由洛伦兹变换推导相对论速度叠加公式
洛伦兹变换速度公式
洛伦兹变换速度公式
洛伦兹变换速度公式是v'x = (vx-vt)/(1-v^2/c^2)^(1/2)，v'y = vy，v'z = (vz-vt)/(1-v^2/c^2)^(1/2)。
其中，v是观察者的速度，c是光速，t是时间，x、y、z是观察者在静止坐标系中的坐标，x'、y'、z'是观察者在移动坐标系中的坐标。
这个公式可以用来计算在相对运动中两个坐标系之间的坐标变换。
例如，如果你在高速火车上向北方移动，那么从地面上的观察者看来，你的位置将会发生偏移。
同样地，如果你在高速移动的飞机上向地面上的某一点投掷一个物体，那么从地面上的观察者看来，物体的轨迹将会发生弯曲。
这些都是洛伦兹变换所描述的现象。
洛伦兹变换公式不仅在狭义相对论中有着重要的应用，在广义相对论中也有着重要的应用。
在广义相对论中，时空被认为是一种弯曲的几何结构，而洛伦兹变换则可以用来描述在不同的弯曲时空之间的坐标变换。
此外，洛伦兹变换也是现代物理学中许多重要概念的基础，如量子力学的波函数、粒子自旋、量子纠缠等，都与洛伦兹变换有关。
因此，洛伦兹变换是现代物理学中非常重要的一个概念。
洛伦兹速度变换
其逆变换式为：
uz
'
uz 1
1
v ux c2
2
u x
ux 'v
1
v ux c2
'
u
y
uy 1
1
v ux c2
'
2
u
z
uz ' 1 2
1
v ux c2
'
5
从相对论速度变换公式，可以得出下列结论：
⑴当速度u,v远小于光速c时，相对论速度变换公式就转化为伽利略 速度变换公式u'=u-v。说明在一般低速情况下，伽利略速度变换是 适用的，只有当u,v接近光速时，才需要相对论速度变换。
⑵相对论速度变换遵循光速不变原理。
令u' c, 解得u
u'v 1 u'v / c
cv 1 cv / c2
c
可见，对K,K'坐标系而言，光速都是c。
6
• 例：
在地面上测得两个飞船A,B分别以+0.9c和-0.9c的速度沿相 反方向飞行，如图所示，求A相对于B的速度大小。
设K系在B上，则B相对于K静止，而地面对K的速度是v=0.9c,以地面为K'，则A 相对于K的速度为u'=0.9c,带入速度变换公式：
x' x vt y' y z' z t' t
推倒得速度变换公式 vpk vpk' vkk'
3
二、相对论速度变换
• 类似于伽利略变换导出速度变换公式，洛伦兹变换也可导出相对论速度变换
公式： 在K坐标系中速度表达式：
ux
dx dt ,uy
dy dt ,uz
洛伦兹变换的推导[1]
![洛伦兹变换的推导[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a829a79d83d049649b665855.png)
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
x vt
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
7
6
x vt
在v << c的情况下，洛伦兹变换过渡到伽利略变换。
从洛伦兹变换中可以看到，x 和t 都必须是实数， 所以速率v必须满足
v 1 2 0 c
或者
2
vc
我们得到了一个十分重要的结论，这就是一切物 体的运动速度都不能超过真空中的光速 c，或者说 真空中的光速c 是物体运动的极限速度。
洛伦兹变换的推导
1
三、狭义相对论的基本原理 1. 狭义相对论的基本原理 （1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中 都保持相同形式的数学表达式，一切惯性系都是等 价的； （2）光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空 中的传播的速率都等于c，与光源的运动状态无关。 这两条原理非常简明，但意义深远。它们是狭义相 对论的基础，其正确性要由它们所导出的结果和实验 事实来判定。
P
r
x
x
y = y
z = z
3
（2）时间变换 将 x = k( x v t ) 代入 x = k(x + vt ) ，得
x k ( x vt ) kvt
2
解出
1 k 2 t kt ( )x kv
当两个坐标系的原点重合时，t = t = 0。这时，如 果在原点处有一点光源发出一光脉冲，S系和S 系都 将观察到光脉冲以速率c向各个方向传播。
2
2. 洛伦兹变换
(完整版)洛伦兹变换的详细推导
第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
大学物理：第11章-相对论1-洛伦兹时空变换和速度合成
(2) 爱因斯坦相对性原理，S 和 S‘ 系相对速度相反，
数学形式相同，x (x ut)
(3) 光速不变原理， t = t’ = 0 ，O(O’)发光 t (t')达 x (x')
满足 x = ct, x' = ct'
(4) 可得 ct' = (ct – ut) = (c – u)t
光速不变，大小仍为 c
tg | vx | | vy | u / c 1 u2 / c2 u / c 104, 20.6
洛仑兹变换：
运动的火车中
地面上看运动的火车中
u : S ' 相对于 S，火车的速度
力与参照系无关 力学规律与参照系无关
在牛顿力学中，时间是绝对的。 在牛顿力学中，长度是绝对的。 在牛顿力学中，速度是相对的。
二、爱因斯坦相对性原理和光速不变原理： 1. 时代背景： 迈克斯韦方程组预言电磁波，导出真空电磁波速 c 1/ 00 2.99108 m/s ，光（电磁波）速不变
若 S 系的真空光速为 c，S' 系相对于 S 系以速度 u 运动，则 S‘ 系中观测到的真空光速为 c + u 或 c – u 。
但是，从麦克斯韦方程中得到的光速与参考系无关
牛顿的绝对时空观遇到了问题：
那么，我们该怎么办？ 既要满足牛顿伽利略，又要满足麦克斯韦 权宜之计：绝对参考系！
我们都相对于此特殊参考系运动而不自知 在介质的海洋中随波逐流，误以为光速不变
此特殊介质就是以太！ 寻找以太的实验：迈克尔逊-莫雷实验
设地球在绝对参考系中（以太中）的速率为u，地球 上沿不同方向传播的光相对于地球上的观察者速度 应该有所差别，精密光学实验可以测量这种差别。
洛伦兹变换的三个公式
洛伦兹变换是狭义相对论中描述时间和空间之间的关系的数学工具，可以用来描述相对论速度变换以及时间和空间的相对性。
洛伦兹变换有三个主要的公式，分别是：
时间间隔的洛伦兹变换公式：Δt' = γ(Δt - vΔx/c^2) 其中，Δt' 是观测者在运动的参考系中测得的时间间隔，Δt 是静止参考系中的时间间隔，v 是两个参考系之间的相对速度，Δx 是两个参考系之间的相对位置，c 是光速，γ是洛伦兹因子，其值为γ= 1/√(1 - v^2/c^2)。
空间坐标的洛伦兹变换公式： x' = γ(x - vt) 其中，x' 是观测者在运动的参考系中测得的空间坐标，x 是静止参考系中的空间坐标，v 是两个参考系之间的相对速度，t 是时间。
时间坐标的洛伦兹变换公式： t' = γ(t - vx/c^2) 其中，t' 是观测者在运动的参考系中测得的时间坐标，t 是静止参考系中的时间坐标，v 是两个参考系之间的相对速度，c 是光速，γ是洛伦兹因子，其值为γ = 1/√(1 - v^2/c^2)。
这些公式描述了时间和空间之间的变换关系，在相对论中起到了重要的作用。
它们表达了相对论效应，如时间膨胀和长度收缩，以及相对速度的影响。
通过使用洛伦兹变换，我们可以更准确地描述和理解高速运动物体的运动和相互作用。
洛伦兹变换的详细推导
精心整理第三节洛伦兹变换式教学内容：1.洛伦兹变换式的推导；2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211cvcvxttzzyycvvtxx据狭义相对论的两个1.时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间的，因此时空对于任意的时空坐标(x，y，z，t)、(x'，S以平行于x轴的速度v作,z'=z。
在S系中在S'系中观察该点，x'=-v t'，x'+v t'。
在任意的：x=k（x'+v t'），k是—比例常数。
同样地可得到：x'=k'（x-v t）=k'（x+(-v)t）根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。
2.由光速不变原理可求出常数k????设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：x=c t,x'=c t'，则：由此得到()22211cvvcck-=-=。
这样，就得到()21c v vt x x --='，()21c v t v x x -'+'=。
由上面二式，消去x '得到()221c v c vx t t --='；若消去x 得到()221c v c x v t t -'+'=，综合以上结果，就得到洛仑兹变换，或洛仑兹反变换可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。
洛伦兹变换的详细推导
第三节洛伦兹变换式教学内容：1.洛伦兹变换式的推导；2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导1.时空坐标间的变换关系x=0；在S'系中观察该点，x'=-v t'，即x'+v t'=0。
因此x=x'+v t'。
在任意的一个空间点上，可以设：x=k（x'+v t'），k是—比例常数。
同样地可得到：x'=k'（x-v t）=k'（x+(-v)t）根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。
2.由光速不变原理可求出常数k设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：x=c t,x'=c t'，则：由此得到()22211c v vc c k -=-=。
这样，就得到()21c v vt x x --='，()21c v t v x x -'+'=。
由上面二式，消去x '因此得相对论的速度变换公式： 21c vu v u u x x x --='、()2211c vu c v u u x y y --='、()2211c vu c v u u x z z --='其逆变换为：21c u v v u u x x x '++'=、()2211c u v c v u u x y y '+-'=、()2211c u v c v u u x z z '+-'=。