平面任意力系
第四章平面任意力系详解
同样，有且只有三个独立的平衡方程
例1： 简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m,
求A, B处的约束反力。
∑ 解：简支梁受力如图所示：
Fx = 0 ⇒ FAx = 0
F q
FAx A
CD
FAy 2m 2m
4m
∑ Fy = 0
FAy + FB − F − q ⋅ 4 = 0 (1)
B
∑MA =0
M
力的平移定理: 可以将作用于刚体上A点上的
力 F 平行移动到任一点O ，但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
力的平移的逆过程
M
－F
F
F
r F
图中：
d = MO F
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
二、平面任意力系向作用面内一点简化
y
刚体系平衡
系统满足刚体的平衡条件
3. 注意一些临界的力学条件：
刚好拉过台阶FNA = 0
FNA
F
翻倒的临界条件：FN 集中于角点。
FN
§4.3 刚体系的平衡
一、刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状
态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。
F
F
（a）
F
F
（b）
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件
二、刚体系的平衡问题
y
F1 O F3
F1/ M1 M2 F2/
= F2
O M3 F3/
x=
Mo FR/
O
x
( ) ( ) ( ) r
r
r
M1 = M o F1 M 2 = M o F2 M 3 = M o F3
理论力学2.2、平面任意力系的合成与平衡
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
理论力学 平面任意力系例题
60
l
l
F
B
F
D
60
l
l D M
M
B
3l
G
F1
l MA
G FAy
x A FAx
17
A
q
例题
平面任意力系
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F
60
例 题 5
y l l D M
F F
x
0,
B
FAx F1 F sin 60 0
y
0,
FAy G F cos 60 0
M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
F
45
q
A l
M
B
14
例题
平面任意力系
q
A y
例 题 4
2. 列平衡方程
M
45
F
解： 1. 取梁为研究对象，受力分析如图
B
l
Fx 0,
Fy 0,
FAx F cos 45 0
FAy ql F sin 45 0
q FAx
力系对O点的主矩为
MO
O
主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 –70.84o。M
O
M F
O
FRx
70.84
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
FRy
FR
7
例题
平面任意力系
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。 合力FR的大小和方向与主矢FR相同。 合力作用线位置由合力矩定理求得。
第三章平面任意力系
第三章 平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内且任意分布（既不完全平行也不完全相交于一点）。
一、 本次课研究的问题： 1、平面任意力系向平面内一点简化。
2、平面任意力系简化结果分析。
3、平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
4、平面平行力系的平衡方程。
二、学习要求： 学习平面任意力系向平面内一点简化及简化结果分析，掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
三、教学重点、难点： 1、重点：平面任意力系的简化和平面任意力系的平衡。
2、难点：平面任意力系的简化及结果分析。
四、教学方法： 理论推导与事例相结合。
§3-1 平面内任意力系向平面内一点简1、 力线平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B 的矩。
证明：如图3-1（a ）中，力F作用于刚体A 点。
在刚体上任取一B 点，并在B 点加一队平衡力F F ''' ,，且F F F =''-=',如图3-2(b)。
则F F'',为一力偶，这样，就把作用于A 点的力平移到了另一点B 点，但同时附加了一个相应的力偶图3-1()F F'',，如图3-3（c ）,这个力偶称为附加力偶。
附加力偶之矩为()F M Fd M B==反之，此过程也可逆向使用，将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
例：①乒乓球、足球中的弧线球；②如图3-2,厂房柱受偏心载荷F作用，将力平移至柱轴线成为力F'和矩为M 的力偶，柱除受压缩作用外还受弯曲的作用；③如图3-3，攻丝时，要求必须用两手握扳手，且用力要相等。
为什么不许用一只受扳扳手呢?2、平面任意力系向平面内一点简化---主矢和主矩设刚体上作用着平面任意力系,,,321F F F如图3-4（a ）所示。
在平面内任取一点O ，称为简化中心；应用力线平移定理，把各力都平移到点O 。
平面任意力系的简化
附加力偶系可以合成为一个力偶，其力偶矩为
MO M1 M 2
M n MO (F1 ) MO (F2 )
MO (Fn ) MO (Fi )
称为原力系对简化中心O的主矩，主矩与简化中心的选择有关。
结论：
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这 个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O ；这力偶的矩等于该力系 对简化中心O的主矩。主矢与简化中心位置无关，而主矩一般与简化中心 位置有关。 主矢的解析表达式为
3.力的平移定理是平面任意力系简化为平面汇交力系和平面力偶系
的依据。
B
d
F
＝
F″ A
B
d
F′
F′
M
F
A
＝
A
B
2. 平面任意力系向作用面内一点简化·主矢与主矩
F1
F2
y ′ FR j O y MO i x
O
简化 中心 Fn
F1 F1
F2 F2
Fn Fn
F1′
M1
M2 O Mn
′ F2 x
F1 C O
3m
F4
30° x
( F'Rx )2 ( F'Ry )2 4.662kN FR
y
主矢方向
F'Rx cos( F'R , i ) 0.986 FR F'Ry cos( F'R , j ) 0.165 FR
2、求主矩MO
( F'R , i ) 9.5 ( F'R , i ) 80.5
M1 M O (F1 )
M 2 M O (F2 ) M n M O (Fn )
精品教案：平面任意力系
第三章 平面任意力系教学要求：1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。
2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。
3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。
工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。
当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。
例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。
此方法的理论基础是力的平移定理。
一、力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到任一点B ，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 点的矩。
证：图中F ’=F ’’=F ，M =M B (F )反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允许用一只手扳动扳手。
因为作用在扳手一端的力F 与作用在中点的力F’和力偶矩为M 的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力F’往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。
二、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩有一平面任意力系：F 1、F 2、F 3，向作用面内任一简化中心O 点简化。
先将各力平移至点O ，得：F’1、F’2、F’3、M 1、M 2、M 3，M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，M 3= M O (F 3)合成得主矢： F’R = F’1+ F’2+ F’3= F 1+ F 2+ F 3=∑F i 主矩： M O = M 1+ M 2+ M 3=∑M O (F i )一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。
平面任意力系的简化
作用在刚体上的力是滑移矢量。
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚 体
变 形 体
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线.
2、力的平移
F
F
A
B
A
B
F
A
B
MB
A rBA
B
力的平移定理:作用在刚体上某一点的 力F可以平移到刚体内任一点，但必须 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点的矩。
❖ 平移定理分析：平面内的一个力和一个力偶也可以合成一个 力。
2、平面任意力系向一点简化
Fn
o
据力的平移定理
An
A2
O
O
A1
F2
F1 O为简化中心
FR 为一个作用在O点上的力。 MO 为一个作用在刚体上的力偶。
•主矢
•主矩
（与简化中心O无关）
（与简化中心O有关）
结论：平面任意力系向作用面内任一点简化， 可得到一个力和一个力偶，该力的作用线通过 简化中心，其大小原力系的主矢，该力偶的力 偶矩等于原力系对简化中心的主矩。
机械设计基础
平面任意力系的简化
❖ 1、力的平移定理
加减平衡力系原理：
在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应。
加减平衡力系原理
F
A
F
B
若 {P1, P2,, Pm} {0} 则 {F1, F2,, Fn}
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
力沿作用线移动 力的可传性： F
(F2
F3 )
j
n
MO ri Fi
第四章、平面任意力系
分布力系说明
q
qB
A
L 2L/3 Q1 L/3
B
A L L/2 A Q L/2
B
A
L (a)三角形分布力
厚接分布力
B L （b）均匀分布力
在以后碰到分布力时，先进行简化处理，然后再求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1
已知：梁AD的支承及受力如图所示。
F = 500N, FA = 1000N, q = 1000N/m
A、B、C是平面内不共线的任意三点.
应当指出：投影轴和矩心是可以任意选取的。 在解决实际问题时适当选取矩心与投影轴可以简化计算。
一般地说，矩心应选多个力的交点，尤其是选
未知力的交点，投影轴则尽可能选取与该力系中多数力的 后接例题 作用线平行或垂直。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 5 平面平行力系的合成与平衡
即两个力矩式一个投影式，其中A、B是平面内任意两点。 但连线不能垂直投影轴 X 。 B A x
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
平衡方程
2、平面力系任意力系的平衡方程 B
A 即三个力矩式， C
（2）三力矩形式的平衡方程
∑MA （F）= 0，
∑MB （F）= 0 ∑MC （F）= 0
即距D点的距离为a/3。
应用平面力系平衡方程求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1 ∑Fx = 0 ∑Fy= 0
步骤3：取坐标系Bxy，列平衡方程
FBx+ F = 0 FBy+ FC- Fp- FA= 0
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第三章 平面任意力系
一、目的要求
1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟
知平面任意力系简化的结果。
2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。
3．能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。
4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。
5.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综
合作用。
二、基本内容
1.力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
2．平面力系的简化
步骤如下：
①选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上）
②建立直角坐标系Oxy
③主矢：平面力系各力的矢量和，即
nininiiRYX111
'jiFF
其中
XYYXYXRRyRxtan:)()(:22'''方向大小FF
F
其中为FR与x轴所夹锐角，所在象限由ΣX、ΣY符号确定，并画在简化中
心O上。
主矩：平面力系中各力对于任选简化中心之矩的代数和，即
11()()nnooiiiiiiiMMxYyX
F
一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选
取有关。
④简化结果讨论
a. 若0 ,0'oRMF：平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力
偶，其力偶矩用主矩Mo度量，这时主矩与简化中心的选择无关。
b. 若0 ,0'oRMF：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力F
R
，
且有FR=FR。
c. 若0 ,0'oRMF：平面力系简化结果为一合力FR，其大小、方向与主
矢相同，作用线在距简化中心O为'RoFMd处。
d. 0 ,0'oRMF，则该力系为平衡力系。
3．平面力系的平衡条件和平衡方程
平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主
矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。
1）基本形式
0)(000FM
Y
X
2）二矩式
0)(0)(0FFBAM
M
X
附加条件为：A、B两点连线不垂直于x轴
3）三矩式
0)(0)(0)(FFFCBAM
M
M
附加条件为：A、B、C三点不共线
特殊力系的平衡方程
1）共线力系：0iF
2）平面汇交力系：00YX
4）平面平行力系： )//( 0)(0轴yMYioFF
4．平面力系平衡方程的应用
应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要
方法。这种解题方法包含以下步骤：
①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问
题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件，
又包含待求的未知量。
②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对
象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平
衡汇交定理、力偶等效定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。
③建立平衡方程式，求解未知量：为顺利地建立平衡方程式求解未知量，应
注意如下几点：
(a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任
意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。
(b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅
垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。
c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。
d)求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组线性方程组，这说明一个静力
学题经过上述力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只
要所建立的平衡方程组具有完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等），
则求解并不困难，若要解的方程组相互联立，则计算（指手算）耗时费力。为免
去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只
含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。
5．平面简单桁架内力的计算
1）桁架：是由若干直杆在端点用铰连接而成的几何形状不变的结构。若所
有杆件都在同一平面内称其为平面桁架。
2）在工程中的桁架满足四点假设。称其为理想桁架，这样桁架的各杆都可
以称为两端受力作用的二力杆件。
3）桁架的坚固性条件和静定条件：2n=m+3
4）求平面静定桁架各杆内力的两种方法。
①节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的平衡方程
求出各杆的内力。
②截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截断为两部分，取其中的一部分为
研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截断各杆件的内力。
三、重点和难点
重点：1.平面任意力系向作用面内任一点的简化及力系的简化结果。
2.平面任意力系平衡的解析条件及平衡方程的各种形式。
3.物体及物体系平衡问题的解法。
难点：1、主矢与主矩的概念。
2、利用特殊力系的特点画出某些约束反力，选择恰当的平衡方程求
解未知量。
3、物体系平衡问题中正确选取研究对象及平衡方程。
4．会用节点法，截面法求解平面静定桁架的内力
四、学习建议
①对平面力系的简化方法及简化结果应阐述透彻。特别指出：主矢和主矩是
在对一个力系进行简化时，为了准确描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不
是合力，合力有大小，方向与作用点三个要素，而主矢只具有大小和方向两个特
征，力系的主矢与简化中心无关。一般而言，主矩的大小、转向与简化中心的选
取有关，但是在主矢为零的情况下，主矩与简化中心无关。注意对不同的简化中
心的简化结果表面上看互不相同，但它们互为等效力系。
②对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象和平衡方程，通过典型例
题着重了解，并进行归纳总结。特别指出如下要点：
其一，求解物系的平衡问题的关键在于选取研究对象，它需要一定的分析判
断能力，也需要经验的积累。在选取研究对象时，有两种极端情况：（a）只选取
整体为研究对象，在此要注意受力图中只画外力，不画内力，本质问题是由外力
构成的力系平衡问题，因此，无法求解系统内力，且当未知数多于三个时，也无
法求解全部未知量；(b)将系统中所有刚体相互隔离，取每个刚体单独作为研究
对象，由于是静定问题，则全部内外反力借助全部的平衡方程均可解出，虽思路
简单，但由于求出多个不需求的未知力，使求解工作量增加，且过程繁琐。因此，
一般而言，应根据题目的具体要求，灵活选取研究对象，尽量以最少的研究对象
求解系统的平衡问题。
其二：在开始求解平衡方程时，如果独立平衡方程式的个数少于未知量的个
数，可能出现两种情况：(a)该问题是静不定问题；(b)该问题为刚体系统的平衡
问题，需再次选择研究对象。应注意的是，此种情形下，虽然不能依据这些平衡
方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一个或两个未知量。
③简单桁架的内力计算实际上是平衡方程的工程应用，当桁架结构比较复
杂，杆件总数和节点数都比较大的情形下，则无论采用节点法或截面法，计算量
都可能较大。若采用计算机分析方法，则会简单得多。目前一些工程力学应用软
件中，都包含有分析静定和超静定桁架内力的程序。