二次函数中等腰三角形的存在性

知识回顾:

1、二次函数的三种形式：

2、已知一边,求等腰三角形周长的方法： ３、等腰三角形的特点: 例题分析：

例１、如图,抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上,点C 在y 轴上，且AC BC =．(1)求抛物线的对称轴；(2）求抛物线的解析式; (3)探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB △是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由.

例2、已知:如图,

抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点.（1)求抛物线的函数关

系式；

(2)若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4,m ）,请求出△CB Ｅ的面积S 的值； (3)在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形，并写出0P 点的坐标；

（4）除（３）中所求的0P 点外,在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形?P (要求简要说明理由，但不证明);若不存在这样

2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,其斜边AB 与ｘ轴重合（其中O Ａ

(2)如图2,点Ｄ的坐标为（2,0）,点P （m ,n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0,n ＞0)，

图9B C O

y x A 连接ＤＰ交BC 于点E 。①当△ＢＤＥ是等腰三角形时,直接写出．．．．此时点Ｅ的坐标。 ②又连接C Ｄ、CP （如图3),△CＤP 是否有最大面积？若有,求出△CＤP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有,请说明理由。

例4、如图９，抛物线2

812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于、两点(点在点的左

侧），抛物线上另有一点C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC .(1)求线段OC 的长.：

(２）求该抛物线的函数关系式.：

(3)在x 轴上是否存在点P ,使△BCP 为等腰三角形？若存在，

求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

例５、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标

轴上,且点(02)A ，

，点(10)C -，，如图所示：抛物线2

2y ax ax =+-经过点B ． 图1 图2

图3

(1)求点B 的坐标; （２)求抛物线的解析式;

（3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外),使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在,请说明理由.

课堂练习：

１、如图11所示,在梯形ABCD 中，已知A Ｂ∥ＣＤ， AD ⊥ＤB,AD ＝DC ＝CB,ＡB=4.以ＡＢ所在直线为x 轴，过D 且垂直于ＡB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．

（１)求∠DA Ｂ的度数及A 、D 、Ｃ三点的坐标；(2)求过A 、Ｄ、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．

(3）若P 是抛物线的对称轴Ｌ上的点,那么使 P ＤB 为等腰三角形的点P 有几个?(不必求点P 的坐标,只需说明理由）

思考题：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (4，０)、C （8，０)、

B

A C x y （0，2）

（－1，0）

D(8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点Ａ的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2)动点Ｐ从点A出发.沿线段ＡB向终点B运动,同时点Ｑ从点C出发，沿线段CＤ向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为ｔ秒.过点Ｐ作PE⊥AB交AC于点E

①过点E作EF⊥AＤ于点Ｆ，交抛物线于点Ｇ.当ｔ为何值时,线段ＥＧ最长?

②连接EQ．在点Ｐ、Ｑ运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值．