数与式方程与不等式知识点
【第一单元数与式】
第1课时实数
1. ___________________ 数轴规定了________ 、 ________________________ > ■的直线，叫做数轴. ________________
和数轴上的点是—对应的.
2 .相反数⑴ 实数a的相反数为__________________ ; (2)a与b互为相反
数? __________ ; (3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位
于原点的两侧，且到原点的距离______________ .
3. _____________________________ 倒数(1)实数a的倒数是，其中a 0; (2)a和b互为倒
数? _________ .
4. ______________________________________ 绝对值在数轴上表示一个数的点离开
____________________________________________________ 的距离叫做这个数的绝
对值.即一个正数的绝对值等于它___________ , 0的绝对值是 _,负数的绝对值|a| 二
是它的__________
考点二实数的分类
2.按正负分类
1.按实数的定义分类
实数
错误!
正整数
自然数
整数零
有理数负整数
正分数有限小数或无分
数
负分数限循环小数
无理数正无理数
无限不循环小数负无理数
1. _____________________________________ 若x2= a（a >0），贝U x叫做a的，记作土_______________________________________________ 正数a的
_______________ 叫故算术平方根，记作y/a.
2.____________________________________________________ 平方根有以下性质（1）正数有两个平方根，它们 _________________________________________ ; （2）0 的平方根是0;负数没有平方根.
3.如果x3= a,那么x叫做a的立方根，记作3 a.
考点四科学记数法、近似数、有效数字
1.科学记数法把一个数N表示成a x 10n（1 < |a| v 10, n是整数）
的形式叫科学记数法.当|N| > 1时，n等于原数N的整数位数减1;当|N| v1且N M0时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）.
2 ?近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第—个不为0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.
考点五实数的运算
1?实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、_____________ 、_____ 种,
其中减法转化为运算，除法、乘方都转化为___________ 算.
2.有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算律有：
、、、、
3._____________________________________ 在实数范围内运算顺序是：先算，再算
____________________________________________________ ，最后算__ :
有括号的先算______ 同一级运算，从—到—依次进行计算.
考点六零指数、负整数指数幕
1
若a^ 0，则a°=_；若a^ 0，n为正整数，则a n= ~.
a
考点七实数大小比较
1.在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数;两个负数比较，绝对值大的反而_________________________________________
2._________________________________________ 设a、b是任意两个数，若a—b>0,贝U a ________________________________________________ b;若a—b= 0,则
a __ b；若a—
b v0,则a ______ b.
3.实数大小比较的特殊方法①开方法：如3>2,则｛3___ ;②商比
a a a
较法：已知a>0、b>0,若「>1,则a b；若「=1,则a b；若1,
b --- b--- b
则a___b.③近似估算法；④中间值法.
4.n个非负数的和为0,则这n个非负数同时为0.
女口：若|a| + b2+ c = 0,贝U a= b = c = 0.
第2课时整式及因式分解
1.单项式和多项式统称整式.单项式是指用乘号把数和字母连接而成
的式子，而多项式是指几个单项式的___________
2 .单项式中的数字因数叫做单项式的 _____________ ;单项式中所有字母的
_______ 叫做单项式的次数.
3.多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做
常数项；多项式中次数___________ 的次数就是这个多项式的次数.
1.整式的加减
(1)同类项与合并同类项
所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类
项?把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.
(2)去括号与添括号
①括号前是“ + ”号，去掉括号和它前面的“ + ”号，括号里的各项
都不改变符号；括号前是“-”号，去掉括号和它前面的“-”号，括号
里的各项___________
②括号前是“ + ”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“- 号，括到括号里的各项都改变符号.
(3)整式加减的实质是合并同类项.
2 ?幕的运算
同底数幕相乘，底数不变，指数相加，即a m?a n = _________ (mn都是整数).
幕的乘方，底数不变，指数相乘，即(a m)n= ____________ (m n都是整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幕相乘，即
(ab) n = _____ (n 为整数).
同底数幕相除，底数不变，指数相减，即a m*a n= _____________ (a工0, m n都
为整数).
3.整式的乘法
单项式与单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式，
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a+ b+ c) = ___________________________________________
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一
项，再把所得的积相加，即(m+ n)(a + b) = ma^ mb+ na+ nb.
4.整式的除法
单项式除以单项式，把____________________ 目除，作为商的因式，对于只
在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把
所得的商相加.
5.乘法公式
(1)平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即(a + b)(a
-b) = ________
(2)完全平方公式
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2
倍，即(a ± b) 2= ___________
考点三因式分解
1 ?因式分解的定义及与整式乘法的关系
(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算就是因式分解.
(2)因式分解与整式乘法是互逆运算
2?因式分解的常用方法
(1)提公因式法
如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式.
提公因式法用公式可表示为口升mb+ m(= _______________ ，其分解步骤为:
①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幕的乘积.
②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式.
(2)运用公式法
将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法,
即a2—b2= _____ , a2± 2ab+ b2= ___________ .
3?因式分解的一般步骤
(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
(2)二套：如果各项没有公因式，那么可以尝试套用公式法来分解；
(3)三彻底：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
第3课时分式
A
形如JA、B是整式，且B中含有字母，B ____________ 的式子叫做分式.
(1)分式有无意义：B= 0时，分式无意义；B M0时，分式有意义.
⑵ 分式值为0: A= 0且B M 0时，分式的值为0.
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 _________ ■的整式，分式的值 不变.
② 通分的关键是确定n 个分式的 _____________ 定最简公分母的一般步骤 是：当分母是多项式时，先 _____________ ，再取系数的 _____________ ,所有不同 字母（因式）的 _________ 的积为最简公分母.
③ 约分的关.键.是确定分式的分子与分母中的 __________________ 定最大公 因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先 ___________________ ，取系数的 _________ ，相同字母（因式）的 _______ 的积为最大公因式.
1. 分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减, a b a ±b
即-±-=
.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相
c c c
a c
加减，即匚土 -
b d
2. 分式的乘除法 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的 a
c ac
积做积的分母，即匚?匚二.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置
b d bd
k
a ?m
b ?m
a b ，
a *m
b *m a
二 b （m z
0）; ad 土 be
后，与被除式相乘，即
a c a d ad
b d b
c bc
3.分式的乘方分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即（为k=m（k 是正整数）.
4.分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的.运算结果必须是最简.分式或整式.
分式的求值方法很多，主要有三种：①先化简，后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中.解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简.只有双管齐下，才能获得简易的解法.
第4课时二次根式
式子,a（a N0）叫做二次根式.
最简二次根式必须同时满足条件：1 .被开方数的因数是__________________ 因式是整式；
2.被开方数不含能开的尽方的因数或因式.
几个二次根式化成_____________ ，如果____________ 目同，这几个二次根式
就叫做同类二次根式.
类二次根式.
2.二次根式的 乘除法 二次根式的 乘法：a b = ab （a > 0,
二次根式的运算结果一定要化成
【第二单元 方程（组）与不等式（组）】
1. 等式及其性质
1. ,a(a > 0)是
数; (a > 0);
3. 4|a| a(a '0)
—a(a v 0)
4. ab = a ? b(a >0, b >0)；
1 .二次根式的加减法
先将各根式化为 ,然后合并同
第1课时
次方程（组）
5.
a
> 0, b____).
二次根式的除法：:
a
(a > 0, b >0).
用等号“二”来表示相等关系的式子，叫做等式.
等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得
结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.
2 ?方程的有关概念
（1）含有未知数的________ 叫做方程.
⑵使方程左、右两边的__相等的未知数的值，叫做方程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫做根）.
（3）求方程解的过程，叫做解方程.
（4）_________________________________ 方程的两边都是关于未知数的，这样的方程叫做整式方程.
1 .一元一次方程
在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程，叫做一元一次方程. ________________________________________ 一元一次方程的
标准形式.
2.解一元一次方程的一般步骤
(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项；(5) 系数化为1.
1．二元一次方程组
(1) 几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组；
⑵ 二元一次方程的一般形式：ax+ by = c.
2．解二元一次方程组的基本思路：消元
3．二元一次方程组的解法：(1) 代入消元法；(2) 加减消元法；(3)
图象法．
1．列方程(组)解应用题的一般步骤
(1) 把握题意，搞清楚什么是条件，求什么；
(2)设未知数；
(3)找出能够包含未知数的等量关系( 一般情况下设几个未知数，就找几个等量关系) ；
(4)列出方程( 组) ；
(5)求出方程( 组) 的解( 注意排除增根) ；
（6） 检验（看是否符合题意）;
（7） 写出答案（包括单位名称）?
2 ?列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系.
第2课时一元二次方程
在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是 这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的一般形式是
2.__________________________
2 、 ” 2
4. 公式法：方程 ax +bx + c = 0 且 b — 4ac >0,
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题步骤 一样，即审、找、设、列、解、答六步.
关于x 的一元二次方程 ax 2
+ bx + c = 0（a 工0）的根的判别式为
—4ac.
1. b 2 — 4ac >0?—元二次方程ax 2 + bx + c = 0（a 工0）有两个不相等的实
则x =
—b ± b 2
— 4ac
2a
2
ax + bx + c = 0（a 丰0）有两个相等的实数
根，即
3. b 2 — 4ac v 0?—元二次方程ax 2
+ bx + c = 0（a 工0）没有实数根；
1 .若关于x 的一元二次方程ax 2
+ bx + c = 0（a 工0）有两根分别为X i 、 X 2,贝U X i + X 2= _________ , X i ?X 2= ______ .
2. （简易形式）若关于x 的一元二次方程x 2
+ px + q = 0有两个根分别为 X i 、X 2,贝q X i + X 2 = , X i ?X 2 = _______________________
第3课时分式方程
1 .分式方程 分母里含有 _________ 的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即 分式方 程―—母整式方
程.
3?解分式方程的步骤 ①去分母，转化为整式方程；②解整式方程, 得根；③验根. 4 ?增根
数根，则X l,2 =
—b ± b 2
—4ac
2a
2
2. b — 4ac = 0?—元二次方程
b
2a
；
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的
增根?解分式方程时，有可能产生增根(使方程中有的分母为__的根)，因此解分式方程要验根(其方法是代入最简公分母中，使最简公分母为__的是增根，否则不是)?
1 ?分式方程的增根必须同时满足两个条件
(1)是由分式方程化成的整式方程的根；
(2)使最简公分母为零.
2 ?增根在含参数的分式方程中的应用
由增根求参数的值?解答思路为：①将原方程化为整式方程；②确定增根；③将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.
1 ?列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样?不同之处是列出的方程是分式方程.
2 ?应用问题中常用的数量关系及题型
(1)数字问题.(包括日历中的数字规律)
①设个位数字为c,十位数字为b，百位数字为a,则这个三位数是
② ______________________________________ 日历中前后两日差—，上下两日差_______________________________________________ .
⑵体积变化问题.
⑶ 打折销售问题. ①利润=_—成本；②利润率二 _____________ x100%.
⑷行程问题.
（5）教育储蓄问题. ①利息= ________________________
②本息和= _____________________ 本金x （1 +利润x期数）；
③禾U息税= _________________ ;
④贷款利息二贷款数额X利率x期数.
第4课时一元一次不等式（组）
1.___________________ 不等式用接起来的式子，叫做不等式.
2.____________________________________ 不等式的解使不等式成立的值，叫做不等式的解.
3._________________________________________________ 不等式的解集一个含有未知数的不等式的_________________________________________ 叫做不等式
的解集
4. _______________________________________________________ 一元一次不等式只含有—个未知数，并且未知数的次数是__________________________ 且系数不等于—的不等式，叫一元一次不等式.其一般形式为
5. __________________ 解不等式求不等式 ________ 的过程或证明不等式的过程，叫做解不等式.
1. _____________________________________________ 不等式两边都加上（或减去）同一个_或同一个___________________________________ ，不等号的方向
____ ，即若a v b，贝U a+ c v b+ c（或a—c v b—c）；
2. ___________________________________不等式两边都乘以（或除以）同一个____________________________________________ ，不等号的方向 ______ ，即若
a b
a v b，且c>0，贝U ac v bc（或一v ）；
c c
3. ____________________________________ 不等式两边都乘以（或除以）同一个____________________________________________ ，不等号的方向______ ，即
卄厂冲亠a b
若a v b，且c v0，贝U ac>bc（或 >一）.
c c
解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去___________ ， ____ ，合并______ ，系数化为1.
列不等式解应用题的一般步骤:
⑴ 审题；⑵ 设未知数；（3）确定包含未知数的不等量关系；⑷ 列出不等式；（5）求出不等式的解集；（6）检验不等式的解是否符合题意；（7）写出答案.
考点五一元一次不等式组的有关概念
1?定义：类似于方程组，把几个含有相同未知数的 ___________________________ 合起来，就组成了一个一元一次不等式组.
2?解集：几个不等式的解集的_______________ 叫做由它们所组成的不等式
组的解集.
考点六一元一次不等式组的解法
1.解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出
它们的_______ （一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来，由图形
得出公共部分），就得到不等式组的____________
2.两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集一般情况可见下表
（其中a v b）:
考点七一元一次不等式组的特殊解
一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解
等．
不等式组的特殊解，包含在它的解集中．因此，解决此类问题的关键是先求出不等式组的解集，然后求其特殊解．
考点八一元一次不等式组的应用
利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等量关系，列方的是不等式，解不等式组所得的结果通常为解集，根据题意需从解集中找出符合条件的答案．在列不等式时，“不超过” “不多于”等用“W”连接，“至少” “不少
于”等用“》”连接.
【第三单元函数】
第1 课时函数及其图象
考点一函数及其图象
1．函数的概念
(1)在一个变化过程中，我们称数值________ 的量为变量，有些数值是___
的，称它们为常量．
(2)—般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x
在其取值范围内的每一个确定的值，y都有____________ 的值与其对应，那么就说，