10.相对论坐标速度变换
相对论的速度变换
P =mv
E = mc
2
2
c v= P E
m0c
2 2
2
E = mc =
v 1− 2 c
=
m0c
2 4
1 c 2 1− 2 2 P c E
2 c 2 2 2 4 E 1 − 2 P = m0 c E
28
解得：
2 4 E 2＝ P 2 c 2 + m 0 c
或：
E = ( Pc) + E0
●按相对论，粒子间相互作用时，满足能量守 恒关系：
∑ E = ∑ (m c ) = const
2 i i i i
∑ m = const
i i
说明物质间相互作用时质量守恒。 如原子核反应中质量守恒：
∑m + ∑m = ∑m '+ ∑m
0 k 0
k
'
反应前后静质量和动质量可以相互转化。
23
例：氢弹核聚变反应引起的质能变化
1
2
1 v2 ≈ 1+ 2 2c
m0 2 2 ∴ EK = m0c + v − m0c 2
2
1 2 = m0v 2
●根据 EK = mc − m0 c
2 2
牛顿力学动能公式
=
m0 v 1− 2 c
2
c − m0c
2
2
17
得到粒子速率由动能表示的关系：
−2 E 2 2 v = c 1 − 1 + K 2 m0c
v v dt − dx 1 − u x dx − vdt u x − v c = c dt dx′ = dt dt ′ = = 2 2 1− β 2 1− β 2 1− β 1− β
洛伦兹速度变换
其逆变换式为：
uz
'
uz 1
1
v ux c2
2
u x
ux 'v
1
v ux c2
'
u
y
uy 1
1
v ux c2
'
2
u
z
uz ' 1 2
1
v ux c2
'
5
从相对论速度变换公式，可以得出下列结论：
⑴当速度u,v远小于光速c时，相对论速度变换公式就转化为伽利略 速度变换公式u'=u-v。说明在一般低速情况下，伽利略速度变换是 适用的，只有当u,v接近光速时，才需要相对论速度变换。
⑵相对论速度变换遵循光速不变原理。
令u' c, 解得u
u'v 1 u'v / c
cv 1 cv / c2
c
可见，对K,K'坐标系而言，光速都是c。
6
• 例：
在地面上测得两个飞船A,B分别以+0.9c和-0.9c的速度沿相 反方向飞行，如图所示，求A相对于B的速度大小。
设K系在B上，则B相对于K静止，而地面对K的速度是v=0.9c,以地面为K'，则A 相对于K的速度为u'=0.9c,带入速度变换公式：
x' x vt y' y z' z t' t
推倒得速度变换公式 vpk vpk' vkk'
3
二、相对论速度变换
• 类似于伽利略变换导出速度变换公式，洛伦兹变换也可导出相对论速度变换
公式： 在K坐标系中速度表达式：
ux
dx dt ,uy
dy dt ,uz
《电动力学》简答题参考答案
《电动力学》简答题参考答案1. 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式,并简单说明它的物理意义。
解答:电流的连续性方程的微分形式为0J t ρ∂∇⋅+=∂K 。
其积分形式为d d d d S J S V t ρΩ⋅=−∫∫∫∫K K v 。
电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式,它表示:当某区域内电荷减少时,是因为有电荷从该区域表面流出的缘故;相反,当某区域内电荷增加时,是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。
2. 写出麦克斯韦方程组,并对每一个方程用一句话概括其物理意义。
解答:(1)f D ρ∇⋅=K 电荷是电场的源;(2)B E t∂∇×=−∂K K 变化的磁场产生电场; (3)0B ∇⋅=K 磁场是无源场;(4)f D H J t∂∇×=+∂K K K 传导电流以及变化的电场产生磁场。
3. 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称?为什么?解答:麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称,因为电场是有源场,电荷是电场的源,而磁场是无源场,不存在磁荷。
4. 一个空间矢量场A K ,给出哪些条件能把它唯一确定?解答:由矢量场的唯一性定理:(1)位于空间有限区域内的矢量场,当它的散度,旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后,该矢量场就被唯一确定;(2)对于无限大空间,如果矢量在无限远处减少至零,则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
5. 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。
解答:极化电流与极化强度之间的关系式为P P J t ∂=∂K K ; 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为M J M =∇×K K 。
6. 简述公式d d d d d V V w V f V S tσ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。
解答:d d d Vw V t −∫表示单位时间区域V 内电磁场能量的减少,d V f V ⋅∫v K K 表示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功,d S σ⋅∫K K v 表示单位时间流出该区域的能量。
(10)狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换
说明同时具有相对性，时间的量度是相对的 .
（10） 狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换
相对论
长度的测量是和同时性概念密切相关.
二 洛伦兹变换式
设 ：t t' 0 时，o, o'重合 ; 事件 P 的时空
坐标如图所示 .
s x' x vt (x vt)
1 2
s' y
y' v
x
x ut 1 u2 c2
t ux c2 0 u t c2
x
t
t
u c2
x
1 u2 c2
（10） 狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换
相对论
x x ut
1 u2 c2
x t 2 c2
x
1
(t ) 2 (x)2
c2
4106 m
相对论
例2：在惯性系S中，相距x=5106m的两个地方发生
两个事件，时间间隔t=10-2s；而在相对于S系沿x轴正
向匀速运动的S'系中观测到这两事件却 是同时发生的，
试求：S'系中发生这两事件的地点间的距离x'。
解：设S'系相对于S系的速度大小为u。
t t ux c2 0 1u2 c2
P(x, y, z,t)
* (x', y', z',t')
y' y
z'
t t'
z
v c2
x
1 2
(t
v c2
x)
x'
zo
o'
z'
x
v c
相对论知识：洛伦兹变换——相对论中的坐标系变换
相对论知识：洛伦兹变换——相对论中的坐标系变换洛伦兹变换是相对论中的坐标系变换，是指在不同惯性参考系之间进行相互转换的数学方法。
相对论是爱因斯坦在1905年提出的，它考察的是运动物体的物理现象，因此必须将观察者的运动状态考虑在内。
在相对论中，时间和空间不具有绝对性，而是相对于观察者的运动状态而言的。
洛伦兹变换就是这种相对性的体现。
首先，我们要理解什么是惯性参考系。
惯性参考系是指一个不受力作用的、作匀速直线运动的参考系。
在相对论中，任何两个相对运动的惯性参考系之间都可以进行转换，而这种转换就是洛伦兹变换。
换句话说，洛伦兹变换是一种坐标系变换，可以将同一事件在两个不同的惯性参考系中的描述进行转换。
洛伦兹变换有两种形式：时间变换和坐标变换。
时间变换主要是指时间的变化，在不同的惯性参考系中，同一个事件发生的时间也是不同的。
当一个事件在一个惯性参考系中发生时，其时间为t1，在另一个惯性参考系中的时间为t2。
这两个时间之间的关系可以用下面的公式表示：t2 = γ(t1 - vx/c²)其中，γ是洛伦兹因子，v是相对速度，c是光速。
这个公式表示在相对于第一个参考系以速度V运动的第二个参考系中，时间的变化规律。
γ的大小取决于相对速度的大小，当速度很小时，γ趋近于1，相当于牛顿力学中常用的时间变换公式；而当速度趋近于光速时，γ趋近于无穷大，表示时间的变化越来越慢。
坐标变换主要是指空间坐标的变化。
在不同的惯性参考系中，同一物体的位置是不同的。
当一个物体在一个惯性参考系中的位置为(x1, y1, z1)时，在另一个惯性参考系中的位置为(x2, y2, z2)。
这两个位置之间的关系可以用下面的公式表示：x2 = γ(x1 - vt1)y2 = y1z2 = z1其中，γ、v、t1的含义和上面相同。
这个公式表示在相对于第一个参考系以速度V运动的第二个参考系中，坐标的变化规律。
与时间变换类似，当速度很小时，坐标变换公式也可以简化为牛顿力学中常用的变换公式。
大学物理教学资料——相对论
c
x
19
x' x ut ; x x'ut' ;
1 2
1 2
y' y
z'z
t t'
u c2
x
;
1 2
y y'
zz'
t ' t
u c2
x' ;
1 2
以上称为洛仑兹坐标变换.简称“LT”
20
讨论
1)相对论因子
1
1 2
总是大于1
2)（x,y,z,t)和(x’,y’,z’,t’)是事件的时空坐标
狭义相对论基础
（Special Relativity）
1
19世纪末叶，牛顿定律在各个领域里都取得 了很大的成功。当时的许多物理学家都沉醉 于这些成绩和胜利之中。他们认为物理学已 经发展到头了。
“在已经基本建成的科学大厦中， 后辈的物理学家只要做一些零碎的 修补工作就行了。”
--开尔文--
2
这“两但朵是乌，云在是物指理什学么晴呢朗？天空的远处，还有
32
Y
Y’
问题2
X’1 X’2
又若在K系中有一 X’静止的棒，本征长
O依“结同解LXT合时。1 ”x对测1 运量Xx21'O动 ，1’ v物 谈t'21体 对X 长 本xl2度 征' l的 长0lx0'12测度x12v量的t'22x-理21-- l0
l0 x2x1(x'2x'1)v(t'2t'1)
设一杆平行于X’轴静止 Y Y’
于K’系，测得其长度：
X’1 X’2X’
l'0x'2x'（1 本征长度）O O’
相对论速度变换的数学推导
相对论速度变换的数学推导相对论是爱因斯坦于1905年提出的革命性物理理论，改变了我们对时间、空间和物质与能量的观念。
其中一个重要的概念就是速度变换。
在经典力学中，速度是一个矢量，由物体在单位时间内移动的距离和方向决定。
然而，在相对论中，速度不再是简单的向量，而是涉及时间和空间的复杂概念。
为了推导相对论速度变换的数学表达式，我们首先需要定义一些变量。
假设有两个参考系，一个是S系，另一个是S'系。
S系是一个静止的参考系，而S'系是相对于S系以速度v沿x轴方向运动的参考系。
我们将物体在S系中的速度表示为u，而在S'系中的速度表示为u'。
根据相对论的基本假设，光的速度在任何参考系中都是恒定的，即光速不变原理。
因此，我们可以将光速作为一个常量c来表示。
现在，我们来考虑一个物体在S系中以速度u运动，那么在S'系中的速度应该如何表示呢？根据相对论的基本原理，两个参考系之间的转换关系可以通过洛伦兹变换来描述。
洛伦兹变换的数学形式如下：x' = γ(x - vt)y' = yz' = zt' = γ(t - vx/c^2)其中，x，y，z和t是S系中的空间和时间坐标，x'，y'，z'和t'是S'系中的空间和时间坐标，v是S'相对于S系的相对速度，c是光速，γ是洛伦兹因子，定义为γ = 1/√(1 - (v^2/c^2))。
根据洛伦兹变换的定义，我们可以推导出物体在S'系中的速度u'与在S系中的速度u之间的关系。
我们可以通过对上述变换关系中x'和t'的导数来找到答案。
首先，对x'求导数，有：dx'/dt = d(γ(x - vt))/dt= γ(dx/dt - v(dx/dt))= γ(u - v)同样的，对t'求导数，有：dt'/dt = d(γ(t - vx/c^2))/dt= γ(dt/dt - (v/c^2)(dx/dt))= γ(1 - (v/c^2)u)我们知道，速度的定义是速度等于位移对时间的导数，即v = dx/dt。
相对论
∆x′ = 0 ∆t = ∆t′ =τ
τ u 1− 2 c
2
γ >1
∆t > τ
原时最短
例3、带正电的π介子是一种不稳定的粒子，当它静 、带正电的π介子是一种不稳定的粒子， 之后即衰变成一个µ 止时，平均寿命为2.5× 之后即衰变成一个 止时，平均寿命为 ×10-8s,之后即衰变成一个µ介 子和一个中微子，会产生一束π介子， 子和一个中微子，会产生一束π介子，在实验室测 得它的速率为u=0.99c,并测得它在衰变前通过的平 得它的速率为 并测得它在衰变前通过的平 均距离为52m,这些测量结果是否一致？ 这些测量结果是否一致？ 均距离为 这些测量结果是否一致 若用平均寿命∆ 相乘， 解：若用平均寿命∆t′=2.5 ×10-8s和u相乘，得7.4m,与实 和 相乘 与实 验结果不符。考虑相对论的时间膨胀效应， 是静止 是静止π 验结果不符。考虑相对论的时间膨胀效应， ∆t′是静止π 介子的平均寿命，是原时， 介子运动时， 介子的平均寿命，是原时，当π介子运动时，在实验室 测得的平均寿命应是： 测得的平均寿命应是： −8 ∆t′ 2.5 ×10 ∆t = ＝ = 1.8 ×10−7 (s) u2 1 − (0.99)2 1− 2 c 实验室测得它通过的平均距离应该是： 实验室测得它通过的平均距离应该是：u∆t=53m,与实验 与实验 结果符合得很好。 结果符合得很好。
2、原时最短 时间膨胀 考察 S′ 中的一只钟
两事件发生在同一地点) ∆x′ = 0 (两事件发生在同一地点)
∆t′ ≡ τ
一只钟测出的时间间隔) 原时 (一只钟测出的时间间隔 一只钟测出的时间间隔
∆t
( S 系中的两个地点的两只钟测出的时 两地时 间间隔 )
由洛仑兹逆变换 u ∆t′ + 2 ∆x′ c ∆t = u2 1− 2 c
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4）v<<C时，退化为宏观低速物体遵循的伽利略变换
5）速度有极限
v≤c
H.Yin
例题4-1
甲乙两人所乘飞行器沿ox 轴作相对运动。甲测得 两 个 事 件 的 时 空 坐 标 为 x1=6×104m ， y1=z1=0 ， t1=2×10-4 s ； x2=12×104m， y2=z2=0， t2=1×10-4 s，若 乙测得这两个事件同时发生于t´ 时刻，问：
c
v ux
H.Yin
§4-2 相对论速度变换
dt′
=
1−
v c2
ux
dt
1−
v2 c2
由洛仑兹变换知
vy'=
dy′ dt ′
= dy dt ′
dy
=
dt dt′
dt
同样得
u′
v ux
u′y
=
uy
1
−
v c2
ux
1
−
v2 c2
u′z
=
1−
uz v c2
ux
1
−
v2 c2
H.Yin
u
(∵ dt ≠ dt' )
u = u'+ v
1
+
v c2
u'
伽利略速度变换
u' = u − v, u = u'+ v
4，保证了光速不变
H.Yin
例题4-2
在地面上测到有两个飞船A、B分别以 +0.9c 和-0.9c的速度沿相反的方向飞行, 如图所示。求飞 船A相对于飞船B 的 速度有多大。
y′
y
x
②光从G1 ②光从M2
c2 − v2
c
M2 G1
−v
c
光速 光速
c2 − v2
c2 − v2
M2
②
M1
G1 G2
①
−v
c2 − v2
v
以太风
H.Yin
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
来回时间
t2 =
2l2 c2 − v2
两束光到望远镜的时间差：
=
2l2
1
c
⎛ ⎜ ⎝
1
−
v2 c2
⎞2 ⎟ ⎠
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
(三) 绝对时空观遇到挑战 19世纪,一些人认为电磁波和机械波一样,是在某 一种媒质中传播的,该媒质被称为“以太”.认为以太 是绝对静止的,并弥漫于整个宇宙间,无色无味,具有极 大的弹性模量,但又不产生任何阻力等一些特性。 在茫茫以太的海洋中漂泊的观察者乘坐的航船是地 球,地球以怎样的速度在以太的海洋中航行,在其中飞行 的地球上应该感到迎面吹来的以太风。如果在地面上让 光线在平行和垂直于以太风的方向上传播,它们应有不 同的速度。
为0.90c 。问：从地面上看，物体速度多大？多久到船
头？
S
解：选飞船参考系为 S ′ 系
地面参考系为 S系
v = 0 .8 0 c u′x = 0.90c
S′v
x1
)
按题意， t 2′ − t 1′ = 0 , 代入已知数据，有
0
=
(1× 10−4
−
2 × 10−4 )
−
v c2
(12× 104
−
6× 104
)
1
−
v2 c2
H.Yin
3
由此解得乙对甲的速度为 （2）根据洛仑兹变换
例题4-1解
v=− c 2
x′ = 1 ( x−vt)
1− β 2
可知, 乙所测得的两个事件的空间间隔是
在经典力学中，长度、时间及质量都和运动无 关，是与观察者不变量——绝对时空
——牛顿力学的基础
H.Yin
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
惯性参考系之间的时空变换——伽利略变换
(一) 伽利略变换
⇒绝对时空观的具体体现
变换：描写同一事件两个参照系时空坐标之间的关系
设惯性系S 、惯性系S′（相对S以v 沿x 正向匀速运动)
解：S系(地球) Δx = x2 − x1 = ? v = 0.8c
S′系(飞船) Δx′ = x′2 − x1′ = 90m
Δt′ =
Δx′ c
=
90 3 × 108
= 3 × 10−7 s
Δx = γ (Δx′ + vΔt′) = 270m
H.Yin
§4-2 相对论速度变换
定义
ux
=
dx dt
dx′ = dx′ dt
B
A
0.9c
0.9c
x′
H.Yin
例题4-2解
设K系被固定在飞船B上，则飞船B在其中为静止， 而地面对此参考系以v=0.9c 的速度运动。以地面为参考 系K’，则飞船A相对于K’系的速度按题意为u’x=0.9c ， 可求得飞船Au对x K=系1u+的′x v+速cuv2′x度=，0亦.99即4c相对于飞船B的速度：
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
x′ =
x − vt
, y′ = y
, z′ =
z,t′ =
t−
v c2
x
1
−
v2 c2
1−
v2 c2
3）四维时空间隔的平方对洛仑兹变换是不变量
ds 2 = (cΔt )2 − (Δx)2 − (Δy)2 − (Δz)2 =
= ds′2 = (cΔt' )2 − (Δx' )2 − (Δy' )2 − (Δz' )2
则
x′ = γ ( x − vt )
x = γ ( x′ + vt′)
y′ = y z′ = z
y = y′ z = z′
t′ = γ
⎛ ⎜⎝
t
−
β c
x
⎞ ⎟⎠
t
=
γ
⎛ ⎜⎝
t
′
+
β c
x
′
⎞ ⎟⎠
1）洛仑兹变换是爱因斯坦狭义相对论两个基本假定 的必然结果
2）时间(t，t’)与空间(x,x’)、速度(v)相关，非独立 H.Yin
Δt
=
t2
−
t1
=
2l2
c
⎛ ⎜ ⎝
1
−
v c
2 2
⎞1/ 2 ⎟ ⎠
−
2l1
c
⎛ ⎜ ⎝
1
−
v2 c2
⎞ ⎟ ⎠
3.将仪器旋转90°两路光到望远镜的时间差为：
Δt ' = t '2 − t '1
= 2l2 −
2l1
c
⎛ ⎜ ⎝
1
−
v2 c2
⎞ ⎟ ⎠
c
⎛ ⎜1 ⎝
−
v2 c2
⎞1/ 2 ⎟ ⎠
H.Yin
x′ = x − vt
1−
v2 c2
正
y′ = y
x = x '+ vt '
1−
v2 c2
y = y' 逆
变
z′ = z
换
t′ =
t−
v c2
x
1−
v2 c2
z = z' 变
t
=
t '+
v c2
x'
换
1−
v2 c2
H.Yin
令 §4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
β≡v c
γ≡ 1 1− β 2
测量发生在两地事件 用置于两地的同步校准时钟 实质：对两地事件的测量是不同地、不同钟的时空测量
{ 测量技术：长度测量：同时记录两端点位置间距离 时间测量：事件发生时刻由当地钟来标识 2，洛仑兹变换
两个条件：满足相对性原理及光速不变原理；
质点速度远小于光速时，退化为伽利略变换 H.Yin
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
正 ⎪⎪ y′ = y
变 换
⎨ ⎪
z′ = z
伽利略⎪⎩速度t′变=换t 式
逆 变
⎪⎪ ⎨
换⎪
y = y′ z = z′
⎪⎩ t = t′
ums′ = ums + uss′
时间测量的 绝对性
正 变
⎧ ⎪ ⎨
u′x = u′y
ux − = uy
v
换⎪ ⎩
u′z = uz
逆 变
⎧ ⎪ ⎨
ux = uy
u′x + = u′y
（1）乙对于甲的运动速度是多少？ （2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？
解：（1）设乙对甲的运动速度为 v ，由洛仑兹变换
t′ =
1 1− β
2
⎛ ⎜⎝
t
−
v c2
x
⎞ ⎟⎠
H.Yin
例题4-1解
可知, 乙所测得的这两个事件的时间间隔是
t2′
−
t1′
=
( t2
−
t1
)
−
v c2
(
x2
1− β2
−
t=0时刻，O、O´重合
t时刻，物体到达P点
YY
(x, y, z,t)
s
v
s' t
v P .( x ′, y ′, z ′, t ′)
Z
OO Z
x
x
X
X
H.Yin
§4.1 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
伽利略坐标变换式
Δrms′ = Δrms + Δrss′
⎧ x′ = x − vt