6.2精通数学的神——立方根(2012.10.23)

6．2精通数学的神——立方根背景材料一天，小贝读到一则这样的故事．很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都干死了，人们找不到水喝，于是大家一起到神庙里去向神祈求．神说：“我之所以不给你们水喝，是因为你们给我做的这个正方体祭坛太小，如果你们做一个比它大1倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降水．”大家觉得好办，于是很快做了一个新祭坛送到神那里，新祭坛的边长是原来的2倍．可是，神愈发恼怒，他说：“你们敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来的2倍，我要进一步惩罚你们！”想一想，故事里的神简直是太霸道了，不给做祭坛，就不给人们水喝；祭坛做得小了，还是不给水喝；祭坛做得大了，竟然要惩罚人们．幸亏只是传说啊！再一想，神是怎么知道新祭坛的体积不是原来的2倍的？难道——神也懂得数学！小贝不觉哑然失笑．不过，故事中提到的问题倒是挺好玩的．根据祭坛的形状是正方体，可以假设原祭坛的棱长为a ，则新祭坛的棱长为2a ．所以，新祭坛的体积为(2a )3＝8a 3，而原祭坛的体积为a 3，所以新祭坛的体积是原来祭坛体积的8倍．可是，要做一个体积是原来祭坛体积2倍的新祭坛，它的棱长应是原来的多少倍呢？小贝陷入了思考．知识解读：其实，背景材料中的问题，只需用立方根的有关知识就可以解决． 一、什么是立方根一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根．一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，与平方根相比，这里的根指数3不能省略（前面学习的其实省略了根指数“2”，“三次根号a ”“根号a ”“二次根号a ”）．立方根被开方数如果x 3＝a ，则x因为23＝8，所以8的立方根为22，因为（－2）3＝－8，所以－8的立方根为－22； 因为0.53＝0.125，所以0.125的立方根为0.5＝0.5，因为（－0.5）3＝－0.125，所以－0.125的立方根为－0.5＝－0.5；因为03＝0，所以0的立方根为0＝0．因此我们得出：①任何数都有立方根；②一个数的立方根只有一个；③正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．正如开平方运算是平方运算的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算，例如：求53二、如何求一个数的立方根？了解了立方根的定义，也就知道了立方根的求法． 1．根据立方根的定义，直接求一个数的立方根．可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．例如：求1918-的立方根，∵17299188-=-，而3972928⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴1918-的立方根是92-．像求平方根一样，求一个数的立方根，常常需要借助立方运算，因此熟记1~10以内所有正整数的立2．利用计算器计算一个数的立方根． 例如：求5的立方根．在科学计算器中，按一定顺序（不同的计算器，按键顺序可能有所不同）输入相关字符，得到5的立方根约为1.7099759466767≈1.710．这样的数类似，有些，既可以直接用”的形式表示结果（准确值），也可以用1.710表示结果（近似值）．3．求负数的立方根．因为负数有一个负立方根，根据这一性质可以得到：如果a ＞0一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数，就是所求负数的立方根．也就是说，33．立方根的这一性质在求一个负数的立方根时经常用到．想一想：这条性质能否用于平方根的运算？为什么？4这个问题，在我国著名的数学著作《九章算术》中就已有论述．总结出来，可以得到一个计算公式：231n b b ++．b 和n 值．因为：8016＝8000＋16＝203＋16，所以b ＝20，n ＝16216203201+⨯+＝20.013．当然，这个结果是近似值．有兴趣的读者不妨再找一个其它的数算一算，然后再用科学计算器验证一下你计算的结果是否正确．四、平方根与立方根的联系与区别． 联系：(1)两者的运算方式相同．求平方根与立方根的运算都是开方运算，是乘方运算的逆运算，即分别是平方和立方的逆运算；（2）0的平方根、立方根结果都是0． 区别：(1)定义不同；(2)表示法不同：非负数a a 2一般省略不写，而表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则将与二次根式混淆不清．(3)性质不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0的本身；负数没有平方根．正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0；(4)a 的取值范围是非负数，即a ≥0；立方根中a 则无此限制．五、什么是一个数的n 次方根？前面我们已经研究过平方根(二次方根)和立方根(三次方根)．把平方根和立方根的概念加以推广，就得到n 次方根的概念．如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ，那么这个数就叫做a 的n 次方根．也就是说：如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根．例如，∵24＝16，∴2是16的4次方根；∵（－2）5＝－32，∴－2是－32的5次方根．我们已知知道，求一个数的平方根的运算叫做开平方；求一个数的立方根的运算叫做开立方．把这两个运算加以推广，可以得到开n次方的运算．一般地，我们把求一个数a的n的次方根的运算叫做把a开n次方．其中a叫做被开方数，n叫做根指数．有时还把开n次方区分为开奇次方和开偶次方．一般地，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．显然，n是奇数时，叫做开奇次方，n是偶数时叫做开偶次方．当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－n a表示，也可以把两个方根合起来写作±n a．显然，负数没有偶次方根．把一个数开奇次方时，求得的方根叫做奇次方根；把一个数开偶次时，求得的方根叫做偶次方根．六、如何理解数的第六种运算——开方？求一个数的方根的运算叫做开方．前面研究过的开平方和开立方都是开方运算．开方运算实质上就是求方根的运算．显然，乘方与开方互为逆运算．在式子ax n=中，求a的运算叫做乘方，求x的运算叫做开方．乘方运算的结果叫做幂，开方运算的结果叫做方根．例如，在210＝1024中，2的10次幂是1024；在101024＝2中，1024的10次方根是2．幂和方根有什么关系呢？在乘方运算中：在开方运算中：幂和方根的关系为：相关链接：黄金分割数与斐波那契数列自从古希腊数学家欧多克索首次发现了“黄金比”之时，它便成了一条公认的美学规律．建筑师们常常把它作为门窗的比例；一位报幕员在报幕时往往不会站在舞台正中两会站在舞台的黄金分割点上，给观众留下更美好的形象；就连我们国家庄严美丽的国旗图案中的正五角形，也蕴含着黄金比：正五角形的每条边恰好被与之相交的另外两边黄金分割．首次将它冠以“黄金”美称的，则是意大利著名科学家、艺术家和工程师达·51-0.618．1202年，意大利比萨的数学家斐波那契(约1170年～约1250年)（一说为1175年~1250年）在他所著的《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔．那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1年后将有多少对兔子？我们来分析一下：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；一直这样推算下去，不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和．兔子对数构成的一列数1，1，2，3，5，8…就称为斐波那契数列．黄金比出现的时间要比“斐波那契”数列出现的时间早1000多年，到底两者之间有什么联系呢？显然，斐波那契数列是一个递推数列，而递推的规则是：从数列的第三个数开始，其中任一数都是它前面两数之和，即21n n n F F F --=+，（n ＞2且F 1＝F 2＝1)．在斐波那契数列中，前后两项的比值1n n FF +随着n 的增大，总是越来越接近于黄金比．例如，当n＝8时，F 8＝21，F 9＝34，于是892134F F =≈0.617647，这个数字已经非常接近0.618了．实际上，1n n F F +正是以512-为极限的，即151lim2n n n F F →∞+-=．因此，斐波那契数列也被称为“黄金数列”．21+34=5513+21=348+13=215+8=133+5=82+3=51+2=31+1=255342113853211比萨的列奥纳多，又称斐波那契（1175年~1250年）意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲.斐波那契数列？阅读思考：问题1．判断下列语句的正确与否，并说明理由． （1）0.000125的立方根是0.05；（23a（3）如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0；（4）若一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．问题2．比较－4、－53100问题3．某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁，此长方体的长，宽，高分别为160cm ，80cm 和40cm ，求原来立方体钢铁的棱长．问题4321y -313x -互为相反数，求xy的值．问题5．已知3(2)27a b +=-235a b -=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数)．问题6．(101数学实验班单元练习)已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．问题73x a -=，2y b =(0y <)2(4)8a b -=(4b a >)33()18a b +，求xy 的值． 问题8．设3320082006200820082008200720082005a =⨯-⨯3a问题9．观察下列各式是否成立，你能从中找到什么结论，并证明你的结论．3227327；33326326；34463346335512435124参考答案：*背景材料答案：设原祭坛的棱长为x ，新祭坛的棱长为y ，依题意，有y 3＝2x 3．∴32y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即y x =1.25992105．∴要做的一个体积是原来祭坛2倍的新祭坛，它的棱长大约是原来的1.26倍． *问题1（2）不正确，根据立方根的概念，当a 是负数时，就有一个负的立方根，4=-． （3）正确，因为，若b 是正数，它的立方根a 也是正数；若b 是负数，它的立方根，即a 也是负数；如果b 是零，它的立方根a 是零，所以，不论哪种情况，都有ab ≥0．（4）不正确，一个正数的立方根只有一个数，平方根均有两个数，而平方根只有一个数的是0，0的立方根也是0，故一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是0．【规律】一个数的立方根是唯一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错．问题2．解：∵－4＝5＝ 而64＜100＜125，∴－54．问题3．解：设原来立方体钢铁的棱长为x cm ，依题意得31608040x ⨯⨯=∴x∴x ＝803答：原来立方体钢铁的棱长为803cm ．问题40，则0x y +=．根据题意可得：21130y x -+-=，23y x =，23x y =． 问题5．解：根据题意可得：232325a b a b +=-⎧⎨-=⎩，解得27a b =⎧⎨=-⎩，31a b +=-，21(3)1n a b ++=-问题6．解：∵2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，∴24a -=，即6a =，∵227327a b ++==，即得8b =，∴222268100a b +=+=，∴22a b +的平方根是10±．问题7．解：8，∴48a b -=，∵4b a >，∴48b a -=；18=，∴18a b +=，解得2a =，16b =，进而可得8x =-，4y =-，32xy =．问题8．解：设20082006m =，则33323(2)(1)(1)81261(21)a m m m m m m m m =+-+-=+++=+ 33(2200820061)40164013=⨯+=．问题9．解：(1)n =．n =nn =．。