）得： )4(..........V V -=' / o x /由洛伦兹速度变换：2222211111c v v V cvV V v c Vv v V V V c Vv vV V -=-=---=-='∴--='将（2）代入上式：2211c v m m m m m m o o +-=-+ 所以有：221c v m m o -= 证毕. 爱因斯坦狭义相对论，是建立在所谓的惯性系统中的时空理论.惯性是狭义相对论存在的基础，因为在惯性系统内，做匀速直线运动的物体的数学物理方程，才满足线性迭加规律.Lorentz 在1904年已经推导出了电子的纵向质量与横向质量的公式[1]，它们分别是：m L = m / (1 – v 2/c 2)3/2 （1）以及 m t = m / (1 – v 2/c 2) 1/2 （2）爱因斯坦在他1905年的论文《论动体的电动力学》中也推导了电子的“纵”质量和“横”质量（原文中有引号）[2].《论动体的电动力学》的第10节“（缓慢加速的）电子的动力学”中，Einstein 讨论了这个问题.他从运动方程出发，经过洛伦兹—Einstein 坐标变换，得出了一组结果：然后保持“质量×加速度=力”的方程形式，通过比较而导出了电子的纵质量和横质量式中m o 为物体的静质量.Einstein 所得到的纵质量m L 随速度变化的关系与洛伦兹的结果相同，可是横向质量公式写成： m t = m / (1 – v 2/c 2) （3） 公式（3）与Lorentz 的公式（2）不同.爱因斯坦在公式（3）下面有一段文字说明：“采用不同的力与加速度的定义，我们自然会得到其它的质量值.这告诉我们，在比较电子运动的各种理论时，必须十分谨慎地进行.”事实上，爱因斯坦在推导出电子的“纵”质量和“横”质量公式之前，已经明确写出了电子在电磁场中的运动方程式.他当时假定的作用在电子上的力，与Lorentz采用的力的定义是不同的.所以，爱因斯坦在1905年的论文中的“纵”质量公式（3）与Lorentz的公式（2）不同，在当时是允许的，也是可以理解的.二十世纪初期，人们对于电子运动的研究是个新兴学科.当时物理学家注意到作用在电子上的力不仅与加速度有关，还与速度有关，这就需要对牛顿的第二定律（F ＝m a ）的形式进行修改.在这种背景下，物理学家开始尝试性地提出“纵“质量和“横”质量的概念，然后，他们很快认识到这种提法不妥当，就着手从动量的新定义出发，对力的定义作出新的表述.普朗克在1906年著文指出，如果将力表达成动量随时间的变化率，即形式上与洛伦兹的横质量相同，Einstein在后来的论文中采用了这种对质量的新定义.1909年,有个叫Bucherer的德国物理学家证明了相对论质速关系的那个实验!爱因斯坦在1907年发表了长篇论文：“关于相对性原理和由此得出的结论” [3]，其中第三章是质点（电子）力学，他明确地写出了质点的动量表示式.如果采用现代的符号，质点的动量表示式为：p = m v/(1 – v 2/c 2) 1/2（4）爱因斯坦进而把质点动力学方程中的力定义为：F = d p /d t （5）相对论动量表示式（4）和力的定义公式（5）一直延用到今天.公式（5）是牛顿第二定律的推广形式. 值得注意的是，爱因斯坦在1907年的论文中已经不再提及“纵”质量和“横”质量.在相对论力学中，动量表示式（4）是个非常重要的定义，它是牛顿力学的动量定义的发展.在公式（4）中，相对论动量比牛顿力学的动量多了一项因子，(1 – v 2/c 2) -1/2 ，后来被称之为gamma因子.在公式（5）中，质点受到的力不仅与加速度有关，也与速度有关.从公式（5），当质点的速度与加速度的方向平行，以及垂直时，可以作为特例分别推导出质点的“纵”质量和“横”质量.所以，“纵”质量和“横”质量没有普遍性的意义.在相对论中，质点的总能量表示式为：E = mc2/(1 – v 2/c 2) 1/2（6）当质点的速度为零时，公式（6）退化成著名的质能公式：E o=mc2，这里E o 代表静止质点的总能量.注意，爱因斯坦在公式中对质量采用的符号是m ，等同于牛顿力学中的质量， 他很少采用静止质量的提法，也几乎不用符号（ m .）.结合公式（5）和（6），可以得到质点的能量和动量关系式(E /c ) 2 – p 2 = m 2c 2 (7)在公式（7）中，质量m 是一个不变量，它在任何惯性系中都是相同的.现在教科书上，通常把m 称为静止质量.在教科书和科普读物上，把相对论质量M （也称为动体质量）写成：M = m / (1 – v 2/c 2) 1/2 （8）公式（8）常常被称之为质速公式，当质点的速度增加时，质量会随着增大；当质点的速度趋向光速时，质量会增大到无限大.通过公式（8），相对论动量公式（4）可以简写成p = M v ；相对论能量公式（6）可以简写成E = M c 2，这是引入公式（8）的优点.由（7）、（8），可以算出运动物体的动能： ......8321)1/11(240202220202++=--=-=c v m v m cv c m c m m c T第一、四维洛伦兹变换和光速、以及光速不变紧密相连.它可以直接脱胎于电磁学，法国彭加勒是第一个给出该变换的人.该变换固有的适用范围就是四维性质的光电磁.光速不变——它的物理意义就是表述大范围的电磁空间是零曲率的空间.第二、四维洛伦兹变换不能适用于引力方程.洛伦兹变换几乎征服了物理学现有的每一个分支，就是偏偏征服不了引力学.20世纪30年代后随着非线性和分维物理学分支的迅速广泛崛起，洛伦兹变换均被挡在门外.进一步地研究也发现引力空间是最简单的非线性空间——即不等于0的负曲率的空间.这样才划定了洛伦兹变换的适用范围是所有零曲率的空间的物理学分支.在爱因斯坦之前，惯性质量，即物体对运动的惯性阻抗被认为是一个不可改变的量.这符合牛顿形而上学的机械自然观.１８９５年，奥斯瓦尔德在吕贝克自然科学家大会的报告中还提出质量不变的经典观点.时过不久，１９０１年实验物理学家在进行高速运动电子的实验时，发现电子的质量随着速度增加而变大.爱因斯坦在他的相对论中也论证了这一事实.只要是运动物体的速度远低于光速，由于运动所引起的质量增加就不明显.因为在经典力学中，物体很大而运动速度很小，质量的增加往往被忽视.相反，在相对力学中，质量的增加起着重要作用.在其后的时期中，原子物理学家们在大型实验设备上，加速了基本粒子.这些实践证明爱因斯坦的学说是正确的.（1）“质量的相对论变换”公式在1906年已明显地包含于Max Planck 的论文（Verh.dtsch.phys.Gas.,1906,4:136）中，但未引起重视；（2）R.C.Tolman在1911年的论文（Phil.Mag.,1911,21:296）中详细地强调了此“质量的相对论变换”公式；R.C.Tolman后来在他的书《Relativity Thermodynamics and Cosmology》(Oxford,London,1934,1946,1949,1950)中再次写出了此“质量的相对论变换”公式；（3）A.Einstein在1935年的论文“Elementary Derivation of Equivalence of Mass andEnergy”(载Bull.Amer.Math.Soc.,1935,61(4):223-230)中肯定并用到了此“质量的相对论变换”公式.作为说明，W.Pauli在其名著《Theory of Relativity》(Pergamon Press,1950）中写道，“质量的相对论变换”公式“现在是看作为质量的.这一质量依赖于速度的表达式是由Lorentz基于电子也在运动过程中受到一Lorentz收缩这一假定，首先专门对电子的质量导出这个公式.……Lorentz关于质量改变的定律可以从相对论导出，而不必对电子的形状或电荷的分布作任何特殊的假定，这是一大进步.公式（215）对各种质量均适用，所以不必对质量的性质作任何假定.” W.Pauli在注释中特别提到了M.Planck和R.C.Tolman的工作.吴大猷先生在其《相对论》一书中也特别提到了“质量的相对论变换”公式（p90）.吴大猷先生的推导过程与R.C.Tolman和A.Einstein完全一样. “质量的相对论变换”公式是相对论中的一个重要公式，如果Einstein的文章中没有这个公式那倒是奇怪的.1911年至1934的25年间，Einstein正在从事广义相对论方面的工作，无暇在文章中提到这一公式也不奇怪.参考文献[1].Lorentz H A. Electromagnetic Phenomena in a system moving with any velocity less than thatof light. Proc. Sec. Sci., 1904, 6: 809 –831. 中译：相对论原理[M]，科学出版社，赵志田，刘一贯译，1989，6-30.[2]. Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Korper, Ann. Phys., 1905, 17: 891-921.中译：论动体的电动力学[A], 范岱年等译，爱因斯坦文集[M] 北京：商务印书馆，1977，83-115.[3]. Einstein A. Jahrbuch der Radioaltivitat und Elektronik, 1907, 4: 411-462.中译：关于相对性原理和由此得出的结论[A], 范岱年等译，爱因斯坦文集[M] 北京：商务印书馆，1977，150-209.。
《狭义相对论的其他结论》 讲义
《狭义相对论的其他结论》讲义在探讨狭义相对论时，除了广为人知的质能方程和时间膨胀等重要结论外，还有一些同样引人深思且对我们理解这个理论体系至关重要的结论。
首先，我们来谈谈相对论速度叠加。
在经典力学中，速度的叠加是简单的线性相加。
但在狭义相对论中，情况变得复杂得多。
假设一个物体在参考系 S 中以速度 u 沿 x 轴运动，而参考系 S' 相对于 S 以速度v 沿 x 轴运动。
那么在 S' 系中观察到该物体的速度 u' 不再是简单的 u ＋ v 。
相对论速度叠加公式为：u' ＝（u ＋ v) ／（1 ＋ uv ／ c²) 。
这里的 c 是真空中的光速。
当速度 u 和 v 都远小于光速时，这个公式就近似于经典的速度叠加公式。
但当速度接近光速时，相对论效应就变得显著，速度叠加的结果会小于经典预期。
接着，我们说一说相对论质量。
在狭义相对论中，物体的质量不再是一个恒定不变的值，而是会随着物体的运动速度而改变。
相对论质量公式为：m ＝ m₀／√（1 v²／ c²) ，其中 m₀是物体的静止质量，v 是物体的速度。
当物体的速度接近光速时，其质量会趋向于无穷大。
这也就意味着，要将一个有质量的物体加速到光速是不可能的，因为所需的能量会趋向于无穷大。
然后是相对论动量。
相对论动量的表达式为：p ＝ mv ＝ m₀v ／√（1 v²／ c²) 。
与经典力学中的动量不同，相对论动量在高速情况下会表现出与低速时截然不同的特性。
再来看相对论能量。
狭义相对论中的总能量 E 包括了物体的动能和静止能量，其表达式为：E ＝ mc²。
这里的 m 是相对论质量。
当物体静止时，其能量为 E₀＝ m₀c²，这就是物体的静止能量。
而当物体运动时，其能量增加，增加的部分就是动能。
接下来谈谈长度收缩。
假设一个静止长度为 L₀的物体在相对于观察者以速度 v 运动的参考系中，观察者测量到的长度 L 会缩短，其公式为：L ＝ L₀ √（1 v²／ c²) 。
狭义相对论中的质量
狭义相对论中的质量质量这一名词在狭义相对论中通常是指物质在静止时所测量的质量（静质量）。
这个意义的质量与牛顿力学的质量相同。
不变质量是静质量的另一名称，但它通常是指由许多粒子构成的系统。
相对论性质量这一名词也被使用，而这是一个物体所具有的总共能量。
物体的相对论性质量包括了它所具有的动能，因此取决于观察者所处于的参考系。
用词如果一个盒子装有许多粒子，它的重量会随着这些粒子的速率的增加而增加。
盒子里的任何能量被加入盒子的质量中，因此这个盒子的质量受到这些粒子的相对运动的影响。
然而，如果这整个盒子在运动，那么这盒子所具有的动能是不是应该包括在物体的质量当中呢？不变质量不包括盒子的动能，而相对论性质量则包括了盒子的动能。
相对论性质量和静质量都是物理学中的传统概念，但相对论性质量只是总共能量的多余的名称。
一个系统只有在静止时其质量才有可能被测量，但当物体静止时，物体的相对论性质量就是物体的静质量。
物体的不变质量是在一个特定参考系中它所具有的总共能量，而在这个参考系中，该物体是静止的。
这也是不变质量也被称作静质量的缘故。
这个特定的参考系也被称作动量的质心系。
质心系被定义成系统的总动量为零时所处于的参考系。
对于一个合成的物体（由许多更小的物体组成，这些物体可能在运动）和一组没有结合在一起的物体，只要总共的动量是零，相对论性质量便与不变质量相同。
如果一个物体以光速运动，它在任何参考系中都不会静止。
当观察者朝着与这个物体运动的方向加速，该物体所具有的能量会越来越少。
因此，我们可以推测这个物体的静质量是零，而这个物体所具有的质量仅是相对论性质量，一个取决于观察者的质量。
相对论性质量的概念早期的发展：横向与纵向质量约瑟夫·汤姆孙在1881年[1] 承认一个带电的物体比一个没有带电的物体更难加速。
因此静电能量表现成某种电磁质量，增加了物体的机械质量。
之后威廉·维恩（1900）[2]和Max Abraham （1902）[3] 认为一个物体的总共质量与它的电磁质量相同。
狭义相对论推导详细计算过程
狭义相对论狭义相对论基本原理：1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的。
2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c ，与光源的运动状态无关。
假设S 系和S ’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S ’系沿S 系的x 轴正方向以速度v 相对于S 系作匀速直线运动，x ’、y ’、z ’轴分别与x 、y 、z 轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。
Ⅰ洛伦兹变换现假设，x ’=k(x-vt) ①，k 是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S ’系的坐标变换为S 系，有x=k(x ’+vt) ②，另有y ’=y ，z ’=z 。
将①代入②：x=k[k(x-vt)+vt ’] x=k^2*(x-vt)+kvt ’ t ’=kt+(1-k^2)x/kv 两原点重合时，有t=t ’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S 系，x=ct ，在S ’系，x ’=ct ’，将两式代入①和②：ct ’=k(c-v)t 得 ct ’=kct-kvt 即t ’=(kct-kvt)/c ct=k(c+v)t ’ 得 ct=kct ’+kvt ’ 两式联立消去t 和t ’ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/c c^2=k^2c^2-k^2v^2k=22/11c v -将k 代入各式即为洛伦兹变换： x ’=22/1cv vt x --y ’=y z ’=z t ’=222/1/cv c vx t --或有x=k(x ’+vt ’) x ’=k(x-vt) =k(1+v/c)x ’ =k(1-v/c)x 两式联立，x’=k(1-v/c)k(1+v/c)x ’ k=22/11cv -Ⅱ同时的相对性S 中取A （x 1,y,z,t 1）和B （x 2,y,z,t 2），同时发出一光脉冲信号，即t 1= t 2，且x 1≠x 2。
大一狭义相对论知识点总结
大一狭义相对论知识点总结引言狭义相对论是德国物理学家爱因斯坦提出的一种理论物理学理论。
它首先通过爱因斯坦在1905年提出的特殊相对论治疗，引起了物理学家和数学家的广泛兴趣。
特殊相对论的提出，颠覆了牛顿力学对于时间和空间的观念，揭示了新的科学世界。
狭义相对论主要关注的是质点的运动，在匀速直线运动的参考系中，物体的质量与速度之间存在着简单的关系。
这一理论不仅在理论物理学领域引起了巨大的影响，也在实用物理学和工程学中具有重要的应用价值。
下面将围绕狭义相对论的基本概念、数学公式以及实际应用等方面进行详细的介绍。
基本概念相对论的提出突破了以往对于时间和空间的观念，提出了新的物理学理论。
其中最重要的概念之一就是“相对性原理”，它指出物理定律在所有惯性系中都相同的性质。
即使在不同的参考系中，物理定律也是不变的，这就是相对性原理的核心。
在相对论中，时间和空间也都不再是绝对的，而是与观察者的参考系相关的。
因此，相对论是一种与经典力学有着根本区别的物理学理论。
在特殊相对论中，另一个重要的概念是“光速不变原理”，它指出在任何惯性系中，光速都是一个恒定不变的值。
光速的不变性使得时间和空间的测量都变得相对而言，这也是狭义相对论与牛顿力学最大的不同之处。
数学公式狭义相对论涉及到了一些重要的数学公式，这些公式揭示了时间和空间的相对性质。
其中最重要的一条公式就是爱因斯坦提出的质能关系公式，它表示了质量和能量之间的等价关系，在相对论中，质量并不是一个不变的量，不同的观察者会测得不同的质量值。
而质能关系公式则揭示了质量与能量之间的等价关系，它可以用来描述物质的能量转化过程，是狭义相对论中的核心公式之一。
另外，相对论中还有着动量和能量之间的关系，这一点也揭示了物理量在不同惯性系中的变化规律。
总的来说，相对论的数学公式揭示了时间和空间的相对性质，揭示了一种新的物理学理论。
实际应用相对论不仅在理论物理学领域具有重要的理论意义，也在实际的科学研究和工程应用中发挥着关键作用。
最新人教版高中物理选修课件 第三节 狭义相对论的其他结论
m为运动质量 m0为静止质量
m
m0
1
v
2
c
质速关系曲线
微观粒子嘚速度很高，它嘚质量明显嘚大于静止质量．在研究制造回旋加速器时必须考虑相对 论效应嘚影响．
1988年，中国第一座高能粒 子加速器——北京正负电子对撞 机首次对撞成功
例2 如一观察者测出电子质量为2m。， 问电子速度为多少？（m。为电子嘚静止质量）
u = 2.5×108 m/s x
飞船A在K′系中嘚速度为
K′ v
u´
K
B
x
u
x
A
中 国 航 天
中 国 航 天
u´ = x 1
u x v
c
v
u x
2
= 1
2.5×108 2.5×108
= 1.125×108 m/s
2.0×108 ×2.0×108 9.0×1016
结束 目录
练习1 一原子核以0.5c 嘚速度离开一观察 者而运动。原子核在它运动方向上向前发射 一电子，该电子相对于核有0.8c 嘚速度；此 原子核又向后发射了一光子指向观察者。对 静止观察者来讲，
• 质量随速率增加而变大，实验完全证实了这个公式。从质量和速度嘚关系式可以看出，当物体速度趋近 于光速时，质量将趋向无限大。这是不可能嘚。一切物体嘚速度都永远小于真空中嘚光速。
m m0 1 v 2 c
(2)相对论质量 物体嘚运动速度不能无限增加，那么物体嘚质量是否随着速度而变化？
严格嘚论证表明，物体高速（与光速相比）运动时嘚质量与它静止时嘚质量之间有下面嘚关系：
结束 目录
当电子嘚速度为v2=1.0×108 m/s时嘚动能
E
= m c2
k2
狭义相对论解释
狭义相对论解释
狭义相对论是爱因斯坦在1905年提出的一种物理学理论，它主要探讨了时间和空间的相对性，以及质量和能量之间的关系。
在狭义相对论中，时间和空间不再是绝对的，而是相对的，这意味着不同的观察者可能会有不同的时间和空间的体验。
狭义相对论的一个重要结论是光速不变原理，即光速在任何惯性参考系中都是恒定的。
这个结论对于我们理解宇宙的本质和运作方式非常重要。
它告诉我们，光速是宇宙中最基本的常数之一，它不仅仅是一种物理现象，更是宇宙的本质属性。
狭义相对论还揭示了质量和能量之间的等价关系，即著名的质能方程E=mc²。
这个方程告诉我们，质量和能量是可以相互转化的，它们之间存在着一种等价关系。
这个方程的发现对于我们理解宇宙的能量和物质的本质非常重要，它揭示了宇宙中最基本的物理规律之一。
狭义相对论还对时间的流逝提出了新的理解。
在狭义相对论中，时间的流逝是相对的，不同的观察者可能会有不同的时间体验。
这个结论对于我们理解宇宙的时间和空间的本质非常重要，它告诉我们时间和空间不是绝对的，而是相对的。
狭义相对论是一种非常重要的物理学理论，它揭示了宇宙的本质属性和运作方式。
它告诉我们，时间和空间不是绝对的，而是相对的，
光速是宇宙中最基本的常数之一，质量和能量之间存在着一种等价关系。
这些结论对于我们理解宇宙的本质和运作方式非常重要，它们为我们提供了一种新的视角和理解方式。
高中物理 3 狭义相对论的其他结论 4 广义相对论简介教材梳理教案 新人教版选修341
3 狭义相对论的其他结论4 广义相对论简介疱丁巧解牛 知识·巧学一、狭义相对论的其他结论 1.相对论速度变换公式以高速火车为例，车对地的速度为v ，车上的人以u′的速度沿火车前进的方向相对火车运动，则人对地的速度u=2'1'cv u vu ++，若人相对火车反方向运动，u′取负值. 根据此式若u′=c，则u=c ，那么c 在任何惯性系中都是相同的.深化升华 （1）当u′=c 时，不论v 有多大，总有u=c ，这表明，从不同参考系中观察，光速都是相同的，这与相对论的第二个假设光速不变原理相一致.（2）对于速度远小于光速的情形，v<<c ，u′<<c，这时2'c vu 可以忽略不计，相对论的速度合成公式可以近似变为u=u′+v. 联想发散 相对论并没有推翻牛顿力学，也不能说牛顿力学已经过时了，相对论是使牛顿力学的使用范围变得清楚了. 2.相对论质量以速度v 高速运动的物体的质量m 和静止时的质量m 0.有如下关系：m=20)(1cv m -.质量公式实际上是质量和速度的关系，在关系m=20)(1cv m -中，若v=c ，则m 可能是无限大，这是不可能的，尤其是宏观物体，设想物体由v=0逐渐向c 靠拢，m 要逐渐变大，产生加速度的力则要很大，所以能量也要很大.因此，宏观物体的速度是不可能（在目前）增大到与光速相比.但是对于一些没有静止质量的粒子（如光子），它却可以有动质量m. 深化升华 （1）物体的质量随速度的增大而增大；（2）物体运动的质量总要大于静止质量. 误区警示 不要盲目从公式中得出，v=c 时，质量是无穷大的错误结论. 3.质能方程(1)爱因斯坦方程：E=mc 2.(2)质能方程表达了物体的质量和它所具有的能量的关系：一定的质量总是和一定的能量相对应.(3)对一个以速率v 运动的物体，其总能量为动能与静质能之和：E=E k +E 0.那么物体运动时的能量E 和静止时能量E 0的差就是物体的动能，即E k =E-E 0. 代入质量关系：E k =E-E 0=220)(1cv c m --m 0c 2=21m 0v 2. 误区警示 不能把质量和能量混为一谈，不能认为质量消灭了，只剩下能量在转化，更不能认为质量和能量可以相互转变，在一切过程中，质量和能量是分别守恒的，只有在微观粒子的裂变和聚变过程中有质量亏损的情况下才会有质能方程的应用. 二、广义相对论简介1.广义相对性原理和等效原理（1）广义相对性原理：在任何参考系中，物理规律都是相同的.（2）等效原理:一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价.深化升华 一个物体受到使物体以某一加速度下落的力，如果不知道该力的来源，就没有办法判断使物体以某一加速度下落的力到底是引力还是惯性力. 2.广义相对论的几个结论（1）光线弯曲：根据电磁理论和经典光学，在无障碍的情况下，光线是直线传播.但按照爱因斯坦的广义相对论，在引力场存在的情况下，光线是沿弯曲的路径传播的.（2）引力红移：根据爱因斯坦的广义相对论，在强引力场中，时钟要走得慢些.因此，光在引力场中传播时，它的频率或波长会发生变化.理论计算表明，氢原子发射的光从太阳（引力强度大）传播到地球（引力强度小）时，它的频率比地球上氢原子发射的光的频率低，这就是引力红移效应. 典题·热题知识点一 相对论速度例1地球上一观察者，看见一飞船A 以速度2.5×108m/s 从他身边飞过，另一飞船B 以速度2.0×108m/s 跟随A 飞行.求： （1）A 上的乘客看到B 的相对速度； （2）B 上的乘客看到A 的相对速度. 解析：运用相对论速度公式u=2'1'cv u vu ++可解. 答案：（1）-1.125×108m/s (2)1.125×108m/s 知识点二 相对论质量例2一个原来静止的电子，经过100 V 的电压加速后它的动能是多少？质量改变了百分之几？速度是多少？这时能不能使用公式E k =21m 0v 2? 解析：由动能定理可以计算出电子被加速后的动能，再根据E k =mc 2-m e c 2计算质量的变化.答案：加速后的电子的动能是E k =qU=1.6×10-19×100 J=1.6×10-17J.因为E k =mc 2-m e c 2，所以m-m e =E k / c 2.把数据代入得e e m m m -=2831--17)10(3109.1101.6⨯⨯⨯⨯=2×10-4. 即质量改变了0.02％.这说明在100 V 电压加速后，电子的速度与光速相比仍然很小，因此可以使用E k =21mv 2这个公式.由E k =21mv 2可得电子的速度v=m E k 2=31--17109.1101.62⨯⨯⨯m/s≈5.9×106m/s.知识点三 质能方程 例3一核弹含20 kg 的钚，爆炸后生成的静止质量比原来小1/10 000.求爆炸中释放的能量. 解析：由爱因斯坦质能方程可解释放出的能量.答案：爆炸前后质量变化：Δm=100001×20 kg=0.02 kg释放的能量为ΔE=Δmc 2=0.002×(3×108)2J=1.8×1014J. 方法归纳 一定的质量总是和一定的能量相对应.例4两个电子相向运动，每个电子相对于实验室的速度都是54c ，在实验室中观测，两个电子的总动能是多少？以一个电子为参考系，两个电子的总动能又是多少？解析：计算时由电子运动的能量减去静止时的能量就得到电子的动能.若以其中一个电子为参考系，另一个电子相对参考系的质量应当由质速方程求出，但相对速度应当为两个电子的相对速度.答案：设在实验室中观察，甲电子向右运动，乙电子向左运动.若以乙电子为“静止”参考系，即O 系，实验室（记为O′系）就以54c 的速度向右运动，即O′系相对于O 系的速度为v=54c.甲电子相对于O′系的速度为u′=54c.这样，甲电子相对于乙电子的速度就是在O 系中观测到的电子的速度ｕ，根据相对论的速度合成公式，这个速度是u=2'1'c v u v u ++=2545415454ccc cc ⨯++=4140 c. 在实验室中观测，每个电子的质量是m′=2)(1cv m e -=2)54(1cc m e -=35m e . 在实验室中观测，两个电子的总动能为E k 1=2(m′c 2-m e c 2)=2×(35m e c 2-m e c 2)=34m e c 2. 相对于乙电子，甲电子的质量是m″=2)4140(1cc m e -=4.56m e因此，以乙为参考系，甲电子的动能为E k2=m″c 2-m e c 2=4.56m e c 2-m e c 2=3.56m e c 2问题·探究 思想方法探究问题 被回旋加速器加速的粒子能量能无限大吗？ 探究过程：这种问题只能从相对论理论出发进行探究.由相对论质量公式 m=20)(1cv m -看出，当粒子的速度很大时，其运动时的质量明显大于静止时的质量.当加速时粒子做圆周运动的周期必须和交变电压的周期相同，而当交变电压周期稳定时，粒子的速度越来越大，而速度大，半径也大，本不应影响其周期，但是速度大，其运动质量变大，周期也变大了，于是不再同步，所以其能量受到限制，不能被无限加速. 探究结论:被回旋加速器加速的粒子能量不能无限大. 交流讨论探究问题 假设宇宙飞船是全封闭的，宇航员和外界没有任何联系，宇航员如何判断使物体以某一加速度下落的力到底是引力还是惯性力？ 探究过程:郑小伟：宇宙飞船中的物体受到以某一加速度下落的力可能是由于受到某个星体的引力，也可能是由于宇宙飞船正在加速飞行.两种情况的效果是等价的，所以宇航员无法判断使物体以某一加速度下落的力是引力还是惯性力.宋涛：实际上，不仅是自由落体的实验，飞船内部的任何物理过程都不能告诉我们，飞船到底是加速运动，还是停泊在一个行星的表面. 张小红：这个事实告诉我们：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系是等价的.这就是爱因斯坦广义相对论的第二个基本结论，这就是著名的“等效原理”.探究结论:宇航员没有任何办法来判断，使物体以某一加速度下落的力到底是引力还是惯性力.即一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系是等价的. 交流讨论探究问题 对相对论几个结论的理解. 探究过程: 李兵：从运动学的角度进行理解，根据光速不变原理可知光速与任何速度的合成都是光速，速度合成法则不再适用，光速是极限速度.从动力学的角度进行理解，质量是物体惯性大小的量度.随着物体速度的增大，质量也增大，当物体的速度趋近于光速c 时，质量m 趋向无限大，惯性也就趋向无限大，要使速度再增加，就极为困难了.这时，一个有限的力不管作用多长时间，速度实际上是停止增加了.这与速度合成定理u=2'1'cv u vu ++是吻合的，当u′=c 时，不论v 有多大，总有u=c ，这表明，从不同参考系中观察，光速都是相同的. 刘晓伟：根据爱因斯坦质量和速度的关系：m=20)(1cv m -可知，物体的运动的极限速度是光速，当静止质量不为零时，物体的速度永远不会等于光速，更不会超过光速.对于速度达到光速的粒子（如光子），其静止质量一定为零. 张兵：对于速度远小于光速的情形，v<<c ，u′<<c，这时2'c vu 可以忽略不计，相对论的速度合成公式可以近似变为u=u′+v，相对论质量m=m 0，不表现为尺缩效应和钟慢效应，所以牛顿力学是在低速情况下相对论的近似结论.探究结论:光速是运动物体的极限速度，对不同的参考系物体的质量是不同的，光子不会有静止质量.在低速情况下，牛顿力学是相对论结论的近似.。
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关于爱因斯坦狭义相对论中02
1m m v c =
⎛⎫- ⎪⎝⎭
的证明，探讨洛伦兹的纵质量与横质
量与爱因斯坦狭义相对论的联系 作者：王逸源
单位：华北电力大学
摘要：本文通过运用，动量守恒定律，和其相关的一个实验，联系相似性原理，通过数学推导，证明了，狭义相对论的质量关系式。
再深入探讨，结合爱因斯坦相对论中，其它关系式，进一步推导出，与相对论相有关的另一个新的质量关系式。
关键词：相似性原理、新的质量关系式、纵质量、横质量
著名的爱因斯坦狭义相对论中，已经通过数学的方法证明了两个公式，一个公式为：
2
1v t t c ⎛⎫
∆=∆- ⎪⎝⎭
，另一个公式为：2
1v l l c ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，而著名的2
1v m m c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
公式，爱因斯坦并没有给出数学证明，下面通过爱因斯坦的狭义相对论，动量守恒定律等来证明。
全日制普通高中教材的第二册物理书中，学生实验部分有验证动量守恒定律的实验。
这个实验的实验原理是：1、质量分别为1m 和2m 的两个小球，发生正碰，若碰前1m 运动，2m 静止，根据动量守恒有：**111122m v m v m v =+；2、若能测出1m 、2m 及1v 、*1v 、*
2v 代入上式，则可验证碰撞中动量守恒；3、1m 、2m 用天平测出，1v 、*
1v 、*
2v ，用小球碰撞后运动的水平距离代替，（让各小球在同一高度做平抛运动，其水平速度等于水平位移和运动的比值，而各小球运动时间相同，则它们的水平位移之比等于他们的水平速度之比），则动量守恒时112m op m om m on =+（如下图）。
从这个实验，联系相似性原理，在不受其它任何场的影响下，即真空状态下，一个单独小球，小球静止不动时，测出它的质量为0m （静止质量）；当这个小球在真空状态下，以恒定速度v 运动时，有加速过程，取无限远处（不会受到加速过程中，外部条件干扰的地方），不考虑相对论的情况下，则这个单独小球的动量守恒，即：000=-v m v m ，若这个
单独小球经过一段位移0l ，时间间隔为0t ∆，根据上面的实验和相似性原理，动量守恒可以得到：00000=-l m l m ，0
t l v ∆=。
若是考虑相对论，静止质量为0m 的单独小球，以恒定速度v 运动时，小球的质量发生了变化，但我们不知道质量是怎么变化的（注：此时当然不能认为02
1m m v c =
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，而是要
证明它是正确的），那么我们设静止质量为0m 的单独小球，以恒定速度v 运动时，它的质量为3m （上面实验之中有1m 和2m 了），则此时根据动量守恒，即：033=-v m v m ，它还是经过位移0l ，而根据相对论，在观察者眼里，物体以恒定速度v 运动时，0l 会收缩为
2
01⎪⎭
⎫
⎝⎛-=c v l l ，时间间隔0t ∆会变为02
1t t v c ∆∆=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，此时动量守恒则：0300=-l m l m ，
速度00t l v ∆=，将0300=-l m l m 变为003l m l m =，把2
01⎪⎭
⎫
⎝⎛-=c v l l 代入上式，消去0l ，
两边同时除以2
1v c ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则：
m c v m m =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=2
31 得到02
1m m v c =
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，可以看出这个公式的推导过程，是与动量守恒定律，爱因斯坦长
度收缩公式有关，且符合海森堡的海森堡的测不准原理。
海森堡的海森堡的测不准原理，
2
x x p ∆∆≥
，此式是说，对粒子的速度测得越准确，对粒子的位置测量就越不准确，反之
亦然。
通过以上叙述，显然，物体运动过程的动量为p mv =，即02
1m v p v c =
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，在洛伦兹
的理论中，横质量2
2
221
31T e m Rc v c =
⎛⎫- ⎪⎝⎭，纵质量23222
221
31L e m Rc v c =⎛⎫- ⎪⎝⎭
，洛伦兹横质量与爱因斯坦的的02
1m m v c =
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
相似，而与纵质量相似的关系式，在相对论中没有提及，下
面通过相对论，来证明与纵质量相似的*
0322
21m m v c =
⎛⎫- ⎪⎝⎭。
爱因斯坦相对论中，0
21t t v c ∆∆=⎛⎫- ⎪⎝⎭
，2
01v l l c ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，00t l v ∆=，而动量
02
1m v p v c =
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，由此，设在符合相对论的情况下，速度为
2
2002*200
11=1v v l l c c l v t
t v t c ⎛⎫⎛⎫-- ⎪
⎪
⎝⎭⎝
⎭
=
=∆∆⎛⎫∆- ⎪⎝⎭
，而上面已经给出，相对于运动物体的本身而言，00l t v ∆=，则：2*
21v v v c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，再根据动量守恒定律得： **v m p =，则
*0*222221111m v p p m v v v v v v c c c =
==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭， 消去v ，得到：*
0322
21m m v c =
⎛⎫
- ⎪⎝⎭。
这个式子，与洛伦兹的2
32
22
22131L e m Rc v c =
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，非常相似，在爱因斯坦相对论中，关
于时间的公式02
1t t v c ∆∆=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
的推导过程中，爱因斯坦光钟是垂直于速度，而关于长度的
公式2
01v l l c ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的推导过程中，爱因斯坦光钟是平行于速度的，这样，正是一个是纵
向的，一个是横向的。
参考文献
[1] [美]威廉克劳普尔.伟大的物理学家:从伽利略到霍金物理学泰斗们的生平和时代.中国
科大物理系翻译组 译.北京：当代出版社,2007.8：199~204 [2] 人民教育出版社物理室 编著.全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理 第二册.人民教育出版社 出版发行,2003.6：252~253
[2] 人民教育出版社物理室 编著.全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理 第三册.人民教育出版社 出版发行,2003.6：51~52。