《有限元基础教程》_【MATLAB算例】基于节点四边形单元的矩形薄板分析(QuadDNode)

基于4节点四边形单元的矩形薄板分析(Quad2D4Node)

如图4-21所示的一个薄平板，在右端部受集中力F 作用，其中的参数为：

75110Pa,=1/3,=0.1m,=110N E t F μ=⨯⨯。基于MA TLAB 平台，按平面应力问题计算各

个节点位移、支座反力以及单元的应力。

(a) 问题描述 (b) 有限元分析模型

图4-21 右端部受集中力作用的薄平板

解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。 （1）结构的离散化与编号

将结构离散为二个4节点矩形单元，单元编号及节点编号如图4-21(b)所示，连接关系见表4-6，节点的几何坐标见表4-7，载荷F 按静力等效原则向节点1，2移置。

表4-6 结构的单元连接关系

单元号 节点号 1 2

3 5 6

4 1 3 4 2

表4-7 节点的坐标

节点

节点坐标/m x y

1 2 3 4 5 6

2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 0 0

节点位移列阵

[]1

1223344556

6T

u v u v u v u v u v u v =q (4-186)

节点外载列阵

000000000022

T

F F

⎡⎤

=--

⎢⎥⎣

⎦

F

(4-187)

约束的支反力列阵

556

60

0000000T

x y x y R R R R ⎡⎤=⎣⎦R (4-188)

总的节点载荷列阵

556

600000022

T

x y x y F F

R R R R ⎡

⎤

=+==-

-

⎢⎥⎣

⎦

P F R R (4-189)

其中，(

)55,x y R R 和()

66,x y R R 分别为节点5和节点6的两个方向的支反力。 （2）计算各单元的刚度矩阵(以国际标准单位)

首先在MATLAB 环境下，输入弹性模量E 、泊松比NU 、薄板厚度h 和平面应力问题性质指示参数ID ，然后针对单元1和单元2，分别两次调用函数Quad2D4Node_Stiffness ，就可以得到单元的刚度矩阵k1(8×8)和k2(8×8)。

>> E=1e7; >> NU=1/3; >> t=0.1; >> ID=1;

>> k1= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,t, 1,1, 0,1,0,0,1,0, ID); >>k2=Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,t, 2,1,1,1,1,0,2,0, ID);

（3） 建立整体刚度方程

由于该结构共有6个节点，则总共的自由度数为12，因此，结构总的刚度矩阵为KK (12×12)，先对KK 清零，然后两次调用函数Quad2D4Node_Assembly 进行刚度矩阵的组装。

>>KK = zeros(12,12);

>>KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k1, 3,5,6,4); >>KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k2, 1,3,4,2);

（4） 边界条件的处理及刚度方程求解

由图4-21(b)可以看出，节点5和节点6的两个方向的位移将为零，即

55660,0,0,0u v u v ====，因此，将针对节点1，2，3和4的位移进行求解。节点1，2，

3和4的位移将对应KK 矩阵中的前8行和前8列，则需从KK (12×12)中提出，置给k ，然后生成对应的载荷列阵p ，再采用高斯消去法进行求解。注意：MATLAB 中的反斜线符号“\”就是采用高斯消去法。

>>k=KK(1:8,1:8);

>>p=[0;-50000;0;-50000;0;0;0;0]; >>u=k\p

u = 0.8000 -2.5333 -0.8000 -2.5333 0.6000 -0.8667 -0.6000 -0.8667 [将列排成行]

由此可以看出，所求得的结果为：

11220.800 0, 2.533 3,0.800 0, 2.533 3,u v u v ==-=-=- 33440.600 0,0.866 7,0.600 0,0.866 7u v u v ==-=-=-。

（5）支反力的计算

在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力。先将

上面得到的位移结果与位移边界条件的节点位移进行组合(注意位置关系)，可以得到整体的

位移列阵U(12×1)，再代回原整体刚度方程，计算出所有的节点力P(12×1)，按式(4-189)的对应关系就可以找到对应的支反力。

>>U=[u;0;0;0;0]; >>P=KK*U P = 1.0e+005 *

-0.0000 -0.5000 0.0000 -0.5000 0.0000 0.0000 [将列排成行] 0.0000 -0.0000 -2.0000 0.5000 2.0000 0.5000 [将列排成行]

由式(4-189)的对应关系，可以得到对应的支反力为

5566200 000,50 000,200 000,50 000x y x y R R R R =-===。

（6）各单元的应力计算

先从整体位移列阵U(12×1)中提取出单元的位移列阵，然后，调用计算单元应力的函数Quad2D4Node_Stress ，就可以得到各个单元的应力分量。

>>u1=[ U(5);U(6) ;U(9);U(10);U(11);U(12);U(7);U(8)]

u1 = 0.6000 -0.8667 0 0 0 0 -0.6000 -0.8667 [将列排成行]

>>stress1=Quad2D4Node_Stress(E,NU, 1,1,0,1,0,0,1,0, u1,ID) stress1 = 1.0e+005 *

0.0000 0.0000 -10.0000 [将列排成行]

>>u2=[ U(1);U(2) ;U(5);U(6); U(7);U(8);U(3);U(4)]

u2 = 0.8000 -2.5333 0.6000 -0.8667 [将列排成行] -0.6000 -0.8667 -0.8000 -2.5333 [将列排成行]

>>stress2=Quad2D4Node_Stress(E,NU, 2,1,1,1,1,0,2,0, u2,ID) stress2 = 1.0e+005 *

0.0000 0.0000 -10.0000 [将列排成行]

可以看出：计算得到的单元1的应力分量为0Pa,x σ=0Pa,y σ= 1 000 000Pa xy τ=-；单元2的应力分量为0Pa,x σ= 0Pa,y σ= 1 000 000Pa xy τ=-。