古典概型解题的归纳和分析

古典概型解题的归纳和分析

（西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070）

摘 要：本文通过对古典概型的模型归纳使得在计算古典概率时更加便捷和准确.

关键词：古典概型；模型；概率

古典概型的研究在历史上最先开始，它简单﹑直观，不需做大量的重复试验，在经验事实的基础上，经过逻辑分析得出事件的概率.因此，古典概型在概率论中占有相当重要的地位，古典概型解题的很好掌握不仅可以为其它的概率的学习奠定基础，而且有助于直观的理解概率论中的许多基本概念，古典概型是最基本的一种概率模型，也在实际中有广泛的应用，在本质上是研究等可能事件（基本事件）的概率的模型. 一、古典概型的基本性质

1.等可能性,即每个样本点发生的可能性相等.如抛一枚理想的均匀硬币“出现正面”与“出现反面”的可能性相等.

2.所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如样本点为n 个.

3.若事件A 含有K 个样本点，则事件A 的概率为 )(A P =

中所有样本点个数

所含样本点的个数事件ΩA =

n

k .

二、古典概型模型归纳 1.抽样模型

抽样有两种方式：放回抽样与不放回抽样 (1)放回抽样

放回抽样是抽取一件后放回，然后再抽取下一件，……，如此重复直至抽出n 件为止.

例1 一批产品共有N 件，其中M 件事是不合格品，M N -件是合格的，从中随机抽取n 件，试求事件m B =“取出的n 件产品中有M 件不合格品”的概率.

解 第一次抽取时，可从N 件中任取一件，有N 种取法.因为是放回抽样 ，所以第二次抽取时，仍有N 种取法，……，如此下去，每次都有N 种取法，一

共抽取了n 次，所以共有n N 个等可能的样本点.

事件o B =“取出的n 件产品全是合格品”，故o B 的概率为：

P

（o B ）=

n

n

N

M N )

(-=n

N

M )

1(-

.

事件1B =“取出的n 件产品全是合格品”，故1B 的概率为：

P

（1B ）=

n

n N

M N nM 1

)

(--= 1

)

1(--

n N

M N

M n

.

事件m B =“取出的n 件产品全是合格品”，故m B 的概率为：

)(m B P = n

m

n m

N

M N M m n --⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛)(= m

n m

N M N M m n --⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)1(，n m ,2,1,0 =. 由于是放回抽样，不合格品在整批产品中所占比例M /N 是不变的，记

p =M /N ,则上式可改写为：)(m B P = ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛m n m n m p p --)1(，n m ,2,1,0 =.

例2 有一袋内装有编号为1—5的5个球，从袋内放回按顺序任取3个球，问3个球编号组成奇数的概率？

解 设A=“3个球编号组成奇数”，基本事件总数为35，A 所含基本事件总数为2

5×3.故)(A P =

3

2

5

35⨯= 5

3

=0.6

例 3（随机取数问题）从0～9中任取一数，假定每个数字被取出的机会是均等的，每次取出一数，取后放回，连续取4次.求：

（ⅰ）4个数字全相同的概率. （ii ）不含数字2和7的概率. （iii ）数字6恰好出现2次的概率.

解 设A ={4个数字全不相同}，B ={不含数字2和7}，C={数字6恰好出现2次}， 基本事件总数n=410=10000 ；事件A 所包含的基本事件数A m =

4

10P =5042;事件

B 所包含的基本事件数B m = 48=4096;事件

C 所包含的基本事件

数C m = 1924P C =54 故)(A P =

n

m A =

10000

5042=0.50; )(B P =

n

m B =

10000

4096=0.41;

)(C P =

n

m C =

10000

54=0.005.

(2)不放回抽样

不放回抽样是抽取一件后不放回.

例1一批产品共有N 件，其中M 件事是不合格品，N -M 件是合格的，从中随机抽取n 件，试求事件m A =“取出的n 件产品中有M 件不合格品”的概率.

解 先计算样本空间Ω中样本点的总数：从N 件产品中任取n ,因为不讲次序，所以样本点的总数为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛n N .又因为是随机抽取的，所以这⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛n N

个样本点是

等可能的.因为事件o A =“取出的n 件产品中有0件不合格”，故o A 的概率为：

P （o A ）=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-n N n M

N .

事件1A =“取出的n 件产品中有1件不合格”，故1A 的概率为：

P

（1A ）=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛n N n M N M

11.

以此推出：P （m A ）=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛n N m n M N m M ，r m ,2,1,0 =，},min{M n r =.

2.盒子模型

例1设有n 个球，每个球都等可能地被放到N 个不同盒子中的任意一个，每个盒子所放球数不限.试求：

（1） 指定的n (≤N )个盒子中各有一球的概率1p ; （2） 恰好有n (≤N )个盒子中各有一球的概率2p ;

解 因为每个球都可能放到N 个盒子中的任何一个，所以n 个球放的方式共有n N 种，它们是等可能的.

（1） 根据乘法原则，于是其概率1p =

n

N

n !

（2） 与（1）的差别在于：此n 个盒子可以在N N 个盒子中任意选取，故，

2p =

n

n

N N

p =

)

!(!n N N N n

-.