线性规划实验举例
数学建模作业实验线性规划实验模板
数学建模作业(实验3线性规划实验)基本实验1．生产计划安排某公司使用三种操作装配三种玩具——玩具火车、玩具卡车和玩具汽车。
对于三种操作可用时间限制分别是每天430分钟、460分钟和420分钟, 玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的单位收入分别是3美元、2美元和5美元。
每辆玩具火车在三种操作的装配时间分别是1分钟, 3分钟和1分钟。
每辆玩具卡车和每辆玩具汽车相应的时间是( 2, 0, 4) 和( 1, 2, 0) 分钟( 零时间表示不使用该项操作) 。
( 1) 将问题建立成一个线性规划模型, 确定最优的生产方案。
( 2) 对于操作1, 假定超过它当前每天430分钟能力的任何附加时间必须依靠每小时50美元的加班获得。
每小时成本包括劳动力和机器运行费两个方面。
对于操作1, 使用加班在经济上有利吗? 如果有利, 最多加多少时间?( 3) 假定操作2的操作员已同意每天加班工作两小时, 加班费是45美元一小时。
还有, 操作自身的成本是一小时10美元。
这项活动对于每天收入的实际结果是什么?( 4) 操作3需要加班时间吗?解答解:设生产玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的数量分别为X1, X2, X3, 则目标函数为:3X1+2X2+5X3约束条件:X1+2X2+X3<=4303X1+2X3<=460X1+4X2<=420X1>=0; X2>=0; X3>=0最优值为目标函数取得最大。
LINGO程序max=3*x1+2*x2+5*x3;x1+2*x2+x3<=430;3*x1+2*x3<=460;x1+4*x2<=420;运行结果Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:1350.000Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:2ModelClass:LPTotalvariables:3Nonlinearvariables:0Integervariables:0Totalconstraints:4Nonlinearconstraints:0Totalnonzeros:10Nonlinearnonzeros:0VariableValueReducedCostX10.0000004.000000X2100.00000.000000X3230.00000.000000RowSlackorSurplusDualPrice11350.0001.00000020.0000001.00000030.0000002.000000420.000000.000000( 1) 由运行结果可得, 最优的生产方案为:玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的生产数量分别为: 0、100、230; 收入为1350.( 2) 由DualPrice第二行可知, 当操作1每增加1分钟收入增加1美元, 因此50/60<1, 使用加班在经济上是有利的; Rangesinwhichthebasisisunchanged: ObjectiveCoefficientRanges:CurrentAllowableAllowable VariableCoefficientIncreaseDecreaseX13.0000004.000000INFINITYX22.0000008.0000002.000000X35.000000INFINITY2.666667RighthandSideRanges:CurrentAllowableAllowableRowRHSIncreaseDecrease2430.000010.00000200.00003460.0000400.000020.000004420.0000INFINITY20.00000分析可知, 最多增加10分钟。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设有一家生产玩具的工厂，该工厂生产两种类型的玩具：A型和B型。
工厂有两个车间可供使用，分别是车间1和车间2。
每一个车间生产一种类型的玩具，并且每一个车间每天的生产时间有限。
玩具A的生产需要1个小时在车间1和2个小时在车间2，而玩具B的生产需要3个小时在车间1和1个小时在车间2。
每一个车间每天的生产能力分别是8个小时和6个小时。
每一个玩具A的利润为100元，而玩具B的利润为200元。
现在的问题是，如何安排每一个车间每天的生产时间，以使得利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设x1为在车间1生产的玩具A的数量（单位：个）；设x2为在车间2生产的玩具A的数量（单位：个）；设y1为在车间1生产的玩具B的数量（单位：个）；设y2为在车间2生产的玩具B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x1 + 200y13. 建立约束条件：a) 车间1每天的生产时间限制：x1 + 3y1 ≤ 8b) 车间2每天的生产时间限制：2x1 + y1 ≤ 6c) 非负约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0三、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以求解出最优的生产方案。
1. 求解结果：根据线性规划求解器的结果，最优解为：x1 = 2, x2 = 0, y1 = 2, y2 = 0即在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B，可以实现最大利润。
2. 最大利润：根据最优解，可以计算出最大利润：Z = 100x1 + 200y1= 100(2) + 200(2)= 600元因此，在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
四、结果分析根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：1. 最优生产方案：根据最优解，最优生产方案为在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B。
2. 最大利润：在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。
工厂有两个生产车间：车间1和车间2。
生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。
每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。
我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。
二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。
假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。
线性规划应用举例
线性规划应用举例- 4 -
（b） min z = ( x11 + x 21 + x31 + x 41 + x51 ) + 3( x12 + x 22 + x32 + x 42 ) + 4 x33 + 5.5 x 24
x11 + x12 ≤ 200 ⎧ ⎪ x21 + x22 + x24 ≤ 1.1x11 ⎪ ⎪ x31 + x32 + x33 ≤ 1.1x21 + 1.25 x12 ⎪ x41 + x42 ≤ 1.1x31 + 1.25 x22 ⎪ ⎪ x51 ≤ 1.1x41 + 1.25 x32 s.t.⎨ x ⎪ xi 2 ≤ 30, i = 1,2,3,4 ⎪ x33 ≤ 80, x24 ≤ 100 ⎪ ⎪ 1.1x + 1.25 x + 1.4 x +1.55 x ≥ 330 51 42 33 24 ⎪ ⎪ x ≥ 0 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , j = 1 , 2 , 3,4 ij ⎩
7、某市有3个造纸厂I,II,III，它们供给3个印刷厂所需的纸张。各造纸厂的产量、各印刷 厂印刷的能力，各印刷厂和各造纸厂之间的单位运价均列于下表中。假定在1，2和3印刷厂 印刷单位纸张的利润分别为12元，16元和11元，如果造纸厂与印刷厂属于同一个主管单位， 试确定使总效益最大的纸张分配计划。 印刷厂 造纸厂 A1 A2 A3 印刷厂需要量 B1 3 4 8 15 B2 10 11 11 25 B3 2 8 4 20 造纸厂产量 20 30 20
2、一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员 充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安 排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？ 时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 所需售货员人数 28 15 24 25 19 31 28
线性规划的实际应用举例
线性规划的实际应用举例即两为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(的实际应用举例加以说明。
个变量的线性规划)1 物资调运中的线性规划问题万个40万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运1 A，B两仓库各有编织袋50例/元万个、180/万个到乙地。
已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元到甲地，20元／万个。
问如何调运，能150/万个、万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元? ?总运费的最小值是多少使总运费最小仓库调Bz元。
那么需从x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为解：设从A仓库调运40-x万个到甲地，调运运万个到乙地。
20-y从而有。
z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+70001)(图，即可行域。
作出以上不等式组所表示的平面区域z'=z-7000=20x+30y. 令：20x+30y=0，作直线l且与原点距离最小，0)，，l的位置时，直线经过可行域上的点M(30l把直线向右上方平移至l y=0时，即x=30，亦取得最小值，取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000z'=20x+30y 元)。
30+30×z=20×0+7000=7600(min万个到乙地，可使总万个到甲地，20B30万个到甲地，从仓库调运10A答：从仓库调运元。
运费最小，且总运费的最小值为76002 产品安排中的线性规划问题吨，麦麸0.4吨需耗玉米某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料2例1O.4吨，其余添加剂0.2．吨甲种1吨，其余添加剂0.2吨。
每吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3元。
可供饲料厂生产的玉米供应500元，每1吨乙种饲料的利润是饲料的利润是400吨。
问甲、乙300吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过量不超过600 ? ?最大利润是多少两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大1。
第二章 线性规划应用举例
2.17 有 A, B 两种产品，都须经过两道化学反应过程。 每一单位产品 A 需要在前一工序中花去 2 小时和在后 道工序中花去 3 小时； 每一单位产品 B 需要在前一工 序中花去 3 小时和在后道工序中花去 4 小时。 可供利 用的前一工序的时间为 200 小时， 后道工序的时间为 240 小时。每生产 1 个单位的产品 B 同时也能得到 2 个单位的副产品 C。出售产品 A 每单位能获利 5 元， 产品 B 每单位能获利 10 元，副产品 C 每单位能获利 3 元。卖不出去的产品 C 必须销毁，单位销毁费用是 1 元。 由市场预测知， 最多出售出 10 个单位的产品 C。 试问如何安排生产计划，可使获得的利润最大。
解：定义决策变量为产品中所含原料数量。令 xij 表示第 j 种产品中 i 种原料的 数量（公斤），i=A, B, C, D；j=1, 2, 3。由于产品 3 不含有 C，故 xC 3 0 。
化简后可得：
目标是使利润最大，这里就是总销售收入与原料的总成本之差为最大。
目标函数为：
该问题的LP模型可归纳如下：
2.18 某造纸厂生产宽度为 3 米的卷筒 纸，再将这种大卷筒切成宽度分别为 1.6m, 1.lm 和 0.7m 的小卷筒。 市场对这 三种小卷筒的需求分别是 100、200 和 400 个。问应以怎样的方法切割，可使 耗用的大卷筒最少而又能满足市场的 需要。最优切割方案是否唯一？
2.19一家化工厂生产洗衣粉和洗涤剂。 生产原料可以从市场上以 每公斤5元的价格买到。 处理1公斤原料可生产0.55公斤普通洗衣 粉和0.35公斤普通洗涤剂。 普通洗衣粉和普通洗涤剂可分别以每 公斤8元和12元的价格在市场上出售。市场对普通洗衣粉的最低 需求是每天1000公斤。工厂设备每天最多可处理10吨原料，每 加工1公斤原料的成本为 1.5元。为生产浓缩洗衣粉和高级洗涤 剂，工厂还可继续对普通洗衣粉和普通洗涤剂进行精加工。处 理1公斤普通洗衣粉可得0.6公斤浓缩洗衣粉，处理1公斤普通洗 涤剂可得0.3公斤高级洗涤剂。浓缩洗衣粉和高级洗涤剂的市场 价格分别为每公斤24元和55元。每公斤精加工产品的加工成本 为3元。如果原料供应没有限制且各类产品畅销，问该工厂如何 生产能使其利润最大？
线性规划案例5
问题描述：
靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
化工厂1每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，化工厂2每天排放的工业污水为1.4万立方米。
从化工厂1排出的污水流到化工厂2前，有20%可自然净化。
根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。
因此两个工厂都需处理一部分工业污水。
化工厂1处理污水的成本是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元/万立方米。
问:
在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使两个工厂处理工业污水的总费用最小。
第五节 线性规划建模举例
第五节线性规划建模举例线性规划是一种操作研究的数学方法，广泛应用于商业、经济、工程领域中的优化问题。
线性规划建模是将实际问题描述为线性规划模型的过程。
本节将介绍几个线性规划建模的典型例子。
例1：混合饲料配方问题某饲料厂要生产一种混合饲料，需包括以下六种饲料成分：大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉、牛粉，并且要求这种混合饲料包含不少于25%的蛋白质和不多于15%的纤维素。
每吨饲料的生产成本和含量如下：| 饲料成分 | 成本（元/吨） | 蛋白质含量（%） | 纤维素含量（%） || -------- | ------------- | -------------- | -------------- || 大豆粉 | 200 | 45 | 10 || 面粉 | 100 | 10 | 2 || 玉米 | 150 | 8 | 5 || 鱼粉 | 300 | 60 | 0 || 鸡粉 | 280 | 50 | 2 || 牛粉 | 320 | 70 | 5 |问如何使得生产的混合饲料成本最小，同时满足蛋白质含量不少于25%和纤维素含量不超过15%的要求。
自变量：混合饲料中每种成分的含量。
目标函数：最小化混合饲料的成本。
约束条件：1. 蛋白质含量不少于25%：0.45×x1 + 0.1×x2 + 0.08×x3 + 0.6×x4 + 0.5×x5 + 0.7×x6 ≥ 0.25。
2. 纤维素含量不超过15%：0.1×x1 + 0.02×x2 + 0.05×x3 + 0×x4 + 0.02×x5 + 0.05×x6 ≤ 0.15。
3. 非负性：x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0。
其中，x1，x2，x3，x4，x5，x6 分别表示大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉和牛粉的含量，单位为吨。
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最优化算法实验指导书
1.线性规划求解
1.1 生产销售计划
问题 一奶制品加工厂用牛奶生产A 1、A 2两种普通奶制品，以及B 1、B 2两种高级奶制品，分别是由A 1、A 2深加工开发得到的，已知每1桶牛奶可以在甲类设备上用12h 加工成3kg A 1，或者在乙类设备上用8h 加工成4kg A 2；深加工时，用2h 并花1.5元加工费，可将1kg A 1加工成0.8kg B 1，也可将1kg A 2加工成0.75kg B 2，根据市场需求，生产的4种奶制品全部能售出，且每公斤A 1、A 2、 B 1、B 2获利分别为12元、8元、22元、16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间最多为480h ，并且乙类设备和深加工设备的加工能力没有限制，但甲类设备的数量相对较少，每天至多能加工100kg A 1，试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题： （1）若投资15元可以增加供应1桶牛奶，应否作这项投资；
（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，支付给临时工人的工资最多是每小时几
元？
（3）如果B 1、B 2的获利经常有10%的波动，波动后是否需要制定新的生产销售计划？ 模型 这是一个有约束的优化问题，其模型应包含决策变量、目标函数和约束条件。
决策变量用以表述生产销售计划，它并不是唯一的，设A 1、A 2、 B 1、B 2每天的销售量分别为1234,,,x x x x （kg ），34,x x 也是B 1、B 2的产量，设工厂用5x （kg ）A 1加工B 1，6x （kg ）A 2加工B 2（增设决策变量5x 、6x 可以使模型表达更清晰）。
目标函数是工厂每天的净利润z ，即A 1、A 2、 B 1、B 2的获利之和扣除深加工费，容易写出1234561282216 1.5 1.5z x x x x x x =+++--(元)。
约束条件
原料供应：A 1每天的产量为15x x +（kg ），用牛奶13()/3x x +（桶），A 2的每天产量为26x x +（kg ），用牛奶26()/4x x +（桶），二者之和不得超过每天的供应量50（桶）。
劳动时间：每天生产A 1、A 2的时间分别为154()x x +和262()x x +，加工B 1、B 2的时间分别为52x 和62x ，二者之和不得超过总的劳动时间480h 。
设备能力：A 1每天的产量15x x +，不得超过甲类设备的加工能力100（kg ）。
加工约束：1（kg ）A 1加工成0.8（kg ）B 1，故350.8x x =；类似的460.75x x =。
非负约束：123456,,,,,x x x x x x 均为非负。
由此得如下基本模型：
123456max 1282216 1.5 1.5z x x x x x x =+++--
1526
152656153546
123456
50344()2()22480100.0.80.75,,,,,0x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ++⎧+≤⎪⎪
+++++≤⎪⎪
+≤⎨⎪=⎪
=⎪⎪≥⎩
显然，目标函数和约束函数都是线性的，这是一个线性规划问题，求出的最优解将给出使净利润最大的生产销售计划，要讨论的问题需考虑参数的变化对最优解和最优值的影响，即灵敏度分析，整理后为： 12345m a x 1282216 1.5 1.5
z x x x x x x =++
+--
12561
256153
5461234564343600
232240
100
.0.800.750,,,,,0
x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪+≤⎪⎨-=⎪⎪-=⎪≥⎪⎩
编程计算如下：
c=[-12 -8 -22 -16 1.5 1.5];
>> A1=[4 3 0 0 4 3;2 1 0 0 3 2;1 0 0 0 1 0]; >> c=[-12 -8 -22 -16 1.5 1.5];
>> a=[4 3 0 0 4 3;2 1 0 0 3 2;1 0 0 0 1 0]; b=[600 240 100];
aeq=[0 0 1 0 -0.8 0;0 0 0 1 0 -0.75]; beq=[0 0];
lb=[0 0 0 0 0 0]; ub=[];
[x,fval]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub) Optimization terminated successfully. x =
0.0000 168.0000 19.2000 0.0000 24.0000 0.0000
fval =
-1.7304e+003
1.2 配料问题
例 某炼油厂生产3种规格的汽油：70号，80号与85号，它们各有不同的辛烷值与含硫量的质量要求，这3种汽油由3种原料油调和而成，每种原料油每日可用量、质量指标及生产成本见下表1，每种汽油的质量要求和销售价格见表2，假定在调和中辛烷值和含硫量指标都符合线性可加性，问该炼油厂如何安排生产才能使其利润最大？
解 本例建立数学模型的关键是决策变量的选择，如果选择各种汽油产品的质量，在建立数学模型时会遇到一些困难，定义决策变量ij x 为第i 种原料调入第j 种产品油中的数量，记
j p 表示单位第j 种产品的销售价格，i c 为单位第i 种原料的生产成本，i e 及'j e 分别为原料
油和产品油的辛烷值，i h 和'j h 分别为原料油和产品油的含硫量，i s 为原料油每日的可用量，首先考虑问题的目标函数，第j 种汽油产品所产生的利润为
3
1
()j
i ij i p
c x =-∑
因此目标函数为
33
11
()j
i ij j i p
c x ==-∑∑
约束条件应有3组：
汽油产品的辛烷值要求：
112233123'(),1,2,3j j j j j j j e x e x e x e x x x j ++≥++= 汽油产品的含硫量要求：
112233123'(),1,2,3j j j j j j j h x h x h x h x x x j ++≥++=
原料油可用量的限制：
123,1,2,3i i i i x x x s i ++≤= 因此本题的数学模型为 33
11
max
()j
i ij j i p
c x ==-∑∑；
3
13
13
1
(')0,1,2,3(')0,1,2,3..,1,2,30,,1,2,3i j ij i i j ij i ij i j ij
e e x j h h x j s t x s j x i j ===⎧-≥=⎪⎪⎪-≥=⎪⎨⎪≤=⎪⎪⎪≥=⎩∑∑∑ 将已知数值代入并化简后，其数学模型为
11213112223213max 3000500600300200900z x x x x x x x =+-++-+ 2333600100x x ++
11213112223213233311213112223213233311121321222331323388200182100
237500.50.20.800.50.20.80..0.90.20.40200010005000,,1,2,3
ij x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x i j -++≥⎧⎪--+≥⎪
⎪--+≥⎪
--≤⎪⎪--≤⎪⎨+-≤⎪
⎪++≤⎪
++≤++≤≥=⎩⎪⎪⎪⎪
>> c=[-300 0 500 -600 -300 200 -900 -600 -100];
>> a=[8 -8 -20 0 0 0 0 0 0;0 0 0 18 2 -10 0 0 0;0 0 0 0 0 0 23 7 -5;0.5 0.2 -0.8 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0.5 -0.2 -0.8 0 0 0;...
0 0 0 0 0 0 0.9 0.2 -0.4;1 0 0 1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1]; >> b=[0 0 0 0 0 0 2000 1000 500]; >> aeq=[]; beq=[];
lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0];
ub=[];
[x,fval]=linprog(c,a,b,aeq,beq,lb,ub)
Optimization terminated successfully.
x =
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
750.0000
150.0000
0.0000
250.0000
350.0000
fval =
-3.8000e+005
作业布置：建立模型并求解1.34 1.35（抄题目）。