第1章-1 线性空间与线性变换

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四、基、坐标、维数
定义1.1.2 给定线性空间 V ，如果存在 V 中的 定义1.1.2 ,α n ，满足： 一组向量 α1 , ,α n 线性无关； （ 1） α 1 , ； （2） V 中任意向量 α 都能由 α1 , ,α n 线性表 ,xn ∈ F ，使 示。即存在数 x1 ,
[β1 , ,β n ] = [α1 , ,α n ]P
则称上式为基变换公式，矩阵 P 为基 α1 , ,α n 到基 β 1 , ,β n 的过渡矩阵。 对于向量空间 V ，有
P = [α 1 , ,α n ]−1[ β 1 , ,β n ]
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定理1.1.3 定理 1.1.3 设 n 维向量空间 V 中元素 α 在基 α1 , ,α n
1
α1 , α 2 , α r (1 ≤ r ≤ n )
都可以扩充成 V 的一组基。
否则对任意 β ∈ V − W ，都有 α1 , α2 , , αr , β 线 性相关。这样 β 可由 α , α , , α 线性表示，即
β Î W 。与 β 的取法矛盾。
重复上述过程，直至得到
2
r
V 的基 α1 , α2 , , αn
项式按照多项式的加法以及数与多项式的乘法也构
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例6 齐次线性方程组 Ax = θ 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax = θ 的解空间 解空间，
或矩阵 A 的核空间或零空间 核空间或零空间，即
F [ x ]n 成 F上的线性空间
问 数域 F 上次数等于n的一元多项式再添上零多 问：
矩阵分析简明教程 参考书 1.Matrix Analysis：R.A.Horn, C.R. Johnson, Cambridge University； 2 Matrix Theory：F.Zhang, 2.Matrix F Zhang Springer SpringerVerlag NewYork Inc； 3.矩阵分析：史荣昌，魏丰，北京理 工大学出版社； 4.矩阵论(辅导讲案)：张凯院，徐仲， 西北工大出版社。
α = x1α1 + +xnα n
,α n 就称为 V 的一个基，系数 则向量组 α1 , x1 , ,xn 就称为向量 α 在此基下的坐标，基中的 向量个数 n 称为线性空间V 的维数，记为 dim V = n
3
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例9 线性空间 F [ x ]n 是数域 F 上的n维空间，其 基可取为 1, x , x 2 , , x n − 1 。 例10 向量空间 C 是实数域 R 上的二维空间，其 基可取为 {1, i } ，即
所以所求坐标分别为 (1, 0, 0 )T , ( 2, 1, 0 )T , ( 4, 4, 1)T 和
( 23, 18, 4)T .
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定理1.1.1 定理 1.1.1 数域 F 上的线性空间 V 中的任意向 量在给定基下的坐标是唯一的。
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定理 1.1.2 的证明：令 W
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根据线性代数的知识，二维空间 R 2 显然可推广到 n 维向量空间 R n 。并且数乘所依赖的实数域 R 也可 推广到复数域 C 。相应的向量空间分别称为实向量 空间和复向量空间。 我们知道，向量是特殊的矩阵。所有 m × n 阶的实矩 阵的集合 R m × n 对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满 足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。 不过这里的“向量”是实矩阵！！
（2）不存在有限个基向量的线性空间称为无限维线性 空间.本书只讨论有限维线性空间 （3）n维线性空间任意n个线性无关的向量均构成一组基
C = span{1} = { k ⋅ 1 | k ∈ C }
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例11 在线性空间 P[ x ]3 中，显然
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分析：
容易验证 β1 , β 2 , β 3 线性无关，因此 也是 P[ x ]3 的基。
2
α 2 = 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( x − 2) + 0 ⋅ ( x − 2) 2 = 2 ⋅ β1 + 1 ⋅ β 2 + 0 ⋅ β 3 α 3 = 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( x − 2) + 1 ⋅ ( x − 2) 2 = 4 ⋅ β1 + 4 ⋅ β 2 + 1 ⋅ β 3
α = 23 ⋅ 1 + 18 ⋅ ( x − 2) + 4 ⋅ ( x − 2) 2 = 23 ⋅ β 1 + 18 ⋅ β 2 + 4 ⋅ β 3
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第一章 线性空间与线性变换
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一、从向量谈起
对于平面 R 2 中的任意向量，我们已定义过加法及数 乘两种运算，而且这两种运算是封闭的，即运算后的 结果仍在 R 2 中。 中 而且这两种运算满足下面8条运算律： ：
§1.1、线性空间的基本概念
线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一， 是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向 量空间在 素 线性 算上的推广 抽象 量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。 线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多 项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉 的一般运算，也可以是各种特殊的运算。
C = span{1, i } = { a ⋅ 1 + b ⋅ i | a , b ∈ R }
同时向量空间 C 也是复数域 C 上的一维空间，其 基可取为 {1} ，即 说明:
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（1）线性空间的基不一定存在.如
V = {0}, dim{0} = 0 V = F [ x ], dim F [ x ] = ∞
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本课程的主要内容
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1.矩阵理论：如线性空间、线性变换、 内积空间、正交投影、Jordan标准型、 矩阵分解 特征值 范数理论等 矩阵分解、特征值、范数理论等； 2.矩阵分析：如矩阵序列、矩阵级数、 矩阵函数计算及其应用等；
3.特殊矩阵：如正矩阵、非负矩阵、 随机矩阵、M矩阵等。
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由基的定义，在
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n 维向量空间 V
中，任意
n
二、基变换和坐标变换
定义
设 α1 , ,α n 和 β 1 , ,β n 是 n 维向量空 间 V 的两个基，且存在可逆矩阵 P ，使得
个线性无关的向量都可以作为 V 的一组基。 对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的． 那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何 改变呢？
Im( A)
例8
集合 V = { x x = [ x1 , x2 ,1]T , x1 , x2 ∈ R} 不是 一个线性空间。因为加法不封闭。
(1) 线性空间 V 中的零向量 θ ห้องสมุดไป่ตู้唯一的。 (2) 线性空间 V 中的每个向量的负向量 是唯一的。
(3) 0 ⋅ α = θ , k ⋅ θ = θ (4) 当 kα = θ 时，有 k = 0 或 α = θ (5) ( x − y )α = xα − yα x(α − β ) = xα − x β
项式按照多项式的加法以及数与多项式的乘法也构 成 F上的线性空间吗？
N ( A) ≡ { x ∈ R n | Ax = θ ,
A ∈ R m×n }
Ker ( A)
问：S ≡ { x ∈ R n | Ax = b, b ≠ 0, A ∈ R m×n } ?
例5 区间 [a, b]上全体连续实值函数全体按通常函
x1 = (α1 , , α n ) = (α1 , , α n ) x xn
= [ β1 , , β n ] y = (α 1 , , α n ) Px
数的加法和数与函数的乘法构成线性空间 C[ a, b]
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例7
所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
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三、线性空间的基本性质
如果 V 是数域 F上的线性空间，则
线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域 列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 像，即
R( A) ≡ { y ∈ Rm | y = Ax, x ∈ Rn , A∈ Rm×n }
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例1 数域 F上的n维向量全体，按n维向量加法与n维
向量的数量乘法构成数域 F上的线性空间 F n 。
例如 在 例如： 在正实数集 正实数集R + = {a | a > 0, a ∈ R} 中定义加法“⊕”和数乘“⊗”运算如下： a ⊕ b = ab, k ⊗ a = a k , ∀a, b ∈ R + , k ∈ R 则R 是数域R上的线性空间。
对∀α、β 、γ ∈ R 2，∀k、l ∈ R, 成立 (A1) 加法交换律： α + β = β + α，
(A2) 加法结合律： (α + β ) + γ = α + ( β + γ )，
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(A3) 具有加法单位元（零向量）θ ∈ R 2 ，使得 α +θ = α (A4) 具有加法逆元（负向量） −α ∈ R 2 ，使得 α + ( −α ) = θ (M1) 数乘的结合律：k ( lα ) = ( kl )α (M2) 数乘的单位元： 1⋅α = α (D1) 分配律1: k (α + β ) = kα + k β (D2) 分配律2: ( k + l )α = kα + lα
º span{α1 , α2 , , αr }
线性无关。
则必有 α r +1 ∈ V 且α r +1 ∉ W ，使得
定理1.1.2 定理 1.1.2 （基的扩张定理） 数域 F 上的 n 维线 性空间 V 中的任意一个线性无关向量组 中的任意 个线性无关向量组
α1 , α2 , , αr , αr+1
与基 β 1 , , β n 下的坐标分别为
T
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证明：
由于
α = x1α1 + + xnα n
x = [ x1 , , xn ] ，
T
y = [ y1 , , yn ]。 P为基 α1 , ,α n 到基
β 1 , , β n的过
渡矩阵 则成立坐标变换公式： 渡矩阵，则成立
+
例2 数域 F 上 m × n 阶矩阵全体，按矩阵的加法 阶矩阵全体 按矩阵的加法
和数乘，构成 F 上的线性空间 F m × n 。
例3 数域 F 上多项式全体按照多项式的加法以及数
与多项式的乘法构成 F 上的一线性空间 F [ x ] 。
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例4 数域 F上次数小于n的一元多项式再添上零多
对∀α、β 、γ ∈ V ，∀k、l ∈ F = R或F = C , 成立
α + β = β + α， (A1) 加法交换律：
(A2) 加法结合律： (α + β ) + γ = α + ( β + γ )，
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注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而 且我们也不用关心这些线性运算 且我们也不用关心这些 线性运算（ （加法和 加法和数乘 数乘） ） 的具体形式。
α 1 = 1, α 2 = x , α 3 = x 2
是 P[ x ]3 的一组基，此时多项式
又 α 1 = 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( x − 2) + 0 ⋅ ( x − 2) 2 = 1 ⋅ β1 + 0 ⋅ β 2 + 0 ⋅ β 3
α = 3 + 2x + 4x2
在这组基下的坐标就是 (3, 2, 4) T . 证明 β 1 = 1, β 2 = ( x − 2), β 3 = ( x − 2) 也是 P[ x ]3 的基,并求 α 1 , α 2 , α 3 及 α 在此基下的坐标。
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二、线性空间的概念
定义1.1.1 定义 1.1.1 如果非空集合 V 对于加法及数乘两种运 算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律， 那么就称集合 V 为数域 F 上的线性空间或向量空间： 向量空间
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(A3) 具有加法单位元（零向量） θ ∈ V ，使得 α +θ = α (A4) 具有加法逆元（负向量） −α ∈ V ，使得 α + ( −α ) = θ (M1) 数乘的结合律：k ( lα ) = ( kl )α (M2) 数乘的单位元： 1⋅α = α (D1) 分配律1: k (α + β ) = kα + k β (D2) 分配律2: ( k + l )α = kα + lα