备战2020年全国高中数学联赛与各省市预赛 历届平面解析几何大题省赛试题汇编(8页)

高中数学平面解析几何大题省赛试题汇编

1．【2018年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．

2．【2018年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于A、B两点.

⑴求证：△AOB的面积S是定值；

⑵求△AOB的外心P的轨迹方程.

3．【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为在一个交点处它们的切线互相垂直.试证

必过定点，并求该点的坐标.

4．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且M C=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证：.

5．【2018年湖北预赛】已知为坐标原点，，点为直线上的动点，

的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围.

6．【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；

（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．

7．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA与△OAB的面积分别记为，比较与3的大小，说明理由.

8．【2018年山东预赛】已知圆与曲线

为曲线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．

9．【2018年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与

双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、A、B四点在同一个圆上.

10．【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴．

11．【2018年河北预赛】如图，椭圆（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.

（1）求该椭圆的离心率；

（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为，△OED（O坐标原点）的面积为.求的取值范围. 12．【2018年四川预赛】已知双曲线，设其实轴端点为，点是双曲线上不同于的一个动点，直线分别与直线交于两点.证

明：以线段为直径的圆必经过定点.

13．【2018年浙江预赛】已知动直线l与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.

14．【2018年辽宁预赛】如图所示，在平面直角坐标系，设点是椭圆上一点，左右焦点分别是，从原点O向圆M：

作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为.

(1)设直线分别与圆交于A、B两点，当，求点A的轨迹方程；

(2)当为定值时，求的最大值.

15．【2018年江西预赛】若椭圆上不同的三点到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段的中垂线轴于点，求直线的方程．

16．【2018年湖南预赛】设曲线所围成的封闭区域为D. （1）求区域D的面积；

（2）设过点的直线与曲线C交于两点P、Q，求的最大值.

17．【2018年福建预赛】已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程．

18．【2016年吉林预赛】已知椭圆的右顶点为C,A为第一象限内的椭圆周上任意一点，点A关于原点的对称点为B，过点A作x轴的垂线，与BC交于点D，比较的大小，并给出证明.

19．【2016年浙江预赛】已知椭圆，经过点，离心率为。过椭圆的右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于两点，记的斜率分别为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求实数。

20．【2016年新疆预赛】设过原点且斜率为正值的直线与椭圆交于点，点. 求四边形面积的最大值.

21．【2016年四川预赛】已知拋物线过定点C（l，2），在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线AC与直线y=x+3交于点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线交于点B.

（1）证明：直线AB过定点；

（2）求△ABC面积的最小值.

22．【2016年江苏预赛】在平面直角坐标系xOy中，点在椭圆上，不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A、B两点，且线段AB的中点为D，直线OD的斜率为1．记直线PA、PB的斜率分别为，证明：为定值．

23．【2016年湖南预赛】设椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于点在直线上的射影依次为.

（1）求椭圆的方程.

（2）联结，当直线的倾斜角变化时，直线是否交于定点？若是，求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由.

24．【2016年湖北预赛】过抛物线外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点.证明：

（1）；

（2）.

25．【2016年河南预赛】如图，已知为椭圆在左、右顶点，直线与椭圆交于点。设的斜率分别为，且=1：9。

（1）证明：直线过定点；

（2）记的面积分别为，求的最大值。

26．【2016年甘肃预赛】已知F为椭圆的右焦点，分别为x轴、y轴上的动点，且满足.设点P满足.

（1）求点P的轨迹C.

（2）过点F任作一直线与轨迹C交于A、B两点，直线OA、OB与直线分别交于S、T（O为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出此定值；若