大学线性代数题

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上海交通大学线性代数教材课后答案习题3

习题三（一）1.求下列矩阵的特征值与特征向量.（1）133353331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为2,1321-===λλλ(二重)对应的特征向量. 1111c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,23231110,,01c c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数.（2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭答案特征值为1231λλλ===-(三重)对应的特征向量. 11,1k k -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为任意非零常数. (3) 563101121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为1232λλλ===(三重)对应的特征向量. 12122110,,01c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数. (4) 222214241A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭答案特征值为1236,3λλλ=-==(二重).对应的特征向量分别为:112,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭232210,01k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。

(5) 322010423A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭答案特征值为1231,1λλλ===-(二重) 。

对应的特征向量分别为. 110,1k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭231120,02k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。

(6) 0100100000010010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭答案特征值为121λλ==-(二重) 341λλ==(二重) 。

对应的特征向量分别为. 120101,1010k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭340101,1010k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,k k 为不同时为零的任意常数,34,k k 为不同时为零的任意常数。

中国海洋大学《线性代数》试卷-2021-2022学年第一学期期末试卷B卷

中国海洋大学2021年秋季学期《线性代数》课程试卷试卷 B 考试方式闭卷考试时间（120分钟）一.填空题1.已知T T T )1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα是一组基,则Tu )0,0,2(=在这组基下的坐标为解:.)1,1,1(T- 设 332211a k a k a k u ++=解对应方程组即得.2.设n n A ,2,101020101≥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为正整数,则=--12n n A A解: 0.00)2(2221=⋅=-=----n n n n A E A A A A A3.设n A T T ,,)1,0,1(ααα=-=为正整数,则=-||nA aE 解:).2(2na a - 计算得,101000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A,2020002022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A设n=k 时, ,2020002021111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----k k k k k A 则n=k+1时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=----+11111202000202k k k k k A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--101000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k kk k 202000202,所以,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----1111202000202n n n n n A .=-||n A aE =-=--------1111112001020202010202n n n n n n a aa a a ).2(2n a a -4.设,),31211(,321αββα==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 则nA = .解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-123332123121131n n A.123332123121133)())(())(())((111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛====---n n n n n A αβββαβαβαααβαβαβαβ个个5. 已知,A B AB =-其中,20012021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B 则A = .解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20001210211A由A B AB =-得,)(1--=E B B A 计算得 =-=-1)(E B B A .2000121021110000210210200012021⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6.设B A ,分别为n m ,阶方阵, |A |a =,|B |b =,C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛00B A ,则|C |= 解:.)1(ab mn- 依次交换矩阵的第一列与第n+1列, 第二列与第n+2列,…,可将C 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00,共计进行了mn 次交换,所以, .)1(||ab C mn-=二.计算题1. 已知3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,101,111321ααα和,343,432,121321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββ 求由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵P . 解: P 应满足 =),,(321βββP ),,(321ααα所以1321),,(-=αααP ),,(321βββ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-3414323211110011111.1010104323414323212112121021010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2.设,2)(45=⨯B r TT T )9,8,1,5(,)1,4,1,1(,)3,2,1,1(321--=--==ααα是方程组0=BX 的解.求0=BX 解空间的一组标准正交基.解: 方程组0=BX 的一个基础解系就是0=BX 解空间的一组基. 以下只需求0=BX 的一个基础解系,再将其标准正交化. 基础解系包含向量个数为4-2=2.验证可见21,αα线性无关. 所以, 21,αα为一个基础解系. 下面将21,αα正交化:,11αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=2310323432111551411),(),(1111222ββββααβ标准化:.)3,5,1,2(391||||,)3,2,1,1(151||||2212111TT --====ββηββη21,ηη即为一组标准正交基.3.设C B AX =+,其中XC B A 求,545,113,101111010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=.解:由题意得)(1B C A X -=-,构造矩阵)|(B C A -= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---61131112010,初等行变换得)|(B C A -->⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--25100201027001,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=25227X 4.设,200120031204312100110001100011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=C B ，矩阵A 满足A E CBC E A T T 求,)(1=--.解:11111][})]({[])[(------=-=-=T T T T B C B C E C C B C E A ）（其中,12340123001200011000210032104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-TTB C ）（利用分块矩阵逆矩阵求解得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A5.设,)2(,100210002101021,10021003210232111--=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=C A B C E C B T 求A .解: 由11)2(--=-C A B C E T 得111111)2()]2([)2(-------=-=-=B C B C E C C B C E A T ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1002100321043212B C ,所以111234012300120001]2[--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=T B C A ）（⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001四.证明1.已知n 阶方阵A 满足)(2E A A -=3A , 求1)(--A E . 解:由)(2E A A -=3A 得02223=+-A A A ,将其改写为E E A A A =++-2223,即E E A A A E =+--))((2, 所以,E A A A E +-=--21)(. 2.设A 是n 阶非零矩阵,当TA A =*时,证明0||≠A .证明: 由T A A =*知 ),,,2,1,(n j i a A ij ij ==其中ij A 为元素ij a对应的代数余子式.因为A 是n 阶非零矩阵,所以不妨设,0≠ij a 由行列式的展开定理得||2222212211≠+++++=+++++=in ij i i inin ij ij i i i i a a a a A a A a A a A a A得证.3. 已知n 阶方阵A 满足k A k (0=为正整数).证明A E -可逆,求.)(1--A E 证明: 由0=kA 得))((12-++++-=-=k k A A A E A E A E E 所以, A E -可逆,且=--1)(A E .12-++++k A A A E。

大学-线性代数习题答案01

1 2 5 1
2 0 2 1
4 2 0 7
cc427cc3311040
1 2 3 0
2 0 2 1
10 2
14 0
4 1
10
1 2 3
10 2 (1)43
14
4 1 10 c2 c3 9 9 10
1 2 2 0 0 2 0
10
3
14
c1
1 2
c3
17
17
14
2 1 41
(2)
3 1
1 2
bf cf ef
ab ac ae
b c e
解 bd cd de adf b c e
bf cf ef
b c e
1 1 1 adfbce 1 1 1 4abcdef
1 1 1
a 1 00
(4)
1 0
b 1
1 c
0 1
0 0 1 d
解
a1 1 b 0 1
0 1 c
0 0 1
r1 ar2
0 1 0
5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)
(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
解逆序数为 n(n1)
3 2(1 个)
5 2 5 4 (2 个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)
(b
a)(c
a)(d
a)(c
b)(d
b) c(c
1 b
a)
1 d(d b a)
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)

扬州大学线性代数习题册第一章

线性代数第一章行列式--电商1201一、填空题1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=82.行列式213132321= -18 .解:D=1⨯3⨯2+2×1×3+2×1×3-3⨯3⨯3-1⨯1⨯1-2⨯2⨯2=-18(陈冲)3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：()(1234)(2431)41(1)1ττ+-=-=12243143a a a a 的系数：()(1234)(2413)31(1)1ττ+-=-=-因此，符合条件的项是12243341a a a a4、222111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______答案：()()()b a c a c b ---分析：222111a a b b c c =222222()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=---（陈思宇）5.行列式1136104204710501λ--中元素λ的代数余子式的值为 42解析: 元素λ的代数余子式的值为642071001-341+-⨯）（=(－1) ×7×6×(－1)=426.设31-20312223=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =312111222-=0（崔宇轩）二、单项选择题1、设xxx x xx f 111123111212)(-=，则x 3的系数为（C ）A. 1B. 0C. -1D. 2解：x 3的系数为）（）（）（1-21341234 +=-12、设333231232221131211aa a a a a a a a =m ≠0,则333231312322212113121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ）A.12mB. -12mC.24mD. -24m 解：333231232221131211aa a a a a a a a)4(2-⨯j →3332312322211312114-4-4-aa a a a a a a a =-4m212j j +⨯→3332313123222121131211114-24-24-2aa a a a a a a a a a a =-4m31⨯j →3332313123222121131211114-234-234-23aa a a a a a a a a a a =-12m（耿佳丽） 3.行列式k-122k-1≠0的充分必要条件是（C ）(A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式0000000a b c d e f gh中元素g 的代数余子式的值为（B ）（A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf41A =4+1(1-）0000b c d ef=-(bcf-bde)=bde-bcf所以答案为B （郭雅芝）5.设D=, (2)12222111211nnn n n n a a a a a a a a a 则nnn n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)12222111211=( )(A)-kD (B)-k n D (C)k n D (D)(-k)n D 答案:D解:由行列式性质3:将nnn n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)12222111211的每行提出一个-k,得到(-k)n D,即为选项D.6.行列式D10=1000 (00)000...09000...80..................002 (000)1 (00)=( ) (A)50 (B)-(10!) (C)10! (D)9! 答案:C解:由行列式的定义,每个因式的元素取自不同行不同列,且不为零,则每行依次取出1,2,…,10,得到10!.又因为=)09876543211(τ36为偶数,所以结果为正数.最终结果为10!（何玲玲）三、计算题 1、计算行列式123411231101205D =---.解D=11332012-3110-4205-=10002270--32103---42129---=1*())(111+-270--2103---2129---=-6100131153=24-2、计算行列式1111120010301004D =.解、D=1111120010301004=10001111--1121--1113--=1*()()111+-111--121--113--=2-（黄天恒）3.计算行列式1114113112111111D =解1114113112111111D ==0003002001001111= -64.计算行列式1234234134124123D =解1234234134124123D =111023410234103410113(2,3,4)(2,3,4)104120044101234i i c c i r r i -+=-=--=160 （解心悦） 5. 计算n 阶行列式nD i c n i +==1c ),...,3,2(x a a a n x aa x a n x aa a an x ...)1(..................)1(...)1(-+-+-+=[x+(n-1)a]x a a aa x a a a ...1..................1...1i x x n i +-⨯==)1(),...,3,2(1[x+(n-1)a]ax a x a a a-- (00)...... 000...1=[x+(n-1)a] 1)(--n a x6.当k为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+02027023321321321x x x x x kx x x x 有非零解.解由题知D=2131)2(r 331-22-7k1-23r r r +-⨯+⨯=0511036123--k =51136)1()1(31--•-+k =-5(k-6)+33=0得k=563 (康慧敏)四.解答题1.写出D=111214012---中第3列元素的余子式和代数余子式的值，并求出D 的值。

南京林业大学线性代数习题册(答案)

线性代数习题册答案第一章行列式练习一班级学号姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习二班级学号姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 . 用1，1，1，1替换第4行4．计算下列行列式：(1)111ab ca b c a b c+++ = 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c b ca b c a b c-----+-==++++++(2)xy x y y x y xx yxy+++(3) 1306 0212 1476----(4) 1214 0121 1013 0131-5．计算下列n阶行列式：(1)n x a a a x aDa a x=（每行都加到第一行，并提公因式。

）(2)131111n+(3)123123123n n n a ba a a a ab a a a aa a b+++练习三班级学号姓名1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

南京邮电大学《线性代数与解析几何》期末试卷1

4 4 8
→
0 00
1 0 0
−
7 2
0
0
2 00
r(1,2 ,3,4 ) = 2, 1,2 ,3,4 线性相关, 1, 2 是一个极大线性无关组, 且有
3
=
3 2
1
−
7 2
2
, 4
= 1
+
2 2
.
3. 解：r(A) = 3 AX = O 的基础解系只含一个解 = 23 − (1 +2 ) = (5, 4, − 3,6)T , 故该方程组通解为： X = k(5, 4, − 3,6)T + (3, 2, −1, 4)T , k R .
1 0 0 4. 解：二次型的矩阵 A = 0 2 − 2 ，令 E − A = 0 ( −1)( − 4) = 0 .
0 − 2 2
−1 0 0 1 0 0
0
当 = 0 时， E − A = 0 − 2 2 → 0 1 −1 1 = 1 ,
0 2 − 2 0 0 0
1
取Q = 1
2 1 2
0 0
− 1 ，经过正交变换 X = QY,
1 2
2
f = y22 + 4y32 ，方程 y22 + 4y32 = 5 为椭圆柱
面.
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《线性代数与解析几何》练习册参考解答——期末试卷一
5. 解：过 L1 的平面束为 x + y + (x − y + z − 2) = 0 ，利用条件，有 (1+ ) + (1− ) + = 0 = −2 ，故所求平面方程为： x − 3y + 2z − 4 = 0 . 四、证明： A, B 正定, AT = A, BT = B, 从而有 (BAB)T = BT AT BT = BAB, 即 BAB 是

太原理工大学线性代数试卷试题

第2页共4页线性代数（A 卷）5、设()11,1,1α=-,()22,1,2α=--向量()2,,αλμ=与1α及2α都正交，则λ=（）。

A 、1；B 、2；C 、0；D 、3.6、设A 是m n ⨯矩阵，0AX =是非齐次线性方程组AX b =对应的齐次线性方程组，那么（）。

A 、若0AX =仅有零解，则AX b =有唯一解；B 、若0AX =有非零解，则AX b =有无穷多解；C 、若AX b =有无穷多解，则0AX =仅有零解；D 、若AX b =有无穷多解，则0AX =有非零解.7、设三阶矩阵A 的特征值为1-、3、4，则A 的伴随矩阵*A 的特征值为（）。

A 、12、4-、3-；B 、1-、13、14；C 、2、5、6；D 、1-、6、9.8、设三阶实对称矩阵的特征值为124λλ==，32λ=，向量1111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2022x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，都是A 的对应于4的特征向量，则A 的对应于32λ=的特征向量3x 是（）。

A 、1x 、2x 中的某一个；B 、[]2,1,1'-；C 、[]0,11'-；D 、从已知条件尚无法确定.9、设n 维向量组12,,,m ααα 线性无关，则（）。

A 、组中增加一个任意向量后也线性无关；B 、组中去掉一个向量后仍线性无关；C 、存在不全为0的数1,,m k k ，使10m i i i k α==∑；D 、组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.10、设A ,B 为n 阶方阵,记()X r 为X 的秩，),(Y X 表示分块矩阵，则（）。

A 、())(,A r AB A r =；B 、())(,A r BA A r =；C 、()()}),(max{,B r A r B A r =；D 、())(,T T B A r B A r =.11、设矩阵1123200,749A A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦为A 的逆矩阵,则1A -=（）。

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大学线性代数题
1. 问题描述
在高等数学课程中，线性代数是一门非常重要的学科。

线性代数
的内容包括向量、矩阵、方程组、线性映射等等。

现在我们来解决以
下线性代数题目。

2. 题目一：向量的加法和数乘运算
给定两个向量A = (2, 1, 4)和B = (-1, 3, 2)，求它们的和A + B和
数乘2A。

解答：
首先，向量的加法运算是将对应位置的元素相加，即A + B = (2
+ (-1), 1 + 3, 4 + 2) = (1, 4, 6)。

其次，数乘运算是将向量的每个元素乘上给定的数，即2A = (2 * 2, 2 * 1, 2 * 4) = (4, 2, 8)。

3. 题目二：矩阵的乘法运算
给定两个矩阵A = [1, 2; 3, 4]和B = [5, 6; 7, 8]，求它们的乘积AB。

解答：
矩阵的乘法运算是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列
进行内积运算，得到新矩阵的对应元素。

AB = [1 * 5 + 2 * 7, 1 * 6 + 2 * 8; 3 * 5 + 4 * 7, 3 * 6 + 4 * 8]
= [19, 22; 43, 50]
4. 题目三：线性方程组的解
解线性方程组是线性代数中的常见问题。

给定以下线性方程组： 2x + 3y + z = 5
3x - 2y - z = 2
4x + y + 2z = 3
求解该线性方程组的解。

解答：
首先，将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵表示出来：
[2, 3, 1] [x] [5]
[3, -2, -1] [y] = [2]
[4, 1, 2] [z] [3]
写出增广矩阵：
[2, 3, 1, 5]
[3, -2, -1, 2]
[4, 1, 2, 3]
利用高斯消元或其他线性方程组解法，将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵。

求解得到：
x = 1
y = -1
z = 2
5. 总结
本文通过三个线性代数题目的解答，展示了向量的加法和数乘运算、矩阵的乘法运算以及线性方程组的解法。

线性代数是一门重要的数学学科，在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学和经济学等。

通过学习线性代数，我们可以更好地理解和描述现实世界中复杂的线性关系。

希望本文对你的学习和理解有所帮助。