平面任意力系

第三章 平面任意力系

一、目的要求

1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。

2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。

3．能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。

4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。

5.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。

二、基本内容

1.力的平移定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。

2．平面力系的简化

步骤如下：

①选取简化中心O ：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） ②建立直角坐标系Oxy

③主矢：平面力系各力的矢量和，即

∑∑∑===+==n i n i n i i R Y X 111'j

i F F

其中

⎪⎩⎪⎨⎧∑∑=∑+∑=⇒⎪⎭⎪⎬⎫∑=∑=X Y Y X Y X R Ry Rx αtan :)()(:2

2'''方向大小F F F

其中α为F R 与x 轴所夹锐角，所在象限由ΣX 、ΣY 符号确定，并画在简化中心O 上。

主矩：平面力系中各力对于任选简化中心之矩的代数和，即

11()()n n

o o i i i i i i i M M x Y y X ====-∑∑F

一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选

取有关。

④简化结果讨论

a. 若

0 ,0'≠=o R M F ：平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。

b. 若0 ,0'=≠o R M F ：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力F R

，且有F R =F 'R 。

c. 若0 ,0'≠≠o R M F ：平面力系简化结果为一合力F R

，其大小、方向与主矢相同，作用线在距简化中心O 为'R o F M d =

处。

d.

0 ,0'==o R M F ，则该力系为平衡力系。 3．平面力系的平衡条件和平衡方程

平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。

1）基本形式

⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0

00F M Y X

2）二矩式 ⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0

)(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴

3）三矩式

⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0

)(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线

特殊力系的平衡方程

1）共线力系：0=∑i F

2）平面汇交力系：⎩⎨⎧=∑=∑00Y X

4）平面平行力系：

)

//

(

)

(

轴

y

M

Y

i

o

F

F

⎩

⎨

⎧

=

∑

=

∑

4．平面力系平衡方程的应用

应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要方法。这种解题方法包含以下步骤：

①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。

②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平衡汇交定理、力偶等效定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。

③建立平衡方程式，求解未知量：为顺利地建立平衡方程式求解未知量，应注意如下几点：

(a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。

(b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。

c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。

d)求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组线性方程组，这说明一个静力学题经过上述力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只要所建立的平衡方程组具有完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等），则求解并不困难，若要解的方程组相互联立，则计算（指手算）耗时费力。为免去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。

5．平面简单桁架内力的计算

1）桁架：是由若干直杆在端点用铰连接而成的几何形状不变的结构。若所有杆件都在同一平面内称其为平面桁架。

2）在工程中的桁架满足四点假设。称其为理想桁架，这样桁架的各杆都可以称为两端受力作用的二力杆件。

3）桁架的坚固性条件和静定条件：2n=m+3

4）求平面静定桁架各杆内力的两种方法。

①节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。

②截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截断为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截断各杆件的内力。

三、重点和难点

重点：1.平面任意力系向作用面内任一点的简化及力系的简化结果。

2.平面任意力系平衡的解析条件及平衡方程的各种形式。

3.物体及物体系平衡问题的解法。

难点：1、主矢与主矩的概念。

2、利用特殊力系的特点画出某些约束反力，选择恰当的平衡方程求

解未知量。

3、物体系平衡问题中正确选取研究对象及平衡方程。

4．会用节点法，截面法求解平面静定桁架的内力

四、学习建议

①对平面力系的简化方法及简化结果应阐述透彻。特别指出：主矢和主矩是在对一个力系进行简化时，为了准确描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不是合力，合力有大小，方向与作用点三个要素，而主矢只具有大小和方向两个特征，力系的主矢与简化中心无关。一般而言，主矩的大小、转向与简化中心的选取有关，但是在主矢为零的情况下，主矩与简化中心无关。注意对不同的简化中心的简化结果表面上看互不相同，但它们互为等效力系。

②对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象和平衡方程，通过典型例题着重了解，并进行归纳总结。特别指出如下要点：

其一，求解物系的平衡问题的关键在于选取研究对象，它需要一定的分析判断能力，也需要经验的积累。在选取研究对象时，有两种极端情况：（a）只选取整体为研究对象，在此要注意受力图中只画外力，不画内力，本质问题是由外力构成的力系平衡问题，因此，无法求解系统内力，且当未知数多于三个时，也无