小学奥数 5-1-3-1 数阵图(一).教师版
1.
了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵
图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(
一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
模块一、封闭型数阵图
【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-1-3-1.数阵图
8
7
6
5
43
2
1
【答案】
8
7
6
5
43
2
1
【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且
数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？
（1）
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：
（2）h g
f e
d c b
a
a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）
a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，
d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.
又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8
若a=1
，则c=14-（1+2）=11，不在1，
4，7，8中，不行.
若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.
说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵
的解题突破口.
【答案】
【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，
则三个顶点上的三个数的和是 。
C
B
A
【考点】封闭型数阵图 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第11题，5分 【解析】 设三个顶点为D ,E ,F ，求D ,E ,F 。观察容易发现，三条边的和为36，即D +A +E +E +C +F +F +B +D =36
18+2( D +E +F )=36，所以D +E +F =9 【答案】9
【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那
么，每条边上的数字和是 ．
7
8
9
f
e
d
c
b
a 7
8
9
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 如图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为
()1293153
a b c
a b c ++++++++÷=+
，由于a b c ++最小为1236++=，最大为 45615++=，所以每条边上的数字和最小为17，最大为20，如下两图为每条边上的数字和分别为17和20时的填法．
5987
12
4
3
6
5
987
1
243
6
而每条边上的数字和能否为18或19呢？答案是否定的，现说明如下．
如果每条边上的数字和为18，那么()181539a b c ++=-?=，而918a b d +++=，即9a b d ++=，
得到c d =，与题意不符，所以每条边上的数字和不能为18．如果每条边上的数字和为19，类似分析可得到b e =，也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为19． 所以每条边上的数字和为17或20．
【答案】17或20
【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相
等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．
B
A
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，学而思杯，五年级，4年级，第4题 【解析】 方法一：如图
f e c
d
b a
B
A
用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为s ，那么2a b c d e f s +++++=，3a A e b A d c B f s ++++++++=，所以2A B s +=， 253a b c d e f A B s A B A B +++++++=++=+，而 12836a b c d e f A B +++++++=++
+=，所以5336A B +=，那么A 是3的倍数.如果3A =，
得7B =；如果6A =，得2B =，这两种情况下A 和B 的差都为4，所以A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.
方法二：设各条直线上的三个数之和都为s ，2(1238)5B s +++
+-=，即725B s -=，
所以2
14B s =??=?
，713B s =??=?，由于(1238)3A s +++++=，即363A s +=，
因此有146s A =??=?,133s A =??=?,综合有2146B s A =??=??=?，7
133
B s A =??
=??=?
，
所以A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是4.
【答案】4
【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间
两个数A 与B 的和是________。
B
A
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，4分 【解析】 若每个正方形中数的和都是18，那么总和为54，而这10个数的和为45，其中A 、B 各多算了一次，
故A +B =9。
【答案】9
【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22?的正方形中的4
个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？
1110
9
8
7
654
3
2
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 第一步：首先确定数阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；
第二步：计算三个22?正方形内4个数之和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，而231165+++=，除以3余2，因此被重复计算的两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值；
第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个22?正方形中的4个数之和的最小值为24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为24，如图，所以所求的最小值是24．
【答案】24
【例 8】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和
都相等．那么这个和是多少
?
861102912
3114
5
7
【考点】封闭型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x ，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1～12相
加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：()121225x x ++++=，解得26x =，即这个和为26．具体填法如右上图。
【答案】26
【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的
四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．
2
4
68
2
46
88
6
4
2
【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S ．
考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次，即()42468360S =+++?=．得到60415S =÷=，
但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上的数字之和不可能都相等．
⑵由于三角形3个顶点上的数字之和最小为2226++=，最大为88824++=，可能为6、8、10、……22、24，共有10个可能的值，而三角形只有8个，所以是有可能做到8个三角形的顶点上数字之和互不相同的．
根据对称性，不妨舍去这10个可能值的首尾两个，把剩下8个值(8、10、12、14、16、18、20、22)作为8个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法．
【答案】2
4
68
2
46
88
6
4
2
【例 10】 将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之
和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.
【考点】封闭型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示：
9+15+a+c=34，5+10+e+g=34，7+14+b+d=34，11+8+f+h=34，c+d+e+f=34， 化简得：a+c=10 4+6=10.
e+g=19 3+16=19，6+13=19 b+d=13 1+12=13，
f+h=15 2+13=15，3+12=15.
a ，
b ，
c ，
d ，
e ，
f ，
g ，
h 应分别从1，2，3，4，6，12，13，16中选取.因为a+c=10，所以只
能选a+c=4+6； b+d=13，只能选b+d=13；e+g=19，只能选e+g=3+16；f+h=15，只能选f+h=2+13 若d=1，c=4，则e+f=34-1-4=29，有e=16，f=13.
若d=1，c=6，则e+f=34-1-6=27，那么e 、f 无值可取，使其和为27. 若d=12，c=4，则e+f=34-12-4=18，有e=16，f=2. 若
d=12，c=6，则e+f=34-12-6=16，有e=3，f=13. 解：共有三个解（见图）.
【答案】
【例11】一个3?3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。
【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】因为每个角上的棋子分别被两条边共用，根据这一特点可以将边上的棋子减少，同时增加角上的棋子数。具体操作如图：
【答案】
【例12】如果将右图分成四块，每块上的数的和都相等，那么每块的和是
【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】根据题目给的数字计算所有的数字和为：9412561191491083100
+++++++++++=，分成四块的，每块的数字和为：100425
++=，691025
++=，
++=，511925
÷=，，所以941225
++=，具体分法如上图。
831425
【答案】
模块二、辐射型数阵图
【例 13】 把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图2的5个方格中，使得横排的三个方格中的数
的和等于竖列的三个方格中的数的和。则中间方格中能填的数是____________。
【考点】辐射型数阵图 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第10题 【解析】 由题意，横行两端两个数的和应该等于竖列两端两个数的和，也就是除去中间方格中的数，其余的
四个数可以分为和相等的两组。所以中间方格中能填的数为：1991，1993，1995。
【答案】中间方格能填的数可以为：1991，1993，1995，答案不唯一
【例 14】 请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.
应怎样填？
（1）
【考点】辐射型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如下图（2），
g a
b c d
e f （2）
设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k ，
则（a+b+e ）+（a+c+f ）+（a+d+g ）=3k 3a+b+c+d+e+f+g=3k 2a+（a+b+c+d+e+f+g ）=3k 2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k 2a+28=3k a 为1、4或7，若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9，
因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.
若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得
到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.
若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7，因此得
到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4. 解：共得到三个解：如下图.
例2为辐射型数阵图，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数a 和每条直线上几个圆圈内数的和k.
【答案】
【例 15】 右边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的字都表示一个数(不同的字可以表示相同的数)，
已知其中任何3个连续方格中的数相加起来都为22，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=
【考点】复合型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 “走”+“进”922+=
9+“数”+“学”22= “花”8++“园”22=
所以“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=229229228-+-+-40=
【答案】40
【例 16】 请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，竖列任意三
个相邻方格内的数字之和都是18．
8
5
3
8
72
2
5
5885
2
783
3
8
5
3
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是18，从上至下第二个数与第三个数的和是18315-=，第
二个数+第三个数+第四个数18=，第四个数等于3，以此类推，从上至下第一个数等于第四个数等于第七个数，第二个数等于第五个数等于第八个数，所以竖行从上至下依次为3、8、7、3、8、7、3、8；同理，横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，由左至右第六个数是8，所以横行由左至右依次为5、2、8、5、2、8、5、2、8、5，如右上图所示．
【答案】8
72
2
5
5885
2
7833
8
5
3
【例 17】 2000个数写成一行，任意三个相邻的数的和均相等，总和53324。去掉左起第1、第1949、第1975
及最后一个数，和成为53236，问剩下的数中左起第50个数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第12题，12分 【解析】 第一个数+第二个数+第三个数=第二个数+第三个数+第四个数，所以第一个数=第四个数，同
理第二个数=第五个数，第三个数=第六个数，也就是这个数列是以3为周期的一个周期数列。
194936492÷=??????，197536581÷=??????，200036662÷=??????，也就是第一个数2?+第二个数
2?=533245323688-=，
所以第一个数+第二个数44=，又因为2000个数的和为53324，53324=（第一个数+第二个数+第三个数）666?+第一个数+第二个数，从而求出第一个数+第二个数+第三个数80=，所以第三个数804436=-=，而503162÷=??????，所以剩下的数中左起第50个数就是原数列中的第51个数，即原数列中的第3个数，等于36。
【答案】36
【例 18】 如图，在2006年的3月的日历上，52A B C D +++=，那么，3月份的第一个星期日是___号。
2006年3月D
C
B A
六
五四三二一日
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第6题，10分 【解析】 B 比A 大8，C 比B 大8，则C 比A 大16，D 比C 大8，则D 比A 大24，则有
52816244A =---÷=
（），A 是星期三，则第一个星期日是145+=号． 【答案】5号
【例 19】 右图中，从第二层（从下往上数）起，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的和。
最上面的方框中填的数是 。
283
262
670885387
⑤④③②①283262670885
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第6题，10分，4年级，决赛，第3题，8分 【解析】 如右图所示，885=③+②，③262=+①，②=①283+，
则885262=+①+①283+，
则①170=，②170283453=+=，③262170432=+=，
则④=②6704536701123+=+=，⑤885=+④88511232008=+=．
【答案】2008
【巩固】 将0，1，2，3，4，5任意填入最下一行（每个数出现一次）的6个方格中．其它每个方格中的数
等于下一行与它相邻的两个数的和．最上面的一个数的最大值是 ，最小值是 ．
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第11题，12分 【解析】 要使最上面的一个数最大，则必使0、1、2、3、4、5数字中最大数尽可能多地相加，即将大数
尽可能放在中间位置，即如下图所示：
025431
2797491616112532275759116
要使最上层的值最小，则必使0、1、2、3、4、5数字中最小值尽可能多地相加，最大值尽可能少地相加，即将最小数尽可能放在中间位置，如下图所示：
44212313
81594
41163
1384
21035
【答案】116；44。
【例 20】 请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻
的两个圆圈中所填数的和．
20
911
6
3
8
4
2
1
7
20
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出第
一行的四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是x 、y 、z 、w ，则
()320x w y z +++=，由于x w +至少为3，所以y z +不超过5；第二步：由于y z +的和不超过5，
所以，y 和z 只可能为1和2、1和3、1和4或者2和3，通过尝试可以得到不止一个答案，右面的答案是其中一个．
【答案】911
6
3
8
4
2
1
7
20
【例 21】 把1.2，3.7，6.5，2.9，4.6分别填在右图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3
个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少？
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设5个小圆中的数依次为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ，则三个方框中的数依次为
1233a a a ++、234
3
a a a ++、3453a a a ++，继而求出三角形中的数为12345
2329
a a a a a ++++．为使这个数最小，3a 应该填入最小的数1.2，2a 、4a 应该填入次小的2.9和3.7，1a 、5a 填入4.6和6.5．可得三角形中的数最小为3.1．
【答案】3.1
四年级 数学试题 奥数第20讲 幻方与数阵图扩展 苏教版(2014秋) 无答案
第20讲幻方与数阵图扩展 内容概述 掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题. 典型问题 兴趣篇 1. 把1，2，…，9填人图20-1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等． 2. (1)如图20-2，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等． (2)如图20-3，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
3．在图20-4所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“。”的方格内所填的数是多少? 4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方． 5．请将图20-6所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”
的方格中所填的数分别是什么?
6．请将1至9这9个数填入图20-7中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种? 7．请在图20-8所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小)恰好是1、2、3、4、5、6、7． 8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．
奥数平均数问题教案
第六讲平均数问题教案 教学目标： 1：认识什么是算数平均数、加权平均数、调和平均数和基准数平均数。 2：学会解决平均数问题的方法，理解平均数的意义。 教学重点：如何解决复杂平均数问题，弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系。 教学难点：如何让学生把握理解复杂平均数应用题的技巧与方法。 教学过程： 平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。 解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。 一、算术平均数 学习例1：用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、 5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米 集体讨论：这是很简单的一道题，大家试着自己解答一下。 分析与解答：求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。 解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米） 答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。 学习例2：蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分 集体讨论：你能在这几个平均数中发现什么 分析与解答：解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。 解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分） ②语文： 89-10=79（分） ③政治：86×2-89＝83（分） ④数学：×2-83＝100（分） ⑤生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分） 答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。 二、加权平均数 学习例3：果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克元，水果糖每千克元，奶糖每千克元.问：什锦糖每千克多少元 分析与解答：要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。 解：①什锦糖的总价： ×2+×3+×5＝（元） ②什锦糖的总千克数： 2＋3＋5＝10（千克） ③什锦糖的单价：÷10=（元）
奥数知识点 简单数阵图
简 单 数阵图 一、辐射型数阵图 从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。先求重叠数。 数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数 重叠部分=线总和-数总和 / 线总和 = 公共的和×线数 数和：指所有要填的数字加起来的和 中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数） 重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1 公共的和：指每条直线上几个数的和 线数：指算公共和的线条数 例 1、 把1-5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。 例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以： 总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例 3、 把1~5 这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等 例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。 分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2， 每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。 若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为8。 若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为9。 若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为10。 分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到 (1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。 重叠数=[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。 剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7； 3，6；4，5。可得右上图的填法。 例5、将 10~20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上三个数字之和都相等。 总结：辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数 阵图，有已知各数之和+重叠数×重叠次数 =直线上各数之和×直线条数。 (1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之 和)÷重叠次数。（如例1、例4） (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已 知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。 如例2、例5。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知 道，则要从重叠数的可能取值分析，如例3。 分析与解：与例2类似，中间○内的15是重 叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个 数字之和等于[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。 剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的 有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。 于是得到右上图的填法。
小学奥数平均数问题练习题(一)
平均数问题（一） 1、有五个数，平均数是9，如果把其中一个数改为1，这五个数的平均数为8，这个改动的数原来应该是多少？ 2、四（1）班有40个同学参加考试，其中2个同学缺考，平均成绩是89分，缺考的同学补考后各得99分，这个班的平均成绩是多少分？ 3、在一次登山比赛中，李明上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走75米。李明上、下山平均每分钟走多少米？ 4、养鸡小组养了15只母鸡，2只公鸡，每只鸡平均每个月下蛋25只，一个月共下蛋多少只？ 5、摩托车驾驶员以每小时20千米的速度行了60千米，回来时每小时行30千米，问往返全程平均速度是多少？
6、小明第一、二两次测验的数学平均成绩60分，第三次测验后，三次平均成绩是70分，第三次是多少分？ 7、三年级一班有45人，三年级二班和三年级一班的平均人数是47人，三年级二班比三年级三班少1人，三年级三有几人？ 8、甲、乙两数的平均数是30，乙、丙两数的平均数是34，甲、丙两数的平均数是32，则甲、乙、丙三数的平均数是多少？ 9、已知九个数的平均数是72，去掉一个数之后，余下的数平均为78，去掉的数是多少？ 10、把198个自然数，1、2、3、……、198平均分成三组，并使这三组的平均数相等，那么这三个平均数的和是多少？
11、以下20个数的平均数是多少？ 401 398 400 403 399 396 402 402 404 403 399 396 398 398 405 401 400 400 402 403 12、期中考试中，小明语文、数学两科的平均分是87分，数学、英语两科的平均分是90分，英语、常识两科的平均分是88分。已知常识成绩比语文高10分，试问各科成绩是多少？ 13、摄影小组为第一小队同学拍摄一张集体照，一张底片和三张照片共收成本费2.70元，加印一张照片收费0.4元，第一小队有十五个同学，如果每个人要一张照片（底片费由十五人共同分担），那么每人应付多少元？ 14、一辆汽车由甲城开往乙城，从出发到两城中点，平均每小时40千米，从中点到乙城，平均每小时行50千米，这辆汽车从甲城开往乙城，平均每小时行多少千米？
趣味数学—数阵图与幻方
. Word文档三年级奥数 --数阵图与幻 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或格)和关键点(或格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学法的综合运用． 三、幻起源： 幻也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正形，因此纵横图又叫幻．幻起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不
再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻．如下图： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻在我国历史悠久．三阶幻又叫做九宫图，九宫图的幻民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，围十五月团圆．”幻的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻定义： 幻是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻，44 ?的数阵称作四阶幻，55 ?的称作五阶幻……如图为三阶幻、四阶幻的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻常用的法： ⑴适用于所有奇数阶幻的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下 填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。
完整版小学奥数平均数问题试题专项练习
小学奥数平均数问题试题专项练习（一） 一、填空题 1．已知9个数的平均数是72，去掉一个数后，余下的数平均数为78，去掉的数是 _________． 2．某班有40名学生，期中数学考试，有两名同学因故缺考，这时班级平均分为89分，缺考的同学补考各得99分，这个班级中考平均分是_________分． 3．有5个数，其平均数为138，按从小到大排列，从小端开始前3个数的平均数为127，从大端开始顺次取出3个数，其平均数为148，则第三个数是_________． 4．某5个数的平均值为60，若把其中一个数改为80，平均值为70，这个数是 _________． 5．如果三个人的平均年龄为22岁．年龄最小的没有小于18岁．那么最大年龄可能是 _________岁． 6．数学考试的满分是100分，六位同学的平均分是91分，这6个同学的分数各不相同，其中一个同学得65分，那么居第三名的同学至少得_________分． 7．在一次登山比赛中，小刚上山时每分钟走40米，18分钟达到山顶，然后按原路下山，每分钟走60米，小刚往返的平均速度是每分_________米． 8．某校有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分，男同学比女同学多_________人． 9．一些同学分一些书，若平均每人分若干本，还余14本，若每人分9本，则最后一人分得6本，那么共有学生_________人． 10．有几位同学参加语文考试，赵峰的得分如果再提高13分，他们的平均分就达到90分，如果赵峰的得分降低5分，他们的平均分就只得87分，那么这些同学共有_________ 人． 11．有四个数每次取三个数，算出它们的平均数再加上另一个数，用这种方法计算了四次，分别得到以下四个数：86，92，100，106那么原4个数的平均数是_________． 12．甲、乙、丙三人一起买了8个面包平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没付钱．等吃完结算，丙应付4角钱，那么甲应收回钱_________分． 二、解答题
重点小学奥数数阵图
第十七周数阵图 数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是： 1.求出条件中若干已知数字的和。 2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 【铜牌例题】 将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的 9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等， 小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。 【答案】 【解析】 先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。 3+8+7=18； 第二行中间的数是：18-8-4=6； 第三行中间的数是：18-7-9=2； 第一行第一个数是：18-4-9=5； 第一行中间的数是：18-3-5=10； 【举一反三1】 （第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2，3，6三个数，那当小华的乘积魔方构造完毕后，x等于______。 【银牌例题】
（第十四届中环杯初赛真题）将0～9填入下图圆圈中，每个数字只能使用一次， 使得，每条线段上的数字和都是13。 【答案】 【解析】 如右图，a-h被算了3次，x被算了4次，y被算了2 次 则10×13=3×（0+1+2+……+9）+x-y→y-x=5 由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13→f=6 所以c+d=a+h=b+x=7→f=6 所以，a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7 所以e,g,y分别为1、8、9 又y-x=5，所以y=8或9
五年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方 知识集锦 数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。 幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。 在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方…… 例题集合 例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是14。 练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。 例2 将11～173个圆圈中的数之和都是40。
练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是 47。 例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。 练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字 之和都相等。 例4 将1～8填入下图的圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和是21。 练习4 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图（每个数字只用一次），如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是22，那么A、B两个圆圈内不可能填（）。 ①1和7 ②4和8 ③3和5 ④2和6
例5 如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。 练习5 将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。 例6 下图的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。 求x的值。 练习 6 如下图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上三个整数之和都相等。求x的值。 例7 将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数字在下图中填写一个幻方（其中已填好一个数），求幻方和。 练习7 下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
小学奥数16数阵图
1.10.5数阵图 1.10.5.1基础知识 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。 数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。 它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是： 1. 求出条件中若干已知数字的和。 2. 根据“和相等”，列出关系式，找出关键数一一重复使用的数。 3. 确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 1.10.5.2辐射型数阵 例1将1?5五个数字，分别填入下图的五个O中，使横、竖线上的三个数字和都是10。 解：已给出的五个数字和是： 1 + 2 + 3 + 4+ 5= 15 题中要求横、竖每条线上数字和都是10,两条线合起来便是20 了。20- 15 = 5,怎样 才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增 加5,关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4,分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心 数为a,贝U a被重复使用了2次。即，1 + 2+ 3 + 4+ 5+ 6+ 7+ 2a= 28+ 2a, 28+ 2a应能被3 整除。 (28 + 2a)弓=28弓 + 2a弓 其中28完=9…余1,所以2a弓应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。 当a= 1时，28 + 2a= 30 30七=10,其他两数的和是10—1 = 9,只要把余下的2、3、4、5、6、乙按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a= 4、a= 7两端应填入的数。 例3将从1开始的连续自然数填入各O中，使每条线上的数字和相等。 解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心 数为a, a被重复使用了两次，即: 1 + 2+ 3+……+ 10+ 2a= 55 + 2a, 55 + 2a应能被3整除。 (55 + 2a)七=55^3 + 2a七 其中，55^3= 18余1，所以2a七应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。在a =1时，55 + 2a= 57, 57+3= 19,即中心数若填1,各条线上的数字和应为19。但是除掉中 心数1,在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9 + 7+ 2= 18, 8 + 6+ 4= 18, 7+ 5 + 3= 15所以，a不能填1。经试验，a= 7时，余下的数组合为12 ( 19 —7= 12),也不能满足条件。因此，确定a只能填4。 例4将1?9九个数字，填入下图各O中，使纵、横两条线上的数字和相等。
一上奥数数阵填数填符搭配路线排队
1.数阵图类型 发射型： 封闭型 2.突破方法： ①找数字出现最多的线，用加减法去算 ②头中尾，填中间，大小大小手拉手 3.数阵图歌 数阵图，真有趣，每条线，和相等 数越多，先找他，头中尾，中间填 1.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于10. 2.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于9. 3.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于9. 4.把4、5、7、8四个数填在四个空格里，使得横行、竖行三个数相加等于18. 5.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于10. 6.在正方形中填上合适的数，使横行、竖行、斜行上的三个数相加都等于18. 7.把数字1、2、3、4、6、7、8、9分别填入下面八个圆圈中，使每条线上的三个数字的和等于15. 8.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都相等. 9.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都等于9. 10.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加都相等. 11.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加和都等于14. 12.把2、3、4、5、6、7、8这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数和都等于15. 13.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等. 8简单数阵 知识点： 课堂共同学习
14.把5、5、7、7、9、9分别填在下面的圆圈里，使每条边上都有5、7、9. 1.填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15. 2.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于8. 3.要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？ 4.在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于1 5. 5.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是12. 6.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 7.把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 8.把3，4，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为 20. 9.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等. 10.在每个方格内，只能填1、2、3三个数字，使横行、竖行的三个数相加都相等，但每一横行、竖行的三个数字互不相同. 5 4、6 3 4和8,5和7随便填 1.相邻数加法和减法的特征： ①加法特征：大小、大小和相等，是横式变形的根本. ②减法特征：相邻两数相减，差永远是1.（减法相等的依据） 课后自我提升 9横式填数 知识点：
幻方和数阵图
公主坟68221211 天行建51921885 中关村62560719 北 大62638951 数阵图与幻方 ● 数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格） 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍. 第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和. 第四步：运用已经得到的信息进行尝试： 数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键. ● 三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻得两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍 1. 将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围. 2将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。 1+2+3+4+5+6+7+8=36
公主坟68221211 天行建51921885 中关村62560719 北 大62638951 2. 小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点 上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？ 3. 小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图 的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？ 4. 海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每 个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？ 5. 在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立： + = = = = = ----
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小学三年级奥数题——平均数问题 求平均数问题的数量关系式是： 总数量÷总份数＝平均数总数 =平均数×份数总数量÷平均数=总份数 例题一： 例 1、用 4 个同样的杯子，水面的高度分别是8 厘米、5 厘米、4 厘米和 3 厘米。这四杯水面的平均高度是多少厘米？ 练习二 2、小明期末测试语文、数学、英语和科学分别是90 分、 96 分、 92 分和98 分。小明这四门功课的平均成绩是多少分？ 3、某学校1— 4 年级，分别有260 人、 300 人、 280 人和 312 人。这个学校平均每个年级多 少人？ 4、甲筐有梨32 千克，乙筐有梨38 千克，丙、丁两筐共有梨50 千克，平均每筐梨有多少千克？ 例题二 : 1、幼儿园小朋友做红花，小明做了7 朵，小红做了9 朵，小花和小张合作了12 朵。平均每人做红花多少朵？ 2、一个书架上第一层放书52 本，第二层放书和第三层共46 本。平均每层放书多少本？ 练习二： 1、某工厂第一、第二车间共有工人180 人，第三车间有103 人，第四车间有81 人。平均每个车间有多少人？ 2、商店有蓝气球和红气球共 43 只，黄气球有 20 只，绿气球有 33 只。平均每种气球有多少只？ 3、植树小组植一批树， 3 天完成。前 2 天共植了 113 棵，第三天植了 55 棵。植树小组平均每天 植树多少棵？ 4、小明期中考试，语文、数学总分是 197 分，英语考了 91 分，小明三门功课的平均成绩是多少分？
例题三： 1、小红、小青的平均身高是103 厘米，小军的身高是115 厘米，三个人的平均身高是多少 厘米？ 2、一个同学读一本故事书，前 4 天每天读25 页，以后每天读40 页，又读了 6 天正好读完。 这个同学平均每天读多少页？ 练习三： 1、一辆摩托车从甲地开往乙地，前 2 小时每小时行驶60 千米，后 3 小时每小时行驶70 千米，这辆摩托车平均每小时行使多少千米？ 2、小明家先后买了两批小鸡，第一批的 20 只每只重 60 克，第二批的 30 只每只重 70 克，小明家的小鸡平均每只多少克？ 3、少先队员为饲养场割草，第一组7 人，平均每人割13 千克，第二组 5 人，平均每人割25千克，平均每人割草多少千克？ 4、有一小组同学量身高，其中 2 人都是 124 厘米，另外 4 人都是 130 厘米。这组同学平均身高 是多少厘米？ 例题四： 1、数学测试中，一组学生的最高分是98 分，最低分是86，其余 5 名学生的平均分是92。这一组同学的平均分是多少分？ 2、一组同学进行立定跳远比赛。最远的跳了152 厘米，最近的跳了144 厘米，其余 6 名同学都跳了148 厘米。这一组同学平均跳了多少厘米？ 练习四 3、一组学生测量身高，最高的是150 厘米，最矮的是136 厘米，其余 4 名同学都为143 厘米。这组同学的平均身高是多少厘米？ 4、音乐考试中，一组学生中有 2 人得了最高分 90 分， 1 人得了最低分 70 分，其余 5 名同学都 得了 78 分。这组同学平均成绩是多少分？
小学奥数 5-1-3-3 数阵图(三).教师版
. 5-1-3-3.数阵图 教学目标 1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 【例 1】 把 0—9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差 数列的各项之和为 55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值． 【考点】数阵图与数论 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 8 题 【解析】设顶点分别为 A 、B 、C 、D 、E ，有 45+A +B +C +D +E =55，所以 A +B +C +D +E =10，所以 A 、B 、C 、 D 、 E 分别只能是 0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为 45-10=35.设所形成的等 差数列的首项为 a 1，公差为 d .利用求和公式 5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得 a 1+2d =11，故大于等 于 0+1+5=6，且为奇数，只能取 7、9 或 11，而对应的公差 d 分别为 2、1 和 0.经试验都能填出来 所以共有 3 中情况，公差分别为 2、1、0. 【答案】 2 种可能
一年级奥数巧填数阵图
第十二讲巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现.
拓展练习 (1)填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15. 在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18. 要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？ 拓展练习 在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15.
把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等. 提高篇 把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 拓展练习 把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.
把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12. 拓展练习 把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都等于15. 把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入圆圈中，使两个正方形中四个数之和相等19. 拓展：如果使两个正方形中四个数之和相等21，又应该怎样填？
小学奥数四年级幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展 [内容概述] 本讲有两部分主要内容： 1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制； 2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 幻方的概念： 所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。 幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。 幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。 幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起， 再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。 二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特 殊的数字和位置入手。 三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关 系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。 四、 掌握好3阶幻方中的规律。 本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。 [思考题] 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 1. 如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你 一共可以得到多少种填法？ 「分析」首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道， 第1题
小学奥数教案平均数问题
小学奥数教案---平均数问题 第1讲平均数(一) 一、知识要点 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量×平均数 二、精讲精练 【例题1】有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 【思路导航】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）； （2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）（3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个）由（1）（2）两个等式可知： 1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。 1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个） 1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个） 1箱苹果有多少个：28＋18=46（个） 练习1： 1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？ 2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？ 【例题2】一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？ 【思路导航】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。 练习2： 1.两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？ 2.有两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是101.5千克；另一块田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩？ 【例题3】某3个数的平均数是2.如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数原来是多少？ 【思路导航】原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是3×3=9，9比6多出了3.是因为把那个数改成了4。因此，原来的数应该是4－3=1。 练习3：
小学三年级奥数--数阵图
数阵图（一） 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。 那么，到底什么是数阵呢我们先观察下面两个图： 左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。 上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。 例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 ） 同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以
(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。 试一试：练习与思考第1题。 例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。 分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于 ； [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。 因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1，2，3，4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。 试一试：练习与思考第2题。 例3把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。 分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重叠数 `
最新小学奥数(平均数问题)
平均数问题 一、算术平均数 例1用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？ 分析求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。 解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米） 答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。 例2蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？ 分析解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。 解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分） ②语文： 89-10=79（分） ③政治：86×2-89＝83（分） ④数学：91.5×2-83＝100（分） ⑤生物：89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分） 答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。 二、加权平均数 例3果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？ 分析要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。 解：①什锦糖的总价： 4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）
②什锦糖的总千克数： 2＋3＋5＝10（千克） ③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元） 答：混合后的什锦糖每千克5.74元。 我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。 例4甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？ 分析此题是已知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18斤，5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少15斤，乙少的部分用甲多的部分补足，也就是看90斤里面包含几个15斤，从而求出的是乙棉田的亩数，即“权数”。 解：①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤？ （203-185）×5=90（斤） ②乙棉田有几亩？ 90÷（185-170）=6（亩） 答：乙棉田有6亩。 三、连续数平均问题 我们学过的连续数有“连续自然数”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连续数的和求出这几个数，也叫平均问题。 例5已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。 分析已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组，八个数分成4组，每一组两个数的和是144÷4＝36.这样可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。 解：①每组数之和：144÷4=36 ②中间两个数中较大的一个：（36＋2）÷2＝19 ③中间两个数中较小的一个：19-2=17