线性规划实验举例

最优化算法实验指导书
1.线性规划求解
1.1 生产销售计划
问题 一奶制品加工厂用牛奶生产A 1、A 2两种普通奶制品，以及B 1、B 2两种高级奶制品，分别是由A 1、A 2深加工开发得到的，已知每1桶牛奶可以在甲类设备上用12h 加工成3kg A 1，或者在乙类设备上用8h 加工成4kg A 2；深加工时，用2h 并花1.5元加工费，可将1kg A 1加工成0.8kg B 1，也可将1kg A 2加工成0.75kg B 2，根据市场需求，生产的4种奶制品全部能售出，且每公斤A 1、A 2、 B 1、B 2获利分别为12元、8元、22元、16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间最多为480h ，并且乙类设备和深加工设备的加工能力没有限制，但甲类设备的数量相对较少，每天至多能加工100kg A 1，试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题： （1）若投资15元可以增加供应1桶牛奶，应否作这项投资；
（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，支付给临时工人的工资最多是每小时几
元？
（3）如果B 1、B 2的获利经常有10%的波动，波动后是否需要制定新的生产销售计划？ 模型 这是一个有约束的优化问题，其模型应包含决策变量、目标函数和约束条件。

决策变量用以表述生产销售计划，它并不是唯一的，设A 1、A 2、 B 1、B 2每天的销售量分别为1234,,,x x x x （kg ），34,x x 也是B 1、B 2的产量，设工厂用5x （kg ）A 1加工B 1，6x （kg ）A 2加工B 2（增设决策变量5x 、6x 可以使模型表达更清晰）。

目标函数是工厂每天的净利润z ，即A 1、A 2、 B 1、B 2的获利之和扣除深加工费，容易写出1234561282216 1.5 1.5z x x x x x x =+++--(元)。

约束条件
原料供应：A 1每天的产量为15x x +（kg ），用牛奶13()/3x x +（桶），A 2的每天产量为26x x +（kg ），用牛奶26()/4x x +（桶），二者之和不得超过每天的供应量50（桶）。

劳动时间：每天生产A 1、A 2的时间分别为154()x x +和262()x x +，加工B 1、B 2的时间分别为52x 和62x ，二者之和不得超过总的劳动时间480h 。

设备能力：A 1每天的产量15x x +，不得超过甲类设备的加工能力100（kg ）。

加工约束：1（kg ）A 1加工成0.8（kg ）B 1，故350.8x x =；类似的460.75x x =。

非负约束：123456,,,,,x x x x x x 均为非负。

由此得如下基本模型：
123456max 1282216 1.5 1.5z x x x x x x =+++--
1526
152656153546
123456
50344()2()22480100.0.80.75,,,,,0x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ++⎧+≤⎪⎪
+++++≤⎪⎪
+≤⎨⎪=⎪
=⎪⎪≥⎩
显然，目标函数和约束函数都是线性的，这是一个线性规划问题，求出的最优解将给出使净利润最大的生产销售计划，要讨论的问题需考虑参数的变化对最优解和最优值的影响，即灵敏度分析，整理后为： 12345m a x 1282216 1.5 1.5
z x x x x x x =++
+--
12561
256153
5461234564343600
232240
100
.0.800.750,,,,,0
x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪+≤⎪⎨-=⎪⎪-=⎪≥⎪⎩
编程计算如下：
c=[-12 -8 -22 -16 1.5 1.5];
>> A1=[4 3 0 0 4 3;2 1 0 0 3 2;1 0 0 0 1 0]; >> c=[-12 -8 -22 -16 1.5 1.5];
>> a=[4 3 0 0 4 3;2 1 0 0 3 2;1 0 0 0 1 0]; b=[600 240 100];
aeq=[0 0 1 0 -0.8 0;0 0 0 1 0 -0.75]; beq=[0 0];
lb=[0 0 0 0 0 0]; ub=[];
[x,fval]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub) Optimization terminated successfully. x =
0.0000 168.0000 19.2000 0.0000 24.0000 0.0000
fval =
-1.7304e+003
1.2 配料问题
例 某炼油厂生产3种规格的汽油：70号，80号与85号，它们各有不同的辛烷值与含硫量的质量要求，这3种汽油由3种原料油调和而成，每种原料油每日可用量、质量指标及生产成本见下表1，每种汽油的质量要求和销售价格见表2，假定在调和中辛烷值和含硫量指标都符合线性可加性，问该炼油厂如何安排生产才能使其利润最大？
解 本例建立数学模型的关键是决策变量的选择，如果选择各种汽油产品的质量，在建立数学模型时会遇到一些困难，定义决策变量ij x 为第i 种原料调入第j 种产品油中的数量，记
j p 表示单位第j 种产品的销售价格，i c 为单位第i 种原料的生产成本，i e 及'j e 分别为原料
油和产品油的辛烷值，i h 和'j h 分别为原料油和产品油的含硫量，i s 为原料油每日的可用量，首先考虑问题的目标函数，第j 种汽油产品所产生的利润为
3
1
()j
i ij i p
c x =-∑
因此目标函数为
33
11
()j
i ij j i p
c x ==-∑∑
约束条件应有3组：
汽油产品的辛烷值要求：
112233123'(),1,2,3j j j j j j j e x e x e x e x x x j ++≥++= 汽油产品的含硫量要求：
112233123'(),1,2,3j j j j j j j h x h x h x h x x x j ++≥++=
原料油可用量的限制：
123,1,2,3i i i i x x x s i ++≤= 因此本题的数学模型为 33
11
max
()j
i ij j i p
c x ==-∑∑；
3
13
13
1
(')0,1,2,3(')0,1,2,3..,1,2,30,,1,2,3i j ij i i j ij i ij i j ij
e e x j h h x j s t x s j x i j ===⎧-≥=⎪⎪⎪-≥=⎪⎨⎪≤=⎪⎪⎪≥=⎩∑∑∑ 将已知数值代入并化简后，其数学模型为
11213112223213max 3000500600300200900z x x x x x x x =+-++-+ 2333600100x x ++
11213112223213233311213112223213233311121321222331323388200182100
237500.50.20.800.50.20.80..0.90.20.40200010005000,,1,2,3
ij x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x i j -++≥⎧⎪--+≥⎪
⎪--+≥⎪
--≤⎪⎪--≤⎪⎨+-≤⎪
⎪++≤⎪
++≤++≤≥=⎩⎪⎪⎪⎪
>> c=[-300 0 500 -600 -300 200 -900 -600 -100];
>> a=[8 -8 -20 0 0 0 0 0 0;0 0 0 18 2 -10 0 0 0;0 0 0 0 0 0 23 7 -5;0.5 0.2 -0.8 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0.5 -0.2 -0.8 0 0 0;...
0 0 0 0 0 0 0.9 0.2 -0.4;1 0 0 1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1]; >> b=[0 0 0 0 0 0 2000 1000 500]; >> aeq=[]; beq=[];
lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0];
ub=[];
[x,fval]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub)
Optimization terminated successfully.
x =
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
750.0000
150.0000
0.0000
250.0000
350.0000
fval =
-3.8000e+005
作业布置：建立模型并求解1.34 1.35（抄题目）。