高一数学经典例题深度解析

高一数学经典例题深度解析

例1：设{}

,S x x m m n Z =|=+∈ (1).,a Z a S ∈设则是否是集合中的元素

(2).对S 中任意两个元素12,x x ，判断1212,x x x x +是否属于S . 解：(1)a 一定不是集合S 中的元素 (2).

例2：求证：函数221

()f x x x

=+在区间(0,)+∞上的最小值为2 解：任取(]1212,0,1,x x x x ∈< 则

()f x ∴在(]0,1上是减函数

同理可证()f x 在()1,+∞上是增函数 故()f x 在()0,+∞上的最小值为(1)2f =

例3: 已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体: ①()f x 在其定义域上是单调函数；

②在()f x 的定义域内存在闭区间[,]a b ，使得()f x 在[,]a b 上的最小值是2

a ，且最大值是2

b .

请解答以下问题：

⑴判断函数3()g x x =-是否属于集合M 并说明理由. 若是，请找出满足②的闭区间[,]a b ；

⑵若函数()h x t M =∈，求实数t 的取值范围 解: （1）设则,21x x <

0x 43x 21x x -x x x x x x -x x x x g x g 212

1

21221212212323121>??

????++=++=+-=-）（）（））（（）（）（∴）（）（21x g x g >, 故g （x)是R 上的减函数

假设函数g （x)M ∈，

则 2233a b b

a =-=

- ∴ 2222=-=b a 或 2

222-==

b a

又a

22

2

=

-

=b a ∴g （x)M ∈

满足条件（2）的闭区间为??

?

???-22,22

（2

）

()h x t M =∈则设,121x x <≤

∴h （1x ）- h （2x ）

)0t t -==<

∴h （1x ）- h （2x ）0< ∴h （x ）为[)上的单调增函数+∞,1

∴h(x)m in =h(a)=

2a t =

h(x)max =h(b)=

2

b

t =

∴t=1b 2

b

t 12--=--且a a

∴关于x 的方程t=12--x x

，（x 1≥）有两解

令）有两解（）（则0m 1m 2

1t ,12

≥-==-m x

即[)上有两个不同的解。，

在∞+=-+-10t 21m 2m 2 ∴ {

{{

{

{

)0(>?≥f

∴t ?

?

?

??∈21,0

例4:已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且AP AB λ=(01)λ≤≤. （1）若等边三角形边长为6，且1

3

λ=，求||CP ；

（2）若·

·CP AB PA PB ≥，求实数λ的取值范围 解: （1）当13λ=时，13

AP AB =， ∴ ||

CP =（2）设等边三角形的边长为a ，则： 即2212

a a λ-+222a a λλ≥-+

∴ 21202

λλ-+≤， 又01λ≤≤

，1λ≤≤

例5:

已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数．

(1) 求,a b 的值；

(2)若对任意的t R ∈, 不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立, 求k 的取值范围 解: (1)因为()f x 是奇函数, 所以(0)f =0,

即1

11201()22x

x b b f x a a +--=?=∴=++

又由(1)(1)f f =--知1112

2 2.

41a a a -

-=-?=++

(2) 解法一：由(1)知11211

()22221

x

x x f x +-==-+++, 易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数。

又因()f x 是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于

222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-.

因()f x 为减函数,由上式推得:2222t t k t ->-． 即对一切t R ∈有：2320t t k -->, 从而判别式1

4120.

3k k ?=+

解法二：由(1)知112

()22x

x f x +-=+．又由题设条件得：2222222121

121202222

t t t k

t t t k ---+-+--=<++ 即： 2

2

2

2

21

221

2(22)(12)(22)(12)0t k t

t

t

t t

k

-+--+-+-++-<

整理得: 2

3221,t

t k

-->因底数2>1,故:2320t t k -->.上式对一切t R ∈均成立,

从而判别式1

4120.

3k k ?=+

例6:

已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+-

0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。

（1）求：(2)f 的值；

（2）求证：()f x 是R 上的减函数；

（3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 解: （1）()()()6,f a b f a f b +=+- 令0a b ==，得(0)6f =

令2,2a b ==-，得(2)0f =

（2）证明：设12,x x 是R 上的任意两个实数，且12x x <，即210x x ->，

从而有21()6f x x -<，

则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-2111()()6()f x x f x f x =-+--

21()60f x x =--< ∴21()()f x f x <即()f x 是R 上的减函数

（3）()()()6,f a b f a f b +=+-令1,1a b ==，得(1)3f =

∵(2)(2)3f k f k -<- ∴(2)3(2)f k f k -+<，又(1)3f =，(2)0f =

即有(2)(1)(2)(2)f k f f k f -+<+

∴(2)(1)6(2)(2)6f k f f k f -+-<+- ∴[(2)1][(2)2]f k f k -+<+

又∵()f x 是R 上的减函数 ∴(2)1(2)2k k -+>+即3k <-

∴实数k 的取值范围是3k <-

例7: 已知定义域为[0,1]的函数()f x 同时满足以下三个条件：

Ⅰ. 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；Ⅱ. (1)1f =；

Ⅲ. 若10x ≥，20x ≥，且121x x +≤，则有1212()()()f x x f x f x +≥+成立. 则称()f x 为“友谊函数”，请解答下列各题： (1) 若已知()f x 为“友谊函数”，求(0)f 的值；

(2) 函数()21x g x =-在区间[0,1]上是否为“友谊函数”并给出理由 解: （1）取120x x ==得(0)(0)(0)(0)0f f f f ≥+?≤

又由(0)0f ≥，得(0)0f =

（2）显然()21x g x =-在[0,1]上满足[1] ()0g x ≥；[2] (1)1g =. 若10x ≥，20x ≥，且121x x +≤，则有

故()21x g x =-满足条件[1]、[2]、[3]，所以()21x g x =-为友谊函数 例8: 已知向量(sin ,cos ),(3,1)m A A n ==-且1m n =，且A 为锐角. （1）求角A 的大小；

（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域

解：由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().6

6

2

A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6

63

A A π

π

π

-

=

=

（2） 由（1）知1

cos ,2

A =

所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22

f x x x x s x =+=-+=--+

因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32

. 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-,所以所求函数()f x 的值域是332??-???

?

，

例9: 已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈ （1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；

（2）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到

解：（1）1cos 2()2(1cos 2)22

x f x x x -=

+++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262

k x k k Z πππ

ππ-≤+≤+∈ 即 ,.3

6k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈ ()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ?

?-+∈???

?

（2）先把sin 2y x =图象上所有点向左平移

12π个单位长度，得到sin(2)6y x π

=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3

sin(2)62

y x π=++

的图象 例10：已知函数

()π()sin ()3f x x x =+∈R ω，且()

π 1.6

f =

(1)求ω的最小正值及此时函数()y f x =的表达式；

(2)将(1)中所得函数()y f x =的图象结果怎样的变换可得11sin 2

2

y x =的图象；

(3)在(1)的前提下，设()

π2π5π34,,,,(),()6

36355f f ??∈∈--==-?

???

παβαβ， ①求tan α的值； ②求cos2()1--αβ的值 解：(1) 因为

()π16f =，所以()

ππsin 163?+=ω，

于是πππ+2π()6

3

2

k k ?=+∈Z ω，即 112()k k =+∈Z ω，

故当k =0时，ω取得最小正值1.

此时

(

)π

()sin 3

f x x =+. `?

(2)(方法一)先将()πsin 3y x =+的图象向右平移π3

个单位得y =sin x 的图象；

再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得1sin 2

y x =的

图象；

最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12

倍(横坐标不变)得

11sin 22

y x =的图象.

(方法二)先将()

πsin 3y x =+的图象各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得

()1π

sin 23

y x =+的图象；

再将所得图象向右平移2π3

个单位得1sin 2

y x =的图象;

最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12

倍(横坐标不变)得

11sin 22

y x =的图象.

(3)因为34(),

()55

f f ==-αβ，

所以(

)()π

3π4sin ,sin 3535+=+=-αβ. 因为()π2π5π,,,,6363??∈∈--???

?παβ 所以()

ππππ,π,,03

2

3

2

??+∈+∈-??

??

αβ. 于是()()π

4π3cos ,cos .3535

+=-+=αβ ①因为()

()()

π

sin 3π3

tan 34πcos 3

++==-+

ααα，

所以()

(

)

(

)

ππ

tan tan 33ππtan tan 33ππ1tan tan 33

+-??=+-=????++?αααα

②因为()()()

ππsin sin 3

3??-=+-+??

?

?

αβαβ 所以()2

2

798cos2()12sin ()2.25

625

--=--=-?-=-αβαβ