内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学2.4.1平面向量数

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目标：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.

知识要点：

一、数量积的物理背景：

如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功

=

W，其中θ是；

功是一个量，由和两个向量来确定。

二、向量的数量积：

1.向量的数量积：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或），记作，即；其中θ是，

2.

θ叫做，

θ叫做。

3.说明：（1）两个向量的数量积是一个，符号由的符号所决定；

（2）书写时要特别注意：符号“?”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

4.=

?；

5. 数量积的几何意义：数量积?等于。

三、向量的数量积的性质：已知a与b均是非零向量

（1）=

θ

cos；

（2）?

⊥b

a；

（3）当与同向时，=

?；当与反向时，=

?；

特别地，=

?

=a

a

a2

；或=；

（4

?

四、向量的数量积的运算律：已知向量,

,和实数λ，则

（1）=

?b

a；

（2）=

?)

(λ=；

（3）=

?

+c

b

a)

(。

五、特别说明：向量的数量积不满足

．．．以下两条，尝试说明：

（1）c

a

c

b

b

a=

?

?

=

?；（2）)

(

)

(c

b

a

c

b

a?

?

=

?

?。

典型例题：

【例14

5=

=，a与b的夹角为0

120，求b

a?

【例2】求证：?

+

?

=

?

+)

(