导数测试题
导数测试题
导 数 测 试 题(考试时间120分钟； 满分：150分)第Ⅰ卷（共90分）注意事项：本卷共17道题一.选择题（共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，1.2xy=在1=x 处的导数为（ ）A. x 2B.2x ∆+C.2D.1 2.下列求导数运算正确的是（ ） A. 2'11)1(xx x+=+ B. ='2)(log x 2ln 1x C. e xx 3'log 3)3(= D. xx x x sin 2)cos ('2-=3.)(x f 与)(x g 是定义在R 上的两个可导函数，若)(x f ,)(x g 满足)()(''x g x f =,则)(x f 与)(x g 满足（ ）A. )(x f =)(x gB. )(x f －)(x g 为常数函数C. )(x f =)(x g =0 D.)(x f +)(x g 为常数函数4.函数xx ysin =的导数为（ ）A.2'sin cos x xx x y += B.2'sin cos x xx x y -= C.2'cos sin x xx x y -=D.2'cos sin xxx x y +=5.若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，)('x f >0,又)(a f <0,则（ ）A. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f >0B. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f <0C. )(x f 在],[b a 上单调递减，且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单调递增，但)(b f 的符号无法判断6.函数33xx y-=的单调增区间是（ ） A.(0,+∞) B.(－∞,－1) C.(－1,1)D.(1,+∞)7.函数xaxx f +=3)(在),(+∞-∞∈x 内是增函数，则（ ）A. a >0B. a <0C. a =1D. a =318.函数23)(23++=xaxx f ，若)1('-f =4，则a 的值等于（ ）A.319 B.316 C.3139.函数ax x x f +-=2332)(的极大值为6，那么a 等于（ ）A.6B.0C.5D.110.下列说法正确的是（ ）A.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极大值B.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极小值C.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极值D.当)(0'x f 为函数)(x f 的极值且)(0'x f 存在时，则有)(0'x f =011.下列四个函数，在0=x处取得极值的函数是（ ） ①3xy= ②12+=xy③||x y = ④xy 2=A.①②B.②③C.③④D.①③12.函数)1()(2x x x f -=在[0，1]上的最大值为（ ）A.932 B.922 C.923 D. 83第Ⅱ卷（共60分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.三.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.） 13.函数xy2sin =的导数为___ _ __14.物体运动方程为3414-=ts ，则5=t时的瞬时速率为15.曲线3xy=在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为16.圆柱形金属饮料罐的容积为316cm π，它的高是 cm ，底面半径 是 cm 时可使所用材料最省. 四.解答题：（每题14分，共28分. 13.（8分）求抛物线24y x=在点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程.14．（8分）求函数44x x y -=在]2,1[-∈x 的最大值与最小值.15.（8分）有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？16.（8分）已知质点运动方程是)sin 1(2t t s +=,求2π=t时的瞬时速度.17. （10分）若函数2723+++=bx axxy在1-=x 时有极大值，在3=x 时有极小值，试求a 与b 的值.18.设函数32()23(1)68f x x a xa x =-+++，其中a R∈.①若()f x 在3=x处取得极值，求常数a 的值；②若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.19.已知函数54)(23+++=bx axxx f 的图像在1=x 处的切线方程为x y 12-=，且12)1(-=f ，①求函数()f x 的解析式；②求函数()f x 在[-3，1]上的最值.20.已知函数32()f x x b x c x d=+++的图像过点P （0，2），且在点M （-1，)1(-f ）处的切线方程为076=+-y x .①求函数)(x f y=的解析式；②求函数)(x f y =的单调区间.21.曲线3)(xx f =在点P 处切线的斜率为3，求点P 的坐标.22.已知函数,)(2b ax xx f ++=试确定b a ,的值，使当1=x 时，)(x f 有最小值4.23.过点（1，1）作直线AB ，与坐标轴围成ΔAOB （O 为坐标原点），当直线AB 在什么位置时，ΔAOB 的面积最小，最小面积是多少？ 24.已知函数)101()3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则 )1('f 的值是多少？。
求导测试题
1、求下列函数的导数 1）cos(43)yx 2）2ln(1)y x3）sin x yx 4）(sin )(cos )yf x f x① y =3x 2＋x cos x ；② y =tan x x ； ③ y =x tan x －2cos x ；④ y =111x+.解析：① y ’=6x +cos x －x sin x ；② y ’=222(tan )'tan ()'sec tan x x x x x x xx x ⋅-⋅-=；③ y =sin 2cos x x x -, ∴ y ’=2(cos sin )cos (sin 2)(sin )cos x x x x x x x x+⋅--⋅-=2sin (cos 2)cos x x xx-+.④ y =1111x x x =-++, y ’=2211(1)(1)x x --=++. 例2．已知函数f (x )=x 3－7x +1，求f ’(x )，f ’(1)，f ’(1.5).习 题 2-21 求下列函数的导数（1）3242+-=x x y （2）52++=e e y x（3）3111xx x y ++=（4）x y =（5）)21)(1(++=xx y （6）xxe e y +-=11 （7）xe x y 42+= （8）5cos sin 71-++=x x xy （9）x e y xln = （10）θθθcot e y =（11）xxy sin 3+= （12）x xe y x sin 1-=2 求下列复合函数的导数（1）3)25(+=x y （2）)12ln(-=x y（3）xey cos = （4）)1ln(2x x y ++=（5）)]ln[ln(ln x y = （6）x x x y ++=（7）x ex y x3sin )12(22-+= （8）)3sin 73(cos )13(t t e t y t -+=（9）)cos(ln xe y = （10）xey 1sin =（11）3221x y -= （12）2)2(arctan x y = （13）21sin x y += （14）)sin(sin x y = 3 求下列函数的导数（1）x xy =)sin( （2）1=+y x （3）0)cos(cos =--=y x x y （4）0sin 312=+-y y x 4 利用对数求导法，求下列函数的导数 （1）x x xy +-=11 （2）)2)(1(sin 12+++=x x xx y （3）xy y x = （4）xx y cos )(sin =（5）323)2()1(---=x x x y （6）n a n aa a x a x a x y )()()(2121---=5 求下列参数式函数的导数（1）⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x （2）⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t at y t at x习 题 2-31 求下列函数的二阶导数：（1）x e y x3sin 2= （2）x x y arctan += （3）⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2（4）)](ln[x f y =，()(x f 存在二阶导数)（5）xx y +=1 （6）y xe y xsin += 2 求下列函数的n 阶导数：（1）x xe y = （2）x y 2sin = （3）xx e e y -+=习 题 2 - 41 求下列函数的微分：（1）)1)(2(2++=x x x y （2）bx ax y cos sin = （3）21arcsin x y -= （4）42ln x y y =+ （5）0=-xy e yx （6）22ln v u y += 2 利用微分求近似值：（1）02.1arctan （2）01.1e（3）663 （4）'03029sin3 设扇形的圆心角060=α，半径cm r 100=，如果r 不变，α减少03，问扇形面积大约改变多少？又如果α不变，r 增加1cm ，问扇形的面积大约改变多少？4 如果半径为20cm 的球的直径伸长2mm ，球的体积约增加多少？ 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f=2、若()sin xf x e x =，则()'fx =3、函数233x y x +=+在点3x =处的导数值为。
高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
导数复习一．选择题(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2） （2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A ．34y x =-B 。
32y x =-+C 。
43y x =-+D 。
45y x =- a(3) 函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )A ． 18B ．41C ．21D ．1(4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5(5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ）A ． 12B ． -1C ．0D ．1（8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002C 、200D 、100！（9）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23.10设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ． 4个 13. y =e sin xcos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A.0B.1C.－1D.214.经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0B.x －y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x －y =0D.x －y =0或25x －y =0 15.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又xx f x )(lim 0'→=－1,则f (0)( )A.可能不是f (x )的极值B.一定是f (x )的极值C.一定是f (x )的极小值D.等于016.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0B.1C.n n)221(+-D.1)2(4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( )A 、 有极大值B 、无极值C 、有极小值D 、无法确定极值情况18.f(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( )A 、310 B 、313 C 、316 D 、31919.过抛物线y=x 2上的点M （41,21）的切线的倾斜角是( )A 、300B 、450C 、600D 、90020.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( )abxy)(x f y ?=OA 、（0，1）B 、（-∞，1）C 、（0，+∞）D 、（0，21）21.函数y=x 3-3x+3在[25,23-]上的最小值是( )A 、889 B 、1C 、833 D 、522、若f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A 、c ≠0 B 、当a>0时，f(0)为极大值 C 、b=0 D 、当a<0时，f(0)为极小值23、已知函数y=2x 3+ax 2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A 、（2，3） B 、（3，+∞） C 、（2，+∞） D 、（-∞，3）24、方程6x 5-15x 4+10x 3+1=0的实数解的集合中( ) A 、至少有2个元素 B 、至少有3个元素 C 、至多有1个元素 D 、恰好有5个元素二．填空题25．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程是 。
高二数学第一章导数测试题(含答案)
高二数学第二章导数测试题一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.f (x )在x ＝x 0处可导，则lim△x→0f (x 0+△x )−f(x 0)△x( )A ． 与x 0，Δx 有关B ． 仅与x 0有关，而与Δx 无关C ． 仅与Δx 有关，而与x 0无关D ． 与x 0，Δx 均无关 2.下列等式成立的是( ) A ．∫xdx ba ＝b －a B ．∫xdx ba ＝12C ．∫|x|dx 1−1＝2∫|x|dx 10 D ．∫(x ＋1)dx ba ＝∫xdx ba3.设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ． 1<a ≤2 B ．a ≥4 C ．a ≤2 D ． 0<a ≤34.已知函数f (x )＝cos x ＋sin α，则f ′(π2)等于( ) A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ． 25.定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (2－x )＝f (x )，(x －1)f ′(x )<0，若f (3a ＋1)<f (3)，则实数a 的取值范围是( ) A ． (－∞，－23)B ． (23，＋∞) C ． (－23，23)D ． (－∞，－23)∪(23，＋∞)6.若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x (2－x )e −x ，则下列关系一定成立的是( ) A ．f (2)>0B ．f (0)>f (1)C ．f (2)<f (1)D ．f (2)>f (3)7.函数在某一点的导数是( )A ． 在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ． 一个函数C ． 一个常数，不是变数D ． 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率8.已知f (x )＝x ＋sin x ，若x ∈[1,2]时，f (x 2－ax )＋f (1－x )≤0，则a 的取值范围是( ) A ． (－∞，1] B ． [1，＋∞) C ． [32，＋∞)D ． (－∞，32]9.定积分∫(－3)dx 31等于( ) A ． －6 B ． 6 C ． －3 D ． 310.函数f (x )＝{2−x,x ≤0,√4−x 2,0<x ≤2,则∫f(x)dx 2−2的值为( ) A ． π＋6 B ． π－2 C ． 2π D ． 811.已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )·f ′(x )>0的解集为( )A ． (0,2)B ． (－∞，0)∪(2,3)C ． (－∞，0)∪(3，＋∞)D ． (0,2)∪(3，＋∞)12.已知函数f (x )＝x 3－3x －1，g (x )＝2x －a ，若对任意x 1∈[0,2]，存在x 2∈[0,2]使|f (x 1)－g (x 2)|≤2，则实数a 的取值范围( ) A ． [1,5] B ． [2,5] C ． [－2,2] D ． [5,9]分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为________．14.函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________． 15.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其中f (1)＝0，且当x >0时，有xf ′(x )−f(x)x >0，则不等式f (x )>0的解集是________．16.已知Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤1,0≤y ≤1}，A 是由直线y ＝0，x ＝a (0<a ≤1)和曲线y ＝x 3围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投掷一点，点落在区域A 内的概率为164，则a 的值是________． 三、解答题(共6小题,共70分) 17.求下列定积分：(1)∫(x 2+2x +1)dx 21；(2)∫(sinx −cosx)dx π0； (3)∫(x −x 2+1x)dx 21；(4)∫(cosx +e x )dx 0−π.18.设x ＝3是函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e 3−x (x ∈R )的一个极值点． (1)求a 与b 的关系式(用a 表示b )； (2)求f (x )的单调区间．19.已知k 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x ＋k )． (1)求导数f ′(x )；(2)若x ＝－1是函数f (x )的极值点，求f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值； (3)若f (x )在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上都是单调递增的，求实数k 的取值范围．20.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值． 21.已知函数f (x )＝m ln x －x 2＋2(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝1时取得极大值，求证：f (x )－f ′(x )≤4x －3；(3)若m≤8，当x≥1时，恒有f(x)－f′(x)≤4x－3恒成立，求m的取值范围．22.已知函数f(x)＝ln x＋a(x2－3x)(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．答案解析1.【答案】B【解析】式子lim△x→0f (x 0+△x )−f(x 0)△x表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关． 2.【答案】C【解析】由y ＝|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，得∫|x|dx 1−1＝2∫|x|dx 10. 3.【答案】A【解析】∵f (x )＝12x 2－9ln x ， ∴函数f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －9x ，∵x >0，∴由f ′(x )＝x －9x ≤0，得0<x ≤3.∵函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减， ∴{a −1>0,a +1≤3,解得1<a ≤2. 4.【答案】C【解析】∵f (x )＝cos x ＋sin α， ∴f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′(π2)＝－sin π2＝－1. 5.【答案】D【解析】当x >1时，f ′(x )<0，此时函数单调递减， 当x <1时，f ′(x )>0，此时函数单调递增， ∵f (2－x )＝f (x )， ∴函数关于x ＝1对称， 若f (3a ＋1)<f (3)，则满足①{3a +1>1,3a +1>3,即{a >0,a >23,解得a >23， ②{3a +1<1,3a +1<−1,即{a <0,a <−23,解得a <－23. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－23)∪(23，＋∞)． 6.【答案】D【解析】当f ′(x )＝x (2－x )e −x >0，解得0<x <2，故f (x )单调递增，当f ′(x )＝x (2－x )e −x <0，解得x <0或x >2，故f (x )单调递减， ∴f (2)>f (3)． 7.【答案】C【解析】由定义，f ′(x )是当Δx 无限趋近于0时，△y△x 无限趋近的常数． 8.【答案】C【解析】因为f (x )＝sin x ＋x ，x ∈R ，而f (－x )＝sin (－x )＋(－x )＝－sin x －x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数；又f ′(x )＝cos x ＋1≥0，所以f (x )是增函数． 若x ∈[1,2]时，f (x 2－ax )＋f (1－x )≤0， 即f (x 2－ax )≤－f (1－x )＝f (x －1)， 所以x 2－ax ≤x －1在x ∈[1,2]上恒成立， 即有1－a －1＋1≤0且4－2a －2＋1≤0， 即有a ≥1且a ≥32， 则a ≥32. 9.【答案】A【解析】由积分的几何意义可知∫(－3)dx 31表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故∫(－3)dx 31＝－6. 10.【答案】A【解析】∵f (x )＝{2−x,x ≤0,√4−x 2,0<x ≤2,则∫f(x)dx 2−2＝∫(2−x)dx 0−2＋∫√4−x 2dx 20＝(2x －12x 2)|0−2＋∫√4−x 220dx ＝6＋∫√4−x 2dx 20，设y ＝√4−x 2(y ≥0,0<x ≤2)，则x 2＋y 2＝4(y ≥0,0<x ≤2)对应的曲线为半径为2的圆位于第一象限内的部分，对应的面积S ＝14π×22＝π，根据积分的几何意义可得∫√4−x 2dx 20＝π， 故∫f(x)dx 2−2＝6＋∫√4−x 2dx 20＝π＋6. 11.【答案】D【解析】由f (x )图象单调性可得， 当x <0时，f ′(x )<0，f (x )>0，f (x )·f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，f (x )>0，f (x )·f ′(x )>0，当2<x <3时，f ′(x )<0，f (x )>0，f (x )·f ′(x )<0， 当x >3时，f ′(x )<0，f (x )<0，f (x )·f ′(x )>0， ∴f (x )f ′(x )>0的解集为(0,2)∪(3，＋∞)． 12.【答案】B【解析】根据题意，要使得|f (x 1)－g (x 2)|≤2，即－2≤f (x 1)－g (x 2)≤2， 只需满足f (x )max －g (x )max ≤2，且f (x )min －g (x )min ≥－2， ∵函数f (x )＝x 3－3x －1， ∴f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )≥0时，即1≤x ≤2，函数f (x )单调递增， 当f ′(x )<0时，即0≤x <1，函数f (x )单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－1＝－3， f (0)＝－1，f (2)＝8－6－1＝1， ∴f (x )max ＝1，∵g (x )＝2x －a 在[0,2]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (0)＝1－a ， g (x )max ＝g (2)＝4－a ， ∴{1−(4−a)≤2,−3−(1−a )≥−2, 解得2≤a ≤5. 13.【答案】－2√39【解析】g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝√33，x 2＝－√33(舍去)．当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：所以当x ＝√33时，g (x )有最小值g (√33)＝－2√39.14.【答案】不存在 －2834 【解析】f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝32；当x >32时，函数为增函数，当－2≤x ≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f (－2)＝57，f (32)＝－2834，所以最小值为－2834.15.【答案】(－1,0)∪(1，＋∞) 【解析】[f(x)x]′＝xf ′(x )−f(x)x 2>0，即x >0时，f(x)x是增函数，当x >1时f(x)x>f (1)＝0，f (x )>0； 0<x <1时，f(x)x<f (1)＝0，f (x )<0.又f (x )是奇函数，所以－1<x <0时，f (x )＝－f (－x )>0； x <－1时，f (x )＝－f (－x )<0.则不等式f (x )>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)． 16.【答案】12【解析】根据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1＝1， 区域A 即曲边三角形的面积为∫x 3dx a0＝14x 4|a 0＝14a 4，若向区域Ω上随机投掷一点P ，点P 落在区域A 内的概率是164， 则有14a 41＝164，解得a ＝12.17.【答案】(1)∫(x 2+2x +1)dx 21＝∫x 2dx 21＋∫2xdx 21＋∫1dx 21＝x 33|21＋x 2|21＋x |21＝193. (2)∫(sinx －cosx)dx π0＝∫sinxdx π0－∫cosxdx π0 ＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)∫(x −x 2+1x )dx 21＝∫xdx 21－∫x 2dx 21＋∫1xdx 21＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln2＝ln2－56. (4)∫(cosx +e x )dx 0−π＝∫cosxdx 0−π＋∫e x 0−πd x＝sin x |0−π＋e x |0−π＝1－1e π.【解析】18.【答案】(1)∵f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e 3−x ，∴f ′(x )＝(2x ＋a )e 3−x ＋(x 2＋ax ＋b )e 3−x (－1)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3−x . 由题意得f ′(3)＝0，即32＋3(a －2)＋b －a ＝0，b ＝－2a －3， ∴f (x )＝(x 2＋ax －2a －3)e 3−x 且f ′(x )＝－(x －3)·(x ＋a ＋1)e 3−x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－a －1，∵x ＝3是函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e 3−x (x ∈R )的一个极值点． ∴x 1≠x 2，即a ≠－4.故a 与b 的关系式为b ＝－2a －3(a ≠－4)．(2)① 当a <－4时，x 2＝－a －1>3，由f ′(x )>0，得单调递增区间为(3，－a －1)； 由f ′(x )<0，得单调递减区间为(－∞，3)，(－a －1，＋∞)；②当a >－4时，x 2＝－a －1<3，由f ′(x )>0，得单调递增区间为(－a －1,3)； 由f ′(x )<0，得单调递减区间为(－∞，－a －1)，(3，＋∞)． 【解析】19.【答案】(1)∵f (x )＝(x 2－4)(x ＋k )＝x 3＋kx 2－4x －4k ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2kx －4.(2)∵x ＝－1是函数f (x )的极值点， ∴由f ′(－1)＝0，得3－2k －4＝0， 解得k ＝－12.∴f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－2)＝0，f (－1)＝92，f (43)＝－5027，f (2)＝0， ∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.(3)∵f ′(x )＝3x 2＋2kx －4的图象是开口向上且过点(0，－4)的抛物线， 由已知，得{f ′(−2)=−4k +8≥0,f ′(2)=4k +8≥0. ∴－2≤k ≤2，即k 的取值范围为[－2,2]． 【解析】20.【答案】(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，得a ＝－3. 又函数过(1,0)点， 即－2＋b ＝0，得b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个． f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2. 【解析】21.【答案】(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2x ＝−2x 2+1x，解f ′(x )＝0，得x ＝√22(负值舍去)．当0<x <√22时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >√22时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上，当m ＝1时，f (x )在(0，√22)上单调递增，在(√22，＋∞)上单调递减．(2)证明 若f (x )在x ＝1时取得极大值，即√m2＝1，则m ＝2.此时f (x )＝2ln x －x 2＋2，f ′(x )＝2x －2x . 令g (x )＝f (x )－f ′(x )－4x ＋3，则g (x )＝2ln x －x 2＋2－2x ＋2x －4x ＋3＝2ln x －x 2－2x －2x ＋5， g ′(x )＝2x －2x ＋2x 2－2＝−2x 3−2x 2+2x+2x 2＝(2x+2)(1−x 2)x 2＝2(x+1)2(1−x)x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝±1，则x ，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：则g max (x )＝g (1)＝0，所以g (x )≤0，即f (x )－f ′(x )≤4x －3.(3)解 令g (x )＝m ln x －x 2＋2－mx ＋2x －4x ＋3＝m ln x －x 2－2x －mx ＋5，则g ′(x )＝m x －2x ＋m x 2－2＝−2x 3−2x 2+mx+mx 2＝(x+1)(m−2x 2)x 2.①当m ≤2时，g ′(x )<0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ≥1时，g (x )≤g (1)， 故只需g (1)≤0，即－1－2－m ＋5≤0，即m ≥2，所以m ＝2.②当2<m ≤8时，解g ′(x )＝0，得x ＝±√m 2， 当1＜x ＜√m 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ＞√m 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 所以当x ＝√m 2时，g (x )取得最大值． 故只需g (√m 2)≤0，即m ln √m 2－m 2－2√m 2－√m 2＋5≤0，即m 2ln m 2－m 2－4√m 2＋5≤0. 令h (x )＝x ln x －x －4√x ＋5，则h ′(x )＝1＋ln x －1－√x ＝ln x －√x ， h ″(x )＝1x ＋x √x >0. 所以h ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，又h ′(1)＝－2<0，h ′(4)＝ln 4－1>0，所以∃x 0∈(1,4)，h ′(x 0)＝0，所以h (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0,4)上递增，而h (1)＝－1－4＋5＝0，h (4)＝4ln 4－4－8＋5＝8ln 2－7<0， 所以x ∈[1,4]上恒有h (x )≤0，所以当2<m ≤8时，m ln √m 2－m 2－2√m 2－√2＋5≤0. 综上所述，m 的取值范围为[2,8]．【解析】22.【答案】(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2－3x (x >0)， f ′(x )＝1x ＋2x －3＝(x−1)(2x−1)x ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝12时，f (x )取极大值－ln 2－54，当x ＝1时，f (x )取极小值－2. (2)f ′(x )＝1x ＋2ax －3a ＝2ax 2−3ax+1x (x >0)．①当a＝0时，f′(x)＝1x>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≠0时，设方程2ax2－3ax＋1＝0.(*)(ⅰ)当Δ≤0，即0<a≤89时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(ⅱ)当Δ>0，即a<0或a>89时，方程(*)有两根：x1＝3a−√9a2−8a4a ，x2＝3a+√9a2−8a4a，若a<0，则x2<0<x1，当x∈(0，x1)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)递减．若a>89，则0<x1<x2，当x∈(0，x1)，(x2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，f(x)递减．综上，当0≤a≤89时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间是(0，x1)，单调递减区间是(x1，＋∞)；当a>89时，f(x)的单调递增区间是(0，x1)，(x2，＋∞)，单调递减区间是(x1，x2)．(其中x1＝3a−√9a2−8a4a ，x2＝3a+√9a2−8a4a)．【解析】。
导数单元测试题.doc
导数单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列求导正确的是（ ）A ．ln ln 1()x x x x-'=B ．222()(12)x x xe e x --'=+C ．(6cos )6sin x x '=D ．2ln )2x x'=2．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．－1D ．－23．已知3()f x x ax =-在[1,]+∞上是增函数，则a 的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+5．已知函数2()23y f x x x ==--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a 等于（ ） A ．32-B ．12C ．12-D ．1322-或6．已知()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么()f x 的图象最有可能是（ ）7．函数32()f x x x x =--的单调减区间是（ ）A ．1(,)3-∞-B ．(1,)+∞C ．1(,),(1,)3-∞-+∞D ．1(,1)3-8．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）A ．12a -<<B ．36a -<<C ．12a a <->或D ．36a a <->或9．设a R ∈，若函数3,axy e x x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-10．等比数列{}n a 中，132,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---…，(0)f '等于（ ）A ．26B ．29C ．212D ．215二、填空题（共20分）11．设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线的斜率为1，则该曲线在点(1,(1))f --处的切线的斜率为 。
(完整版)高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
2
（1）当 a 2 时，求函数 f ( x) 极小值；（ 2）试讨论曲线 y
f (x) 与 x 轴公共点的个数。
为 1 ，则 a _________ 。 6
2
39．已知 x 1 是函数 f ( x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点， 其中 m,n R, m 0 ，
（ I ）求 m 与 n 的关系式；
A、（2，3） B、（3，+∞）
C、（2，+∞）
24、方程 6x 5-15x 4+10x3+1=0 的实数解的集合中 ( )
D、（- ∞， 3）
A、至少有 2 个元素 B 、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D 、恰好有 5 个元素
二．填空题
25．垂直于直线 2x+6y＋1=0 且与曲线 y = x 3＋ 3x－5 相切的直线方程是
A、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值
D、无法确定极值情况
18.f(x)=ax 3+3x2+2， f ’ (-1)=4 ，则 a=( )
A、 10 B 、 13
3
3
C 、 16
3
D
、 19
3
19. 过抛物线 y=x2 上的点 M（ 1 , 1 ）的切线的倾斜角是 (
)
24
A、300
B 、450 C 、600
解得
x1 1 2 , x2 1 2.
当 x 1 2,或 x 1 2时 , f (x) 0; 当
1 2 x 1 2时, f (x) 0. 故 f ( x) x 3 3x 2 3x 2在 ( ,1 2) 内 是 增 函 数 ， 在
因 f ( x0 )
3( x02 1) ，故切线的方程为 y
导数及其应用测试题(有详细答案).docx
..《导数及其应用》一、选择题1. f(x0 )0 是函数f x在点 x0处取极值的:A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2、设曲线y x2 1 在点(x , f ( x))处的切线的斜率为g( x) ，则函数y g (x)cos x 的部分图象可以为y y y yO x O x O x O xA. B. C. D.3．在曲线y＝2π的点是 ()x 上切线的倾斜角为41111A． (0,0)B． (2,4) C. 4，16 D. 2，44.若曲线y ＝2＋＋在点 (0，b)处的切线方程是－＋1＝0，则 () x ax b x yA．＝1，b ＝1B．＝－ 1，＝ 1C．＝ 1，b＝－ 1D．a＝－ 1，＝－ 1a ab a b32时取得极值，则 a 等于()5．函数f(x)＝x＋ax＋ 3x－9 ，已知f(x)在x＝－ 3A． 2B． 3C． 4D． 56. 已知三次函数( )＝1 322－ 2－ 7)＋2 在∈ (－∞，＋∞)是增函数，则的取值围3x－(4 －1)x＋ (15m m x x mf x m是 ()A．m<2 或m>4B．－ 4< m< － 2C． 2< m<4D．以上皆不正确7. 直线y x 是曲线y a ln x 的一条切线，则实数 a 的值为A．1B．e C．ln 2D．18. 若函数 f (x)x312x在区间 (k1, k1) 上不是单调函数，则实数k 的取值围（）A．k3或 1k 1或k 3B． 3 k1或1 k 3C．2k2D．不存在这样的实数k9. 10 ．函数f x的定义域为 a,b，导函数f x在 a, b 的图像如图所示，则函数 f x在 a,b有极小值点A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10.已知二次函数 f ( x)ax 2bx c 的导数为 f '(x) ， f '(0)0 ，对于任意实数x 都有f(1)3B．5C．2D．的最小值为 A．2 f '(0)f ( x)0 ，则32..二、填空题11.函数y sin x的导数为 _________________ x12、已知函数 f ( x) x3ax 2bx a2在x=1处有极值为10，则f(2)等于 ____________. 13．函数 y x 2cos x 在区间 [0,] 上的最大值是214．已知函数 f ( x) x3ax 在R上有两个极值点，则实数 a 的取值围是已知函数 f ( x) 是定义在R上的奇函数， f (1)xf ( x) f ( x)0（x，则不等式15.0 ，x 20）x 2f (x) 0的解集是三、解答题16.设函数 f(x)＝sin x－cos x＋ x＋1,0< x<2π，求函数 f(x)的单调区间与极值．17.已知函数 f ( x) x3 3x .（Ⅰ）求 f ( 2) 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间.18. 设函数 f ( x) x 36x 5, x R .（ 1）求f (x)的单调区间和极值；..（ 2）若关于x 的方程 f ( x) a 有3个不同实根，数 a 的取值围.（ 3）已知当x (1, )时, f (x) k( x 1) 恒成立，数k的取值围.19. 已知 x 1是函数 f (x) mx33( m 1)x 2nx 1 的一个极值点，其中m, n R, m0（ 1）求m与n的关系式；（2）求 f ( x)的单调区间；（ 3）当 x [ 1,1]，函数 y f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m的取值围。
(完整版)导数基础练习测试
导数基础练习（共2页，共17题）一．选择题（共14题）1．函数f（x）＝sin2x的导数f′（x）＝（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x2．曲线f（x）＝lnx+2x在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．3x﹣y+1＝0 B．3x﹣y﹣1＝0 C．3x+y﹣1＝0 D．3x﹣y﹣5＝0 3．若函数f（x）＝sin2x，则f′（）的值为（）A．B．0 C．1 D．﹣4．函数f（x）＝xsinx+cosx的导数是（）A．xcosx+sinx B．xcosx C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx 5．的导数是（）A．B．C．D．6．y＝xlnx的导数是（）A．x B．lnx+1 C．3x D．17．函数y＝cose xA．﹣e x sine x B．cose x C．﹣e x D．sine x8．已知，则f′（）＝（）A．﹣1+ B．﹣1 C．1 D．09．函数的导数是（）A．B．C．e x﹣e﹣x D．e x+e﹣x10．函数y＝x2﹣2x在﹣2处的导数是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣811．设y＝ln（2x+3），则y′＝（）A．B．C．D．12．已知函数，则f′（x）等于（）A．B．C．0 D．13．曲线y＝x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（）A．4 B．5 C．6 D．714．曲线y＝4x﹣x2上两点A（4，0），B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（）A．（1，3）B．（3，3）C．（6，﹣12） D．（2，4）二．填空题（共2题）15．求导：（）′＝_________．16．函数y＝的导数是_________．三．解答题（共1题）17．求函数y＝e x5 +2的导数．导数基础练习（试题解析）一．选择题（共14题）1．函数f（x）＝sin2x的导数f′（x）＝（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x考点：简单复合函数的导数．考查学生对复合函数的认识，要求学生会对简单复合函数求导．分析：将f（x）＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．解答：将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，∴可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x．∴选D．红色sin2x、蓝色sin2x2．曲线f（x）＝lnx+2x在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．3x﹣y+1＝0 B．3x﹣y﹣1＝0 C．3x+y﹣1＝0 D．3x﹣y﹣5＝0考点：简单复合函数的导数；直线的点斜式方程．考查学生对切线方程的理解，要求写生能够熟练掌握．分析：先要求出在给定点的函数值，然后再求出给定点的导数值．将所求代入点斜式方程即可．解答：对f（x）＝lnx+2x求导，得f′（x）＝+2．∴在点（1，f（1））处可以得到f（1）＝ln1+2＝2，f′（1）＝1+2＝3．∴在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1），代入化简可得，3x﹣y﹣1＝0．∴选B．3．若函数f（x）＝sin2x，则f′（）的值为（）A．B．0 C．1 D．﹣考点：简单复合函数的导数．计算题．求函数在某点处的导数值，应该先利用导数的运算法则及初等函数的导数公式求出导函数，再求导函数值．分析：先利用复合函数的导数运算法则求出f（x）的导函数，将x＝代入求出值．解答：解：f′（x）＝cos2x（2x）′＝2cos2x，∴f′（）＝2cos＝1，∴选C．红色sin2x、蓝色2cos2x4．函数f（x）＝xsinx+cosx的导数是（）A．xcosx+sinx B．xcosx C．x cosx﹣sinx D．c osx﹣sinx考点：导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．计算题．本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式．属于基础试题．分析：利用和及积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数．解答：解：∵f（x）＝xsinx+cosx，∴f′（x）＝（xsinx+cosx）′＝（xsinx）′+（cosx）′＝x′sinx+x（sinx）′﹣sinx＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，∴选B．红色xsinx+cosx、蓝色xcosx5．的导数是（）A．B．C．D．考点：导数的乘法与除法法则．计算题．本题考查导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属于基础题．分析：利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解答：解：y′＝＝＝∴选A．红色、绿色y′＝6．y＝xlnx的导数是（）A．x B．lnx+1 C．3x D．1考点：导数的乘法与除法法则．导数的综合应用．本题考查导数的乘法法则，考查了基本初等函数的导数公式，属于基础题．分析：直接由导数的乘法法则结合基本初等函数的导数公式求解．解答：解：∵y＝xlnx，∴y′＝（xlnx）′＝x′lnx+x（lnx）′＝．∴选B．红色xlnx、绿色lnx+17．函数y＝cose x的导数是（）A．﹣e x sine x B．cose x C．﹣e x D．sine x考点：导数的乘法与除法法则．导数的概念及应用．本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则．分析：根据导数的运算法则即可得到结论．解答：解：函数的导数为f′（x）＝﹣sine x（e x）′＝﹣e x sine x，∴选A．红色cose x、绿色﹣e x sine x8．已知，则f′（）＝（）A．﹣1+B．﹣1 C．1 D．0考点：导数的加法与减法法则．计算题．本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，解题的关键是正确求解导函数，属于基础题．分析：本题先对已知函数进行求导，再将代入导函数解之即可．解答：解：∴选B．红色、绿色－sinx9．函数的导数是（）A．B．C．e x﹣e﹣x D．e x+e﹣x考点：导数的加法与减法法则．计算题．本题考查导数的运算，牢记求导公式是解本题的关键．分析：根据求导公式（u+v）′＝u′+v′及（e x）′＝e x即可求出函数的导数．解答：解：∵，∴y′＝＝．∴选A．红色、蓝色10．函数y＝x2﹣2x在﹣2处的导数是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8考点：导数的加法与减法法则．计算题；导数的概念及应用．本题考查导数的加法与减法法则，考查基本初等函数的导数公式，是基础的计算题．分析：求出原函数的导函数，在导函数解析中取x＝﹣2计算即可得到答案．解答：解：由y＝x2﹣2x，得y′＝2x﹣2．∴y′|x＝﹣2＝2×（﹣2）﹣2＝﹣6．∴选C．红色y＝x2﹣2x、蓝色y′＝2x﹣211．设y＝ln（2x+3），则y′＝（）A．B．C．D．考点：导数的运算．导数的概念及应用．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握复合函数的导数公式，属于基础题．分析：根据复合函数的导数公式即可得到结论．解答：解：∵y＝ln（2x+3），∴，∴选：D红色ln（2x+3）、蓝色12．已知函数，则f′（x）等于（）A．B．C．0 D．考点：导数的运算．导数的概念及应用．本题考查了常数的导数，只要理解常数c′＝0即可解决此问题．分析：我们知道：若函数f（x）＝c为常数，则f′（x）＝0，∴可得出答案．解答：解：∵函数，∴f′（x）＝0．∴选C．13．曲线y＝x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：导数的几何意义．计算题．本题考查函数在某点导数的几何意义的应用．分析：曲线y＝x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k就等于函数y＝x2+3x在点A（2，10）处的导数值．解答：解：曲线y＝x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率，k＝y′＝2x+3＝2×2+3＝7，∴答案为7．红色x2+3x、蓝色2x+314．曲线y＝4x﹣x2上两点A（4，0），B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（）A．（1，3）B．（3，3）C．（6，﹣12）D．（2，4）考点：导数的几何意义．考核导数的几何意义及两条直线平行斜率的关系．分析：首先求出弦AB的斜率，再利用导数的几何意义求出P点坐标．解答：解：设点P（x0，y0），∵A（4，0），B（2，4），∴kAB＝＝﹣2．∵过点P的切线l平行于弦AB，∴kl＝﹣2，∴根据导数的几何意义得知，曲线在点P的导数y′＝4﹣2x＝4﹣2x＝﹣2，即x0＝3，∵点P（x0，y）在曲线y＝4x﹣x2上，∴y0＝4x0﹣x02＝3．∴选B．红色4x ﹣x 2、蓝色4﹣2x二．填空题（共2题）15．求导：（）′＝， ．考点： 简单复合函数的导数．导数的概念及应用．本题主要考查导数的计算，根据复合函数的导数公式是解决本题的关键．分析： 根据复合函数的导数公式进行求解即可． 解答： 解：＝(x 2+1)21，则函数的导数为y′＝(x 2+1)21－（x 2+1）′＝(x 2+1)21－×2x ＝，∴答案为：红色、蓝色精心整理16．函数y＝的导数是．考点：简单复合函数的导数．导数的概念及应用．本题主要考查导数的计算，根据复合函数的导数公式进行计算是解决本题的关键．分析：根据复合函数的导数公式进行计算即可．解答：解：函数的导数为y′＝＝，∴答案为：红色、蓝色三．解答题（共1题）17．求函数y＝e x5-+2的导数．考点：简单复合函数的导数．导数的概念及应用．本题考查导数的运算，以及导数基本知识的考查．分析：直接利用复合函数的导数求解运算法则求解即可．解答：解：函数y＝e x5-+2的导数：y′＝﹣5e x5-．∴答案为：y′＝﹣5e x5-．红色e x5-+2、蓝色﹣5e x5-。
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1 1．下列求导正确的是( ) A.x＋1x′＝1＋1x2B．(x2 cos x)′＝－2xsin xC．(3x)′＝3xlog3eD．(log2x)′＝1xln 2
答案 D x＋1x′＝1－1x2，则A错误；(x2 cos x)′＝2xcos x－x2sin x，则B错误；(3x)′
＝3xln 3，则C错误，故选D. 2．函数f(x)＝xsin x＋cos x的导数是( ) A．xcos x＋sin xB．xcos xC．xcos x－sin xD．cos x－sin x 答案 B f ′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，故选B. 3．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)与g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( ) A．f(x)＝g(x)B．f(x)－g(x)为常数函数C．f(x)＝g(x)＝0D．f(x)＋g(x)为常数函数 答案 B ∵[f(x)－g(x)]′＝f ′(x)－g′(x)＝0，∴f(x)－g(x)＝C(C为常数)． 4．函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A．y＝ax B．y＝logax C．y＝xex D．y＝xln x 答案 D 对于A，y＝ax，y′＝axln a，不合题意；对于B，y＝logax，y′＝1xlogae，不合题意；对于C，y＝xex，y′＝ex＋xex，不合题意；对于D，y＝xln x，y′＝ln x＋1，符合题意，故选D. 5．函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f ′(x)的图象是如图所示的一条直线，则y＝f(x)的图象的顶点在( ) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 答案 A 由已知设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
则f ′(x)＝2ax＋b，由图象知2a＜0，即a＜0，b＞0，∴－b2a＞0，4a×0－b24a＝－b24a＞0，∴顶点在第一象限． 6．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是 y＝－x＋5，则f(3)＋f ′(3)＝________． 答案 1 解析 由题图知点P(3，2)，∴f(3)＝2.又点P处切线 方程为y＝－x＋5，∴k＝－1，∴f ′(3)＝－1，∴f(3)＋f ′(3)＝1. 7．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
答案 0或－23 解析 由y＝x2－1得y′＝2x，又由y＝1－x3得y′＝－3x2，使－3x20＝2x0，得x0＝0或x0＝－23.
导数的有关概念及运算 1．(2012辽宁，12，5分)已知P、Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( ) A．1 B．3 C．－4 D．－8 答案 C P(4，8)，Q(－2，2)．
又∵y＝x22，∴y′＝x，∴在P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8. 在Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2，∴A(1，－4)．故选C. 2．(2011山东，4，5分)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．－9 B．－3 C．9 D．15 答案 C y′＝3x2，所以过P(1，12)的切线的斜率k＝3，切线方程为3x－y＋9＝0，故2
其与y轴交点为(0，9)，故选C. 3．(2011江西，4)曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2 C．e D.1e 答案 A y′＝(ex)′＝ex，∴y′|x＝0＝e0＝1， 故y＝ex在A(0，1)处的切线斜率为1，选A.
4．(2011湖南，7，5分)曲线y＝sin xsin x＋cos x－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为( )
A．－12 B.12 C．－22 D.22 答案 B y′＝cos2x＋sin2x（sin x＋cos x）2＝11＋sin 2x，故切线斜率k＝y′|x＝π4＝12，选B. 5．(2012课标全国，13，5分)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________． 答案 y＝4x－3
解析 y′＝3ln x＋1＋x·3x＝3ln x＋4，k＝y′|x＝1＝4，切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 6．(2009福建，15)若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，0)
解析 f ′(x)＝2ax＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f ′(x)＝0有解，即2ax＋1x＝0有解，∴a＝－12x2，∴a∈(－∞，0)． 7．(2012安徽，17，12分)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a＞0)． (1)求f(x)的最小值； (2)若曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．
解析 (1)解法一：由题设和均值不等式可知， f(x)＝ax＋1ax＋b≥2＋b， 其中等号成立当且仅当ax＝1，即当x＝1a时， f(x)取最小值2＋b. 解法二：f(x)的导数f ′(x)＝a－1ax2＝a2x2－1ax2， 当x>1a时，f ′(x)>0，f(x)在1a，＋∞上递增； 当0所以当x＝1a时， f(x)取最小值2＋b. (2)f ′(x)＝a－1ax2，
由题设知， f ′(1)＝a－1a＝32，解得a＝2或a＝－12(不合题意，舍去)． 将a＝2代入f(1)＝a＋1a＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1. 8．(2012北京，18，13分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围． 解析 (1)f ′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b. 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，3
且f ′(1)＝g′(1)． 即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3. (2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时， h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9. 令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1. h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的情况如下： x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，2) 2 h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) 28 －4 3 由此可知： 当k≤－3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为h(－3)＝28； 当－3因此，k的取值范围是(－∞，－3]． 9．(2011重庆，19，12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f ′(x)，若函数y＝f ′(x)
的图象关于直线x＝－12对称，且f ′(1)＝0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值． 解析 (1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f ′(x)＝6x2＋2ax＋b.
从而f ′(x)＝6x＋a62＋b－a26，
即y＝f ′(x)关于直线x＝－a6对称． 从而由条件知－a6＝－12， 解得a＝3. 又由于f ′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12. (2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)． 令f ′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0， 解得x1＝－2，x2＝1. 当x∈(－∞，－2)时， f ′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 当x∈(－2，1)时，f ′(x)＜0，故f(x)在(－2，1)上为减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数． 从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.
1．(2012四川绵阳高三诊断)已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是( ) A．－1 B．±1 C．1 D．±3 答案 B 由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.
又切线与直线x＋3y＋1＝0y＝－13x－13垂直，∴3a2·－13＝－1，即a2＝1，a＝±1，故选B. 2．(2012四川成都石室中学高三诊断)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处切线的斜率为( )
A．－14 B．2 C．4 D．－12 答案 C ∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1， ∴g′(1)＝k＝2.又f ′(x)＝g′(x)＋2x， ∴f ′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4，故选C. 3．(2011安徽“江南十校”联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′ (1)