数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)-新版.pdf
高中平面几何
叶中豪
学习要点
几何问题的转化圆幂与根轴
P ’tolemy 定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用
完全四边形与Miquel 点垂足三角形与等角共轭反演与配极,调和四边形射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1.四边形ABCD 中,AB=BC ,DE ⊥AB ,CD ⊥BC ,EF ⊥BC ,且
sin 1tan
sin
2
。
求证:2EF=DE+DC 。(10081902.gsp )
γ
θ
F
E
B
C
A
D
2.已知相交两圆O 和O'交于A 、B 两点,且O'恰在圆O 上,P 为圆O 的AO'B 弧
段上任意一点。∠APB 的平分线交圆O'于Q 点。求证:PQ 2
=PA ×PB 。(10092401-1. gsp )
Q
B
O
O'
A
P
3.设三角形ABC 的Fermat 点为R ,连结AR ,BR ,CR ,三角形ABR ,BCR ,ACR
的九点圆心分别为D ,E ,F ,则三角形DEF 为正三角形。(10082602.gsp )
F
E D
R A
B C
4.在△ABC 中,已知∠A 的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D 、E ,点A 关于D 、E 的对称点分别为F 、G ,△ADG 和△AEF 的外接圆交于A 和另一点P 。求证:AP//BC 。(10092102.gsp )
P
G
F
E D
A
B
C
5.圆O 1和圆O 2相交于A
、B 两点,P 是直线AB 上一点,过P 作两圆作切线,分别切圆O 1和圆O 2于点C 、D ,又两圆的一条外公切线分别切圆O 1和圆O 2于点E ,F 。求证:AB 、CE 、DF 共点。(10092201.gsp )
E
F
D
C
B
O 1
A
O 2
P
6.四边形ABCD 中,M 是AB 边中点,且MC=MD ,过C 、D 分别作BC 、AD 的垂线,两条垂线交于P 点,再作PQ ⊥AB 于Q 。求证:∠PQC=∠PQD 。(10081601-26.gsp )
Q
P
M A
B
D
C
7.已知RT △ABD ∽RT △ADC ,M 是BC 中点,AD 与BC 交于E ,自C 作AM 垂线交
AD 于F 。求证:DE=EF 。(10083001.gsp )
E
F
M
C
A
B
D
8.在△ABC 中,AB=AC ,D 为BC 边的中点,E 是△ABC 外一点,满足CE ⊥AB ,BE=BD 。
过线段BE 的中点M 作直线MF ⊥BE ,交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F 。求证:ED ⊥DF 。(2010年女子竞赛)(10081601-4.gsp )
F
M
E
D
A
B
C
9.设圆I 1是△ABC 的BC 边外的旁切圆,D 、E 、F 分别是切点,若I 1D 与EF 交于P 点。求证:AP 平分底边BC 。(10082001-8.gsp )
M
P
F
E
D I 1
A
B
C
10.如图,⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ,切边AC 于点C ,M 是边BC 上一点,AM 交CD 于点N .求证:M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC 。(09031302.gsp )
N
M
D
C
O
A
B
11.已知:BC 是圆上的定弦,而动点
A 在圆上运动,M 是AC 中点,作MP ⊥AB
于P 。求P 点的轨迹。(10081601-4.gsp )
P
M
O
B A
C
12.△ABC 外接圆为圆O ,P 为AB 上一点,过P 分别作OA 、OB 的垂线,与AC 、
BC 交于S 、T ,与AB 交于M 、N 。求证:PM=MS 的充要条件是PN=NT 。(10081601-3.gsp )
S
M
N
T
O
A
B
C
P
13.在ΔABC 中AC >BC ,F 是AB 的中点,过F 作它的外接圆直径DE ,使得C 、E
在AB 同一侧,又过C 做AB 的平行线交DE 于L 。
求证:(AC+BC) 2
=4DL ×EF 。(09011003.gsp )
L
D E
O
F
C
A
B
14.已知:P 是垂直ABC 外接圆BC 弧上任意一点,PD ⊥BC 于D ,PE ⊥CA 于E ,
PF ⊥AB 于F 。求证:(BC/PD)=(AC/PE)+(AB/PF)。(09012201-7.1.gsp )
F
E
D
A
B
C
P
15.已知O 是△ABC 的外心,M 是BC 边中点,D 是OM 延长线上一点,满足DO=DB ,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,满足∠MEA=∠MFA=∠A 。求证:AD ⊥EF 。(10080302.gsp )
F
E D
M
O
A
B
C
16.已知△ABC 中,AB =AC ,线段AB 上有一点D ,线段AC 延长线上有一点E ,
使得DE =AB 。线段DE 与△ABC 的外接圆交于点T ,P 是线段AT 延长线上的一点。求证:点P 满足PD +PE =AT 的充要条件是P 在△ADE 的外接圆上。(2000年国家集训队)(10082201-1.gsp )
P
T E
C
A
B
D
17.已知△ABC 中,内心I 关于BC 边中点M 的对称点为I',S 是BC 弧(不含A
点)中点,直线SI'交△ABC 的外接圆于另一点P 。求证:P 点到△ABC 较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。(10082201-5.gsp )
P
I'
S
M
I
A
B
C
18.在△ABC 外作△DBC ∽△ECA ∽△FAB ,联结AD 、BE 、CF 。
求证:AF+FB+BD+DC+CE+EA ≥AD+BE+CF 。(10081601-2.gsp )
E
F
A
B C
D
19.过△ABC 内一点O 引三边AB 、BC 、CA 的平行线与其它两边的交点分别为E 、
F 、
G 、
H 、
I 、K ,过O 作△ABC 的外接圆的弦AL 。求证:OE ·OF +OG ·OH +OI ·OK =OA ·OL 。(09042002.gsp )
K I
H
G F
E
L
A
B C
O
20.一小圆内切大圆于点N ,BA 、BC 是大圆的两条弦,且分别切小圆于K 、M ,
劣弧AB 和劣弧BC 的中点分别为Q 、P ,又设△BQK 、△BPM 外接圆的另一个
交点为B 1。求证:BPB
1Q 为平行四边形。(10082001-1.gsp )B 1
P
Q
C
A
K
M
N
B
21.圆O 与圆O 1、圆O 2同时相切,切点为S 、T ,圆O 1与圆O 2交于A
、B 两点,且圆O 2的圆心恰在圆O 1上。设公共弦AB 延长交圆O 于C 、D 两点,联结SC 、SD 分别交圆O 1于P 和Q 。求证:PQ 与圆O 2相切。(40届IMO )(10082001-12.gsp )
B
A D
C
U
R Q
P
O
S
T
O 1
O 222.设KL 、KN 是圆O 的切线,M 是KN 延长线上一点,过K 、L 、M 三点的圆与圆O 交于P ,作NQ ⊥LM 于Q 。求证:∠MPQ=2∠NML 。(98年伊朗竞赛)(10081601-5、6.gsp )(09022203.gsp )
Q
P
K
O
N L
M
23.设△ABC 内接于圆O ,过O 作OE ⊥BC 交圆O 于E ,交AB 于F ,交AC 延长线
于G 。过G 作圆O 的切线GT ,T 为切点。求证:TF ⊥GE 。(10092104.gsp )
T
G
F
E
O
A
B
C
24.已知圆O 外一点P 向圆O 作切线PA 、PB 和一条割线PEF ,M 是EF 上一点,联结BM 延长交圆O 于C 。求证:AC//PEF 的充要条件是M 为EF 中点。(10092401-6.gsp )
M
C
E A
O
B
P
F
25.过点P 任作圆O 的两条割线PAB 、PCD ,直线AD 与BC 交于Q ,弦DE//PQ ,
BE 交PQ 延长线于M 。求证:OM ⊥PQ 。(10092103-1.gsp )
M
E
Q
C
A
O
B
P
D
26.如图,设⊙O 1与⊙O 2交于AB 两点。AC 是⊙O 2的切线,交⊙O 1于C 点。AD 是
⊙O 1的切线,交⊙O 2于D 点。过A 任作直线,交⊙O 1、⊙O 2及经过A 、C 、D
三点的圆分别于M 、N 、P 。求证:AM=NP 。(10091002-6.gsp )
P
N
D
C
B
O 1
A
O 2
M
27.两圆圆O 1和圆O 2相交于M 、P ,过M 作圆O 2的切线交圆O 1于A ;又过M 作圆O 1的切线交圆O 2于B ,在直线MP 上截取PH=MP 。求证:四边形MAHB 内接于圆。(10091002-1.gsp )
H
B
A
P
O 1
M
O 2
28.已知两个半径不等的圆O 1和圆O 2相交于M 、N 两点,且圆O 1和圆O 2分别与圆O 内切于S 、T 两点。求证:OM ⊥MN 的充要条件是S 、N 、T 三点共线。(1997年全国联赛)(10090301-3.gsp )
N
M
O
S
O 1
T
O 2
29.设以O 为圆心的圆经过△ABC 的两个顶点A 和C ,且与边AB 、BC 分别交于K 和N ,又设△ABC 和△KBN 的外接圆交于B 和另一点M 。求证:∠OMB=90°。
(1985年IMO )(10090301-1.gsp )
O
M
N
B
A
C
K
30.已知:在△OAB 与△OCD 中,OA=OB ,OC=OD ,直线AB 与CD 交于点P ,△PAC 与△PBD 的外接圆交于P 、Q 两点。求证:OQ ⊥PQ 。(09022301.gsp )
Q
P
O
A
C
B
D
31.已知半圆圆心为O ,直径为AB ,一直线交半圆于C 、D ,交AB 延长线于P ,设M 是△AOC 与△BOD 外接圆除O 点外的另一交点。求证:OM ⊥MP 。(10091001.gsp )
M
C
O
P
B
D
32.凸四边形ABCD 内接于圆O ,两组对边所在直线分别交于点E 、F ,对角线AC 、
BD 交于G ,作GH ⊥EF 于H ,圆O 的弦MN 经过G 点。求证:GH 与圆O 交点恰
是△HMN 的内心。(10092103-2.gsp )
N
H
G
F
E
O
A
B
C
D
M
33.⊙O 为△ABC 的外接圆,P 为劣弧AB 上一点,E 、F 分别为AC 、AB 延长线上的点,BE 、CF 交于D ,PE 、PF 分别交⊙O 于S 、R 。若AD 、BC 、RS 共点,求证:点D 在⊙O 上。(10090801.gsp )(10092103-8.gsp )
R S
D
A
B
C
P
E
F
34.已知:D 、E 、F 分别在△ABC 三边上,满足EB =ED ,FC =FD ,O 是△ABC 外心。求证:A 、E 、O 、F 四点共圆。(09033102.gsp )
O
F
E
A
B
C
D 35.如图,设N 是△ABC 的BAC 弧中点,M 是BC 边中点,I 是△ABC 的内心。求证:∠ANI =2∠IMC 。(09021701.gsp )
I
M A
B C
36.设T 为△ABC 的内切圆与BC 边的切点,D 为BC 上任一点,I 1、I 2分别为△
ABD 、△ACD 的内心。求证:T I 1⊥T I 2。(10081701-9.gsp )
I 1
I 2
T
C
B
A
D 37.矩形ABCD 中,AB =2AC 。P 是以为AB 直径的半圆上任意一点,PC 、PD 分
别交AB 于F 、E 。求证:AE 2
+BF 2
=AB 2
。(09013001.gsp )
E F
D
C A B
P
38. AB 是圆O 的直径,P 是过B 所作切线上的任一点,过P 作圆O 的割线PCE ,联结直线PO 分别交AC 、AD 于E 、F 。求证:OE=OF 。(10081001-4.gsp )
F
E
C
O
B
P
D
39.自圆O 外一点P 作切线PA 、PB 及割线PCD ,自C 作PA 的平行线,分别交AB 、
AD 于E 、F 。求证:CE=EF 。(10081001-5.gsp )
F
E
C
A
B
O
D
P
40.A 为圆O 上一点,B 为圆外一点,BC 、BD 分别相切圆O 于C 、D ,DE 垂直AO 于E ,DE 分别交AB 、AC 于F 、G 。求证:DF =FG 。(09042001.gsp )
K
G
F
E
C
D
O
A
B
41.P 为圆外一点,PA 、PD 为切线,PCE 为割线。过D 作PA 的平行线,分别与AC 延长线及线段AE 交于B 、F 。求证:D 为BF 中点。(09031302.gsp )
F
B
C
D
A
O
P
E
42.已知P 、Q 是等腰三角形ABC (AB=AC )内两点,满足∠ABP=∠QCB ,且∠ACP=
∠QBC 。求证:A 、P 、Q 三点共线。(10090101-1.gsp )
Q
B
C
P
A
43.已知锐角△ABC 中,AD 是高,O 是外心,AO 的延长线交过O 、B 、C 三点的圆于P ,自P 作PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F 。求证:DEPF 是平行四边形。(10091701.gsp )
D
F E
P
O
A
B
C
44.已知E 、F 是圆内接四边形ABCD 对边AB 、CD 的中点,M 是EF 的中点,自E
分别作BC 、AD 的垂线,垂足记为P 、Q 。求证:MP=MQ 。(10091701-1.gsp )
M
Q
P
F
E
A
B C
D
45.AD 为△ABC 内角平分线,I 1、I 2为△ABD 、△ACD 的内心,以I 1I 2为底向BC
边作等腰△E I 1I 2,使得∠I 1EI 2=
12
∠BAC 。求证:DE ⊥BC 。(10081701-1.gsp )
E
I 1
I 2
D
A
B C
46.已知P 是凸四边形内一点,满足∠PAB=∠CAD ,∠PCB=∠ACD 。求证:PB=PD
的充要条件是ABCD 四点共圆。(2004年IMO )(10091701-6.gsp )(09030801.gsp )
P
A
B
C
D
47.已知D 是△ABC 底边BC 上任一点,P 是形内一点,满足∠1=∠2,∠3=∠4。求证:(PB/PC)=(AB/AC)。(09030801.gsp )
4
3
2
1
P
A B
C
D
48.已知:D 是△ABC 的BC 中垂线上一点,I 1、I 2是△ABD 、△ACD 的内心,E 是
△ABC 外接圆弧BAC 的中点。求证:A 、E 、I 1、I 2四点共圆。(08081201.gsp )
I 1
I 2
E
A
B
C
D
49.如图,△ABC 中,M 为BC 的中点,以AM 为直径的圆分别与AB 、AC 交于E 、F 两点,圆在E 、F 两点的切线交于点D 。求证:DM ⊥BC 。(09013101.gsp )
D
F
E
M A
B C
50.已知:⊙O 两切线PA 、PB 和一割线PCD ,AD 、AP 交C 处的切线于E 、F ,BE 交DF 于K 。求证:K 在圆O 上。(09022201.gsp )
K
F
E
D
A
B
O
C
P
51.设⊙O 1与⊙O 2交于C 、D 。过D 的直线交⊙O 1与⊙O 2于A 、B 。点P 在弧AD 上,PD 与AC 的延长线交于M ,Q 在弧BD 上,QD 与BC 的延长线交于N ,O 为△ABC 外心。求证:MN ⊥OD 是P 、Q 、M 、N 四点共圆的充要条件。(09020401.gsp )
O
M
N
B
D
O 1
C
O 2
A
P
Q
52.设X 是P 点的Simson 线关于△ABC 的垂极点。求证:XP 被Simson 线所
平分。(09031903.gsp )
X
F
E
D
A
B
C P
53.已知:AD 是高,O 、H 是外心和垂心,过D 作OD 垂线,交AC 于E 。求
证:∠DHE=∠C 。(09022202.gsp )
H
E
O
D
A
B
C
54.△ABC 中,AD 为边BC 上的中线,E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 上的点,
且A 、E 、G 、F 四点共圆。设△BDE 外心为O 1、半径为r 1;△CDF 外心为O 2、半径为r 2。求证:GO 1
2
+GO 2
2=r 12
+r 2
2。(09031401.gsp )
O 2
O 1
G
F
E
D
A
B
C
55.已知P 是△ABC 内一点,A 1、B 1、C 1分别是圆弧BPC 、CPA 、APB 的中点。求
证:P 、A 1、B 1、C 1四点共圆。(09042401.gsp )
C 1
B 1
A 1
A
B C
P 56.给定△ABC ,D 、E 、F 是边BC 、CA 、AB 上的任意三点,M 、N 分别是△BDF 、
△CDE 的外心。P 、Q 分别是BC 、MN 上的点,满足(BP/PC)=(MQ/QN)。AP 与⊙AEF 相交于R 点。求证:(1)QR=QD ;(2)∠RQD=2∠APC 。(09042601.gsp )
R
Q
N
M
A
B
C
D
E
F
P
57.已知⊙O 1与⊙O 2交于C 、D 两点,A 、B 分别是两圆上的点,满足PA =PB ,E 、F 是弧AQ 、BQ 中点。求证:C 、D 、E 、F 四点共圆。(09022001.gsp )
F
E
D C
Q
B
O 1
P
O 2
A
58.△ABC 中,D 、E 、F 是边BC 、CA 、AB 的中点,X 、Y 、Z 是各边上高的垂足,EZ 与FY 交于L ,FX 与DZ 交于M ,DY 与EX 交于N 。求证:L 、M 、N 三点共线。(10092101.gsp )
N
L O
H
M
Z Y X E
D
F
A
B C
59.设△ABC 的内切圆分别与三边切于
D 、
E 、
F ,联结AD 交内切圆于另一点P ,