高中 三角函数教学设计及习题及答案

第三章 三角函数

章节结构图

三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．

在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力．

3．1 三角函数的概念

(一)复习指导

1．了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．

2．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握任意角的三角函数在各个象限的符号．

3．会应用三角函数线解决与三角函数有关的简单问题． (二)解题方法指导 例1．写出与－60°终边相同的角的集合S ，并把S 中满足－2π ≤α≤4π 的元素α写出来．

例2．已知角α终边上有一点P (x ，1)，且2

1

cos =α，求sin α，tan α．

例3．求函数2

1

sin )(-=x x f 的定义域．

例4．已知α∈(0，π )，比较2

tan

,2

sin

α

α

的大小．

(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．2 同角三角函数关系及诱导公式

(一)复习指导

1．理解同角三角函数的基本关系式：.tan cos sin ,

1cos sin 2

2

x x

x

x x ==+ 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出

αα±±π,2

π

的正弦、余弦、正切的诱导公式． 3．能综合运用诱导公式和同角关系式对代数式进行化简． (二)解题方法指导

例1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 例2．求)

330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(

----的值．

例3．若

,2cos sin cos sin =+-x

x x

x ，求sin x cos x 的值．

例4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．

(三)体会与感受

1．重点知识________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

2．问题与困惑______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．3 三角函数的图象与性质(一)

(一)复习指导

1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性．

2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等)

3．理解正切函数在区间)2

π

,2π(-的单调性．

例1．用五点法画出函数)3

sin(+=x y 草图，并求出函数的周期，单调区间，对称轴，对称中心．

例2．求函数)6

π

2sin(

2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域．

例3．求下列函数的值域． (1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．

例4．求函数x

x

y cos 3sin 1--=

的值域．

(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．4 三角函数的图象与性质(二)

(一)复习指导

1．了解函数y =A sin(ωx +φ)的物理意义；能画出y =A sin(ωx +φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．

2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．

(二)解题方法指导

例1．在同一个坐标系中，用五点法画出下列函数的草图．

(1));3

πsin(,sin +==x y x y (2)).3

π2sin(,2sin +

==x y x y

例2．已知函数)6

π

2sin()(+=x x f ，该函数的图象可以由y =sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到．

例3．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．

例4．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．

(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2

π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值．

(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．5 和、差、倍角的三角函数(一)

(一)复习指导

1．掌握两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

3．能用上述公式解决一些化简和求值问题．

(二)解题方法指导 例1．若5tan 1tan 1=+-x x

，则)4

πtan(+x 的值为 ( )

(A)5

(B)5-

(C)

55

(D)55-

例2．=-++)4

π

(

sin 2)cos (sin 2

2

x x x ____________． 例3．已知21

)4πtan(=+x ．求x

x x 2cos 1cos 22sin 2+-的值．

例4．已知f (cos x )=cos2x . (Ⅰ)求))16

π

(cos(

f 的值； (Ⅱ)求f (sin x )．

(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．6 和、差、倍角的三角函数(二)

(一)复习指导

1．能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值． 2．掌握A sin x +B cos x 型代数式变形方法． (二)解题方法指导 例1．已知)π,2π(,54cos ∈-

=αα，则=-)4

π

cos(α( )． (A)

102

(B)10

2-

(C)10

2

7-

(D)

10

2

7 例2．x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小值为____． 例3．已知：53cos ,2π0=<

<

5)sin(=+y x ，求cos y 的值．

例4．已知5

4

)cos(,53sin ,π2π0-=+=<<<

βααβα，求sin β．

(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．7 正弦定理和余弦定理

(一)复习指导

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

(二)解题方法指导

例1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则其最大角为____． 例2．在△ABC 中，有a cos A =b cos B ，判断△ABC 的形状．

例3．在△ABC 中，∠A =60°，面积为310，周长为20，求三条边的长．

例4．在一条河的对岸有两个目标物A ，B ，但不能到达．在岸边选取相距32里的C ，D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，且A ，B ，C ，D 在同一个平面内，求A ，B 之间的距离．

(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

例 题 解 析

第三章 三角函数

3．1 三角函数的概念

例1分析：先把角转化成弧度制，然后写出与其终边相同角的集合． 解：因为3π60o

-

=-，所以},,3

π

π2|{Z ∈-==k k S αα S 中满足－2π≤α≤4π的元素有?-

3

π

11,3π5,3π 例2分析：已知一个角的一个函数值，可以利用三角函数定义求其它三角函数值，也可以利用同角关系直接求得．

解：因为P (x ，1)在角α的终边上，所以，

,2

11

cos ,422=

+=

+=x x x r α 解得,33±

=x 又因为x ＞0，所以,33

=x 所以.3tan ,2

3sin ==αα

小结：知道一个角某个三角函数值，求其它的函数值，是三角函数求值问题中典型问题

之一．

例3解：因为02

1sin ≥-

x ，所以,21sin ≥x

当21sin =x 时，6π

π2+=k x 或,,6

π5π2Z ∈+

=k k x 利用三角形函数线得到， .],6

π

5π2,6ππ2[Z ∈++∈k k k x

例4分析：比较不同三角函数值的大小，可以充分利用三角函数线． 解：因为α∈(0，π)，所以

)2

π,0(2∈α

，如图3－1－2，在单位圆中，作出2α

的正弦线

MP 和正切线AT ，因为S △OAP ＜S △OAT ，

所以

|,|||2

1

||||21AT OA MP OA ??

tan

2

sin

α

α

小结：例3和例4都是三角形函数线的应用，其中例4还可以利用比较法来解决，实际

上有)2

π

,0(∈x 时，sin x ＜x ＜tan x ．

3．2 同角三角函数关系及诱导公式

例1分析：知道一个角某个三角函数值，求其它函数值，方程思想是通法． 解：因为2cos sin tan ==

x

x

x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1

cos sin cos 2sin 2

2x x x

x 解这个方程组得.

55cos 552sin ,55cos 552sin ???

????-=-=??

?????==x x x x 小结：这道题和3.1.1中的例2属于同一类型问题．

例2分析：这种代数式化简，一般要用到诱导公式和同角函数关系，要注意公式的正确使用，特别是函数名称和符号的变化方法．

解：原式

)

30360cos()150sin()30720tan()

120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=

.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=

例3分析：这种代数式求值，可以利用方程组的思想，求出每个函数值，也可以利用sin x ±cos x 与sin x cos x 的关系，整体求值．

解：法一：因为

,2cos sin cos sin =+-x

x x

x

所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，

得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，???

????=-=??

?????-==1010cos 10

103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?-

=10

3

cos sin x x

法二：因为

,2cos sin cos sin =+-x

x x

x

所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有?-

=10

3cos sin x x 小结：这两种方法中，第一种是通法，第二种利用了整体求值．

例4分析：这种证明问题，可以从左边开始变形，向右边看齐，也可以反过来，还有的时候是两边同时变形．在变形的时候，要注意公式的正确使用，同时要时刻注意目标是什么．

证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2

x ，问题得证．

法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．

3．3 三角函数的图象与性质(一)

例1解：

周期为T =2π，

单调增区间为,),6π

π2,6π5π2(Z ∈+-

k k k 单调减区间为,),6π

7π2,6ππ2(Z ∈+

+k k k 对称轴为,,6π

πZ ∈+=k k x

对称中心为.),0,3

π

π(Z ∈-k k

小结：画图的时候，要注意五个点的选取． 例2分析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与x 有关的代数式的取值范围求出来，然后利用三角函数图象求其值域．

解：因为0≤x ≤2π，所以,6

π76π26π,π20≤+≤≤≤

x x 由正弦函数的图象， 得到],1,2

1

[)6π2sin(-∈+x

所以y ∈[－1，2]．

例3解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，

令t =cos x ，则,4

13

)21

(413)21

(3)(],1,1[2

2

2

++-=++-=++-=-∈t t t t y t

利用二次函数的图象得到].4

13

,

1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，

)4

π

sin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y

利用二次函数的图象得到].21,4

5

[+-∈y

小结：利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转化后自变量的取值范围．

例4解：设A (3，1)，P (cos x ，sin x )，

把y 看成定点A 与动点P 所在直线的斜率， 因为动点P (cos x ，sin x )在单位圆上，

所以只要求经过点A (3，1)与单位圆相切的两条直线的斜率，

两条切线的斜率分别为0和,4

3 所以].4

3,0[∈y

小结：这是数形结合解题的一个典型问题．

3．4 三角函数的图象与性质(二)

例1解：(1)

例2分析：这种问题的难点在于确定变换的先后顺序． 解：法一：将函数y =sin x 依次作如下变换： (1)把函数y =sin x 的图象向左平移

6

π个单位，得到函数)6π

sin(+=x y 的图象；

(2)把函数)6π

sin(+=x y 图象上各点的横坐标缩小到原来的2

1，纵坐标保持不变，得到

函数)6

π

2sin(+=x y 的图象．

法二：将函数y =sin x 依次作如下变换：

(1)把函数y =sin x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的2

1

，纵坐标保持不变，得到函数y =sin2x 的图象．

(2)把函数y =sin2x 向左平移

12π个单位，得到函数)12π(2sin +=x y ，即)6

π2sin(+=x y 的图象．

小结：在进行图象变换的时候，应注意平移变换和压缩变换的顺序，顺序不一样，则平移的单位不一样．如y =sin2x 的图象向左平移

12π个单位，得到函数)12

π

(2sin +=x y ，即)6

π

2sin(+=x y 的图象．

例3分析：这样的问题，首先要清楚几个参数A ，ω，φ对函数图象的影响，可以画出一个草图来分析问题．

解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是

41个周期，这样求得44

=T ，T =16，所以?=8π

ω

又由)28π

sin(22?+?=，得到可以取).4

π8πsin(2.4π+=∴=x y ?

例4分析：这个函数的解析式比较复杂，我们先对其进行化简，这包括减少函数名称，降低次数，然后再求相应的问题．

解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x

)4

π

2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x

所以最小正周期为π．

(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;

1)4π

sin(2=--当8

π

3=

x 时，f (x )取最小值为.2- 3．5 和、差、倍角的三角函数(一)

例1解：5)4πtan(tan 4πtan 1tan 4π

tan

tan 1tan 1=-=+-=+-x x x

x x ，所以,51)4πtan(1)4πtan(=-=

+x x 选C ．

小结：本题还可以tan x 把的值求出来，然后使用两角和的正切公式求值．

例2解：)4

π

(sin 2)cos (sin 22x x x -++

.22sin 12sin 1)4

π

(2cos 12sin 1=-++=--++=x x x x

例3解：因为21

tan 1tan 1)4πtan(=-+=+x x x ，所以,3

1tan -=x

?-=-=-=+-34

1tan cos 2cos 2cos sin 22cos 1cos 22sin 222x x

x x x x x x

小结：在求值问题中，应该先对代数式进行化简，在化简的过程中分析如何利用条件推导出结果．

例4解：(Ⅰ)因为,8π

cos ))16π(cos(==f

而422222

124πcos

18

π

cos 2

+=+=+=且08

πcos >，所以;2

28πcos +=

(Ⅱ)因为.2cos )2πcos())2

π

(2cos())2π(cos()(sin x x x x f x f -=-=-=-=

3．6 和、差、倍角的三角函数(二)

例1解：因为)π,2π

(,54cos ∈-=αα，所以,5

3sin =α

又αααsin 4

π

sin cos 4πcos )4πcos(+=-，代入求得结果为,102-所以选B ． 例2解：因为)26

π

sin(22sin 3cos cos sin 322cos )(x x x x x x x f -=-=-=，所以其最

小值为－2．

例3分析：在知值求值问题中，要注意角之间的关系．

解：因为,5

3cos ,2π0=<

4

cos 1sin 2x x 因为π2π,2π0<<<

π32π<+

12

)cos(-

=+y x 所以cos y =cos[(x ＋y )－x ]=cos(x ＋y )cos x ＋sin(x ＋y )sin x

65

1654135531312-=?+?-

= 例4解：因为,π2

π

0<<<<βα 所以

,2

π32π<+<βα 又5

4)cos(-

=+βα，所以53)sin(-=+βα，或,53

)sin(=+βα

若5

3)sin(-=+βα,则由53

sin =α，得到β=π，矛盾，

所以,5

3

)sin(=+βα

所以?=

+-+=-+=25

24sin )cos(cos )sin(])sin[(sin αβααβααβαβ 3．7 正弦定理和余弦定理

例1解：因为三条边中c 边最大，则角C 最大，根据余弦定理，21cos -=C ，所以?=3

π

2C

例2解：由正弦定理，a =2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入有2R sin A cos A =2R sin B cos B ，即sin2A =sin2B ，所以2A =2B 或2A =π－2B ．即A =B 或2

π

=+B A ，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

例3解：因为310sin 2

1

==?A bc S ABC ，所以bc =40，又a ＋b ＋c =20，a 2=b 2＋c 2－2bc cos A ，

解得三条边为5，7，8．

例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮我们找到解题的思路．

要求AB ，可以把AB 放到一个三角形中，看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值．

解：中△ACD 中，∠ACD =120°，∠ADC =30°

所以∠DAC =30°，所以｜AC ｜=｜CD ｜=23， 在△BCD 中，∠BCD =45°，∠CDB ＝75°，

所以∠CBD =60°，由正弦定理,60sin |

|75sin ||,

o

o CD BC =

所以,2660sin 75sin ||||o

o

+==

CD BC 在△ABC 中，∠BCA =75°，

根据余弦定理，｜AB ｜2=｜AC ｜2＋｜BC ｜2－2｜AC ｜·｜BC ｜·cos75°，求得 ｜AB ｜2=20，?=52||AB