专题训练 分类讨论思想在圆中的应用

专题训练 分类讨论思想在圆中的应用 类型之一 点与圆的位置关系不唯一 1．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a＞b)，则此圆的半径为( )

A.a＋b2 B.a－b2 C.a＋b2或a－b2 D．a＋b或a－b

2．已知点P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C是⊙O上的任意一点(不与点A，B重合)．若∠APB＝50°，求∠ACB的度数．

类型之二 圆心的位置关系不唯一 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，cosB＝35.若圆O的半径为10，且经过点B，C，求线段AO的长．

4．已知在圆内接三角形ABC中，AB＝AC，圆心O到BC的距离为6 cm，圆的半径为10 cm，求腰AB的长．

类型之三 弦与弦的位置关系不唯一 5．一水平安放的水管内有水流淌，水管的横截面是一个圆，水面的横截面是圆的一条弦，已知水管的内部直径为2 m，水面的宽为1.6 m，则水最深处的深度等于______________． 6．⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，且AB＝8 cm，CD＝6 cm，求AB与CD之间的距离． 7.已知AB是⊙O的直径，AB＝2，AC和AD是⊙O的两条弦，AC＝2，AD＝3，求∠CAD的度数．

类型之四 点在直径上的位置不唯一

8．⊙O的直径CD＝5 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OMDM＝25，求AB的长．

类型之五 点在圆周上的位置不唯一 9．已知点A，B，C在半径为2 cm的⊙O上，若BC＝2 3 cm，则∠A的度数为________． 10．已知A，B是⊙O上的两点，如果∠AOB＝60°，C是⊙O上不与点A，B重合的任意一点，求∠ACB的度数．

类型之六 弦所对的圆周角不唯一 11．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为( ) A．30°或60° B．60° C．150° D．30°或150°

12．若圆的一条弦把圆分成度数比为2∶7的两条弧，则弦所对的圆周角等于________．

类型之七 直线与圆的位置关系不唯一 13．已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP＝3，那么直线l与⊙O的关系是________． 类型之八 切线的位置关系不唯一 14．已知OA，OB是⊙O的半径且互相垂直，延长OB到点C，使BC＝OB，CD是⊙O的切线，D为切点，求∠OAD的度数． 教师详答 1．[导学号：83172256]C [解析] 点P可能在圆内，也可能在圆外．

(1)当点P在圆内时，如图①. 连接O，P所在的直线交⊙O于点A，B， 则PA＝a，PB＝b， 直径AB＝PA＋PB＝a＋b，

半径OA＝OB＝12AB＝12(a＋b)； (2)当点P在圆外时，如图②. 此时直径AB＝PA－PB＝a－b，半径OA＝OB＝12AB＝12(a－b)． 2．解：如图，连接OA，OB.

∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∵∠APB＝50°， ∴在四边形PAOB中， ∠AOB＝360°－∠PAO－∠APB－∠PBO＝130°. ①若点C在优弧AB上，

则∠AC1B＝12∠AOB＝65°； ②若点C在劣弧AB上， 则∠AC2B＝12×(360°－130°)＝115°. ∴∠ACB的度数为65°或115°. 3．[导学号：83172257]解：分两种情况考虑：

(1)如图①所示， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AO垂直平分BC， ∴OA⊥BC，D为BC的中点．

在Rt△ABD中，AB＝5，cos∠ABC＝35，∴BD＝3. 根据勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝4. 在Rt△BDO中，OB＝10，BD＝3， 根据勾股定理，得OD＝OB2－BD2＝1，则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5； (2)如图②所示， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AO垂直平分BC， ∴OD⊥BC，D为BC的中点．

在Rt△ABD中，AB＝5，cos∠ABC＝35， ∴BD＝3. 根据勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝4. 在Rt△BDO中，OB＝10，BD＝3， 根据勾股定理，得OD＝OB2－BD2＝1，则OA＝AD－OD＝4－1＝3. 综上所述，OA的长为3或5. 4．解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论． 如图①，若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，连接OA，OB. ∵OD＝6 cm，OB＝10 cm，∴BD＝8 cm. ∵OD⊥BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质可得AD⊥BC， ∴AD＝10＋6＝16(cm)， ∴AB＝162＋82＝8 5(cm)；

如图②，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，和图①解法一样，只是AD＝10－6＝4(cm)， AB＝82＋42＝4 5(cm)． 综上所述，腰AB的长为8 5 cm或4 5 cm. 5．0.4 m或1.6 m [解析] 当圆心O在水面以上，如图①，AB＝1.6 m，OA＝1 m，

作OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，则AC＝BC＝12AB＝0.8 m. 在Rt△AOC中，OC＝OA2－AC2＝0.6 m， 所以CD＝OD－OC＝1－0.6＝0.4(m)； 当圆心O在水面以下，如图②，AB＝1.6 m，OA＝1 m， 作OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，同样可求得OC＝0.6 m， 所以CD＝OC＋OD＝0.6＋1＝1.6(m)． 所以当水面的宽为1.6 m时，水最深处的深度为0.4 m或1.6 m．故答案为0.4 m或1.6 m.

6．[导学号：83172258]解：当AB，CD在圆心两侧时． 过点O作OE⊥CD交CD于点E，反向延长交AB于点F，连接OA，OC，如图①所示． ∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB. ∵半径r＝5 cm，弦AB∥CD，且AB＝8 cm，CD＝6 cm，∴OA＝OC＝5 cm，CE＝DE＝3 cm，AF＝BF＝4 cm. 在Rt△OEC中，由勾股定理可得： OE2＝OC2－CE2， ∴OE＝52－32＝4(cm)． 在Rt△OFA中，由勾股定理可得： OF2＝OA2－AF2， ∴OF＝52－42＝3(cm)， ∴EF＝OE＋OF＝4＋3＝7(cm)， ∴AB与CD之间的距离为7 cm；

当AB，CD在圆心同侧时． 过点O作OE⊥CD交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，如图②所示． ∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB. 同理可得：OE＝4 cm，OF＝3 cm. 则AB与CD之间的距离为OE－OF＝1 cm.

综上可知，AB与CD之间的距离为1 cm或7 cm. 7．解：本题分两种情况：

当AC，AD在AB同侧时，如图①所示，连接BD，BC， 则∠ADB＝∠ACB＝90°. 在Rt△ADB中，AD＝3，AB＝2， ∴∠DAB＝30°. 在Rt△ACB中，AC＝2，AB＝2， ∴∠CAB＝45°， ∴∠CAD＝∠CAB－∠DAB＝15°. 当AC，AD在AB异侧时，如图②所示． 同理可求得∠CAD＝75°. ∴∠CAD的度数为15°或75°.

8．[导学号：83172259]解：当点M在⊙O右侧时，OMDM＝OMOD＋OM＝25，

∴OM＝23OD＝23×52＝53(cm)． 连接OA，在Rt△AOM中，由勾股定理得AM＝OA2－OM2＝5 56 cm. ∴AB＝2AM＝5 53 cm. 当点M在⊙O左侧时，OMDM＝25. 又∵OM＋DM＝52， ∴OM52－OM＝25，

解得OM＝57. 连接OA，在Rt△AOM中，由勾股定理得AM＝OA2－OM2＝12 514 cm. ∴AB＝2AM＝15 57 cm. 综上所述，AB的长为2 53或5 57 cm. 9．60°或120° [解析] 过点O作OD⊥BC于点D，如图所示．

∵OD⊥BC， ∴BD＝CD＝12BC＝3 cm，

∴cos∠OBD＝32， ∴∠OBD＝30°，∠BOD＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠A＝60°或120°. 故答案为60°或120°.

10．解：根据题意，当点C位于优弧AB上时，∠ACB＝12∠AOB＝30°；

当点C位于劣弧AB上时，∠ACB＝12(360°－∠AOB)＝150°. ∴∠ACB的度数为30°或150°. 11．D [解析] 弦(不是直径)所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧，因此，一条弦所对的圆周角也有两类，并且这两类圆周角互补． 如图，劣弧AB所对的圆周角为∠APB，优弧AB所对的圆周角为∠AQB.

∵AB为⊙O的弦，且OA＝OB＝AB， ∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，∴∠P＝12∠AOB＝30°， ∴∠Q＝180°－∠P＝150°. 即弦AB所对的圆周角为30°或150°.故选D. 12．40°或140° 13．相切或相交 [解析] 根据题意可知，圆的半径r＝3. 因为OP＝3，当OP⊥l时，直线和圆是相切的位置关系；当OP与直线l不垂直时，则圆心O到直线l的距离小于3，所以是相交的位置关系． 所以l与⊙O的位置关系是相交或相切， 故答案为相切或相交． 14．[导学号：83172260]解： (1)如图．

∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD. ∵OD＝OB＝BC，∴cos∠COD＝ODOC＝12， ∴∠COD＝60°.∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°，∴∠AOD＝150°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝15°. (2)如图．