《组合变形》PPT课件
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组合变形(工程力学课件)
偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和 弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念 及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压 剪切 扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短 相邻横截面相对错动 横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线 横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的 组合变形
（1）拉（压）弯组合 （2）斜弯曲（弯、弯组合） （3）偏心压缩（拉伸） （4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的 纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面 的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点 （ z, y） 处 的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N
组合变形的强度计算PPT演示课件
●组合变形的分析方法
叠加原理 当材料处于线弹性阶段时，杆件上的各种荷载所 引起的内力和基本变形互不影响，即各种内力、应力 和变形、应变是彼此独立的。
可以应用叠加原理，分别计算由各种简单荷载所 产生的应力和变形，然后再进行叠加，即可求得组合 变形杆件上的应力和变形。
●组合变形的分析方法 叠加原理
分解和叠加 分解:将载荷分解成只产生一种基本变形的几组载
M y Fz x Fx sin
计算A(y，z)点的正应力
z
y
A
z
yx
Fz F sin Fz z
x
h
F
Fy y Fy F cos
b
z
F y
l
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
3.应力计算 (计算A(y，z)点的正应力)
Mz
A
Mz y Iz
Myz Iy
中性轴：
o
z 横截面上正应力为零的点连成的直线
A( y, z)
令 A 0, 则A（y0, z0 )在 中 性 轴 上 ，
F y
A
Mz y0 Iz
M yz0 Iy
0
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
Mz y0 M yz0 0 —中性轴方程
A
Mz Iz
y
My
A
Myz Iy
A A A
A
Mz Iz
y
Myz Iy
z
z
叠加原理 当材料处于线弹性阶段时，杆件上的各种荷载所 引起的内力和基本变形互不影响，即各种内力、应力 和变形、应变是彼此独立的。
可以应用叠加原理，分别计算由各种简单荷载所 产生的应力和变形，然后再进行叠加，即可求得组合 变形杆件上的应力和变形。
●组合变形的分析方法 叠加原理
分解和叠加 分解:将载荷分解成只产生一种基本变形的几组载
M y Fz x Fx sin
计算A(y，z)点的正应力
z
y
A
z
yx
Fz F sin Fz z
x
h
F
Fy y Fy F cos
b
z
F y
l
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
3.应力计算 (计算A(y，z)点的正应力)
Mz
A
Mz y Iz
Myz Iy
中性轴：
o
z 横截面上正应力为零的点连成的直线
A( y, z)
令 A 0, 则A（y0, z0 )在 中 性 轴 上 ，
F y
A
Mz y0 Iz
M yz0 Iy
0
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
Mz y0 M yz0 0 —中性轴方程
A
Mz Iz
y
My
A
Myz Iy
A A A
A
Mz Iz
y
Myz Iy
z
z
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
第九章 组合变形及剪切与挤压PPT课件
解：一、简化外力：
外 加 扭 矩 :T 9 5 4 9 P 9 5 4 9 7 .5 7 1 6 .2 N m
n
1 0 0
又： T(FP1FP2)D 2
FP139,F 0p20FP1540
求出各支反力如图。
二、分析危险截面：
5400N
由计算简图可见，轴 在外力作用下，产生
x0y面内（z为中性轴） x0z面内（y为中性轴）
P
m a xF N A m a xM W m a x2 2 .1 7 A 1 0 3 1 2 W 1 0 3
100MPa
12kN·m 22.17kN
试算法! ! !
选18号工字钢
A30.6102mm2
W185103mm3
代入上式
max72.1MPa 强度足够
选16号工字钢 A26.1102m m 2 W141103m m 3
弯曲
及绕 x 轴的扭转
1、 x0y面内弯曲（ z为中性轴） MzB=36000.4=1440N·m
例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知
圆杆直径d = 100 mm，试求圆杆的最大拉应 力和最大压应力 。
10kN
C
A 1.6m
1.6m
1.2m B
解： X A 3 k N
YA 4kN
5
3
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 : 4
10kN
1C 1
FN X A 3kN
A
x
B
FS YA 4kN
一侧切去深4cm的缺口时，求缺口截面的最大正应 力？若在板两侧各切去深4cm的缺口时，缺口截面 的最大正应力为多少?(不考虑应力集中)
10
360
P
第十章组合变形-修订版 17页PPT文档
解：在切槽的截面
A1 055m 0 2m 10
P
Wy 56102 65102mm 3
10
Wz 10 652
2510mm 3 6
MZ
y
My
z
切槽的截面上的内力
N1kN
M y 1 13 0 5 1 3 0 5 N m
M z 1 1 3 0 2 .5 1 3 0 2 .5 N m
22
z
τ
D1 σ
y
x D2
D1
D2
τσ
τσ
τσ
τσ
五 建立强度条件
(1) r313[]
r41 2[(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2] []
把主应力代入
(2) r3 242[]
对圆形截面
Wt 2W
r4 232[]
M W
判定E为危险截面
RBz
Pr
Rc
z
My图
Mymax
Prab l
Pt
RBy
E
Mz max
Pt ab l
RCy
Mz图
PtD 2
T图
T Pt D 2
四 计算应力,确定危险点. T Wt M W
D1,D2 两点为危险点 D1点主应力为
1 3
} 2
()2 2
2
1 242
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知识就是财富 丰富你的人生
第十章 组合变形
第十章 组合变形
§10.1 组合变形和叠加原理 一 组合变形
构件在载荷作用下所发生的变形，包括两种 以上的基本变形形式，有时几种基本变形形式对 应的应力（变形），属于同数量级而不能忽略其 中任何一种。称为组合变形。
A1 055m 0 2m 10
P
Wy 56102 65102mm 3
10
Wz 10 652
2510mm 3 6
MZ
y
My
z
切槽的截面上的内力
N1kN
M y 1 13 0 5 1 3 0 5 N m
M z 1 1 3 0 2 .5 1 3 0 2 .5 N m
22
z
τ
D1 σ
y
x D2
D1
D2
τσ
τσ
τσ
τσ
五 建立强度条件
(1) r313[]
r41 2[(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2] []
把主应力代入
(2) r3 242[]
对圆形截面
Wt 2W
r4 232[]
M W
判定E为危险截面
RBz
Pr
Rc
z
My图
Mymax
Prab l
Pt
RBy
E
Mz max
Pt ab l
RCy
Mz图
PtD 2
T图
T Pt D 2
四 计算应力,确定危险点. T Wt M W
D1,D2 两点为危险点 D1点主应力为
1 3
} 2
()2 2
2
1 242
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第十章 组合变形
第十章 组合变形
§10.1 组合变形和叠加原理 一 组合变形
构件在载荷作用下所发生的变形，包括两种 以上的基本变形形式，有时几种基本变形形式对 应的应力（变形），属于同数量级而不能忽略其 中任何一种。称为组合变形。
2019年8组合变形.ppt
A 4W
16
最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态， 故可把σtmax直接与材料的许用正应力进行比较来 建立强度条件。
t ,max
Ft Fl [ ] A 4W
思考： 大刚度杆弯曲与压缩组合变形的最大压应力 应如何计算
17
例 8-3已知：P = 8kN,AB为工字钢，材料为A3钢 ，[] = 100MPa。 求: 工字钢型号。 解： AB受力如图
FN Ft
M max 1 Fl 4
FN图 Ft
2. 危险截面(点）
Ft M max y A Iz
t ,max
Ft Fl A 4W
M图
F 4
15
2. 危险截面(点）
Ft M max y A Iz
t ,max
Ft Fl A 4W
最大拉应力作用点 F 图 N Ft （危险点）处为 单向应力状态，故 M图 可把σtmax直接与 F 材料的许用正应力 4 进行比较来建立 Ft Fl t ,max [ ] 强度条件。
扭转
弯曲
求解组合变形的方法 将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
''
My Iy Mz z y Iz
My
F1l
F2 (l a )
中性轴的方程：
My Iy Mz z0 y0 0 Iz
Mz
5
16
最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态， 故可把σtmax直接与材料的许用正应力进行比较来 建立强度条件。
t ,max
Ft Fl [ ] A 4W
思考： 大刚度杆弯曲与压缩组合变形的最大压应力 应如何计算
17
例 8-3已知：P = 8kN,AB为工字钢，材料为A3钢 ，[] = 100MPa。 求: 工字钢型号。 解： AB受力如图
FN Ft
M max 1 Fl 4
FN图 Ft
2. 危险截面(点）
Ft M max y A Iz
t ,max
Ft Fl A 4W
M图
F 4
15
2. 危险截面(点）
Ft M max y A Iz
t ,max
Ft Fl A 4W
最大拉应力作用点 F 图 N Ft （危险点）处为 单向应力状态，故 M图 可把σtmax直接与 F 材料的许用正应力 4 进行比较来建立 Ft Fl t ,max [ ] 强度条件。
扭转
弯曲
求解组合变形的方法 将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
''
My Iy Mz z y Iz
My
F1l
F2 (l a )
中性轴的方程：
My Iy Mz z0 y0 0 Iz
Mz
5
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0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
32
l 几何参数
A 15103 m2 , zo 7.5 cm, I y 5310 cm4
l 求内力(作用于截面形心)
取研究对象如图
FN P kN,
M y 42.5 102 P kN.m
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
350
FN
33
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
l FN引起的应力
FN P MPa
u 拉伸、压缩
l 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
u 剪切
l 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
u 扭转
u 弯曲
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
'' My z Mz y
Iy
Iz
中性轴的方程：
My F1l
F2 (l a)
Mz
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
5
中性轴的方程：
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
中性轴与y轴的夹角q为
tanq z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z
其中 角为合成弯矩
与y的夹角。
M
M
• 弯—拉组合变形的构件
可不计轴向拉力产生的弯 矩而偏于安全地应用叠加 原理来计算杆中的应力。
• 弯曲与压缩组合变形的杆件只有杆的弯曲刚度相
当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应 用叠加原理。
14
例8-2 如图所示弯曲与拉伸组合，求危险截面应力分布及最大应力
解： 1.作内力图
FN Ft
M max
2. 作梁的计算简图，并分别作My 图和Mz 图
9
3. 确定此梁的危险截面(点)。 A截面上My最大， MyA=0.642 qa2, 该截面上Mz虽不 是最大，但因工 字钢Wy<<Wz ， 故A截面是可能 的危险截面。 D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ， MyD= 0.444 qa2，
C 截面
M C 12 kNm, FN 40 kN
l 设计截面的一般步骤
u 先根据弯曲正应力选择 工字钢型号；
u 再按组合变形的最大正 应力校核强度，必要时
选择大一号或大二号的工 字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
Fcx
F cy
20
l 按弯曲正应力选择工字钢型号
MC [ ]
W W M C 120 cm3
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
11
比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
( max ) A
M yA Wy
M zA Wz
0.642q (12 ) 31.5 10 6
M y z Pz p z
Iy
Iy
24
P
A
M z y Py p y
Iz
Iz
M y z Pz p z
Iy
Iy
惯性矩可表为：
Iy
Ai
2 y
,
Iz
Ai
2 z
P (1
A
yp y iz2
zpz
i
2 y
)
是一个平面方程
它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正应力按直线
规律变化。
25
l 叠加原理成立的条件
(1) 应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律； (2) 变形是小变形，可以用原始尺寸原理。 下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。
4
§8. 2 两相互垂直平面内的弯曲
l 内力图
弯矩：
My(x)=F1 x Mz(x)=F2 (x-a)
l 危险截面（点）分析
x 截面上C 点处的正应 力为
,
az
i
2 y
zp
a点坐标
ya
iz2 ay
,
za
iy2 az
u 设AB为中性轴
b点
u 同理可确定c, d, e点。
求: 工字钢型号。 解： AB受力如图
这是组合变形问 题 压弯组合。
l 求约束反力
M A(F) 0
18
l 求约束反力
M A(F) 0
F 42 kN Fcx 40 kN, Fcy 12.8 kN
l 内力图
l 危险截面：
C 截面
MC 12 kNm, FN 40 kN
Fcx
F cy
19
l 危险截面:
FN图 M图
Ft F 4
t,max
Ft A
பைடு நூலகம்
Fl 4W
[ ]
16
最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态，故可把σtmax直接与材料的许用正应 力进行比较来建立强度条件。
t,max
Ft A
Fl 4W
[ ]
思考： 大刚度杆弯曲与压缩组合变形的最大压应力
应如何计算
17
例 8-3已知：P = 8kN,AB为工字钢，材料为A3钢，[] = 100MPa。
A 15
l My引起的应力
350
FN
tmax
M y zo Iy
425 7.5P 5310
MPa
cmax
M y z1 Iy
42512.5P 5310
MPa
34
cmax
M y z1 Iy
42512.5P MPa 5310
l 最大拉应力
t max tmax
P 425 7.5P MPa 15 5310
持为零。
中性轴通过C点，
l 截面核心的确定
u 设AE为中性轴
中性轴的截距为ay, az， 由：
但方位不断变化。
ay
iz2 yp
,
az
i
2 y
zp
a点坐标
ya
iz2 ay
,
za
iy2 az
u 设AB为中性轴
b点
39
l 截面核心的确定
u 设AE为中性轴 中性轴的截距为ay, az， 由：
ay
iz2 yp
m3。，W试y=求3梁1.5的×许10可-6荷m载3；集钢度的[许q]用。弯已F曲知正：应q2a力a=[(1Nm]);=12600aM号P工a。字钢：
x
7
x
解： 1. 将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为
Fy
F
cos 40o
qa 2
cos 40o
Fz
F
sin 40o
qa 2
sin 40o
8
29
•横截面上危险点的位置
横截面有外棱角的杆件受 偏心拉伸时，危险点必定 在横截面的外棱角处。
t,max
F A
Fz F Wy
FyF Wz
c,max
F A
Fz F Wy
FyF Wz
由此式还可以看出， 如果偏心距e(亦即 yF , zF)较小，则横 截面上就可能不出
现压应力，亦即中性轴不与横截面相交。
10
D 截面上Mz 最大：
MzD=0.456 qa2 ， MyD= 0.444 qa2，
D1 z D2
y
比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
( max ) A
M yA Wy
M zA Wz
0.642q (12 ) 31.5 10 6
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
Iz Iy
tan
zp
28
tan b I z tan
Iy 由此式可知：
1. 若偏心拉力作用在 形心主惯性轴y上(即 tan=0)或者作用在 形心主惯性轴z上,则恒有tanb =tan ,即中性轴垂 直于力偶矩Fe所在的纵向面；
2.当偏心拉力不作用在任何一根形心主惯性轴而tan 0,tan 90°时，只要横截面的 形心主惯性矩IzIy， 则中性轴就不与力偶矩Fe所在的纵向面垂直。
[ ]
选16号工字钢
W 141 cm3,
A 26.13 cm2
l 按最大正应力校核强度
Fcx
F cy
21
l 按最大正应力校核强度 拉(压)弯组合变形时，危险点的应力状态是 单向应力状态。
cmax N M C 100.5 MPa [ ]
AW
可以使用
l 本题不需要校核剪切强度
22
2. 偏心拉伸(压缩)
1 4
Fl
2. 危险截面(点）
Ft M max y
A
Iz
FN图
Ft
M图
t,max
Ft A
Fl 4W
F 4
15
2. 危险截面(点）
Ft M max y