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微积分第一课.ppt
生活中无处没有数学
（1）黄金分割造就了美
近年来，在研究黄金分割与人体关系时， 发现了人体结构中有14个“黄金点” （物体短段与长段之比值为 0.618）， 12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数” （两物体间的比例关系为 0.618）。 黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割 点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点； (3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点； (5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分 割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上 这分割点；(9)眉间点：发际－颏底间 距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下 点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之 分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距 上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟 正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中 2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水 平线左1/3与右2/3之分割点；(14) 右 口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分 割点。
公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子•天下 篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其 半，万世不竭”，
魏晋时期的数学家刘徽。他的“割圆术”开创了圆周 率研究的新纪元。 “割之弥细，所失弥少。割之又 割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”
二． 微积分的创立
有四种主要类型的科学问题： 1.第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函 数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬 时变化率问题的研究成为当务之急； 2.第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线 问题变得不可回避； 3.第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开 太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小 值问题也急待解决； 4.第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢 径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、 体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计 算被重新研究。
《微积分人大3版》课件
微积分的应用实例
1
2
3
积分在物理学中用于计算面积、体积和长度等量。
积分在解决物理问题时，例如求解物体的质量、重心和转动惯量等，也具有重要应用。
积分还可以用于求解某些物理定律的定积分形式，例如牛顿第二定律和能量守恒定律等。
微分方程在生物学中用于描述生物种群的增长规律，例如Logistic增长模型和Malthus模型等。
微分方程还可以用于描述疾病的传播过程，例如SIR模型和SEIR模型等。
此外，微分方程在生态学、生物化学反应和生理学等领域也有广泛应用，例如描述药物在体内的浓度变化规律等。
微积分的习题与答案
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
计算定积分$int_{0}^{pi} xsin x , dx$。
积分的性质
积分具有线性性质、可加性、积分中值定理等性质，这些性质在解决几何、物理等问题中具有重要应用。
微分方程是包含未知函数的导数或微分的方程，描述了某一变量随时间或其他变量的变化规律。
微分方程的定义
解微分方程的方法包括分离变量法、常数变异法、因式分解法等，这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的解。
感谢您的观看
THANKS
中值定理的应用非常广泛，例如在求解一元函数的极值问题、证明不等式、研究函数的形态等方面都有重要的应用。
中值定理
应用举例
泰勒定理
泰勒定理是函数展开理论的重要组成部分，它可以将一个函数在某点处展开成多项式函数，并给出收敛的阶数和误差估计。
应用举例
泰勒定理的应用非常广泛，例如在近似计算、数值分析、求解高阶导数等方面都有重要的应用。同时，泰勒定理也是研究函数展开和逼近的重要工具。
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积分在物理学中用于计算面积、体积和长度等量。
积分在解决物理问题时，例如求解物体的质量、重心和转动惯量等，也具有重要应用。
积分还可以用于求解某些物理定律的定积分形式，例如牛顿第二定律和能量守恒定律等。
微分方程在生物学中用于描述生物种群的增长规律，例如Logistic增长模型和Malthus模型等。
微分方程还可以用于描述疾病的传播过程，例如SIR模型和SEIR模型等。
此外，微分方程在生态学、生物化学反应和生理学等领域也有广泛应用，例如描述药物在体内的浓度变化规律等。
微积分的习题与答案
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
计算定积分$int_{0}^{pi} xsin x , dx$。
积分的性质
积分具有线性性质、可加性、积分中值定理等性质，这些性质在解决几何、物理等问题中具有重要应用。
微分方程是包含未知函数的导数或微分的方程，描述了某一变量随时间或其他变量的变化规律。
微分方程的定义
解微分方程的方法包括分离变量法、常数变异法、因式分解法等，这些方法可以帮助我们找到满足给定条件的解。
感谢您的观看
THANKS
中值定理的应用非常广泛，例如在求解一元函数的极值问题、证明不等式、研究函数的形态等方面都有重要的应用。
中值定理
应用举例
泰勒定理
泰勒定理是函数展开理论的重要组成部分，它可以将一个函数在某点处展开成多项式函数，并给出收敛的阶数和误差估计。
应用举例
泰勒定理的应用非常广泛，例如在近似计算、数值分析、求解高阶导数等方面都有重要的应用。同时，泰勒定理也是研究函数展开和逼近的重要工具。
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
《微积分发展史》课件
更加注重数学与其他学科 的交叉融合
随着科技的发展，微积分将与物理学、工程 学、经济学等领域更加紧密地结合，推动跨 学科的研究和应用。
数学建模和计算方法的创新
未来微积分的发展将更加注重数学建模和计算方法 的创新，以解决复杂的问题和现象。
数学教育的普及和提高
随着教育水平的提高，微积分将更加普及， 并成为更多人学习和掌握的数学工具。
微积分与其他学科的交叉发展
与物理学的结合
微积分在物理学中有广泛的应用 ，如力学、电磁学等领域。未来 将进一步深化微积分与物理学的 交叉研究，推动理论和实践的结 合。
与工程学的结合
微积分在工程学中发挥着重要的 作用，如流体动力学、控制理论 等。未来将进一步加强微积分在 工程实践中的应用和创新。
与经济学的结合
19世纪的发展
总结词
微积分的严格化
实数理论的建立
实数理论的建立为微积分提供了更加严密的数学 基础，进一步推动了微积分的发展。
ABCD
极限理论的建立
19世纪，极限理论得到了深入的研究和探讨， 为微积分的严格化奠定了基础。
变分法的兴起
19世纪，变分法得到了广泛的应用和发展，为 解决优化和极值问题提供了重要的工具。
03
微积分的发展
18世纪的发展
总结词
微积分的基础建立
牛顿和莱布尼茨的贡献
牛顿的《自然哲学的数学原理》和莱布尼茨的《微积分学 》分别从不同角度奠定了微积分的基础。
微分学的发展
18世纪，微分学在函数、导数、微分等方面取得了重要 进展，为后续的数学和科学领域提供了强大的工具。
积分学的发展
积分学也在18世纪得到了深入的研究和发展，包括定积 分、不定积分以及积分的应用等方面。
随着科技的发展，微积分将与物理学、工程 学、经济学等领域更加紧密地结合，推动跨 学科的研究和应用。
数学建模和计算方法的创新
未来微积分的发展将更加注重数学建模和计算方法 的创新，以解决复杂的问题和现象。
数学教育的普及和提高
随着教育水平的提高，微积分将更加普及， 并成为更多人学习和掌握的数学工具。
微积分与其他学科的交叉发展
与物理学的结合
微积分在物理学中有广泛的应用 ，如力学、电磁学等领域。未来 将进一步深化微积分与物理学的 交叉研究，推动理论和实践的结 合。
与工程学的结合
微积分在工程学中发挥着重要的 作用，如流体动力学、控制理论 等。未来将进一步加强微积分在 工程实践中的应用和创新。
与经济学的结合
19世纪的发展
总结词
微积分的严格化
实数理论的建立
实数理论的建立为微积分提供了更加严密的数学 基础，进一步推动了微积分的发展。
ABCD
极限理论的建立
19世纪，极限理论得到了深入的研究和探讨， 为微积分的严格化奠定了基础。
变分法的兴起
19世纪，变分法得到了广泛的应用和发展，为 解决优化和极值问题提供了重要的工具。
03
微积分的发展
18世纪的发展
总结词
微积分的基础建立
牛顿和莱布尼茨的贡献
牛顿的《自然哲学的数学原理》和莱布尼茨的《微积分学 》分别从不同角度奠定了微积分的基础。
微分学的发展
18世纪，微分学在函数、导数、微分等方面取得了重要 进展，为后续的数学和科学领域提供了强大的工具。
积分学的发展
积分学也在18世纪得到了深入的研究和发展，包括定积 分、不定积分以及积分的应用等方面。
《微积分赵树嫄》PPT课件
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R
5
二、数列(sequence)的有关概念
1. 1. 定 义 2.1: 一 个 定 义 在 正 整 数 集 合 上 的 函 数 yn f (n) (称为整标函数)，当自变量 n 按正整数 1，2，3，…依次增大的顺序取值时，函数值按相 应的顺序排成一串数：
f (1) , f (2) , f (3),, f (n) ,
n
1 n
只
要
n取 1就
可 以.
了 因此,对于任意给定0的 ,
取正 N 整 [1]1 数 ,则n当 N 时 ,yn 2 恒成立 .
所
以 ,yn2nn1以2为
极,
限 即lim2n12
n n
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15
注意：
不能根据极限的定义求出数列的极限,只能 用定义验证某常数是否是某数列的极限.
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16
例2： 数列xn (1)n1是发散的.
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
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播放 8
问题: 当 n无限增大时, y n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限增 ,yn大 1(时 1n )n1无限接 1. 近于
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻画它.
yn 1
当n取偶数时, xn 1 当n取奇数时, 、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、极限定义、几何意义;
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18
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2
第一节 数列的极限
一、引例 二、数列的有关概念 三、数列极限的定义 四、小结
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3
一、引例
R
5
二、数列(sequence)的有关概念
1. 1. 定 义 2.1: 一 个 定 义 在 正 整 数 集 合 上 的 函 数 yn f (n) (称为整标函数)，当自变量 n 按正整数 1，2，3，…依次增大的顺序取值时，函数值按相 应的顺序排成一串数：
f (1) , f (2) , f (3),, f (n) ,
n
1 n
只
要
n取 1就
可 以.
了 因此,对于任意给定0的 ,
取正 N 整 [1]1 数 ,则n当 N 时 ,yn 2 恒成立 .
所
以 ,yn2nn1以2为
极,
限 即lim2n12
n n
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15
注意：
不能根据极限的定义求出数列的极限,只能 用定义验证某常数是否是某数列的极限.
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例2： 数列xn (1)n1是发散的.
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
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问题: 当 n无限增大时, y n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限增 ,yn大 1(时 1n )n1无限接 1. 近于
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻画它.
yn 1
当n取偶数时, xn 1 当n取奇数时, 、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、极限定义、几何意义;
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2
第一节 数列的极限
一、引例 二、数列的有关概念 三、数列极限的定义 四、小结
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一、引例
《微积分第九版》课件
《微积分第九版》PPT课件
一份详细的微积分课件，适用于本专业的学生或有志于学习本领域知识的学 生，内容全面、易懂。
课件概述
介绍
《微积分第九版》是该领域学生的标准教材， 我们为你准备了一份详细的PPT课件。
课程目标
通过本课件，你将掌握微积分的基本概念和 计算技巧。
课程大纲
本课件包含微积分的重要概念，如导数和积 分，以及它们在现实世界中的应用。
曾经优秀学生的分享经验
了解学长学姐的经验和技巧，为自己的学习找到方向。
评估方法
课堂表现
在课堂上的积极回答问题和参与讨论是课堂表现 的重要组成部分。
期末考试
考试将涵盖所有学期的内容，以确认你在微积分 方面的掌握程度。
教学提示
1 密切关注学生反应
通过了解学生的需求和
2 尽可能提供示例演
示
反应，调整教学方式可
学会使用微积分求极值，寻找最大值与最小值
2
微积分的物理应用பைடு நூலகம்
微积分在牛顿物理学和其他自然科学研究中有着广泛的应用。
3
微积分和经济学
微积分已成为经济学中最重要的工具之一，被广泛用于金融和市场分析中。
学习资源
布置的书籍阅读
《微积分第九版》(作者：哈普曼)
必要的软件下载
Mathematica、Matlab、Derive等，都可以帮助你更好地学习微积分
重点章节
我们会重点讲解微积分的基础知识，以便各 位可以更轻松地掌握微积分的高级应用技巧。
微积分的基本概念
函数和极限
学习函数和极限的概念是理解微积分的基础。
导数和微分
掌握导数和微分的概念，以及它们在实际应用 中的作用。
积分
《微积分发展史》PPT课件
开普勒在极度贫苦中去世，在他的墓碑上刻着他自己写的墓志 铭：我曾观测苍穹，今又度量大地．
灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
费马(Fermat, P.1601—1665) 费马1601年生于法国南部图鲁斯附近的波蒙，父亲是
个商人，费马从小就受到良好的家庭教育．他在大学攻 读法律，毕业后当了律师．从30岁起，他才开始迷恋上数 学，直至逝世的34年里，他的精神世界始终被数学牢牢地 统治着．费马结交了不少数学高手和哲学家，如梅森、 罗伯瓦、迈多治、笛卡尔等，他们每周一次在梅森寓所 聚会，讨论科学、研究数学．费尔马除了这些之外，还 经常和友人通信交流数学研究工作的信息，但对发表著 作非常淡漠．费马在世时，没有完整的著作问世．当他 去世后，他的儿子萨缪尔·费马在数学家们帮助之下， 将费马的笔记、批注及书信加以整理汇成《数学论集》 在图鲁斯出版．
由于生产实际的需要，力学和天文学的推动， 由于从阿基米德以来多少代人的努力，在17世纪 下半叶，终于由牛顿和莱布尼茨综合、发展了前 人的工作，几乎同时建立了微积分．
伊萨克·牛顿(Isac Newton 1643—1727)
“我不知道世人如何看我，可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子，不时 为捡到比通常更光滑的石子或更美丽的贝壳而高兴，而展现在我面前的是完全未被探 明的趔之海．” 这是牛顿晚年对自己的评价．
开普勒(Kepler Johannes, 1571–1630) 开普勒1571年12月27日生于德国的魏尔，1630年11月15日卒于雷
根斯堡．他是德国天文学家、物理学家和数学家．行星三大定律的 发现者，近代光学的奠基人．
他自幼体弱多病，但智力超群．1587年进图宾根大学，次年得 学士学位，1591年获硕士学位，1594年到奥地利的格拉茨任数学教 师．1600年到布拉格的贝纳泰克的天文台任第谷的助手．第二年第 谷去世，开普勒受聘为皇家数学家．
灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
费马(Fermat, P.1601—1665) 费马1601年生于法国南部图鲁斯附近的波蒙，父亲是
个商人，费马从小就受到良好的家庭教育．他在大学攻 读法律，毕业后当了律师．从30岁起，他才开始迷恋上数 学，直至逝世的34年里，他的精神世界始终被数学牢牢地 统治着．费马结交了不少数学高手和哲学家，如梅森、 罗伯瓦、迈多治、笛卡尔等，他们每周一次在梅森寓所 聚会，讨论科学、研究数学．费尔马除了这些之外，还 经常和友人通信交流数学研究工作的信息，但对发表著 作非常淡漠．费马在世时，没有完整的著作问世．当他 去世后，他的儿子萨缪尔·费马在数学家们帮助之下， 将费马的笔记、批注及书信加以整理汇成《数学论集》 在图鲁斯出版．
由于生产实际的需要，力学和天文学的推动， 由于从阿基米德以来多少代人的努力，在17世纪 下半叶，终于由牛顿和莱布尼茨综合、发展了前 人的工作，几乎同时建立了微积分．
伊萨克·牛顿(Isac Newton 1643—1727)
“我不知道世人如何看我，可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子，不时 为捡到比通常更光滑的石子或更美丽的贝壳而高兴，而展现在我面前的是完全未被探 明的趔之海．” 这是牛顿晚年对自己的评价．
开普勒(Kepler Johannes, 1571–1630) 开普勒1571年12月27日生于德国的魏尔，1630年11月15日卒于雷
根斯堡．他是德国天文学家、物理学家和数学家．行星三大定律的 发现者，近代光学的奠基人．
他自幼体弱多病，但智力超群．1587年进图宾根大学，次年得 学士学位，1591年获硕士学位，1594年到奥地利的格拉茨任数学教 师．1600年到布拉格的贝纳泰克的天文台任第谷的助手．第二年第 谷去世，开普勒受聘为皇家数学家．
微积分课件
03
导数与微分
导数的定义与计算
总结词
导数是函数值随自变量改变的速度，是函数变化的局部线 性近似。
详细描述
导数是微积分中的基本概念之一，它描述了函数值随自变 量改变的变化率。对于连续函数，求导数就是求函数值随 自变量改变的速度。导数的计算包括求导公式和求导法则 。
总结词
高阶导数是函数值随自变量多次改变的速度，是高阶线性 近似。
06
微分方程与差分方程
微分方程的基本概念
定义
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。它可以描述物 理、化学、生物等自然现象的变化规律，也可以描述工程 设计中的各种问题。
分类
根据未知函数导数的阶数，微分方程可以分为一阶、二阶 、高阶等。根据是否含有参数，微分方程可以分为常系数 和变系数。
解题思路
解决微分方程一般采用“降阶法”，即把高阶微分方程转 化为低阶微分方程，或者把变系数微分方程转化为常系数 微分方程，然后分别求解。
了微积分，并发展出了不同的方法。
微积分的发展
03
微积分在后来的发展中，经历了许多数学家的努力，
逐渐完善和扩展。
微积分的重要性
科学计算
微积分是科学计算的基础，对于物理、工程、生物等领域都有重 要的应用。
理论意义
微积分是数学的一个重要分支，对于数学理论的发展也有重要的 意义。
实际应用
微积分的应用广泛，如经济学、金融学、计算机科学等。
常见的一阶微分方程及其解法
定义
只含有一个未知函数及其导 数的一个等式称为一阶微分 方程。常见的形式有 dy/dx = f(x,y) 或 d²y/dx² = f(x,y)
。
解法
常见的一阶微分方程有指数 函数、三角函数、幂函数等 形式的解。通过代入法或变 量替换法，将原方程转化为
《微积分人大3版》PPT课件
பைடு நூலகம்
显 然 有 ls i n s m 及 ls i 2 n s m 。 于 是 li ( s 2 n m s n ) 0 。
n n
n
但另一方面，
1 1 1 1 s 2 n s n n 1 n 2 n 3 2 n
1 1 1 1 1 ， 2 n 2 n 2 n 2 n 2
n 1n 1
定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛 散性不变。
定理7.4 若一个级数收敛，则对这个级数的项任意 加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也 发散。
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结束
铃
二、级数收敛的必要条件
定 理 7 . 5 如 果 级 数 u n 收 敛 ， 则 l u n i 0 。 m
定 理 7 . 2 若 级 数 u n 收 敛 ， 且 其 和 为 s ， 则 级 数
n 1
k n 也 收 敛 ， 且 其 和 为 u k s 。
n 1 这 是 因 为 ， 设 u n 与 k n 的 部 分 u 和 分 别 为 s n 与 n ， n 1n 1
则 ln i l m ( k i u 1 k u m 2 k u n ) n n
n 1
n 0
证 ： 设 级 数 u n 的 部 分 和 为 s n ， 且 ls i n s ， 则 m
n 1
n
lu i n m l( i s n s m n 1 ) ls i n l m i s n 1 m s s 0 。
n 0 n n n
应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收
n 1n 1
显 然 有 ls i n s m 及 ls i 2 n s m 。 于 是 li ( s 2 n m s n ) 0 。
n n
n
但另一方面，
1 1 1 1 s 2 n s n n 1 n 2 n 3 2 n
1 1 1 1 1 ， 2 n 2 n 2 n 2 n 2
n 1n 1
定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛 散性不变。
定理7.4 若一个级数收敛，则对这个级数的项任意 加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也 发散。
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二、级数收敛的必要条件
定 理 7 . 5 如 果 级 数 u n 收 敛 ， 则 l u n i 0 。 m
定 理 7 . 2 若 级 数 u n 收 敛 ， 且 其 和 为 s ， 则 级 数
n 1
k n 也 收 敛 ， 且 其 和 为 u k s 。
n 1 这 是 因 为 ， 设 u n 与 k n 的 部 分 u 和 分 别 为 s n 与 n ， n 1n 1
则 ln i l m ( k i u 1 k u m 2 k u n ) n n
n 1
n 0
证 ： 设 级 数 u n 的 部 分 和 为 s n ， 且 ls i n s ， 则 m
n 1
n
lu i n m l( i s n s m n 1 ) ls i n l m i s n 1 m s s 0 。
n 0 n n n
应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收
n 1n 1