控制工程基础第三章参考答案
第三章 习题及答案
3-1.假设温度计可用
1
1
+Ts 传递函数描述其特性,现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要min 1时间才能指示出实际水温的98%的数值,试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少? 解: 41min, =0.25min T T =
1111()=1-e
0.1, =ln 0.9t h t t T -=-T
21T
22()=0.9=1-e ln 0.1t h t t T -=-,
210.9
ln
2.20.55min 0.1
r t t t T T =-===
2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+'',初始条件
2)0( , 1)0(='=--y y ,试求:
⑴系统的零输入响应y x (t ); ⑵激励f (t )(t )时,系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t );
⑶激励f (t ) e
3t
(t )时,系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。
解:(1) 算子方程为:)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++
)
()e 2
5e 223()()()( )
()e 2
1e 223()()()( )()e e 2()(2
112233)( )2(; 0 ,e 3e 4)( 3
4
221e e )( 2x 2222x 21
2121221x t t y t y t y t t t h t y t t h p p p p p p H t t y A A A A A A A A t y t t t t t t f f t t t t εεεε------------+=+=+-==-=?+-+=
+++=
-=????-==????--=+=?+=∴*
)
()e
4e 5()()()( )()e e ()(e )()( )3(2x 23t t y t y t y t t t h t y t
t
t t t f f εεε------=+=-==*
3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++,当激励)(t f =)(e 4t t ε-时,
系统的全响应)()e 6
1e 27e 314()(42t t y t t t ε-----=。试求零输入响应y x (t )及零状态响应y f (t )、自由响应及强迫响应、暂态响应及稳态响应。
解:
.
, )();
()e 2
7e 314(: );(e 61:)
( )()e 3e 4()()()()( )()e 3
221e 61( )
()]e 1(e 2
1)e 1(e 32[)(]e 2e 2[e )(),()e e 2()( ,2
112233
)(242x 24223 0 )(2)(422
}{不含稳态响应全为暂态自由响应强迫响应零状态响应零状态响应t y t t t t y t y t y t e t t d t y t t h p p p p p p H t t t t t t t t t t t t t
t t t t f f εεεεεετετττ----------------------=-=∴+--=---=-=-=+-+=+++=
?
4. 设系统特征方程为:0310126234=++++s s s s 。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解:用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别,a 4=1,a 3=6,a 2=12,a 1=10,a 0=3均大于零,且有
3
1210
010600
3
121001064=
?
061>=?
0621011262>=?-?=?
051210110366101263>=??-??-??=? 015365123334>=?=?=?
所以,此系统是稳定的。
5.
试确定下图所示系统的稳定性.
解:210
110(1)
(1)(). ()210(21)
1(1)s s s s a G s s s s s s s +++=?=?+++ 232()= (21)10(1)21101D s s s s s s s +++=+++
3 21
0. 1 10 21 12101
>0
21
1
Routh s s s s -
系统稳定。
210
10(2)
(). ()10(101)102101(2)s s b s s s s s s φ+==++++
+
2()= 10210D s s s ++
满足必要条件,故系统稳定。
6.已知单位反馈系统的开环传递函数为)
12.001.0()(2++=s s s K
s G ξ,试求系统稳
定时,参数K 和ξ的取值关系。 解:2()(0.010.21)0D s s s s k ξ=+++=
32()201001000D s s s s k ξ=+++=
321
0: 1 100 200 1002000100 0
20 1000
Routh s s k
k s s k ξξξ>->>
由Routh 表第一列系数大于0得0
020k k ξξ
>??
>??
,即)0,0(20>> 根的实部均小于-1,求K 值应取的范围。 解:系统特征方程为 0)1.01)(2.0.1(=++K s s s 要使系统特征根实部小于1-,可以把原虚轴向左平移一个单位,令 1+=s w ,即 1-=w s ,代入原特征方程并整理得 072.046.024.002.023=-+++K w w w 运用劳斯判据,最后得 24.672.0< 8. 设系统的闭环传递函数为222()2n c n n G s s s ωξωω=++,试求最大超调量σ%=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。 解:∵%100%2 1?=--ξξπ σe =9.6% ∴ξ=0.6 ∵t p =πωξ n 12 -=0.2 ∴ωn = πξ t p 131402106 2 2 -= -=...19.6rad/s 9.设单位负反馈系统的开环传递函数为 ) 6(25 )(+= s s s G k 求(1)系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn ; (2)系统的峰值时间t p 、超调量σ%、调整时间t S (△=0.02); 解:系统闭环传递函数25625 25)6(25) 6(251)6(25 )(2++=++=++ +=s s s s s s s s s G B 及标准形式对比,可知 62=n w ξ ,252=n w 故 5=n w , 6.0=ξ 又 46.015122=-?=-=ξn d w w 785.04 == = π π d p w t 33.14 % 5.9%100%100%2 2 6.016.01== =?=?=----n s w t e e ξσπ ξ ξπ 10. 一阶系统结构图如下图所示。要求系统闭环增益2=ΦK ,调节时间 4.0≤s t s ,试确定参数21,K K 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 111)(212211211 +=+=+ =ΦK K s K K K s K s K K s K s 令闭环增益21 2 == ΦK K , 得:5.02=K 令调节时间4.03 32 1≤= =K K T t s ,得:151≥K 。 11.设某高阶系统可用下列一阶微分方程:T c t c t r t r t ?? +=+()()()()τ近似描述,其中,1)(0<-<τT 。试证系统的动态性能指标为: T T T t d ????? ???? ??-+=τln 693.0;t T r =22.;T T T t s ??????-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入s s R 1 )(= 当初始条件为0时有: 1 1 )()(++=Ts s s R s C τ 1 11 11)(+--= ? ++= ∴ Ts T s s Ts s s C ττ C t h t T T e t T ()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时 h t T T e t t d ()./==- --051τ 12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -??? ??-=-τln 2ln ??? ?? ???? ??-+=∴ T T T t d τln 2ln 2) 求t r (即)(t c 从1.0到9.0所需时间) 当T t e T T t h /219.0)(--- ==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当T t e T T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则t t t T T r =-==2109 01 22ln ... 3) 求 t s T t s s e T T t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln T T T T T T T T T t s τ ττ-+=+-=--=∴ 12. 已知系统的特征方程,试判别系统的稳定性,并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。 (1)01011422)(2345=+++++=s s s s s s D (2)0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D (3)022)(45=--+=s s s s D (4)0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D 解(1)1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0 Routh : S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε6 S 2 εε124-10 S 6 S 0 10 第一列元素变号两次,有2个正根。 (2)483224123)(2345+++++=s s s s s s D =0 Routh : S 5 1 12 32 S 4 3 24 48 S 3 3122434?-=32348 3 16?-= 0 S 2 424316 4 12?-?= 48 S 121644812 0?-?= 0 辅助方程124802s +=, S 24 辅助方程求导:024=s S 0 48 系统没有正根。对辅助方程求解,得到系统一对虚根s j 122,=±。 (3)022)(45=--+=s s s s D Routh : S 5 1 0-1 S 4 20-2辅助方程0224=-s S 3 8 0 辅助方程求导083=s S 2 ε-2 S 16 S 0 -2 第一列元素变号一次,有1个正根;由辅助方程0224=-s 可解出: ))()(1)(1(2224j s j s s s s -+-+=- ))()(1)(1)(2(22)(45j s j s s s s s s s s D -+-++=--+= (4)0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D Routh : S 5 1 24-25 S 4 248-50 辅助方程05048224=-+s s S 3 896 辅助方程求导09683=+s s S 2 24-50 S 338/3 S 0 -50 第一列元素变号一次,有1个正根;由辅助方程05048224=-+s s 可解出: )5)(5)(1)(1(25048224j s j s s s s s -+-+=-+ )5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++= 13.已知单位反馈控制系统开环传递函数如下,试分别求出当输入信号为 )(1t 、t 和2t 时系统的稳态误差。 ⑴)15.0)(11.0(10 )(++=s s s G ⑵) 22)(4() 3(7)(2++++= s s s s s s G 解: ⑴1010 ()0(0.11)(0.51)K G s v s s =?=? =++? ()(0.11)(0.51)100D s s s =+++=经判断系统稳定 ()1()1 111 ss r t t A e K ==+ 2 ()()ss ss r t t r t t e e === ∞ ⑵273217(3)()428(4)(22)1 K s G s s s s s v ?? = =+?=?? +++? =? 2()(4)(22)7(3)0D s s s s s s =+++++= 经判断:系统不稳定。 14.已知单位负反馈系统的开环传递函数如下: ) 2(100 )(+= s s s G K 求:(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ; (2)试求输入为t t r 31)(+=时,系统的稳态误差。 解:(1)将传递函数化成标准形式 ) 15.0(50 )2(100)(+=+= s s s s s G K 可见,v =1,这是一个I 型系统 开环增益K =50; (2)讨论输入信号,t t r 31)(+=,即A =1,B =3 误差06.006.0050 3 111=+=+∞+=++= V p ss K B K A e 15. 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下: ) 2.0)(1.0(2 )(2 ++= s s s s G K