河南省中原名校2018届高三第三次质量考评试卷理科数学试题 Word版含答案

中原名校2017—2018学年第三次质量考评高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20M x x x =--<，21|1,2N y y x x R ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|12x x <<C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x ≤<2.函数1sin()23y x π=-+在[]2,2x ππ∈-上的单调递减区间为（ ）A ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．52,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,3ππ5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.已知2222()123(2)f n n =++++…，则(1)f k +与()f k 的关系是（ ） A ．22(1)()(21)(22)f k f k k k +=++++ B ．2(1)()(1)f k f k k +=++ C ．2(1)()(22)f k f k k +=++D ．2(1)()(21)f k f k k +=++4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，则A =（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．35.已知点(,)P x y 在不等式组20,0,20,x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室应在（ ）楼 A ．2B ．3C ．4D ．87.执行如图所示的程序框图，如果输出6T =，那么判断框内应填入的条件是（ ）A ．32k <B ．33k <C ．64k <D ．65k <8.已知函数(21)y f x =-定义域是[]0,1，则2(21)log (1)f x x ++的定义域是（ ）A ．[]1,2B ．(1,1]-C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(1,0)-9.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2222sin )ab C b c a =+-，若a =3c =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3 B．C．D10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）ABCD ．311.已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为（ ） A．4(1+B．4+C．D12.若对x ∀，y R ∈，有()()()2f x y f x f y +=+-，则函数22()()1xg x f x x =++的最大值与最小值的和为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数2()422f x x ax a =+++的值域为[0,)+∞，则a 的取值集合是 ．14.已知20sin()x dx πϕ-=⎰，则sin 2ϕ= ． 15.如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1223OP e e =+，则||OP = ．16.已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数22()2f x x x x=+-，则()f e = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11326a a +=，981S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）令121n n n b a a ++=，12n n T b b b =+++…，若300n T m -≤对一切*n N ∈成立，求实数m 的最小值．18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C ︒）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）证明：平面1AB C ⊥平面BCD ；（2）若OC OA =，1AB C ∆的重心为G ，求直线GD 与平面ABC 所成角的正弦值．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2．若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求AOB ∆的面积．21.已知函数2()ln ()2a f x x x x a R =-∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()()(1)g x f x a x =+-在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1,222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为(4cos 2sin )m ρρθθ--=-，且直线l 与圆C 相交于不同的A ，B 两点．（1）求线段AB 垂直平分线'l 的极坐标方程；（2）若1m =，求过点(4,4)N 与圆C 相切的切线方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||2|()f x x m x m R =-++∈，()|21|3g x x =-+． （1）当1m =时，求不等式()5f x ≤的解集；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．中原名校2017—2018学年第三次质量考评高三数学（理）试题答案 一、选择题1-5:CAADA 6-10:BCDBB 11、12：AA二、填空题13.1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭14.91616.2三、解答题17.解：（1）∵等差数列{}n a 中，11326a a +=，981S =， ∴75226,981,a a =⎧⎨=⎩解得7513,9,a a =⎧⎨=⎩∴ 751392752a a d --===-， ∴5(5)92(5)21n a a d n n n =+-=+-=-（*n N ∈）． （2）∵1211111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n ++===-++++，∴1111111111()()2355721232323n T n n n =-+-++-=-+++…， ∵111()2323n -+随着n 增大而增大， ∴{}n T 是递增数列，又1023n >+，∴16n T <，∴5m ≥，∴实数m 的最小值为5．18．解：（1）易知需求量可取200，300,500，2161(200)3035P X +===⨯，362(300)3035P X ===⨯，25742(500)3035P X ++===⨯， 则分布列为：（2）①当200n ≤时，(64)2Y n n =-=，此时max 400Y =，当200n =时取到； ②当200300n <≤时，[]4122002(200)(2)55Y n n =⋅+⨯+-⋅-880026800555n n n -+=+=， 此时max 520Y =，当300n =时取到； ③当300500n <≤时，[][]1222002(200)(2)3002(300)(2)2555Y n n n=⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅320025n-=，此时520Y <；④当500n ≥时，易知一定小于③的情况． 综上所述，当300n =时，取到最大值为520．19.解：（1）∵11ABB A 为矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点， ∴90BAD ∠=︒，190ABB ∠=︒，1BB =112AD AA ==，从而tan AD ABD AB ∠==11tan 2AB AB B BB ∠==， ∵0ABD <∠，12AB B π∠<，∴1ABD AB B ∠=∠，∴1112AB B BAB ABD BAB π∠+∠=∠+∠=，∴2AOB π∠=，从而1AB BD ⊥，∵CO ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ， ∴1AB CO ⊥， ∵BDCO O =，∴1AB ⊥平面BCD ，∵1AB ⊂平面1AB C ， ∴平面1AB C ⊥平面BCD ．（2）如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．在矩形11ABB A 中，由于1//AD BB ，所以AOD ∆和1B OB ∆相似， 从而112OB BB OB OA OD AD===，又1AB ==BD =∴OB =，OD =，OA =1OB =，∴(0,A，(B，C，1B，D ， ∵G 为1AB C ∆的重心，∴G，6(GD =， 设平面ABC 的法向量为(,,)n xy z =，(AB =，AC =，由0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,330,x y y ⎧-+=⎪⎪=整理得0,0,y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1z =-，x =，∴2(,1,1)n =-， 设直线GD 与平面ABC 所成角α，则(1)3sin cos ,65||||GD n GD n GD n α⋅-⋅=<>===⋅， 所以直线GD 与平面ABC所成角的正弦值为65．20.解：（1）由12e =，得2a c =， 又222a b c =+，∴b =，∴椭圆C ：2222143x y c c+=，因为点3(1,)2在C 上，∴ 22914143c c+=，解得1c =，∴2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y，则1(2x P，2(2x Q ，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得0OP OQ ⋅=，即1212143x x y y +=，① 由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 整理得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，由22226416(34)(3)0k m k m ∆=-+->，得22340k m +->，而122834mkx x k+=-+，21224(3)34m x x k -=+，② ∴22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，将②③代入①得：222224(3)3(4)04(34)4(34)m m k k k --+=++， 即22243m k -=，又∵||AB ==， 原点O 到直线l ：y kx m =+的而距离d =∴1||2AOBS AB d ∆=⋅=， 把22243m k -=代入上式得AOB S ∆=，即AOB S ∆21.解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x =-，'()ln 12f x x x =+-，(1)1f =-，'(1)1f =-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =-．（2）由已知得2()ln (1)2a g x x x x a x =-+-，则'()ln g x x ax a =-+， 记()'()ln h x g x x ax a ==-+，则(1)0h =，11'()axh x a x x-=-=．①当0a ≤，(0,)x ∈+∞时，'()0h x >，函数'()g x 单调递增，所以当(0,1)x ∈时，'()0g x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意．②当01a <<时，11a>，当1(0,)x a ∈时，'()0h x >，故函数'()g x 单调递增，可得当(0,1)x ∈时，'()0g x <，1(1,)x a∈时，'()0g x >，所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意．③当1a =时，当(0,1)x ∈时，'()0h x >，'()g x 在(0,1)内单调递增；(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，'()g x 在(1,)+∞内单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，'()0g x ≤，()g x 单调递减，不合题意． ④当1a >时，即101a <<，当1(,1)x a∈，'()0h x <，'()g x 单调递减，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，'()g x 单调递减，'()0g x <，所以()g x 在1x =处取得极大值，不合题意．综上可知，实数a 的取值范围为1a <．22.解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1， 所以直线'l 的斜率为1-．因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222x y ρ=+，cos x ρθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，配方，得22(2)(1)5x y m -+-=-，其圆心为(2,1)C 5m <）． 由题意知直线'l 经过圆心(2,1)C ，所以直线'l 的方程为1(2)y x -=--，即30x y +-=，所以由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线'l 的极坐标方程为(cos sin )3ρθθ+=． （2）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，2=，解得512k =，所以所求切线的方程为512280x y -+=； 当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x =．11 综上，所求切线的方程为4x =或512280x y -+=．23.解：（1）当1m =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x ≤-时，()1221f x x x x =---=--，由215x --≤，解得3x ≥-，所以32x -≤≤-；②当21x -<<时，()1235f x x x =-++=≤恒成立，所以21x -<<；③当1x ≥时，()1221f x x x x =-++=+，由215x +≤，解得2x ≤，所以12x ≤≤； 综上所述，不等式()5f x ≤的解集为[]3,2-．（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，设{}|()A y y f x ==，{}|()B y y g x ==，则A B ⊆，因为()|||2||()(2)||2|f x x m x x m x m =-++≥--+=+，()|21|33g x x =-+≥，所以|2|3m +≥，解得1m ≥或5m ≤-，因此，实数m 的取值范围为(,5][1,)-∞-+∞．。