2008复旦大学数学竞赛试题
2008年全国数学竞赛试题详细参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ） （C ） （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．54171（第3题）E【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O于点E ，则AE 的长为（ ）．（A）2 （B ）1 （C ）2（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5（第4题）三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．（第9题答案）D 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp∆===（第8题答案）（这里2a b cp ++=）所以12r ==2ABC a S h a ===△由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===， 即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6； 当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
2008年复旦大学(经济学基础综合)真题试卷
2008年复旦大学（经济学基础综合）真题试卷(总分：26.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.厂商的生产函数为f(x,y,z)=min{x 3 /y，y 2 ,(z 4一x 4 )/y 2 }那么，对于该厂商而言，它具有怎样的规模报酬特征?( )（分数：2.00）A.规模报醺不变B.规模报酬递增√C.规模报酬递减D.无法判断解析：解析：f(λx,λy,λz)=min{(λx) 3 /λy,(λy) 2，(λz) 4一(λx) 4／(λy) 2 }．通过数学推导，可以得f(λx,λy,λz)=λ2 min{x 3 /y,y 2，(z 4一x 4 )/y 2 }=λ2 f(x,y,z)由于λ＞1，因此f(λx,λy,λz)=λ2 f(x,y,z)＞λf(x,y,z)，所以该生产函数是规模报酬递增的．2.在下面哪一种经济体中，货币政策将会对产出产生最大的影响。
( )（分数：2.00）A.有固定汇率的小型开放经济B.有浮动汇率的小型开放经济√C.有固定汇率的大型开放经济D.封闭经济解析：解析：假定资本完全流动，BP曲线是一条水平直线，利用IS-LM-BP模型可以知道货币政策在浮动汇率制度下的效力大于固定汇率制度。
在固定汇率制度下，货币政策必须维持汇率稳定，影响了货币政策效力。
浮动汇率的开放经济会通过净出口变化和资本流动加强货币政策效力，从而，货币政策在浮动汇率的开放经济中的效力大于封闭经济。
所以，答案B正确。
二、名词解释(总题数：4，分数：8.00)3.抽象劳动（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)抽象劳动指：无差别的一般人类劳动。
在劳动过程中，劳动者脑力和体力支出即一般人类劳动。
抽象劳动是相对具体劳动而言的，它是从抽象形态分析劳动，抛开了劳动的具体形式，抽象劳动是劳动的社会属性，是商品生产所特有的范畴，商品生产的历史性决定了形成价值的抽象劳动的历史性。
介绍几道2008年自主招生数学试题
+y 2=1有交点,则11a 2+1b2 1,即有1a 2+1b2 1.2 隐性轨迹为抛物线例3 (2008年重庆文)函数f (x )=si n x5+4co s x(0 x 2 )的值域是( ).A [-14,14]B [-13,13]C [-12,12]D [-23,23]常规解法 令5+4cos x =t(1 t 3),则sin 2x =16-(t 2-5)216,当0 x时,si n x =16-(t 2-5)216=-t 4+10t 2-94,f (x )=si n x 5+4co s x=-t 4+10t 2-94t =-(t 2+9t2)+104-2t 29t 2+104=12,当且仅当t =3时取等号.同理可得当 <x 2 时,f(x ) -12,综上可知f (x )的值域为[-12,12],故选C.图3轨迹解法 令Y =f 2(x )=sin 2x 5+4cos x ,则Y =sin 2x 5+4cos x =1-cos 2x 5+4cos x设P (-4cos x ,cos 2x )则Y 表示两点P (-4cos x,cos 2x ),A (5,1)连线的斜率,而点P 的轨迹为抛物线y =x 216(0 y 1)的一段,如图3,当直线AP 平行于x 轴时,Y 取最小值;当直线AP 与抛物线相切时,Y 取最大值14,所以0 Y 14,即-12f (x )12.所以函数f (x )的值域为[-12,12].介绍几道2008年自主招生数学试题湖北省十堰市东风高级中学 442001 甘志国高校自主招生考试数学试题材料鲜活,试题的结构常以5~7道解答题的形式出现(如2008年清华大学、北京大学、浙江大学的自主招生试题),也有与本省高考数学试卷的形式类似的(如2008年山东大学自主招生试题),试题的难度一般略高于高考题.下面介绍几道2008年自主招生数学试题,且这里给出的解答多与原参考答案不同.题1(2008年北京大学自主招生数学试题)求证:边长为1的正五边形对角线长为1+52.原参考解答是用平面几何中的三角形相似证得的,下面给出一种三角解法.解 选择正五边形的两条共顶点的对角线及其一边组成等腰三角形,再作其底边上的高,又设这个正五边形对角线长为x,得si n18 =0.5x ,x =12si n18.下面求sin18 (实际上,有很多资料把si n18 =5-14作为特殊角的三角函数值列出此值为黄金分割数5-120.618的一半,挺好记的;高一数学老师应当介绍si n18 的值及其算法,并不难):由公式sin2 =2s i n cos ,cos3 =4cos 3 -3cos 及si n36 =cos54 ,立得2si n18 cos18 =4cos 318 -3co s18 ,2sin18 =4co s 218 -3=4(1-sin 218 )-3,4sin 218 +2sin18 -1=0,si n18 =5-14所以所求正五边形对角线长为x =12s i n18 =1+52.题2(2008年复旦大学自主招生数学试题)请证明2是一个无理数.证明 假设2是有理数,则可设2=mn(m,n 是两个互质的正整数),得m 2=2n 2,所以m 2是偶数,进而得m 也是偶54ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志 2009年第1期数(因为当m 是奇数时,m 2是奇数),又可得m 2(=2n 2)是4的倍数,n 2是偶数,n 也是偶数,得m,n 均是偶数,这与m,n 互质矛盾!说明2是无理数.以上证明初二学生即可弄懂,反证法教科书上虽然作了介绍,但平时训练的极少,所以学生对这种证法很陌生(而2008年高考数学江苏卷第19题第(2)问就是需要用反证法证明的题目),我们在平时的教学中应当重视这方面的训练.2还是人类历史上发现的第一个无理数,是Py thagoras (约公元前500年,希腊学者)学派的成员H i ppasus 所发现的,从而产生了数学史上的第一次危机,所以学生还应当尽可能的通过课外阅读等手段扩大知识面.题3 (2008年浙江大学自主招生数学试题),A ={(x,y )|(x -1)2+(y -2)254},B ={(x,y )||x -1|+2|y -2| a },A B,求a 的取值范围.原参考解答是:通过换元后可知,题意即,若{(x,y )|x 2+y 254} {(x,y )||x |+2|y | a },求正数a 的取值范围.再通过画图(由对称性,可以只考虑第一象限的图形),得圆x 2+y 254的圆心即坐标原点到直线x +2y =a 的距离不小于该圆的半径52,得所求a 的取值范围是[52,+ ).下面给出一种所用知识更少的解法.解 题意即,若(x -1)2+(y -2)2 54|x -1|+2|y -2| a,求实数a 的取值范围.因为(x -1)2+(y -2)2 54|y -2|54-(x -1)2,所以题设等价于|x -1|+254-(x -1)2 a 恒成立.设|x -1|=t ,得t 0,题设即函数z =t+5-4t 2(t 0)的最大值z m ax a,下面用两种方法求z m ax .法1 可得(z -t)2=5-4t 2,5t 2-2z t+(z 2-5)=0, =4z 2-20(z 2-5) 0-52z52,还可得当且仅当t =12即x =32或-12时,z =52,所以z m ax =52.法2 可得5-4t 2 0,0 t52,所以可设t =52s i n (02),得z =t +5-4t 2=52s i n +5cos ,=52(15s i n +25cos )=52si n ( + )(02),其中 =arccos15.由此也可得:当且仅当 + = 2即 =arcsin 15也即t =12就是x =32或-12时,z m ax =52.所以所求a 的取值范围是[52,+ ).题4 (2008年浙江大学自主招生数学试题)已知x >0,y >0,a =x +y,b =x 2+xy +y 2,c =mx y,问是否存在正数m 使得对于任意正数x,y,可使a 、b 、c 为一个三角形的三条边,如果存在,求出m 的值;如果不存在,请说明理由.解 因为a >b ,所以存在正数m 满足题意的充要条件是对于任意的正数x,y 有下式成立:x +y +x 2+xy +y 2>mxyx 2+xy +y 2+mx y >x +y可设y =k 2x,(k >0),得1+k 2+1+k 2+k 4>mk1+k 2+k 4+m k >1+k 2(k +1k )+(k +1k )2-1m i n>mm >(k +1k)-(k +1k )2-1m ax设k +1k =t ,得t 2,所以(t +t 2-1)m in >mm >(1t +t 2-1)m ax再由函数的单调性,可立得满足题意的正数m 存在,且m 的值有无数多个,其取值范围是(2-3,2+3).题5 (2008年南京大学自主招生数学试题)若正数a 、b 、c 满足a +b +c =1,求证:(a +1a )(b +1b )(c +1c) 100027.高中生在学习 不等式的证明 时,大多都证明过这样的题:若正数a、b 满足a +b =1,求证:(a +1a )(b +1b) 254.简证如下:先得0<ab (a +b 2)2=14,又函数f (x )=55中学数学杂志 2009年第1期ZHON GXUES HUXUEZAZHIx +1x 在(0,1)上是减函数,所以ab +1ab 14+4=174,再得(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(b a +a b ) 174+2=254,对于该题的深入研究,就会得到题5的问题.下面给出题5的两个简证,并推广其结论.证法1 因为在题5的不等式中,当且仅当a =b =c =13时取等号,为了使a +1a =a +1m a +1m a + +1ma (共m 个1m a )能使用均值不等式且等号能取到,应让a =1ma且a =13,得m =9,所以有如下证法:a +1a=a +19a +19a + +19a (共9个19a ) 1010a(9a)9,同理,有b +1b10 10b (9b )9,c +1c 10 10c(9c)9所以(a +1a )(b +1b )(c +1c ) 10310abc(93abc)9,再由0<abc(a +b +c 3)3=127,可得:(a +1a)(b +1b )(c +1c ) 100027(当且仅当a =b =c =13时取等号).由此思路,还可证得.推广1 若正数a 1,a 2, ,a n 满足ni=1a i =1,则ni=1(a i+1a i ) (n +1n )n (当且仅当a 1=a 2= =a n =1n 时取等号).证法2 (a +1a )(b +1b )(c +1c )=a 2+1b 2+1c 2+1=a 2b 2c 2+(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)+(a 2+b 2+c 2)+1abca 2b 2c 2+3 (3a 2b 2c 2)2+3 (3a 2b 2c 2)+1abc =(3abc +13abc )3,再由0<abc(a +b +c 3)3=127,及函数f(x )=x +1x在(0,1)上是减函数,可得要证结论成立!推广2 若a,a 1,a 2, ,a nR +,ni=1a in a ,则ni=1(a i +aa i)ni=1a in+nani=1a in(当且仅当a 1=a 2= =a n 时取等号).证明ni=1(a i +aa i )=ni=1(a 2i +a)ni=1a i=1ni=1a i(a n +a n-11 i 1 na 2i 1+a n-21 i 1<i2 na 2i 1a 2i 2++a1 i 1<i 2< <i n-1 na 2i 1a 2i 2 a 2i n-1+a 21a 22 a 2n )=a n+nk =1a n-k1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k )2ni=1a i,注意到和式1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k )2是C k n 项的和,由均值不等式,得1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k )2 C k nC k n1 i 1<i 2< <i k n(a i 1a i 2 a i k)2=C k nC k n(a 1a 2 a n )2kC k n n=C k nnni=1a i2k(当且仅当a 1=a 2= =a n 时取等号).所以ni=1a i +aa ia n+nk =1an-kCk nnni=1a i2kn i=1a i=a +nni=1a i2nnn i=1a inni=1a i +a a inni=1a i +anni=1a in(当且仅当a 1=a 2= =a n 时取等号).又由均值不等式,得0<nni=1a ini=1a in(当且仅当a 1=a 2= =a n 时第一个 中取等号)再由函数f (x )=x +ax 在(0,a ]上是减函数,可得nni=1a i +anni=1a ini=1a i n+nani=1a i>0(当且仅当a 1=a 2= =a n 时 中取等号)从而可得推广2成立.(推广1显然是推广2的特例)56ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志 2009年第1期。
2008年全国高中数学联赛试题及答案详解
受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A）764 cm 3或586 cm 3（B） 764 cm 3（C）586 cm 3或564 cm 3（D） 586 cm 35．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 46．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ ）。
（A）(0,)+∞ （B） 12（C） （D）)+∞二、填空题（每小题9分，共54分）11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．加 试一、（本题满分50分）如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（1）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆；（2）设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB上一点，满足：2AE AB =，1BC EC =，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O的切线，AC ，求()f P 的最小值．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （1）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（1）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ；答一图1（2）lim n n x →∞存在；（3）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．1. 【答案】C 【解析】当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．故选C.3.【答案】B12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=， 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164(()3381==，因此520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选B。
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为 （ ） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6． 已知实数,x y满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为 （ ）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵(2008x y =，∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设12a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-2-.解 ∵221a a ===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，所以△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△. 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=12解 根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1.第二试 （A ）一．（本题满分20分） 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a -=或224a +=. 又因为0a ≥，所以a =a =， 于是方程组（3）的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a b ==a b ==二．（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解 （1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即2r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ （1）求a ，b 的值.解 （1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a =2a =0a ≥，所以a =或4a =. 于是方程组（3）的解为,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==44a b == 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解 （1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以 2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
复旦大学07-08数学分析试卷
复旦大学数学科学学院2007～2008学年第一学期期末考试试卷□A 卷课程名称：_ 数学分析 III______________ 课程代码：__MATH 130001_____ 开课院系：__数学科学学院________ _ __ 考试形式：闭卷姓 名： 学 号： 专 业： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8总 分得 分填充题（每空格5分，共30分）（1）10x ∫= 。
（2）dx yx dy y y∫∫−+2042221= 。
（3）曲线222222x y z x y⎧+=⎪⎨=+⎪⎩在点处的切线方程为 (1,1,3) 。
（4），222(,)f x y z xyz ++=0z∂ 。
=x∂（5）sin 0ln(1)()ttx I t dx x+=∫，()d I t d t 。
=（6）()222,,(,,)y z z x x y x y z x y z −−−=++JG f ，()x,y,z rot JG f = 。
解答题（每题10分）2．由变量代换2u x y v x ay =−⎧⎨=+⎩，可把 226zx ∂+∂2z x y ∂−∂∂220z y ∂=∂ 化简为20zu v∂=∂∂，求a 的值。
3．设, 是由曲线∫=21)(A dt t f D x y x y xy xy 4,,2,1====所围区域，求二重积分。
∫∫D dxdy xy f )(4．计算曲面(0,0z x y )=≥≥包含在球面2221x y z ++=内的部分的面积。
5．利用Lagrange 乘数法，在曲面)0,0,0(14222>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。
6．计算第二类曲线积分：222()()()L I x yz dx y zx dy z xy d =−+−+−∫z ,其中有向曲线L 为:cos ,sin ,t t L x e t y e t z t ===，:02t π→。
高等数学习题08答案(复旦大学出版社)
习题八5. 求下列各极限：10(1)y x y →→00(3)x y →→00(4)l ;x y →→222222001cos()(6)lim .()e x y x y x y x y +→→-++ 解：(1)原式0ln 2.=(3)原式=01.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 讨论下列函数在原点O (0，0)处的连续性及偏导数：(3) 222222222,0,()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.而…8. 求下列函数的偏导数： (1)z = x 2y +2xy; (6)u = z xy ;解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ 12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z zx x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4.13.求下列函数的二阶偏导数：(3)z = y x ;解：(3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ 14.设f (x ,y ,z ) = xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f - 解：2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(2)z ＝arc tanxy, x ＝u ＋v ,y ＝u －v , 求z u ∂∂,z v ∂∂；(3)ln(e e )xyu =+, y ＝x 3, 求d d u x;(4) u ＝x 2＋y 2＋z 2, x ＝e cos t t , y ＝e sin t t , z ＝e t, 求d d u t. 解：(2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uy x yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222111(1)11.x z z x z yy v x v y vyx x y y y x ux y u v-∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x yx x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xy u f x y =-解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ 29. 求下列隐函数的导数或偏导数：(4)333z xyz a -=，求22,z zx y∂∂∂∂.解：(4)设33(,,)3F x y z z xyz a =--, 则23,3,33,x y z F yz F xz F z xy =-=-=-故223,33x z F z yz yz x F z xy z xy∂-=-=-=∂-- 223,33y z F z xz xz y F z xy z xy∂-=-=-=∂--()()()()22222222322232222()zz z x x xz z xy xz y z y z xy y y z xy xzxzz x x xz z xy z xyx yzz xy xy z z xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪-∂∂⎝⎭-⎛⎫⋅--- ⎪--⎝⎭==--31. 设11,0F y z x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定了函数z = z (x ,y ),其中F 可微，求,z z x y ∂∂∂∂.解：12122110x F F F F x x ⎛⎫'''=⋅+⋅=--⎪⎝⎭122122121222122221222110111y z x zy zF F F y F F F F F F F zx x F F x F F F F F y F zy y F F y F ⎛⎫''-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭'''=⋅+⋅='-'∂∴=-=-=∂''''-''-∂=-=-=∂''。
复旦大学2008年优秀高中生文化水平选拔测试试卷答案及详解文库
复旦大学2008年优秀高中生文化水平选拔测试试卷答案及详解 2010年11月20日星期六设为主页加入收藏帮助 | 留言交流 |登录首页 | 主题阅读 | tags | 精彩目录 | 精品文苑 | 会员浏览我的图书馆休闲·怡情 | 艺术音画美女笑话小游戏壁纸风景健康·养生 | 健身食疗治病中医减肥经穴亚健康生活·情感 | 哲理情感家居母婴美食美容百宝箱文教·社会 | 读书人文历史社会教育职场电脑复旦大学2008年优秀高中生文化水平选拔测试试卷答案及详解（转载）小航WTT 收录于2010-11-07 阅读数：查看收藏数：1公众公开原文来源欢迎浏览小航WTT 个人图书馆中收藏的文章，想收藏这篇好文章吗，赶快吧，1分钟拥有自己的个人图书馆！我也要收藏举报如果您在该网页中发现有色情、暴力、反动等不良内容，请填写以下表格联系我们：以文找文如何对文章标记，添加批注？复旦大学2008年优秀高中生文化水平选拔测试试卷答案及详解本试卷共30页，满分1000分；每题5分，共200题；考试时间为180分钟。
考生注意：1．答卷前，考生务必在试卷和答题卡上都用钢笔或圆珠笔填写姓名、中学名称、准考证号，并用2B铅笔在答题卡上正确涂写试卷类型(A卷或B卷)和准考证号。
2．本卷为单选题，由机器阅卷，答案必须全部涂在答题卡上。
在答题卡上，考生应将代表正确答案的小方格用铅笔涂黑。
注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位。
答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择并填涂。
答案不能写在试卷上，写在试卷上一律不给分。
3．本卷每题答对得5分，不答得O分，答错扣2分！！1．[元]施惠《绿林寄迹》：“倚山为寨，号为拦路虎。
金银财宝，劫来如粪土。
”句中的“拦路虎”一语作____D____。
A．补语 B．状语 C．动宾短语的宾语 D．宾语【解答】D 号：自称为。
为谓语。
所以，拦路虎应该是宾语2．下列各组词语中，没有错别字的一组是_C_____。
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：AE AB，1BC EC =，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O的切线，AC =，求()f P 的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时， ()()f P PB PD CA =+⋅．又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． （Ⅱ）记ECB α∠=，则2E C A α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==，从而s i n 32s i n 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=，解得cos α=cos α=， 故30α= ，60ACE ∠= ．答一图1由已知1BCEC==()sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， 从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC =1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故BC =，212215BD =+-⋅=，BD =故min ()f P BD AC =⋅== [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC ∆之三内角分别为x y z，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆．设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=答一图22ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=，34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=，解得cosα=cos α=，故30α= ，60ACE ∠= ．由已知1BCEC==()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=，所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ===故λ=min ()21f P ==[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 P A B C P C A B P A B C P CA B ⋅+⋅≥⋅+⋅， 所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A P B A C =--=⋅ ，从而 P A B C P C A B P D C A ⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅． （2）（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 a r g ()a r g ()A PB AC P C B--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC旋转到AB 所成的角，从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=． 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期．（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……．由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ； （ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- ． 由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑．充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n = ，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且100101n nkn k s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故1lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s sx s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．。
全国大学生数学建模竞赛历年试题
（浙江大学：刘祥官,李吉 分析法、PETRIБайду номын сангаас法、图论方
此）
鸾）
法、排队论方法
最优捕鱼策略问题（北京师范 大学：刘来福）
微分方程、积分、优化（非线性 规划）
节水洗衣机问题（重庆大学： 付鹂）
非线性规划
零件参数设计问题（清华大 学：姜启源）
截断切割问题（复旦大学:谭 微积分、非线性规划、随机模拟 永基，华东理工大学:俞文
微分方程
数码相机定位
非线性方程模型
制动器试验台的控制方法分析
DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等)
GM
0-1规划 多目标规划
艾滋病疗法的评价及疗效的预
测（天大：边馥萍）
乘公交，看奥运（吉大：方沛
辰，国防科大：吴孟达）
高等教育学费标准探讨
（开放性题目）
眼科病床的合理安排
1999 2000 2001
拟合、规划
足球排名次问题（清华大学： 矩阵论、图论、层次分、整数
蔡大用）
规划
逢山开路问题（西安电子科技 大学：何大可）
图论、插值、动态规划
锁具装箱问题（复旦大学:谭 永基，华东理工大学:俞文 图论、组合数学 此）
飞行管理问题（复旦大学:谭
天车与冶炼炉的作业调度问题 非线性规划、动态规划、层次
永基，华东理工大学:俞文 非线性规划、线性规划
酒后开车问题（清华大学：姜 启源）
微分方程
雨量预报方法的评价问题(复 旦大学:谭永基)
模糊评价 插值
易拉罐形状和尺寸的最优设计
（北理工：叶其孝）
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工程大学:韩中庚)
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一笔画问题、数学规划模型