内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学2.4.1平面向量数

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2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目标:

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题;

4.掌握向量垂直的条件.

知识要点:

一、数量积的物理背景:

如果一个物体在力的作用下产生位移,那么力所做的功

=

W,其中θ是;

功是一个量,由和两个向量来确定。

二、向量的数量积:

1.向量的数量积:已知两个非零向量与,我们把数量叫做与的数量积(或),记作,即;其中θ是,

2.

θ叫做,

θ叫做。

3.说明:(1)两个向量的数量积是一个,符号由的符号所决定;

(2)书写时要特别注意:符号“?”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.

4.=

?;

5. 数量积的几何意义:数量积?等于。

三、向量的数量积的性质:已知a与b均是非零向量

(1)=

θ

cos;

(2)?

⊥b

a;

(3)当与同向时,=

?;当与反向时,=

?;

特别地,=

?

=a

a

a2

;或=;

(4

?

四、向量的数量积的运算律:已知向量,

,和实数λ,则

(1)=

?b

a;

(2)=

?)

(λ=;

(3)=

?

+c

b

a)

(。

五、特别说明:向量的数量积不满足

...以下两条,尝试说明:

(1)c

a

c

b

b

a=

?

?

=

?;(2))

(

)

(c

b

a

c

b

a?

?

=

?

?。

典型例题:

【例14

5=

=,a与b的夹角为0

120,求b

a?

【例2】求证:?

+

?

=

?

+)

(

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