相对论速度变换
4、相对论的速度变换公式
1966年用 子作了一个类似于双生子旅游的实验， 1966年用μ子作了一个类似于双生子旅游的实验， 子沿一直径为14米的圆环运动再回到出发点， 14米的圆环运动再回到出发点 让μ子沿一直径为14米的圆环运动再回到出发点，实 子寿命更长。 验结果表明运动的μ子的确比静止的μ子寿命更长。
1971年 1971年，科学家将铯原子钟放在喷气式飞机中作 环球飞行，然后与地面的基准钟对照． 环球飞行，然后与地面的基准钟对照．实验结果与理 论预言符合的很好．这是相对论的第一次宏观验证。 论预言符合的很好．这是相对论的第一次宏观验证。
相对论时空观 同时的相对性 运动的时钟变慢 运动的尺子变短 质量随速度的增大而增大
时间和空间彼此独立, 时间和空间相互关联， 时间和空间彼此独立, 时间和空间相互关联，质 互不关联， 互不关联，且不受物 量随物体的运动状态的改 变而改变。 变而改变。 质或运动的影响。 质或运动的影响。
注意：速度要接近光速时，相对论效应才会明显。 注意：速度要接近光速时，相对论效应才会明显。
E0 = m0c
2
二、相对论的质量和能量
E0 = m0c
2
二、相对论的质量和能量
根据狭义相对论可得出： 根据狭义相对论可得出：
E = mc
m=
2
m0 v2 1− 2 c
2
E0 = m0c
ABC
m=
m0 v2 1− 2 c
物理世界奇遇记》 《物理世界奇遇记》 ----城市速度极限
1
汤普金斯先生
按相对论时空观： 按相对论时空观：
u + v′ 0.9c + 0.5c v= = = 0.966c < c uv ′ 0.9c × 0.5c 1+ 2 1+ 2 c c
相对论的速度变换
P =mv
E = mc
2
2
c v= P E
m0c
2 2
2
E = mc =
v 1− 2 c
=
m0c
2 4
1 c 2 1− 2 2 P c E
2 c 2 2 2 4 E 1 − 2 P = m0 c E
28
解得：
2 4 E 2＝ P 2 c 2 + m 0 c
或：
E = ( Pc) + E0
●按相对论，粒子间相互作用时，满足能量守 恒关系：
∑ E = ∑ (m c ) = const
2 i i i i
∑ m = const
i i
说明物质间相互作用时质量守恒。 如原子核反应中质量守恒：
∑m + ∑m = ∑m '+ ∑m
0 k 0
k
'
反应前后静质量和动质量可以相互转化。
23
例：氢弹核聚变反应引起的质能变化
1
2
1 v2 ≈ 1+ 2 2c
m0 2 2 ∴ EK = m0c + v − m0c 2
2
1 2 = m0v 2
●根据 EK = mc − m0 c
2 2
牛顿力学动能公式
=
m0 v 1− 2 c
2
c − m0c
2
2
17
得到粒子速率由动能表示的关系：
−2 E 2 2 v = c 1 − 1 + K 2 m0c
v v dt − dx 1 − u x dx − vdt u x − v c = c dt dx′ = dt dt ′ = = 2 2 1− β 2 1− β 2 1− β 1− β
4-2 相对论速度变换公式 modified
2 ′ 1 v u / c − ⋅ dt x , = dt 1 − v2 / c2
1− β 2 . u’ 和u 之间的变换关系 y y v 1 − 2 ux c
1− β 2 同 理 ， u ′z = . u’z和uz之间的变换关系 v 1 − 2 ux c uz
5/16
洛仑兹速度变换式
u = (ux , u y , uz )
x
u = u '+ v
x′
在 K′系来看，P的速度为： u ' = ( u ' x , u ' y , u ' z ) 在经典伽利略变换下，速度满足：
速度分量满足：？….
问题: 在洛仑兹坐标变换下， u 和 u’ 之间满 足什么关系？
2/16
洛仑兹速度变换
从最根本的定义出发，进行推导。
洛仑兹速度变换式讨论
d . 在洛仑兹速度变换下，光速不变。 K’系相对K系沿X轴 正向以v运动， 设在K系中, 光沿x轴传播， 即光速ux＝c, uy＝0, uz＝0, 根据洛仑兹速度变换，
O
y K
y′
K'
v
c
O′
x′ x
ux − v c−v u′x = = 2 2 1 − v ⋅ ux / c 1 − v ⋅ c / c
例题：设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行（沿x 轴），如果在飞船上沿y方向发射一光子， 问：从地面上看，光子速度如何？
K'
解： 选择地面参考系为K系， 飞船参考系为K’系
K
v
c
∴ v = 0 .8 0 c
在飞船（K’系）中，光子速度：
v
uz ' = 0.
如何计算相对论速度
如何计算相对论速度相对论速度是研究物体在相对论条件下的运动速度的一项重要概念。
相对论指的是狭义相对论，由爱因斯坦在20世纪初提出，它对光速不变性和时间、空间的相对性做出了革命性的解释。
在相对论中，物体的速度不再是简单的相对位移除以时间，而是需要考虑时间、空间的相对变化以及光速不变的特性。
相对论速度的计算涉及了一些复杂的数学公式和推导，以下将以简单的实例来阐述基本的计算方法。
假设有两个参考系，A系和B系。
A系是一个静止的观察者参考系，而B系是一个运动的观察者参考系。
我们想要计算B系相对于A系的速度。
1. 我们先需要确定A系和B系之间的相对运动方向。
设A系为静止，B系相对于A系以速度v向B的正方向运动。
这意味着B系相对于A系的速度为正值。
2. 接下来，我们需要考虑时间的相对流逝。
根据狭义相对论的时间膨胀效应，运动速度越快，时间流逝越慢。
因此，在计算相对论速度时，我们需要考虑时间膨胀的修正。
3. 相对论速度的计算通常使用洛伦兹变换来实现。
洛伦兹变换是狭义相对论中用于描写时间和空间变换的数学工具。
假设在B系中有一个物体以速度u相对于B运动，我们可以使用洛伦兹变换来转换为A系中的速度。
相对论速度的计算公式如下：v = (u + v') / (1 + u * v' / c^2)其中，v为B系相对于A系的速度，u为物体在B系中的速度，v'为B系相对于A系的运动速度（即B系与A系之间的相对速度），c 为光速。
可以看到，这个公式中涉及到了光速，所以相对论速度不可能超过光速。
这符合狭义相对论的基本原理。
值得注意的是，相对论速度的计算较为复杂，需要进行数学运算。
因此，为了准确计算相对论速度，我们需要使用适当的科学工具（如矩阵运算、计算机仿真等）。
此外，相对论速度的计算还需要考虑到参考系的选择、多个物体之间的相对速度等因素。
综上所述，相对论速度的计算需要考虑到时间膨胀、洛伦兹变换等相对论效应。
通常使用公式进行计算，其中包括物体速度、参考系之间的相对速度以及光速等因素。
洛伦兹速度变换
其逆变换式为：
uz
'
uz 1
1
v ux c2
2
u x
ux 'v
1
v ux c2
'
u
y
uy 1
1
v ux c2
'
2
u
z
uz ' 1 2
1
v ux c2
'
5
从相对论速度变换公式，可以得出下列结论：
⑴当速度u,v远小于光速c时，相对论速度变换公式就转化为伽利略 速度变换公式u'=u-v。说明在一般低速情况下，伽利略速度变换是 适用的，只有当u,v接近光速时，才需要相对论速度变换。
⑵相对论速度变换遵循光速不变原理。
令u' c, 解得u
u'v 1 u'v / c
cv 1 cv / c2
c
可见，对K,K'坐标系而言，光速都是c。
6
• 例：
在地面上测得两个飞船A,B分别以+0.9c和-0.9c的速度沿相 反方向飞行，如图所示，求A相对于B的速度大小。
设K系在B上，则B相对于K静止，而地面对K的速度是v=0.9c,以地面为K'，则A 相对于K的速度为u'=0.9c,带入速度变换公式：
x' x vt y' y z' z t' t
推倒得速度变换公式 vpk vpk' vkk'
3
二、相对论速度变换
• 类似于伽利略变换导出速度变换公式，洛伦兹变换也可导出相对论速度变换
公式： 在K坐标系中速度表达式：
ux
dx dt ,uy
dy dt ,uz
物理人教版高二选修3-4教材梳理_第十五章_3.狭义相对论的其他结论4.广义相对论简介_word版含解析
疱丁巧解牛知识·巧学一、狭义相对论的其他结论 1.相对论速度变换公式以高速火车为例，车对地的速度为v ，车上的人以u′的速度沿火车前进的方向相对火车运动，则人对地的速度u=2'1'cv u vu ++，若人相对火车反方向运动，u′取负值. 根据此式若u′=c ，则u=c ，那么c 在任何惯性系中都是相同的.深化升华 （1）当u′=c 时，不论v 有多大，总有u=c ，这表明，从不同参考系中观察，光速都是相同的，这与相对论的第二个假设光速不变原理相一致.（2）对于速度远小于光速的情形，v<<c ，u′<<c ，这时2'cvu 可以忽略不计，相对论的速度合成公式可以近似变为u=u′+v.联想发散 相对论并没有推翻牛顿力学，也不能说牛顿力学已经过时了，相对论是使牛顿力学的使用范围变得清楚了. 2.相对论质量以速度v 高速运动的物体的质量m 和静止时的质量m 0.有如下关系：m=20)(1cv m -.质量公式实际上是质量和速度的关系，在关系m=20)(1cv m -中，若v=c ，则m 可能是无限大，这是不可能的，尤其是宏观物体，设想物体由v=0逐渐向c 靠拢，m 要逐渐变大，产生加速度的力则要很大，所以能量也要很大.因此，宏观物体的速度是不可能（在目前）增大到与光速相比.但是对于一些没有静止质量的粒子（如光子），它却可以有动质量m.深化升华 （1）物体的质量随速度的增大而增大；（2）物体运动的质量总要大于静止质量. 误区警示 不要盲目从公式中得出，v=c 时，质量是无穷大的错误结论. 3.质能方程(1)爱因斯坦方程：E=mc 2.(2)质能方程表达了物体的质量和它所具有的能量的关系：一定的质量总是和一定的能量相对应. (3)对一个以速率v 运动的物体，其总能量为动能与静质能之和：E=E k +E 0.那么物体运动时的能量E 和静止时能量E 0的差就是物体的动能，即E k =E-E 0. 代入质量关系：E k =E-E 0=220)(1cv c m --m 0c 2=21m 0v 2. 误区警示 不能把质量和能量混为一谈，不能认为质量消灭了，只剩下能量在转化，更不能认为质量和能量可以相互转变，在一切过程中，质量和能量是分别守恒的，只有在微观粒子的裂变和聚变过程中有质量亏损的情况下才会有质能方程的应用. 二、广义相对论简介1.广义相对性原理和等效原理（1）广义相对性原理：在任何参考系中，物理规律都是相同的.（2）等效原理:一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价.深化升华 一个物体受到使物体以某一加速度下落的力，如果不知道该力的来源，就没有办法判断使物体以某一加速度下落的力到底是引力还是惯性力. 2.广义相对论的几个结论（1）光线弯曲：根据电磁理论和经典光学，在无障碍的情况下，光线是直线传播.但按照爱因斯坦的广义相对论，在引力场存在的情况下，光线是沿弯曲的路径传播的.（2）引力红移：根据爱因斯坦的广义相对论，在强引力场中，时钟要走得慢些.因此，光在引力场中传播时，它的频率或波长会发生变化.理论计算表明，氢原子发射的光从太阳（引力强度大）传播到地球（引力强度小）时，它的频率比地球上氢原子发射的光的频率低，这就是引力红移效应.典题·热题知识点一 相对论速度例1地球上一观察者，看见一飞船A 以速度2.5×108 m/s 从他身边飞过，另一飞船B 以速度2.0×108 m/s 跟随A 飞行.求：（1）A 上的乘客看到B 的相对速度； （2）B 上的乘客看到A 的相对速度. 解析：运用相对论速度公式u=2'1'cv u vu ++可解. 答案：（1）-1.125×108 m/s (2)1.125×108 m/s 知识点二 相对论质量例2一个原来静止的电子，经过100 V 的电压加速后它的动能是多少？质量改变了百分之几？速度是多少？这时能不能使用公式E k =21m 0v 2? 解析：由动能定理可以计算出电子被加速后的动能，再根据E k =mc 2-m e c 2计算质量的变化. 答案：加速后的电子的动能是E k =qU=1.6×10-19×100 J=1.6×10-17 J. 因为E k =mc 2-m e c 2，所以m-m e =E k / c 2.把数据代入得e e m m m -=2831--17)10(3109.1101.6⨯⨯⨯⨯=2×10-4. 即质量改变了0.02％.这说明在100 V 电压加速后，电子的速度与光速相比仍然很小，因此可以使用E k =21mv 2这个公式.由E k =21mv 2可得电子的速度v=m E k 2=31--17109.1101.62⨯⨯⨯ m/s≈5.9×106 m/s. 知识点三 质能方程例3一核弹含20 kg 的钚，爆炸后生成的静止质量比原来小1/10 000.求爆炸中释放的能量. 解析：由爱因斯坦质能方程可解释放出的能量. 答案：爆炸前后质量变化：Δm=100001×20 kg=0.02 kg释放的能量为ΔE=Δmc 2=0.002×(3×108)2 J=1.8×1014 J. 方法归纳 一定的质量总是和一定的能量相对应.例4两个电子相向运动，每个电子相对于实验室的速度都是54c ，在实验室中观测，两个电子的总动能是多少？以一个电子为参考系，两个电子的总动能又是多少？解析：计算时由电子运动的能量减去静止时的能量就得到电子的动能.若以其中一个电子为参考系，另一个电子相对参考系的质量应当由质速方程求出，但相对速度应当为两个电子的相对速度.答案：设在实验室中观察，甲电子向右运动，乙电子向左运动.若以乙电子为“静止”参考系，即O 系，实验室（记为O′系）就以54c 的速度向右运动，即O′系相对于O 系的速度为v=54c.甲电子相对于O′系的速度为u′=54c.这样，甲电子相对于乙电子的速度就是在O 系中观测到的电子的速度ｕ，根据相对论的速度合成公式，这个速度是u=2'1'c v u v u ++=2545415454c cc cc ⨯++=4140 c. 在实验室中观测，每个电子的质量是m′=2)(1c v m e -=2)54(1cc m e -=35m e .在实验室中观测，两个电子的总动能为E k 1=2(m′c 2-m e c 2)=2×(35m e c 2-m e c 2)=34m e c 2. 相对于乙电子，甲电子的质量是m″=2)4140(1cc m e -=4.56m e因此，以乙为参考系，甲电子的动能为E k2=m″c 2-m e c 2=4.56m e c 2-m e c 2=3.56m e c 2 问题·探究 思想方法探究问题 被回旋加速器加速的粒子能量能无限大吗？ 探究过程：这种问题只能从相对论理论出发进行探究.由相对论质量公式 m=20)(1cv m -看出，当粒子的速度很大时，其运动时的质量明显大于静止时的质量.当加速时粒子做圆周运动的周期必须和交变电压的周期相同，而当交变电压周期稳定时，粒子的速度越来越大，而速度大，半径也大，本不应影响其周期，但是速度大，其运动质量变大，周期也变大了，于是不再同步，所以其能量受到限制，不能被无限加速.探究结论:被回旋加速器加速的粒子能量不能无限大. 交流讨论探究问题 假设宇宙飞船是全封闭的，宇航员和外界没有任何联系，宇航员如何判断使物体以某一加速度下落的力到底是引力还是惯性力？ 探究过程:郑小伟：宇宙飞船中的物体受到以某一加速度下落的力可能是由于受到某个星体的引力，也可能是由于宇宙飞船正在加速飞行.两种情况的效果是等价的，所以宇航员无法判断使物体以某一加速度下落的力是引力还是惯性力.宋涛：实际上，不仅是自由落体的实验，飞船内部的任何物理过程都不能告诉我们，飞船到底是加速运动，还是停泊在一个行星的表面.张小红：这个事实告诉我们：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系是等价的.这就是爱因斯坦广义相对论的第二个基本结论，这就是著名的“等效原理”.探究结论:宇航员没有任何办法来判断，使物体以某一加速度下落的力到底是引力还是惯性力.即一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系是等价的. 交流讨论探究问题 对相对论几个结论的理解. 探究过程:李兵：从运动学的角度进行理解，根据光速不变原理可知光速与任何速度的合成都是光速，速度合成法则不再适用，光速是极限速度.从动力学的角度进行理解，质量是物体惯性大小的量度.随着物体速度的增大，质量也增大，当物体的速度趋近于光速c 时，质量m 趋向无限大，惯性也就趋向无限大，要使速度再增加，就极为困难了.这时，一个有限的力不管作用多长时间，速度实际上是停止增加了.这与速度合成定理u=2'1'cv u vu ++是吻合的，当u′=c 时，不论v 有多大，总有u=c ，这表明，从不同参考系中观察，光速都是相同的.刘晓伟：根据爱因斯坦质量和速度的关系：m=20)(1cv m -可知，物体的运动的极限速度是光速，当静止质量不为零时，物体的速度永远不会等于光速，更不会超过光速.对于速度达到光速的粒子（如光子），其静止质量一定为零.张兵：对于速度远小于光速的情形，v<<c ，u′<<c ，这时2'cvu 可以忽略不计，相对论的速度合成公式可以近似变为u=u′+v，相对论质量m=m0，不表现为尺缩效应和钟慢效应，所以牛顿力学是在低速情况下相对论的近似结论.探究结论:光速是运动物体的极限速度，对不同的参考系物体的质量是不同的，光子不会有静止质量.在低速情况下，牛顿力学是相对论结论的近似.。
教科版选修3-4 第6章 第4节 相对论的速度变换公式 质能关系
第4节相对论的速度变换公式__质能关系1.相对论速度变换公式v ＝u ＋v′1＋uv′c2，当u ≪c ，v′≪c 时，v ＝u＋v′，满足经典力学速度合成关系。
2．物体的质量与能量的对应关系：E ＝mc 2。
3．物体运动质量m 与静质量m 0的关系：m ＝m 01－v c 2。
4．运动物体的相对论动能表达式：E k ＝m 0c 2[11－v c2－1]v′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么这个人相对地面的速度v 为v ＝u ＋v′1＋uv′c2。
理解这个公式时请注意：(1)如果车上的人的运动方向与火车的运动方向相反，则v′取负值。
(2)如果u ≪c ，v′≪c ，这时v′uc 2可忽略不计，这时相对论的速度合成公式可近似变为v ＝v′＋u 。
(3)如果v′与u 的方向垂直或成其他角度时，情况比较复杂，上式不适用。
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)在高速运动的火车上，设车对地面的速度为v ，车上的人以速度u′沿着火车前进的方向相对火车运动，那么他相对地面的速度u 与u′＋v 的关系是( )A ．u ＝u′＋vB ．u ＜u′＋vC ．u ＞u′＋vD ．以上均不正确解析：选B 按照经典的时空观，u ＝u′＋v ，而实际上人对地面的速度按照相对论速度公式计算，u ＝u′＋v1＋u′v c2，因此u 比u′与v 之和要小，但只有在u′和v 的大小接近光速时才能观察此差别。
相对论质量和能量[自读教材·抓基础]1．质能关系式E ＝mc 2。
式中m 是物体的质量，E 是它具有的能量。
由此可见，物体质量越大，其蕴含的能量越大。
能量与质量成正比。
2．相对论质量 m ＝m 01－v 2c2(m 0指静质量)； 与静质量对应的静能量为E 0＝m 0c 2。
[跟随名师·解疑难]1．对质速关系m ＝m 01－v c2的理解(1)式中m 0是物体静止时的质量(也称为静质量)，m 是物体以速度v 运动时的质量。
洛伦兹速度变换式
洛伦兹速度变换式
洛伦兹速度变换式是指在相对论中，两个参考系之间的速度变换关系。
它由荷兰物理学家洛伦兹于1904年提出，是狭义相对论的基本公式之一。
该公式描述了当两个参考系相对运动时，其中一个参考系中的物
体的速度在另一个参考系中的表现形式。
洛伦兹速度变换式的表达式为：
v' = (v - u) / (1 - v*u/c^2)
其中，v'表示在另一个参考系中观察到的物体速度；v表示在原来的参考系中观察到的物体速度；u表示两个参考系之间相对运动的速度；c
表示真空中光速。
这个公式可以解释为：当两个参考系相对运动时，一个在第一个参考
系中以速度v运动的物体，在第二个参考系中以速度v'运动。
这个公
式告诉我们，在相对论中，物体的速度不是简单地加起来，而是通过
这个公式进行计算。
需要注意的是，在经典力学中，两个参考系之间进行速度变换时使用
的是加法规则。
但在相对论中，使用加法规则会导致矛盾和错误。
因
此需要使用洛伦兹变换公式进行速度变换。
除了速度变换外，洛伦兹变换还包括时间变换和长度变换。
这些变换都是相对论中的基本公式，它们描述了物理量在不同参考系之间的表现形式。
总之，洛伦兹速度变换式是狭义相对论中的重要公式之一。
它描述了两个参考系之间的速度变换关系，并告诉我们在相对论中物体速度的计算方法。
理解和应用这个公式对于研究相对论和解决相关问题具有重要意义。
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v t 2 x c t v2 1 2 c
对t求导
ux v dx dt v2 1 2 c
两式相除
v 1 2 ux dt c dt v2 1 2 c
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2
4.2 相对论速度变换
x方向的速度变换
ux v ux v 1 2 ux c
y方向的速度变换
洛伦兹速度变换 正变换
逆变换(略)
ux v ux v 1 2 ux c
uy v2 uy 1 2 v c 1 2 ux c uz v2 u 1 2 z v c 1 2 ux c
ux ux
v v
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4
4.2 相对论速度变换
讨论 1.v<<c时，洛伦兹变换成为伽利略变换。 ux v ux v ux v 1 2 ux c 2.在洛伦兹速度变换下，光速不变。
由洛仑兹坐标变换 y y 对t'求导
uy v2 uy 1 2 v c 1 2 ux c
z方向的速度变换
d y dy d y / d t dt dt d t / d t
uz v2 u 1 2 z v c 1 2 ux c
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3
4.2 相对论速度变换
cv ux v c ux v v 1 2 ux 1 2 c c c
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5
4.2 相对论速度变换
例1 在地面上，测得两只飞船A、B分别以+0.9c和0.9c的速度沿相反的方向飞行, 如图所示。求飞船A 相对于飞船B的速度有多大。P148例题2 解：飞船A为研究对象。 y y B A 飞船B为K系，地面为 K x v 0.9c 系 。 K 系 相 对 K 系 的 速 0.9c x 度 v=+0.9c ，飞船 A 相对 K 系 的 速 度 ux=+0.9c ， 飞船A相对于K系的速度 ux v ux 0.994c ux就是要求的速度。 v 1 2 ux c 由洛伦兹速度逆变换 本节完
前论速度变换
4.2 相对论速度变换
速度分量式 K系中 K系中
dx ux dt dy uy dt dz uz dt
dx ux dt dy uy dt dz u z dt
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1
4.2 相对论速度变换
由洛伦兹坐标变换
x
x vt v2 1 2 c