平面四边形网格自动生成方法研究
4、逼近精确性。待分区域的顶点（包括特殊点）必须 是单元的节点，待分区域的边界（包括特殊边及面）被单元 边界所逼近。 5、良好的单元形状。单元最佳形状是正多边形或正多 面体。 6、良好的划分过渡性。单元之间过渡应相对平稳，否 则将影响计算结果的准确性甚至使有限元计算无法进行下去。 7、网格划分的自适应行。在集合尖角处、应力、温度 等变化大的地方网格应密，其他部位应较稀疏，这样可以保 证计算结果精确可靠。 8、一致性。对于相连的两个二次单元，单元角点只能 与单元角点连接，而不能与相邻单元的中间节点连接：相邻 单元的公共边应具有相同的节点数，当采用混合单元（线性 单元与高阶单元）类型时有必要从一个单元中除去中间节点。
②平面四边形网格的生成方法有两类主要的方法。 一类是间接法，即在区域内部先生成三角形网格， 然后分别将两个相邻的三角形合并成为一个四边形。生 成的四边形的内角很难保证接近直角。所以再采用一些 相应的修正方法加以修正。间接法优点是首先就得到了 区域内的整体的网格尺寸的信息，对四边形网格尺寸梯 度的控制一直是四边形网格生成技术的难点。缺点是生 成的网格质量相对比较差，需要多次的修正，同时需要 首先生成三角形网格，生成的速度也比较慢，程序的工 作量大。 另外一类是直接法，二维的情况称为铺砖法。采 用从区域的边界到区域的内部逐层剖分的方法。这种方 法到现在已经逐渐替代间接法而称为四边形网格的主要 生成方法。它的优点是生成的四边形的网格质量好，对 区域边界的拟合比较好，最适合 流体力学的计算。缺 点是生成的速度慢，程序设计复杂。
3、网格质量改进 按铺砌法生成的四边形网格，位于边界附近的单 元质量一般较好，但是位于区域内部的单元质量还需提 高。改进的方法有网格的匀称化和调整。 ①网格匀称化，重新调整节点的坐标。 ②网格调整，通过插入或删除一个单元，以改善局 部的单元方向比率，减少非规则节点数目，或删除内角 过大或过小的单元。
三、网格剖分准备与剖分方法
1、准备
（1）确定合适的网格密度 （2）单元形状与类型的选则 2、方法、 （1）网格直接生成法
（2）由几何实体生成网格法
四、三角形与四边形网格的比较
有限元法，对结构分析域完全采用三角形网格来 进行计算，无论对于多么复杂的几何形状，用 Delaunay准则均能自动的生成形状良好的三角形或四 面体，根本不会存在网格划分的困难。但有限元法里的 三角形单元和四面体单元是常应变单元，计算精度很低。 所以使用三角形单元的地方网格划分得相对密一些。
4、网格优化 最初生成的网格在边界附近单元质量是不高的， 需要进行优化处理，以改善单元质量。从优化效率上考 虑，选择边缘区的第1、2层单元作为优化层，其他部分 不作处理。
优化过程分为两步；（1）边界优化(边界节点位臵 的优化），采用一维的Laplace优化算法；（2）内部非 边界节点的优化，只对边界内部的节点作二维的 Laplace优化。
2、四叉树网格的困难及前景 注：湖南大学硕士学位论文《简单高效的复杂边 界四叉树有限元网格生成技术》 四叉树网格生成技术发展至今已成为最成功有效 的网格生成方法之一。其算法效率几乎与单元节点数呈 线性增长，其网格易于自适应，易于同实体造型系统相 结合。但由于其基本思想是“逼近边界”且复杂边界的 逼近效果不甚理想，所以必然给以后边界网格的处理带 来不便，导致大量复杂的后期工作。
平面四边形网格自动生成方法研究
理力09-1 王宇晖
目录
• • • • • • • • • • • • • • 一、网格单元自适应生成算法 二、网格划分要求 三、网格剖分与剖分方法 四、三角形与四边形网格的比较 五、 Delaunay三角剖分逐点插入法 六、栅格法（新） 七、四叉树 八、铺砌法 九、结构优化设计分类 十、全四边形有限元网格的拓扑优化策略 十一、四边形网格基区拼合法 十二、映射法 十三、自动生成三角形网格并转化 为四边形网格的算法 参考文献
1、域内栅格的生成 正方形栅格的生成:首先生成一个覆盖整个划分区 域的栅格，其次将区域外的单元删除，形成一个域内的 栅格。 栅格尺寸的确定需要考虑两方面因素；一是有限 元的计算精度，二是保证在区域边界上生成质量较好的 单元。栅格方向选最长边的方向。 2、边界单元的生成 确定与区域边界上的角节点对应的栅格边界节点， 根据边界节点内角α的大小选择不同的连接方式。
2、按照单元节点生成的先后顺序
[3] 二、网格划分要求
有限元网格生成就是将工作环境下的物体离散成单元的 过程。 网格划分应遵循以下原则 1、合法性。一个单元的节点不能落入其他单元内部，在 单元边界上的节点均应作为单元的节点，不可丢弃。 2、 相容性。单元必须落在待分区域内部，不能落入外 部，且单元并集等于待分区域。 3、协调性。单元上的力和力矩能够通过节点传递给相 邻单元。为保证单元协调，必须满足：一个单元的节点必须 同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点；相邻单 元的共有节点具有相同的自由度性质，即自由度必须匹配。
非结构化网格生成技术从生成网格的方法来区分 主要有Delaunay准则和前波发以及四边形的直接法和 间接法。
①对平面三角形网格生成方法，比较成熟的是基 于Delaunay准则的一类网格剖分方法和前波发的网格 生成方法。 基于Delaunay准则的网格生成方法的有点是速度 快，网格的尺寸比较容易控制。缺点是对边界的恢复比 较困难，很可能造成网格生成的失败，对这个问题的解 决方法现在正在讨论之中。 波前法的优点是对区域辩解拟合 的比较好，所以 在流体力学等对区域辩解要求比较高的情况下，常常采 用这种方法。缺点是对区域内部的网格生成的质量比较 差，生成的速度比较慢。
一、网格单元自适应生成算法[1][2]
两种分类模式
1、按照生成单元的类型 生成结构化网格
生成非结构化网格
⑴从严格意义上讲，结构化网格是指网格区域内 所有的内部点都具有相同的毗邻单元。它可以很容易地 实现区域的边界拟合，适于流体和表面应力集中等方面 的计算。它的主要优点是：1、网格生成的速度快。2、 网格生成的质量好。3、数据结构简单。 对曲面或空间的拟合大多数采用参数化或样条插 值的方法得到，区域光滑，与实际的模型更容易接近。 它的最典型的缺点是适用的范围比较窄，只适用于形状 规则的图形。尤其随着近几年的计算机和数值方法的快 速发展，人们对求解区域的几何形状的复杂性的要求越 来越高，在这种情况下，结构化网格生成技术就显得力 不从心了。 ⑵同结构化网格的定义相对应，非结构化网格是 指网格区域内的内部点不具有相同的毗邻单元。即与网 格剖分区域内的不同内点相连的网格数目不同。从定义 上可以看出，结构化网格和非结构化网格有相互重叠的 部分，即非结构化网格中可能会包含结构化网格的部分。
对栅格法的边界单元的质量有了一定的提高。
七、四叉树
[7]
1、四叉树网格生成的基本思想
将四叉树空间分解方法应用于网格生成的引路人 是Yerry和Shephard。其基本思想是：首先将目标区域 用一尽可能小的正方形圈定，然后将此正方形分解成四 个相同大小的子区域，对每一个子域，测试其是否完全 在目标域外面或是满足密度控制的要求，若满足所给定 的条件则停止对子域的细分，否则将之细分。该过程迭 代执行下去直至达到预定的离散要求。这样目标区域被 一些相互不重叠的各种大小的方形子域拼成的图形所逼 近。这些子域是由最初的正方形分解而成，但目标区域 本身自始至终并不被分解。
2、逐点插入法的基本步骤 （1）定义一个包含所有数据点的初始多边形； （2）在初始多边形中建立初始三角网，然后迭代 以下步骤，直至所有数据点被处理；
（3）插入一个数据点P，在三角网中找出包含P点 的三角形，把P点与三角形的三个顶点相连，生成新的 三角形；
（4）用LOP算法优化三角网。该算法基本含义： 对由两个公共边组成的四边形进行判断，如果其中一个 三角形的外接圆包含第四个点，则将这个四边形的对角 线交换。
非结构化网格主要是弥补结构化网格不能够解决 任意形状和任意联通区域剖分的欠缺。从现在的文献调 查的情况来看，非结构化网格生成拘束中只有平面三角 形的自动生成技术比较成熟（边界的恢复问题仍然是一 个难题，现在正在广泛讨论），平面四边形网格的生成 技术正在走向成熟。而空间任意曲面的三角形、四边形 网格的生成，三维任意集合形状几何实体的四面体网格 和六面体网格的生成技术还远远没有达到成熟。
3、边界节点数的调整
第一种方法：将节点1、2合并成节点4，节点4的位 臵取节点1、2、3的平均位臵。
第二种方法；删除单元a以后，将节点1、2合并成 节点4，节点4的位臵取节点1、2、3的平均位臵。
以上两种方法每次使栅格边界减少2个节点，如果 要减少一个可删除单元1,、2、3、4以后.，合并相应的 节点。
2、铺砌类操作
第1类，缝合操作，是将由于节点内角过小造成的铺 砌边界“裂缝口”进行封闭。
判断标准：α≤30º。
第2类，填补操作，是将边界上具有显著凹陷的部 分加以平整，同时产生一个新单元。 判断标准：α﹢β≤210º,或α≤120，β≤120.其中α和 β为两相邻的节点内角。 第3类，规划操作，用规划的方式产生新节点。新 节点的个数由节点内角α的大小决定。 120º ＜α≤240º 产生1个新节点同时产生1个新单元 240º ＜α≤330º 产生3个新节点同时产生2个新单元 330º ＜α≤360º 产生5个新节点同时产生3个新单元 两相邻内角α≤120º或β≤120º产生1个新单元
四边形单元的应变是一次函数关系，精度要高。 但对边界条件的适应不如三角形好。
Delaunay三角网生成总结
准则一：Delaunay三角剖分，即在生成的三角网 格中，各三角形的最小内角和为最大（此准则目前研究 应用最广）。
准则二：在生成的三角网格中，所有三角形的边 长和最小。 逐点插入法算法实现简单，时间效率比较高，运 行占用的空间较小，分治算法和三角网生长法都有缺陷，已基本不再 使用。
第4类，封闭单元操作，在铺砌过程的最后阶段只 剩下6个节点时，根据铺砌边界上大鱼150º 的节点内角 数目和相对位臵，产生封闭单元。
针对密集点云的快速自适应四边形网格生成算法
一种改进的全四边形网格生成方法及优化
一种改进的全四边形网格生成方法及优化作者：李晓辉李昌华来源：《现代电子技术》2010年第08期摘要:在任意二维区域的全四边形网格生成方法中,铺砌法是目前较好的一种方法。
但是当边界出现不规则区域时,网格生成完毕后内部会产生一些质量较差的单元,且判断网格交叉现象是否发生和解决网格交叉问题比较困难。
为了提高该方法的适应性和可靠性,提出一种新的改进算法,它对边界不规则区域网格生成和解决网格交叉问题等关键技术进行改进,并加入四边形网格优化方法,将改进后的铺砌法应用于船舶有限元网格划分中,取得了较好的应用效果,最后给出算例进行了验证。
关键词:网格生成; 四边形单元; 网格优化; 铺砌法中图分类号:TP391.7文献标识码:A文章编号:1004-373X(2010)08-0119-04Modified Method and Optimization ofGenerating All-quadrilateral MeshLI Xiao-hui, LI Chang-hua(In formation and Control Engineering School, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an710055, China)Abstract: The paving method among the quadrilateral mesh generation methods in the arbitrary two-dimensionalis better. However, when irregular area is appeared at the border, some poor meshes are generated in the internal area after mesh generation, and it is difficult to determine cross-border phenomenon in irregular region and resolve the cross-cutting issues. A modifiedalgorithm is proposed to enhance the adaptability and reliability of the method. It improves the key technologies of generating meshes in irregular region and resolving the cross-border problem. In combination withthe quadrilateral mesh optimization algorithm, the improved paving method was applied in the finite element meshing for a ship and a good effect was obtained. An example is given for verifying the efficiency of the proposed method.Keywords:mesh generation; quadrilateral element; mesh optimization; paving method0 引言随着计算机科学技术的快速发展,以有限元技术为代表的数值方法得到了广泛应用。
平面任意区域四边形网格自动生成的一种方法
平面任意区域四边形网格自动生成的一种方法
顾元宪;马正阳
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】1998(010)005
【摘要】在改进节点连接法的基础上，提出了一种平面任意区域的有限元网格全自动剖分方法，既能快速生成四边形单元网格，也能生成三角形单元网格；【总页数】8页(P432-439)
【作者】顾元宪;马正阳
【作者单位】大连理工大学工程力学系;大连理工大学工程力学系
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.72
【相关文献】
1.一种平面区域四边形网格生成方法 [J], 但文蛟;张平;胡树根;王耘
2.一种平面区域四边形网格生成方法 [J], 但文蛟;张平;胡树根;王耘
3.任意平面区域三角形网格的全自动生成算法 [J], 张修忠;金生
4.任意平面区域的变密度四边形网格生成方法 [J], 杨晓东;申长雨;陈静波;刘春太
5.任意四边形网格上解辐射输运方程的一种数值方法 [J], 冯庭桂
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平面四边形网格自动生成方法研究共58页
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
四边形网格间接生成方法
四边形网格间接生成方法刘晶;聂玉峰;苏少普【摘要】研究了基于背景三角网格的四边形网格间接生成算法,并针对三角形合并过程中容易残留三角形的缺陷提出了确定侧边的详细算法,该算法主要是依据背景三角网格中边的位置和前沿边的情形,通过背景三角网格中已存在的边、边交换或边分割确定侧边,以避免在三角形合并过程中残留三角形单元.最后给出实例验证了算法的有效性.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2010(046)002【总页数】4页(P44-47)【关键词】四边形网格;三角形合并;前沿边【作者】刘晶;聂玉峰;苏少普【作者单位】西北工业大学,应用数学系,西安,710072;西北工业大学,应用数学系,西安,710072;西北工业大学,应用数学系,西安,710072【正文语种】中文【中图分类】O242.211 引言随着有限元方法在工程中的深入广泛应用，人们对有限元计算精度的要求越来越高，而网格的质量对有限元计算精度有重大影响，因而对网格生成方法的研究一直受到人们的重视[1-13]。
二维区域中常用的有三角形网格和四边形网格，三维区域上则常用四面体、三棱柱或六面体网格。
对二维问题，三角形网格的生成算法理论已相对较为成熟，但在具体的求解过程中，使用三角形元的求解精度通常不及使用四边形元的求解精度，故研究基于三角形网格的四边形网格生成算法。
2 基本概念（1）固定节点和可动节点：位于区域边界上的节点为固定节点，区域内部的点则为可动节点。
（2）节点连通度：在网格内与节点相连的单元数目即为节点的连通度。
（3）不规则节点：在四边形网格内部节点连通度不为4的节点即为不规则节点。
（4）结构化网格：是指网格内部各节点的连通度相同的网格。
（5）非结构化网格：与结构化网格相对，非结构化网格是指网格内部各节点的连通度不同的网格。
（6）几何优化：是指调整可动节点的位置而不改变节点的拓扑连接关系以改进网格质量的操作。
（7）拓扑优化：是指改变可动节点的拓扑连接关系以改进网格质量的操作。
四面体网格生成方法的与实现
平面四边形网格自动生成方法研究
第4类，封闭单元操作，在铺砌过程的最后阶段只 剩下6个节点时，根据铺砌边界上大鱼150º 的节点内角 数目和相对位臵，产生封闭单元。
网格中单元的大小由铺砌边界上的节点的空间大 小所决定。在铺砌过程中，维持这一空间大小不变。这 样，我们可以通过修改固定节点的空间大小来控制单元 的大小。各个节点的空间大小可以不相同，因为大小不 一的单元组成的网格，有利于分析单元，便于网格的疏 密分布。
②平面四边形网格的生成方法有两类主要的方法。 一类是间接法，即在区域内部先生成三角形网格， 然后分别将两个相邻的三角形合并成为一个四边形。生 成的四边形的内角很难保证接近直角。所以再采用一些 相应的修正方法加以修正。间接法优点是首先就得到了 区域内的整体的网格尺寸的信息，对四边形网格尺寸梯 度的控制一直是四边形网格生成技术的难点。缺点是生 成的网格质量相对比较差，需要多次的修正，同时需要 首先生成三角形网格，生成的速度也比较慢，程序的工 作量大。 另外一类是直接法，二维的情况称为铺砖法。采 用从区域的边界到区域的内部逐层剖分的方法。这种方 法到现在已经逐渐替代间接法而称为四边形网格的主要 生成方法。它的优点是生成的四边形的网格质量好，对 区域边界的拟合比较好，最适合 流体力学的计算。缺 点是生成的速度慢，程序设计复杂。
3、边界节点数的调整
第一种方法：将节点1、2合并成节点4，节点4的位 臵取节点1、2、3的平均位臵。
第二种方法；删除单元a以后，将节点1、2合并成 节点4，节点4的位臵取节点1、2、3的平均位臵。
以上两种方法每次使栅格边界减少2个节点，如果 要减少一个可删除单元1,、2、3、4以后.，合并相应的 节点。
基区划分任意一个几何轮廓若干个子区域直线段子区域曲线段子区域四边形基区类四边形基区类四边形基区是指在一定条件下可以把曲线段近似看作一条直线来处理把它看成是四边形的一条基区网格生成21四边形基区的网格生成由于基区形状与所要生成的单元具有相似性这种相似性的程度越高就越容易处理
一种全四边形有限元网格生成方法——堆砌法
一种全四边形有限元网格生成方法——堆砌法一种全四边形有限元网格生成方法——堆砌法第36卷第l0期2000年10月机械工程CHINESEJOURNALOFMECHANICALENGINEERING V36No10Oct.2000一种全四边形有限元网格生成方法——堆砌法王世军(西安理工夫学机械与张广鹏院西安710048)7一7仡1))中围j2_-一——,0《ul1..0前言有限元方法是一种在工程上非常重要的数值分析方法,尤其是在复杂结构的分析中得到广泛应用随着计算机技术的快速发展,分析问题的规模越来越大,从印,70年代的几十至几百个结点到目前的几十万至几百万个结点.用人工进行网格划分已经不能满足需要.另一方面,自适应分析与设计技术的出现与发展,也迫切要求网格划分自动化.有限元网格的自动生成算法有着潜在的,巨大的价值,在这个领域一直有着广泛的研究.这些研究多数都使用三角形网格,三角形单元的精度较四边形低,在分析过程中并不推荐使用.也有部分算法可以实现部分的或完全的四边形网格划分,但是这些算法往往存在这样或那样的问题,不能获得广泛使用.铺路法(Pavingmethod)_】是目前较好的一种全四边形网格生成算法_2"J,生成的网格质量较高.缺点是算法复杂,计算时问长,对复杂形状的划分区域适应性差,因此,难以将其推广到三维区域.本文针对铺路法的这些特点,提出了一种改进算法一堆砌法,较好地克服了铺路法存在的缺点.1堆砌法的原理铺路技术是将单元一层一层从边界铺到区域的内部,如图1所示,这些单元最终会填满整个划分区域.一般说,在区域内部铺设单元时,肯定会产生交叠.在一层单元铺设完毕后,要对交叉的部分进行特殊处理——边的缝合和单元湮灭,使得生成的单*西安理工大学青年科技基盎资助项目,20000228收到初稿2o~o4i5收到修改祷元之间保持相容性.之后进行光顺处理.交叉部分的处理,是铺路技术的难点.区域形状越复杂,产生的交叉越多,处理起来越麻烦,处理时间也越长.口口(b)日醒噩(c)图1铺路法原理堆砌技术的基本思想是沿着网格划分区域内的一条直线铺设单元,铺完一层单元以后,平移这条直线,在新的平行线上继续铺设新一层单元.直到整个区域铺满单元.如图2所示,在铺设每一层单元时,都是从区域的一个边界开始向另一个边界铺设.(B)图2螓砌浩原理图口加∞年1O月王世军等:一种全四边形有限元网格生成方法——堆砌法铺完一层后,再开始铺设另一层,直到铺满整个区域.可以看出,与铺路法明显不同的是,这里每一个单元层都是不封闭的,一般情况下只有2个端点在固定边界上,单元层不会产生交叉,避免了复杂的单元缝合处理.下面说明堆砌法的几个主要步骤.1.1单元的生成单元的生成是堆砌法的核心,涉及多方面的内容.首先是选择背景线的起点,问距和推进方向,其次是单元组中单元的生成,最后是单元的光顺处理.在任何一个单元生成之前,必须首先定义单元的大小(单元的尺度).单元的尺度是以单元的边长来表示的,它是单元边长的期望值.单元尺度是在划分区域的背景上,以尺度场的方式定义的.1.2背景线的确定背景线(也称为水面线)是一条指示单元层铺设位置和方向的线.背景线的起点可以是任意的边界位置,方向也可以随机选定.在铺出第1层单元以后,根据第2层单元中的最大的基本尺寸确定第2条背景线的位置.通常,背景线的方向可以选择几何区域最大尺寸的方向,这样生成的单元层数比较少,相应地,不规则结点的数目也比较少.如图3所示,由于背景线的控制,不会发生铺路法中必然产生的单元层的交叠.(日)多十浮动边界的生成(b)多十浮动边界的台井图3浮动边界的生成与合并1.3根结点的选定与单元层的生成网格划分之前,首先要将区域的边界按指定的单元数目或大小进行离散,形成离散边界.选择背景线以下与离散边界结点最近的结点作为第1层单元的根结点.第1层单元的铺设是从根结点开始,沿着固定边界向第2个根结点单向铺设.浮动边界与固定边界的交点作为单元层的生长结点从第2 层开始,以新旧浮动边界的交点作为单元的生长结点.单元层的第1个生长结点总是浮动边界与固定边界的交点.这样,可以避免铺路法中单元铺设位置的复杂判断.通常情况下,根结点是成对的.而且可以有多对.在单元的生成过程中,可以产生新的根结点,原有的根结点也可能湮灭.如图3所示.1.4单元组中单元的生成单元的生成分两步,第1步是预测,第2步是校正. 图4显示了预测步骤的过程.构造1个矢量厶c-,矢量的方向根据结点A剩余角度大小相应地取1/2,1/3剩余角度,保证新生成单元A点内角尽图4新结点位置的搜索可能接近90~.类似地可以构造另一个矢量k,.两个矢量的交点就是新结点的试探位置C.找到初始的试探位置后,还需进一步的校正,以改善新单元的质量.以基本边长为半径,以A,B结点为圆心,构造2个圆.求2个圆的交点.交点可能有2个,1个,或者没有.对于存在2个交点的情况.取内角为正的结点为.可以证明,对于有一个交点和没有交点的情况,只要保证前面生成单元的内角均接近90~,就不会发生这2种情况.得到2个新结点的位置以后,以这两个结点联线的中点作为新单元的最终结点位置C.这样获得的单元,兼顾边长和角度的要求,单元生成的速度比较快.在试探新结点位置之前,要先作一下检查,防止生成单元交叠或与边界不相容.如图4所示.检查的方法是以为半径,以当前结点为圆心,构造一个圆=kl^r一l+N (I)k是1个系数.一和+是2个矢量,起点都是结点^r,末端点分别是结点—I和^r…,如图4所74机械工程第36卷第lO期示.较快.在这个圆内,可能存在固定边界上的结点或多于1个的旧浮动边界上的结点.如果存在这两种情况,就不能按照前面的步骤生成单元.第1种情况,圆内存在固定边界结点,说明浮动边界已经接近固定边界.如果固定结点在半径为R:√21的同心圆内,则以固定比边界上的结点作为新结点位置.l为基本边长.固定边界和浮动边界因为有公共结点而被分为2个部分.新生成的固定边界和浮动边界两两构成的封闭区域,其边界结点数应保持为偶数,否则不应以这个固定结点作新结点,而位取另1个相邻的固定结点作边界结点.如果在圆内存在另外1个与之相邻的固定边界结点,就选择另1个.否则,按前述方法生成新结点.第2种情况,圆内存在第二个浮动边界上的结点,新结点的位置应该取在圆心与浮动边界的结点联线的中心上.为保持浮动边界的平直性,新单元生成以后,应当结束单元层的生成,从新的根结点开始生成新一层单元.由上述单元生成过程可以看出,新方法与铺路法相比,有几个优点.第一,不会产生铺路法特有的单元交叠,从而避免了包含复杂的拓扑形状判断的单元缝合过程.第二,铺路法中楔单元的插入和角结点单元的形成在这里都是单元生成过程中自然形成的,不需要特殊处理,程序结构得到简化.第三,单元的生成过程已经考虑到相邻的未生成单元的形状,不会生成质量越来越差的单元.避免了铺路法中每生成一个单元都要进行的局部光顺处理.2单元的光顺处理在区域内充满单元以后,对整体单元的质量进行一次检查,如果单元角度或边长比有超过允许值的,需要对整体单元进行光顺处理,以进一步提高整体单元的质量.这里使用修正的加权长度的拉普拉斯光顺算法j.这种算法是用一系列矢量从一个内部结点指向这个结点所有相邻结点.用一个贡献矢量作为这个内部结点相邻结点的贡献量.如图5所示,结点位置的修正量为互IcJIcj△=号置'cJIc是与内部结点i相邻结点的贡献矢量,是与结点i相邻结点的个数.这个算法使得边界单元的边趋向垂直于边界,边长则趋于均化,而且收敛速度3算例N.图5单元的光顺处理图6是在一个内部含有空洞的区域上获得的网图6古有复杂内部边界的区域剖分效果格.背景线方向沿水平方向,自下而上推进.网格的基本尺寸定义得比较大,生成网格在边界上仍然有较好的形状和尺寸一致性最大偏差角△=29.1..图7是一个具有复杂边界形状的陕西省地图的固7具有复杂外边界的区域剖分效果2OOO年10月王世军等:一种全四边形有限元网格生成方法——堆砌法轮廓.网格密度定义为上疏下密.背景线方向沿水平方向,推进方向也是自下而上.图示结果表明,算法对复杂边界的适应性是比较强的,疏密过渡也较为平滑.最大偏差角A:3O.7..4结论由于网格划分过程的复杂性,精确地评价一个算法的优劣是困难的.新算法避免了单元层之间的交叠,从而避免了网格生成过程中复杂的拓扑结构的判断和单元形状校正所需的迭代计算.因而可以定性地说,这-t-~t法与铺路法相比是一个好的算法.圈8是实测的网格结点数与划分时间的关系.在60∞个结点以下,结点数与时间基本保持线性关系之*匠蕾晶同格结点数/个数图8网格结点数与时间的关系参考文献TedDIll~ker,Micl~lBsIpIler咖Paving:ar?e8pn日chL0automatedq【md_咖meshm帆IntJ.Numberie~9inbginl1g,1991,32:811—847752SabinM.Criteriaforc0ⅢD日m0fal1l0mcmeshge~aon m由A.EI】gs0盘ware,1991,13(5/6):2213—2253Hc-LeKFimteelementmesh珊0I|meLl:areviewarIdcl~itlcationC~uter-Aided咄,1988,加(1):27—384M哪S.NoelF,LeonJC.r唧劬0n0fquadrilateralmesl1s 0nfree-ferm目u1b∞C∞1a-,d~ures,1999,71:505—524HEA]PlNG:ANEWM咽1l10DmRALLQ10~DIlILA/~_,SttGE既10NWang蜘皿ⅫY~2eiZhangGuo,~,peng(_衄妇ofwf0)Atr毗Ametl~a—b嘲pil】gmeIIl0d,Ⅶl1icI1岬b曰oulld htodetenffmer日∞e_吐ofquadrilateralelements presentedThemd-l0disn∞陀simplelpavingIT_et}-0din ~turearld_细inu目eitavoidsa∞8esimelcrIslⅥe目lelemellnt~laye~-Inthisp日per,II'e0fyofl|pn,tetl~is缸irred.Secondly,tw.忸amplesaregiven.AIl86t.;tsl~erfol'lnanceiBevuaKey,r凼:Finiteele~enlMee~hQI1ad同日-eIalH嘲ping作者荷彳r王世军,男,1967年出生,讲师.博士生.主要从事机械结掏的有限元分析爰同格捌分算{击的研究.(上接第71页)REC暇E圈睡:ED00N0FAMaI】.I℃H'sE】GAGEMENTGeAn//nGao咖.肺删(同of西)Ab喇AI1ewccmetl~ofhydrauliceyli~risput.ItcontroltI.ecydir?d盱speedbdiscretepr黜ise也pIcem咖.Theperformi~itufionAjIfr(A岫舢a0edmeclmi~tI】蛐日mis吕i0I.)vehicle'sclutchalwaysadop饵hya~alcylindBr.But mt~iollpIeE艘1bedbe血gectedl0manyfaete~inreBIily,has血ec0f胡'svi州arIdtI.ete帅force0fIIg,eIc.Itbr;di伍to.1heperimen出thattI.epmf~edmethodcanetI.eclutcher日IaHy~--eeisepeedarld删atv0ffaulttoler~.脚:Hy~ulieeyli~rHiglIswitchdec舡啊rmrcvalveSpeed∞rIⅡ0l作者苘彳r葛安林.男,1936年出生.吉林工业大学穰力机艟传动研究所所长,教授,博士生导师,主要从事自动变速理论与控制技术的研究.先后获国家,省部毅奖励lO余璃.发明专利6项,发表论文6o余篇。
一种改进的全四边形网格生成方法及优化
一种改进的全四边形网格生成方法及优化李晓辉;李昌华【摘要】在任意二维区域的全四边形网格生成方法中,铺砌法是目前较好的一种方法.但是当边界出现不规则区域时,网格生成完毕后内部会产生一些质量较差的单元,且判断网格交叉现象是否发生和解决网格交叉问题比较困难.为了提高该方法的适应性和可靠性,提出一种新的改进算法,它对边界不规则区域网格生成和解决网格交叉问题等关键技术进行改进,并加入四边形网格优化方法,将改进后的铺砌法应用于船舶有限元网格划分中,取得了较好的应用效果,最后给出算例进行了验证.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2010(033)008【总页数】5页(P119-122,126)【关键词】网格生成;四边形单元;网格优化;铺砌法【作者】李晓辉;李昌华【作者单位】西安建筑科技大学,信息与控制工程学院,陕西,西安,710055;西安建筑科技大学,信息与控制工程学院,陕西,西安,710055【正文语种】中文【中图分类】TP391.70 引言随着计算机科学技术的快速发展，以有限元技术为代表的数值方法得到了广泛应用。
然而，制约其进一步发展的主要因素之一是网格划分技术和优化技术,特别是在船舶板架的有限元网格划分中，由于精度和质量上的考虑，要求网格单元尽量是四边形。
目前，网格生成方法[1]主要有Delaunay三角化方法、铺砌法(Paving)、四(八)叉树法、行波法等[2]。
其中,铺砌法是由T.D.Blacker 和M.B.Stephenson 提出的[3],该算法重复地在区域边界内部放一层或者铺一层单元，从区域边界开始向内部形成四边形单元。
White[4]重新设计了铺砌算法,单元不是生成一排,而是一个接一个的生成，它生成的网格质量和灵活性要优于其他算法,尤其是边界单元(接近正方形)[5]。
方兴、张武等[6]在White的基础上对铺砌法做了改进，主要是提出一种节点计算方法，但是在复杂区域的相交和缝合处理等方面仍有不足。
一种改进的高品质全四边形网格生成方法.
第5卷第1期2006年2月江南大学学报(自然科学版Journal of Southern Yangtze U niversity(N atural Science EditionVol.5No.1Feb.2006文章编号:1671-7147(200601-0070-04收稿日期:2004-12-07;修订日期:2005-02-21.基金项目:浙江省教育厅回国人员基金项目(113201-G 59990.作者简介:林胜良(1976-,男,浙江温州人,结构工程专业硕士研究生.3通讯联系人:张武(1964-,男,四川涪陵人,副教授,工学博士,硕士生导师.主要从事有限元等研究.Email :zhangwu @一种改进的高品质全四边形网格生成方法林胜良,方兴,张武3,王正光(浙江大学建筑工程学院,浙江杭州310027摘要:在网格生成诸方法中,铺路法自动化程度高、生成的单元质量好,是一种很值得研究的方法.但该方法步骤繁琐,且相交处理过程非常复杂,为了提高该方法的可靠性和适应性,文中作了一些改进,在删除一些繁琐操作的同时,加入了一些新的算法规则,采用边生成网格边进行相交判断的方法,一旦发现相交情况发生,立即终止网格生成而转入相交处理模块.最后给出了两个网格实例,证明了该改进方法的有效性.关键词:网格生成;四边形单元;铺路法中图分类号:TP 399文献标识码:AA Modif ied Method of G enerating Excellent Q uadrilateral MeshL IN Sheng 2liang ,FAN G Xing ,ZHAN G Wu 3,WAN G Zheng 2guang(Architecture and Civil Engineering Institute ,ZhejiangUniversity ,Hangzhou ,310027,ChinaAbstract :In t he met hods of mesh generation ,t he paving met hod is wort hy of st udying ,which possesses p roperties of high automatizatio n degree and generating excellent element.But t he p rocess is f ussy ,and t he course of intersection dispo sal is very complex.For enhancing t he reliability and applicability of t he met hod ,t his paper make some beneficial improvement.Removing so me f ussy operations ,and t he same time ,adding some new arit hmetic algorit hms.Adopting t he met hod of carrying t hrough intersection judgment while generating mesh.Terminating mesh generation immediately and switching to t he module of intersection dispo sal while finding intersection occuring.In t he end ,two examples are given to verify t he validity of t he modified met hod.K ey w ords :mesh generation ;quadrilateral element ;paving met hod网格剖分在有限元方法中占有非常重要的地位.随着有限元方法的广泛应用,网格剖分技术的研究也越来越受到重视.早期的研究主要集中在三角形网格的生成,但三角形网格的精度不高,在分析流体或受到震动时误差较大.于是出现了一些四边形单元生成方法,如三角形合并法、模板法、映射法、波前推进法、直接法等[1~5].铺路法[6]是由Ted D.Blacker 和Michael B.Step henson 两人提出的,这种方法生成的网格质量和灵活性要高于其他算法.作者研究了此方法后,将一排排生成单元改成一个个生成单元,这样相交处理就得到很大的简化,同时对光顺处理的算法作了一些改进,使处理后的网格更加均匀.最后给出了两个网格生成实例,验证了改进后方法的有效性.1算法原理1.1边界离散和节点分类1.1.1边界离散对边界离散时,外边界节点按逆时针顺序连接,内边界则按顺时针顺序连接,并且每条边界的节点数目必须为偶数.1.1.2节点分类为了阐述方便,先定义节点内角.节点内角是指节点N i与其所在边界上前一节点N i -1和后一节点N i +1所构成的夹角,方向为顺时针,不同类型的节点生成单元的方法也不同.根据节点的内角可以分成4种类型:①终止节点,α≤120°+δ;②边节点,120°+δ<α≤240°+δ;③角节点,240°+δ<α≤300°+δ;④转节点:α>300°+δ.其中,取5°<δ<10°.1.2网格单元的生成新节点的生成是以当前边界上N i -1,N i ,N i +1这3个节点为基础的.设节点N i 的内角为,d 1为节点N i -1到节点N i 的距离,d 2为节点N i 到N i +1的距离.1.2.1以边节点为基础的算法如图1,由N i -1、N i 、N i +1生成一个新节点N j ,同时这4个节点形成一个单元.矢量V 平分内角α,长度由下式定义V =d 1+d 22・sin (α/2(1图1边节点生成单元Fig.1Side node generate element1.2.2以角节点为基础的算法如图2,由N i-1、N i 、N i+1生成3个新节点N j 、N k 、N l ,同时形成2个单元.矢量V j 、V k 、V l 与N i-1N i 的夹角分别为α/3、α/2、2α/3,长度由下式定义V j=d 1+d 22・sin (α/3,V k=2V j ,V l=V j(21.2.3以转节点为基础的算法如图3,由N i-1、图2角节点生成单元Fig.2Corner node generate elementN i 、N i+1生成5个新节点N j 、N k 、N l 、N m 、N n ,同时形成3个单元.矢量V j 、V k 、V l 、V m 、V n 与N i-1N i 的夹角分别为α/4、3α/8、α/2、5α/8、3α/4,长度如下V j =d 1+d 22・sin (α/4,V k=2V j ,V l=V j ,V m=V k ,V n=V j(3图3转节点生成单元Fig.3R eversal node generate element1.3生成单元的特殊情况在生成单元时,有5种特殊情况需要考虑.这些特殊情况的共同点是所生成的新节点不在边界内部,这样便会有相交情况发生,但若将这几种情况单独考虑效果将会更好.如图4所示,N i N k 与原始几何边界相交.此时将节点N k 进行衰减处理,直至N i N k 不与边界相交为止,然后生成新单元,文中取衰减系数为0.5.图4重叠处理1Fig.4Overlap disposal 1如图5和图6所示,新生成的节点N k 不在浮动边界内部,此时不生成新节点,而是按照虚线所示生成单元.如图7和图8所示,此时是以第2个终止节点前的节点为基础生成新节点,按照图中虚线所示生成2个单元,之后要进行光顺处理和缝合检测.17第1期林胜良等:一种改进的高品质全四边形网格生成方法图5重叠处理2Fig.5Overlap disposal2图6重叠处理3 Fig.6Overlap disposal3图7重叠处理4Fig.7Overlap disposal 4图8重叠处理5Fig.8Overlap disposal 51.4光顺处理光顺处理是网格生成过程中最常用的操作,其目的是为了保证单元的尺寸和垂直度.光顺处理分为两步:首先,只对边界上的点进行处理,称之为边界光滑;其次,对边界附近的内部点进行处理,称之为内部光滑.1.4.1边界光滑V i 表示从原点到节点N i 的矢量.假定N i 与n 个单元相邻,V m j 、V m k 、V m l 分别表示从原点到第m 个单元中的节点N j 、N k 、N l 的矢量,这些节点为顺时针或者逆时针方向排序.V i ′表示从原点到光顺处理后N i 节点的矢量,则有V i ′=1n∑nm =1V m j+V ml -V mk (4如果节点N i 只与两个单元相邻,则应用式(5计算其位置变化.ΔB =V j -V i +(ΔA +V i -V j l Dl A(5图9对矢量V i j 的长度进行了修正.图10则对它的角度进行修正.向量P B 1平分P i-1和P i+1的夹角,向量P B 2平分P B 1和P i 的夹角.Q 点为N i-1、N i+1连线和P B 2的交点,记l Q 为N j 点到Q 点的距离,l D表示以N j 为基点按照式(1、(2或者(3计算的长度,则P B 2的长度定义如下:图9长度调整Fig.9Length adjustment图10角度调整Fig.10Angle adjustmentP B 2=l Q +l D2,l D >l Q 且α≤180°l D 其他(6角度修正后N i 点位置的变化量可由ΔC 给出ΔC =P B 2-P i(7对只与两个单元相邻的边界节点,其修正后最终位置的变化量由Δi 给出:Δi =ΔB +ΔC 2(8式(6中,在原铺路法的基础上加入了角度a 作为判断条件,其目的在于使生成的网格更加均匀.特别在内部边界为圆周,且向区域内部生成单元27江南大学学报(自然科学版第5卷时,可有效地避免单元被压缩的情况发生.1.4.2内部节点光滑边界光滑后即进行内部节点的光顺处理,采用最为典型的拉普拉斯修匀[7,8].P =14n ∑nm =1(P m j +P ml +2P m k =1s∑st =1P t (91.5相交处理在网格生成过程中,新形成的边界有可能会与它自己相交,也有可能与其它边界相交.文中采用的相交处理方法是将相交的边合并,见图11.图11相交处理Fig.11I ntersection disposal用铺砌法生成网格,必须保证边界的节点数为偶数,所以若新形成的边界节点数不为偶数时,则考虑与上一条或者下一条边合并,具体与哪一条合并应视两条边的距离和平行程度而定.由于本文是一个个单元生成,当发现新单元有相交情况发生时,立即进行相交处理,这样可使问题得到极大简化.2网格生成实例图12为生成的网格实例[9].网格生成时只需给出边界控制点及划分密度.图12网格生成实例Fig.12Example of mesh generation3结语在原铺路法的基础上作了改进,单元为一个个生成,边生成单元边进行相交判断,使相交处理得到简化;同时加入单元生成过程中重叠情况的处理,极大地提高了方法的适应性.另外,还改进了光顺处理算法,使生成的单元更均匀,给出的实例证明了网格单元的质量较高,有很好的应用价值.参考文献:[1]K Ho ΟLe.Finite element mesh generatio n methods :A review and classification [J 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