2018年深圳中考几何综合题专题复习

2018 年深圳中考几何综合题专题复习

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合

题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。

一、几何论证型综合题

例 1 如图，已知：⊙ O1与⊙ O2是等圆，它们相交于 A、B 两点，⊙ O2在⊙ O1上， AC 是⊙O2的直径，直线 CB交⊙ O1于 D， E为 AB延长线上一点，连接 DE。

(1)请你连结AD，证明： AD 是⊙ O1的直径；

(2)若∠ E=60°，求证： DE是⊙ O1的切线。

A

O

1O 2

C

D

B

E

练习一

1。如图，梯形ABCD内接于⊙ O，AD∥ BC，过点 C 作⊙ O的切线，交 BC的延长线于点 P，交AD的延长线于点 E，若 AD=5， AB=6， BC=9。

⑴求 DC的长；

⑵求证：四边形ABCE是平行四边形。

2．已知：如图， AB是⊙ O的直径，点 P 在 BA的延长线上， PD切⊙ O于点 C，BD⊥ PD，垂

足为 D，连接 BC。

D

求证：（ 1） BC平分∠ PBD；（ 2）BC

2AB BD

C

P A O B

图 5－1－2

3.PC 切⊙ O 于点 C，过圆心的割线PAB交⊙ O 于 A、 B 两点， BE⊥ PE，垂足为 E， BE 交⊙ O

于点 D， F 是 PC上一点，且 PF＝ AF， FA 的延长线交⊙ O于点 G。

求证：（ 1）∠ FGD＝ 2∠ PBC；（ 2）PC PO

.

AG AB

4.已知：如图，△ ABC内接于⊙ O，直径 CD⊥ AB，垂足为 E。弦 BF 交 CD于点 M，交 AC于点N，且 BF=AC，连结 AD、 AM，

求证： (1)△ ACM≌△ BCM；

(2)AD·BE=DE· BC；

F

2

(3)BM =MN·MF。A

N

D E M O C

B

5.已知：如图，△ ABC中， AC＝BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，过点 D 作 DE⊥ AC于

点E，交 BC的延长线于点 F．

求证：（ 1） AD＝ BD；

A （ 2）DF 是⊙ O的切线．

D

E

B

O C F

二、几何计算型综合题

解这类几何综合题，应该注意以下几点：

（1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，或通过添加辅助线

补全或构造基本图形；

（2）灵活运用数学思想与方法 .

例2．如图，矩形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O， E、 F 分别是 OA、 OB的中点．（1）求证：△ ADE≌△ BCF；

（2）若 AD = 4cm， AB = 8cm，求 CF的长．

B

F

D O

（例 2题）

C

练习二

1.已知：如图，直线 PA交⊙ O于 A、E 两点， PA的垂线 DC切⊙ O于点 C，过 A 点作⊙ O的直径 AB。

（1）求证： AC平分 DAB；

（2）若 DC＝ 4， DA＝ 2，求⊙ O的直径。

2．已知：如图，以C 作⊙ O的切线，与Rt △ ABC的斜边 AB为直径作⊙ O， D 是⊙ O上的点，且

有BD的延长线交于点 E，连结 CD。

AC=CD。过点

(1)试判断 BE与 CE是否互相垂直 ?请说明理由；

(2) 若 CD=21，求⊙ O的半径长。E

5 ，tan∠DCE=

2

C D

A B

O

3．如图， AB 是⊙ O的直径， BC是⊙ O的切线， D是⊙ O上的一点，且AD∥ CO。(1) 求证：ADB∽OBC； (2) 若 AB=2， BC= 2，求 AD的长。 ( 结果保留根号)

C

D

A

B

O

4．如图 , AD是ABC的角平分线 , 延长AD交ABC的外接圆O于点E , 过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点 F ，连结EF、DF．

(1)求证： AEF ∽ FED ；

(2)若 AD 6,DE3,求 EF 的长；

(3)若DF∥BE,试判断 ABE 的形状，并说明理由．

B

A

C

D

O1 E O F

5．如图，已知四边形A BCD内接于⊙ O， A 是BDC的中点， AE⊥ AC于 A，与⊙ O及 CB的延

长线分别交于点 F、 E，且BF AD ，EM切⊙O于M。

⑴△ ADC∽△ EBA；

1

⑵ AC2＝2 BC·CE；

⑶如果 AB＝ 2， EM＝ 3，求 cot ∠ CAD的值。

能力提高

1、如图矩形ABCD中，过 A，B 两点的⊙ O切 CD于 E，交 BC于 F， AH⊥ BE于 H，连结 EF。（1）求证：∠ CEF＝∠ BAH

（2）若 BC＝ 2CE＝ 6，求 BF 的长。

2.如图 l ，已知正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，E 是 AC上一点，连结 EB，过点 A 作AM BE，垂足为 M， AM交 BD于点 F．

(1)求证： OE=OF；

(2)如图 2，若点 E 在 AC的延长线上， AM BE 于点 M，交 DB的延长线于点 F，其它条件不变，则结论“ OE=OF”还成立吗 ?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

A D

A D

O

O

F E M

M B C

B C E

图 1F图2

3．如图 11，在△ ABC中，∠ ABC＝ 90， AB＝ 6，BC＝ 8。以 AB 为直径的⊙ O交 AC于 D， E 是BC的中点，连接 ED并延长交 BA 的延长线于点 F。

（1）求证： DE是⊙ O的切线；

（2）求 DB的长；

（3）求 S△FAD∶ S△FDB的值

5．已知： □ ABCD 的对角线交点为 O ，点 E 、F 分别在边 AB 、 CD 上，分别沿 DE 、 BF 折叠四

边形 ABCD, A 、C 两点恰好都落在 O 点处，且四边形 DEBF 为菱形（如图） ．

⑴求证：四边形 ABCD 是矩形； D

F

⑵在四边形 ABCD 中，求

AB

的值．

BC

O C

A

·

B

E

6．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在 BA 的延长线上， CA=AO ，点 D 在⊙ O 上，

∠ A BD=30°．

⑴求证： CD 是⊙ O 的切线；

⑵若点 P 在直线 AB 上，⊙ P 与⊙ O 外切于点 B ，与直线 CD 相切于点 E ，设⊙ O 与⊙ P 的半 径分别为 r 与 R ，求

r

的值．

R

E

D

C A

·

B

· O

P

7、知直线 L 与◎○相切于点 A ，直径 AB=6，点 P 在 L 上移动，连接 OP 交⊙○于点 C ，连接BC

并延长 BC 交直线 L 于点 D.

(1) 若 AP=4，求线段 PC 的长 ; （4 分）

(2) 若 PAO 与 BAD 相似，求∠ APO 的度数和四边形 OADC 的面积 . （答案要求保留根号）

8、如图 7，已知 BC是⊙ O的直径， AH⊥ BC，垂足为 D，点 A 为BF的中点， BF 交 AD于点 E，

且BE EF=32， AD=6.

(1)求证： AE=BE； (2) 求 DE的长； (3) 求 BD的长 .

9、如图 1：⊙ O的直径为AB，过半径OA的中点 G作弦 CE⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线 CD、 ED交直线 AB 于点 F、 M。

（1）求∠ COA和∠ FDM的度数；

（2）求证：△ FDM∽△ COM；

（3）如图 2：若将垂足 G改取为半径 OB上任意一点，点 D 改取在EB上，仍作直线 CD、ED，分别交直线AB于点 F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△ COM？证明你的结论。

11、如图， ABC 是等边三角形，⊙O过点 B,C，且与 BA , CA 的延长线分别交于点D,E．弦

DF ∥AC， EF 的延长线交BC的延长线于点G．

（ 1）求证：BEF 是等边三角形；

ED

（ 2）若BA4，CG 2，求 BF 的长．

A

O

F

B C G

（图 5－ 11）

12、）已知：如图，BD是⊙ O的直径，过圆上一点 A 作⊙点作 BC∥ PA 交⊙ O于 C，连结 AB、 AC。O的切线

交

DB的延长线

于

P，过B

（1）求证： AB=AC；

（2）若 PA=10， PB=5，求⊙ O的半径和 AC的长。

A

C

P O D

B

13、如图， AB是△ ABC的外接圆⊙ O的直径， D 是⊙ O上的一点， DE⊥ AB于点 E，且 DE的延长线分别交 AC、⊙ O、 BC的延长线于 F、 M、 G.

（1）求证： AE· BE＝ EF· EG；

（2）连结 BD，若 BD⊥ BC，且 EF＝ MF＝2，求 AE 和 MG的长 .

练习一

1．⑴解：∵ AD∥ BC

∴AB DC

∴DC=AB=6

⑵证明：∵ AD∥BC，

∴∠ EDC=∠BCD

又∵ PC与⊙ O相切，

∴∠ ECD=∠DBC

∴△ CDE∽△ BCD

∴DC DE

BC DC

DC 262

∴ DE4

BC9

∴AE=AD+DE=5+4=9

∴AE BC

∴四边形ABCE是平行四边形。

2.证明：（ 1）连结 OC。

∵PD切⊙O于点C，

又∵ BD⊥PD，

∴ OC∥ BD。

∴∠ 1＝∠ 3。

又∵ OC＝OB，

∴∠ 2＝∠ 3。

∴∠ 1＝∠ 2，即 BC平分∠ PBD。

（2）连结 AC。

∵AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB＝ 90°。

又∵ BD⊥PD，∴∠ ACB＝∠ CDB＝ 90°

又∵∠ 1＝∠ 2，∴△ ABC∽△ CBD

∴AB BC

，∴BC2＝AB BD CB BD

3.( 1）连结OC。

∵PC切⊙ O于点 C，∴ OC⊥ PC。

∵BE⊥ PE，∴ OC∥ BE。∴∠ POC＝∠ PBE。

又∵∠ PBE＝∠ FGD，∴∠ POC＝∠ FGD。

∵∠ POC＝2∠ PBC，∴∠ FGD＝ 2∠ PBC。（1）连结 BG

∵AB是的直径，∴∠ AGB＝ 90°。

又∵ OC⊥PC，∴∠ PCO＝90°，

∴∠ AGB＝∠ PCO。

∵FP＝ FA，

∴∠ FPA＝∠ PAF＝∠ BAG。

E

C

D

F

B P A O

G

5-1-3 图

∴△ PCO∽△ AGB。∴4.PC PO AG AB

5.（ 1）证法一：连结 CD，

∵BC为⊙ O的直径 , ∴CD⊥ AB

∵AC＝BC,∴ AD＝ BD．

证法二：连结 CD，

∵BC为⊙ O的直径

∴∠ ADC＝∠ BDC＝ 90°

∵AC＝ BC， CD＝ CD

∴△ ACD≌△ BCD,∴AD＝ BD （2）证法一：连结 OD，

∵AD＝ BD， OB＝ OC

∴OD∥ AC

∵DE⊥ AC ∴ DF⊥OD

∴DF是⊙ O的切

线．证法二：连结

OD，

∵ OB=OD,∴∠ BDO＝∠ B

∵∠ B＝∠ A, ∴∠ BDO=∠ A

∵∠ A+∠ ADE＝ 90°, ∴∠ BDO＋∠ ADE＝90°∴∠ ODF=90° , ∴ DF是⊙ O的切线．

A

D

E

B

O C F

练习二

1．（ 1）证法一：连结BC

∵AB为⊙ O的直径∴ ACB＝ 90o

又∵ DC切⊙ O于 C 点

∴DCA＝ B

∵DC PE

∴Rt△ ADC∽ Rt △ ACB

∴DAC＝ CAB

（2）解法一：在 Rt △ ADC中， AD＝2， DC＝ 4

2 2

∴AC＝ AD＋DC ＝2 5

由（ 1）得 Rt △ ADC∽Rt △ ACB

AB AC220

AC

∴AC ＝

AD即 AB＝AD＝2＝ 10

∴⊙ O的直径为10

（1）证法二：连结 OC

∵OA＝ OC∵ ACO＝CAO

又∵ CD切⊙ O于 C 点

∴OC DC

∵CD PA

∴OC∥ PA

∴ACO＝ DAC

∴DAC＝ CAO

（2）解法二：过点 O作 OM AE于点 M，连结 OC

∵DC切⊙ O于 C点∴ OC DC

又∵ DC PA∴四边形OCDM 为矩形

∴ OM ＝ DC＝ 4又DC2＝DA·DE

∴DE＝ 8，∴ AE＝ 6，∴ AM ＝ 3

在 Rt△ AMO 中 ,OA＝OM 2＋AM2＝5即⊙ O 的直径为 10。2.

3.(1) 略；（ 2）由（ 1），得△ ADB∽△ OBC，

4.

(1 ）证明：连结两圆的相交弦CE

在圆 O1中，EFD DCE ，

在圆 O中，BAE DCE ，

∴EFD BAE ，

又因为 AE 是BAC 角平分线，得∠BAE=∠CAE，∴CAE EFD ，

∵AEF FED ，

∴AEF ∽FED ．

（2）∵AEF∽FED，

∴DE EF，

EF AE

∴EF2AE DE( AD DE) DE27 ，

∴ EF33．

（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，

得到：ABC AEC ，CBE CAE ，

∴ABE AEC CAE ，

∵AEC CAE ACE =180°，

∴ABE ACE =180°，

又FCE ACE =180，

∴FCE ABE．

∵ DF ∥ BE， FDE AEB ，

又∵FCE EDF ，∴∠AEB =∠ABE，

∴ ABE 为等腰三角形．

5．⑴∵四边形 ABCD内接于⊙ O，∴∠ CDA＝∠ ABE，

∵ BF AD ，∴∠DCA＝∠BAE，∴△CAD∽△AEB

1

⑵过 A 作 AH⊥ BC于 H(如图 ) ∵ A 是BDC中点，∴ HC＝ HB＝BC，

2

1

∵∠ CAE＝900，∴ AC2＝ CH·CE＝

2 BC·CE

⑶∵ A 是BDC中点， AB＝ 2，∴ AC＝ AB＝ 2，

∵ EM 是⊙ O 的切线，∴ EB·EC＝ EM2①

1

∵ AC2＝2BC·CE， BC·CE＝ 8②

①＋②得： EC(EB＋ BC)＝ 17，∴ EC2＝ 17

∵EC2＝ AC2＋ AE2，∴ AE＝ 17－ 22＝ 13

∵△ CAD∽△ ABE，∴∠ CAD＝∠ AEC，

AE13

∴ cot ∠ CAD＝ cot ∠ AEC＝＝

AC2

提高练习

1.

2.

3. (1)

证明：∵四边形 ABCD 是正方形．∴

又∵ AM BE ，∴ MEA+ MAE ＝90 ∴

MEA ＝ AFO

∴ Rt △BOE ≌ Rt △ AOF

∴ OE=OF

BOE= AOF ＝ 90

=

AFO+ MAE

． OB ＝ OA

(2)OE ＝OF 成立

证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴

BOE= AOF ＝ 90 ． OB ＝ OA

又∵ AM BE ，∴ F+ MBF ＝ 90 =

B+

OBE

又∵

MBF ＝ OBE ∴

F ＝

E ∴Rt △ BOE ≌ Rt △ AO

F ∴ OE=OF

4.

（ 1）证明：略

（2）在 Rt △ ABC 中， AB ＝ 6，BC ＝ 8

∴ AC ＝ 10

2

32 ， AD ＝

18

∵ BC ＝ CD AC ∴ CD ＝

5

5

CD ＝

32

18

∴ BD ＝

24

又∵△ ADB ∽△ BDC

∴ BD ＝ AD

2

5

5 5

（3）∵∠ FDA ＝∠ FBD ∠F ＝∠ F ∴△ FDA ∽△ FBD

∴ S △ FAD ∶ S △ FDB ＝ (

AD

) 29

BD

16

5、（ 1）证明：连结 OE

∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ DO=OB ， ∵四边形 DEBF 是菱形，

∴ DE=BE ， ∴ EO ⊥ BD ∴∠ DOE= 90°

即∠ DAE= 90° 又四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是矩形

（2）解：∵四边形

DEBF 是菱形

D

F

∴∠ FDB=∠ EDB

O C

又由题意知∠ EDB=∠ EDA

由（ 1）知四边形 ABCD 是矩形

A

B

∴∠ ADF=90°，即∠ FDB+∠EDB+∠ ADE=90°

E

则∠ ADB= 60°

∴在 Rt △ ADB 中，有 AD ∶AB=1∶ 3

即 AB

3

BC

6、

（ 1）证明：连结 OD 、 DA ，

∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ BDA=90°

又∠ ABD=30°，∴ AD=1

AB=OA

又 AC=AO ，∴∠ ODC=90°∴ CD 切⊙ O 于点 D

2

（ 2）方法一：连结 PE ，由（ 1）知∠ DAB=60°，又 AD=AC ∴∠ C=30° 又∵ DE 切⊙ P 于 E ，∴ PE ⊥CE

∴ PE=1

CP

2

又 PE=BP=R ，CA=AO=OB= r

∴ 3r=R ，即

r

1

R

3

方法二：连结 PE ，

又∵ DE 切⊙ P 于 E ，∴ PE ⊥CE

∴ OD ∥ PE

∴ OD =CO

即

r

2r ，∴ r

1

EP CP R

3r R R 3

7、解：（ 1）l 与◎○相切于点A，4900 OP2OA 2AP 2

OP OC 1

AB 3,AP4 2

OP23242

OP5PC5 3 2

（ 2）PAO∽Δ BAD,且∠ 1>∠2，∠ 4=∠ 4=90，2APO OB OC

23

123

1 2 2 2 APO

4 900

1APO90 0

3 APO900

APO 300

在 Rt BAD中，2APO300

AD 6 tan 30063 2 3

3

方法一：过点O作 OE⊥BC于点 E，

2 300, BO3

OE 3

,BE3con30033 22

BC2BE 3 3 S

四边形

OADC

S

BAD

S

BOC

1

AB AD

1

BC OE

22

16231333

2

9

22

633

4

=153

4

方法二：在 Rt

OAP 中， AP=6tan60 =3 3 ,OP=2OA=6,

DP=AP － AD=3 3 2 33,PC

OP

OC

633,

过点 C 作 CF ⊥AP 于 F ，

CF=

1 3

∠ CPF=30,

PC

2

2

S

=S －S

1 1 1

3 CDP

= AP · OA －

DP ·CF= (3 3 33

)

四边形 OADCOAP

2

2

2

2

= 15 3

4

8. (1) 连 AF ，因 A 为的 BF 中点，∴∠ ABE=∠ AFB ，又∠ AFB=∠ ACB ，∴ ∠ ABE=∠ ACB .

∵ BC 为直径，∴∠ BAC=90°， AH ⊥ BC ，∴∠ BAE=∠ ACB ，∴∠ ABE=∠ BAE ， ∴ AE=BE .

(2) 设 DE=x(x>0) ，由 AD=6， BE EF=32， AE EH=BE EF ，有(6-x)(6+x)=32 ，由此解得 x=2， 即 DE 的长为 2 .

(3) 由 (1) 、 (2) 有： BE=AE=6-2=4， 在 Rt BDE 中， BD= 4 2 2 2 = 2 3

9、解（ 1）∵ AB 为直径， CE ⊥ AB

∴ AC ＝ AE ， CG ＝EG

在 Rt △ COG 中，

∵ OG ＝ 1

OC

2

∴∠ OCG ＝ 30 ，∠ COA ＝ 60

＝ 1

弧 CAE 的度数

2

＝ AC 的度数

＝∠ COA 的度数＝ 60

∴∠ FDM ＝ 180 －∠ CDE ＝ 120

∵∠ COM ＝ 180 －∠ COA ＝ 120

在 Rt △CGM 和 Rt △ EGM 中

GM GM ∴ Rt △CGM ≌ Rt △EGM ∴∠ GMC ＝∠ GME

∵

EG

CG

又∠ DMF ＝∠ GME ∴∠ OMC ＝∠ DMF ∴△ FDM ∽△ COM

（ 3）解：结论仍成立。 ∵∠

FDM ＝ 1800－∠ CDE

∴∠ CDE 的度数＝

1

弧 CAE 的度数＝

AC 的度数＝∠ COA 的度数

2

∴∠ FDM ＝ 1800－∠ COA ＝∠ COM

∵ AB 为直径， CE ⊥ AB ； ∴在 Rt △ CGM 和 Rt △ EGM 中

GM GM

∵

CG EG

∴ Rt △ CGM ≌ Rt △ EGM ∴∠ GMC ＝∠ GME ∴△ FDM ∽△ COM

10. （ 1）重叠部分的面积等于

3cm 2 （2）等边三角形的边

长 a 至少为 10cm （ 3）等边三角形的边长为 ( 21 2)cm

11（ 1）证明：（1）∵

ABC 是等边三角形，

∴

BCABAC 60 ， ∵ DF ∥ AC ，∴ D BAC 60 ， BEF D 60

又∵BFE

BCA

60 ， ∴ BEF 是等边三角形．

（ 2）BF 26

12. （ 1）连结 AD,由切割线定理可知，

PA 2 = PB PD

即102

5 (5 2

OB)

A

C

OB

15 而△ PDA ∽△ PAB

1

2

2

P

B

O

D

∴ AD

PA 10 2

AB PB 5

在 Rt △ BDA 中， BD

2

AB 2 AD 2 即 15

2

AB 2 (2AB) 2

∴ AB

3 5

3 5

即 AC=

13、证明：（ 1）∵ AB 是⊙ O 的直径， DE ⊥ AB

∴∠ G ＋∠ B ＝∠ A ＋∠ B ＝ 90

∴ Rt △ AEF ∽ Rt △ GEB ∴ AE

EG

，即 AE BE

EF EG

EF

BE

（ 2）∵ DE ⊥ AB

∴ DE ＝ EM ＝4

连结 AD ，∵ AB 是⊙ O 的直径， BD ⊥ BC

∴∠ ACB ＝∠ ADB ＝∠ DBC ＝900

∴∠ DAF ＝900

由 Rt △ AEF ∽ Rt △ ADE 可得 AE 2 DE EF ∴ AE 2 2

由相交弦定理可得 DE EM

AE BE ∴EF EG

DE EM

∴ EG

DE EM

4

4

8

∴ MG ＝EG － EM ＝ 8－4＝ 4.

EF

2