傅里叶变换与小波分析的对比研究(2010!)
小波变换与傅里叶变换的比较
小波变换与傅里叶变换的比较在信号处理领域中，小波变换（Wavelet Transform）和傅里叶变换（Fourier Transform）是两种常用的数学工具。
它们都可以用于分析和处理信号，但在某些方面有着不同的优势和应用场景。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行比较，探讨它们的异同点和适用范围。
一、基本原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
它通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加来表示原始信号。
傅里叶变换可以提供信号的频谱信息，帮助我们了解信号中不同频率成分的强度和相位。
小波变换是一种时频分析方法，它在时域和频域上都具有一定的局部性。
小波变换通过将信号与一组特定的小波函数进行卷积，得到信号在不同尺度和位置上的时频信息。
小波变换可以提供信号的时频局部特征，能够更好地捕捉信号中短时变化和非平稳性。
二、分辨率和局部性傅里叶变换具有较好的频率分辨率，可以准确地分析信号的频率成分。
然而，傅里叶变换对于时域信息的分辨率较低，不能提供信号的时域局部特征。
这使得傅里叶变换在处理非平稳信号时存在一定的局限性。
小波变换具有较好的时频局部性，可以同时提供信号的时域和频域信息。
小波变换通过选择不同的小波函数，可以在不同尺度上分析信号的时频特征。
这使得小波变换在处理非平稳信号和瞬态信号时更加有效。
三、多分辨率分析傅里叶变换只能提供全局频率信息，无法对信号进行多尺度分析。
而小波变换可以通过多分辨率分析，将信号分解成不同尺度的小波系数。
这使得小波变换能够更好地揭示信号的局部细节和结构。
四、应用领域傅里叶变换广泛应用于频谱分析、滤波器设计、图像处理等领域。
通过傅里叶变换，我们可以了解信号的频率成分、频域滤波和频谱特性。
傅里叶变换在数字音频处理、图像压缩、通信系统等方面有着重要的应用。
小波变换在信号处理领域的应用也非常广泛。
小波变换可以用于信号去噪、特征提取、图像压缩、模式识别等方面。
小波变换在非平稳信号处理、图像分析和模式识别等领域有着独特的优势。
小波变换与傅里叶变换的对比异同
小波变换与傅里叶变换的对比异同小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf 到inf 之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz 基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVA定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT，频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS）,时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）o这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF 积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。
为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。
第一步，尺度离散化。
一般只将a二进离散化，此时b是任意的。
这样小波被称为二进小波。
小波变换与傅里叶变换的对比分析
小波变换与傅里叶变换的对比分析引言：在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换是两种常用的数学工具。
它们在信号的频域分析和时域分析方面有着不同的特点和应用。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行对比分析，探讨它们的异同以及各自的优势和适用场景。
一、基本原理1. 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
它通过将信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加来表示。
傅里叶变换的基本原理是将信号在频域上进行分解，得到信号的频谱信息。
2. 小波变换：小波变换是一种将时域信号转换为时频域信号的数学方法。
它通过将信号分解为一系列小波基函数的线性组合来表示。
小波变换的基本原理是将信号在时频域上进行分解，得到信号的时频特性。
二、分辨率1. 傅里叶变换：傅里叶变换在频域上具有高分辨率，能够精确地表示信号的频谱信息。
但是，傅里叶变换无法提供信号在时域上的信息。
2. 小波变换：小波变换在时频域上具有高分辨率，能够提供信号在时域和频域上的信息。
小波变换通过不同尺度的小波基函数对信号进行分解，可以获得信号的时频局部特征。
三、时频局部性1. 傅里叶变换：傅里叶变换将信号分解为一系列的正弦和余弦函数，其频谱信息是全局性的。
傅里叶变换无法提供信号在不同时间段的时频特性。
2. 小波变换：小波变换将信号分解为一系列的小波基函数，其时频信息是局部性的。
小波变换能够提供信号在不同时间段的时频特性，对于非平稳信号的分析具有优势。
四、应用场景1. 傅里叶变换：傅里叶变换广泛应用于信号滤波、频谱分析和图像处理等领域。
它能够准确地表示信号的频谱信息，对于周期性信号的分析效果较好。
2. 小波变换：小波变换广泛应用于信号压缩、边缘检测和非平稳信号分析等领域。
它能够提供信号在时频域上的局部特征，对于非平稳信号的分析效果较好。
五、小波变换与傅里叶变换的关系小波变换和傅里叶变换是相互关联的。
小波变换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它通过引入尺度参数，对信号进行了更精细的时频分析。
傅立叶变换与小波变换的比较
傅立叶变换与小波变换的比较傅立叶分析和小波分析都是数字信号处理中常用的基本方法。
它们俩的共同点，都是用一些基本的东西（fourier是用sin和cos，小波是用不同的wavelet，如haar）来组合出各种各样的函数。
傅立叶分析是联系时域（或者是空间域）与频率域的纽带，是一种纯频域的应用最为广泛的信号分析方法，它在频域具有完全准确的定位性，但在时域无任何分辨能力。
换句话说就是，傅立叶分析反映了整个信号全部时间内的整体频域特性。
小波分析，顾名思义，就是又小又波动的分析。
“小”是指它在时域都具有紧支集或近似紧支集，这使得小波母函数在时频域都具有较好的局部特征（紧密集中）；“波动”是指小波函数具有正负交替的波动性。
若要用一句话来概括二者，可大致描述为：傅立叶分析是一种能在频域对信号进行准确分析的高效方法，小波则是针对傅立叶分析在时域上的不足而提出的，可以局部集中地在时频域对信号进行分析的方法。
通俗地说，傅立叶能联系空间（时间）域和频率域，但是不能有尺度的变化，另外，它对于频率域上反转对应回时域的某处却缺乏相应的处理能力，这是它的缺点。
也就是说，它可以告诉你，信号中的哪个频率高，但是无法告诉你具体高多少，哪个位置高，为什么这么高，却不能立刻告诉你。
小波就不一样了，具有多尺度特性，可以把频率强度和位置（时刻）联系起来，一定程度上解决了傅立叶分析分析的缺点。
小波分析已经在很多信号分析领域取得了出色的应用。
这并不是说小波分析方法可以替代傅立叶分析分析方法。
如果是单纯进行频率域上面的分析就没有必要使用小波分析方法，使用傅立叶方法更简单，效果也更好。
其实如果仅仅是为了简单的用一用小波的话，只要知道数字滤波器是怎么回事就会做小波分析了。
简单的说，在普通工程应用中，小波分析就是对一个序列做一次滤波就完了，只不过它这个滤波不一定是为了平滑减噪之类的，它滤波的结果在不同领域有不同的用途，比如说在语音信号压缩领域，就是利用它滤波以后，有很多0这样一个特点来达到压缩的目的，在信号奇异性检测领域，就是利用它滤波之后，原来的信号有突变的地方，滤波结果是一个较大的值，而没有突变的地方，滤波结果是接近于0的值，不过原本小波分析和傅立叶分析一样，都是很复杂的数学分析，只不过Mallet这个人通过一些方法证明了这个分析可以通过一个简单的滤波操作来完成，所以以后的工程应用中只要直接滤波就行了。
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换区别与联系
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换区别与联系摘要：一、引言二、傅里叶变换1.定义及原理2.应用领域三、短时傅里叶变换1.定义及原理2.特点及优势3.应用领域四、小波变换1.定义及原理2.特点及优势3.应用领域五、区别与联系1.数学基础2.分析粒度3.应用场景六、结论正文：一、引言在信号处理、图像处理等领域，傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换是三种常用的分析方法。
它们在许多方面具有相似之处，但也存在一定的区别。
本文将详细介绍这三种变换的定义、原理、特点、优势和应用领域，并分析它们之间的区别与联系。
二、傅里叶变换1.定义及原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
其基本原理是将信号分解成一组不同频率的正弦波和余弦波之和。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱成分，从而了解信号的频率特性。
2.应用领域傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。
例如，在图像处理中，傅里叶变换可用于去噪、边缘检测和特征提取等任务。
三、短时傅里叶变换1.定义及原理短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）是一种时频分析方法。
它将信号划分为多个时间窗口，并对每个窗口进行傅里叶变换。
通过短时傅里叶变换，我们可以得到信号在各个时间段的频谱特性。
2.特点及优势与傅里叶变换相比，短时傅里叶变换具有以下特点和优势：- 分析粒度更细：短时傅里叶变换能够在局部时间范围内分析信号，更好地捕捉到信号的瞬时特征。
- 抗噪声性能强：短时傅里叶变换通过对信号进行分段处理，降低了噪声对整体分析结果的影响。
- 应用领域短时傅里叶变换广泛应用于语音处理、信号处理、图像处理等领域。
例如，在语音处理中，它可以用于语音特征提取、语音识别和语音合成等任务。
四、小波变换1.定义及原理小波变换是一种局部时频分析方法。
它将信号分解成一组不同尺度的小波函数，从而在时频域上同时进行分析。
小波变换具有较高的时间和频率分辨率，能够有效地分析非平稳信号。
小波变换与傅里叶变换的对比异同
小波变换与傅里叶变换的对比异同IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。
为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。
傅里叶变换与小波变换区别
傅里叶变换的特点：
对于数据信号的去噪,傅立叶变换是将信号完全的放在频率域中分析,但无法给出信号在每一个时间点的变化情况,无论信号在时间轴上任何一点产生突变,都将会影响到整个频域的信号。
因此,傅立叶变换不能有效的区分出信号中出现的尖峰是由突变部分还是不平稳白噪声引起的。
小波变换的特点
小波变换是以某些特定的函数为基,将数据信号展开成级数系列,它是空间(时间)和频率的局部变换,因此,小波变换可同时在时域和频域中对数据信号进行多尺度联合分析,从而能有效地从信号中提取信息。
对于数据信号的去噪,由于小波分析可以同时在时域和频域中对信号进行联合分析,并且它具有多尺度细化分析的功能。
因此,我们可以在不同的分解层上和不同的小波基函数下对信号的突变部分和噪声进行有效的区分,从而实现信号的消噪。
小波变换与傅里叶变换的区别和联系
小波变换与傅里叶变换的区别和联系小波变换（WaveletTransform）和傅里叶变换（FourierTransform）是现代信号处理领域的两种重要变换技术。
不论它们有哪些相似之处，这两种变换技术也在许多方面存在本质上的不同。
本文将通过对小波变换和傅里叶变换的综述介绍它们的区别和联系。
一、小波变换小波变换是一种信号处理的重要技术，它的基本思想就是将信号划分成瞬态信号和非瞬态信号，以提取瞬态信号中的特征，从而得到更丰富的信息。
它的实质是将时域的信号转换到时频域的信号，这样可以获取时域信号中隐藏的频率特性。
小波变换有两个主要优势：时间精度高和高分辨率。
它可以准确地定位信号变化的时间；而且，由于小波变换采用分段处理的方式，因此其分辨率更高。
二、傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform）是一种时域到频域的变换技术，它可以将时间域的信号转换到频域。
傅里叶变换可以精确地表示频域信号；它可以将平稳信号拆分成不同的频率分量，其变换结果是一个复数函数。
傅里叶变换最大的优势就是其时域到频域的变换非常有效。
傅里叶变换可以将频域信号简化到时域信号，从而可以快速计算出信号的频率特性。
三、小波变换与傅里叶变换的区别（1）小波变换是一种由瞬态信号构成的时频域变换，是将短时信号分解成多个小时间片，获取每个小时间片的频率特性；而傅里叶变换是一种将平稳信号从时域转换到频域的变换技术，它可以将信号拆分成不同的频率分量。
（2）傅里叶变换更侧重于精确表示频域信号；而小波变换更侧重于时精度和高分辨率。
（3）同时，小波变换和傅里叶变换可以获取信号的频率特性，但是它们获取信号的方式有很大不同。
四、小波变换与傅里叶变换的联系小波变换和傅里叶变换都可以获取信号的频率特性，因此，它们也具有一定的共性。
（1）小波变换和傅里叶变换都使用矩阵运算来进行计算，可以有效提高处理速度。
（2）通过比较两种变换技术的优劣，可以帮助使用者更好地选择合适的信号处理技术。
小波变换与傅里叶变换的对比与选择
小波变换与傅里叶变换的对比与选择在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换是两种常用的数学工具。
它们可以用来分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像和视频等。
虽然它们都是频域分析的方法，但是它们在处理信号时具有不同的特点和优势。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行对比，并讨论在不同情况下的选择。
首先，让我们来了解一下傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的方法。
它将信号表示为一系列正弦和余弦函数的和，这些正弦和余弦函数称为频谱成分。
傅里叶变换可以帮助我们理解信号中的频率成分，并且可以用于滤波、降噪和频谱分析等任务。
然而，傅里叶变换有一个明显的缺点，即它无法提供关于信号在时间上的局部特征的信息。
相比之下，小波变换是一种同时提供时域和频域信息的方法。
小波变换将信号分解为一系列不同尺度和位置的小波函数，这些小波函数可以表示信号的局部特征。
小波变换可以帮助我们捕捉信号中的瞬时变化和局部特征，对于非平稳信号的分析更具优势。
小波变换在图像处理、语音识别和压缩等领域有广泛的应用。
那么，在实际应用中，我们应该选择使用哪种变换方法呢？这取决于信号的性质和我们关注的问题。
如果我们只关心信号的频率成分，而不需要考虑信号的局部特征，那么傅里叶变换是一个简单而有效的选择。
例如，在音频信号的频谱分析中，傅里叶变换可以帮助我们确定音频信号中的主要频率分量，从而实现音乐识别和音频合成等任务。
然而，对于非平稳信号或需要考虑信号的局部特征的情况，小波变换更适合。
例如，在图像处理中，我们经常需要检测和分析图像中的边缘、纹理和细节等局部特征。
小波变换可以提供关于图像不同频率和不同位置的局部特征信息，从而帮助我们实现图像增强、边缘检测和纹理分析等任务。
此外，小波变换还具有多分辨率分析的特点。
通过选择不同尺度的小波函数，我们可以在不同的频率范围内对信号进行分析。
这种多分辨率分析可以帮助我们从不同的角度理解信号的特征。
例如，在语音识别中，我们可以使用小波变换来提取不同频率范围内的声音特征，从而提高语音识别的准确性。
小波变换与傅里叶变换的比较及应用优势
小波变换与傅里叶变换的比较及应用优势在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换都是常用的数学工具。
它们在不同的应用场景下发挥着重要的作用。
本文将比较小波变换和傅里叶变换的特点，并探讨它们各自的应用优势。
一、小波变换和傅里叶变换的基本原理小波变换是一种多尺度分析方法，它将信号分解成不同的频率成分，并提供了时间和频率的局部信息。
小波变换通过对信号进行多尺度分解和重构，可以有效地捕捉信号的瞬态特征。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，得到信号在不同频率上的振幅和相位信息。
傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频谱特性。
二、小波变换和傅里叶变换的比较1. 时间-频率分辨率小波变换具有良好的时间-频率分辨率特性。
它可以提供信号在不同时间和频率上的局部信息，能够更准确地定位信号的瞬态特征。
而傅里叶变换的时间-频率分辨率是固定的，无法提供信号的局部信息。
2. 多尺度分析能力小波变换通过多尺度分解和重构，可以将信号分解成不同频率成分，并提供每个频率成分的时间信息。
这使得小波变换在分析非平稳信号和瞬态信号时具有优势。
而傅里叶变换只能提供信号的频率信息，对于非平稳信号的分析能力较弱。
3. 时域和频域信息的平衡小波变换将时域和频域信息平衡地融合在一起，使得分析结果更加全面。
它可以提供信号的时域特征和频域特征，有助于更好地理解信号的性质。
而傅里叶变换只能提供信号的频域特征，无法提供时域信息。
三、小波变换和傅里叶变换的应用优势1. 信号处理小波变换在信号处理领域广泛应用。
它可以用于信号去噪、信号压缩、图像处理等方面。
小波变换的时间-频率分辨率和多尺度分析能力使得它在处理非平稳信号和瞬态信号时更加准确和有效。
2. 数据压缩小波变换在数据压缩领域有着重要的应用。
它可以将信号分解成不同频率成分，并根据各个频率成分的重要性进行压缩。
由于小波变换具有良好的时间-频率分辨率，它可以更好地保留信号的重要信息，实现更高效的数据压缩。
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·开发与创新·机电产品开发与创新Development ＆Innovation of M achinery ＆E lectrical P roductsVol．23,No．2Mar ．,2010第23卷第2期2010年3月0引言傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做展开式。
用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。
为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。
小波变换的主要算法则是由法国的科学StephaneMallat 在1988年提出。
他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat 算法[1]。
Inrid Daubechies ，Ronald Coifman 和Vic -tor Wickerhauser 等著名科学家把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。
例如，InridDaubechies 于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组（filter banks ）之间的内在关系[2]，使离散小波分析变成为现实。
在信号处理中，自从S.Mallat 和Inrid Daubechies 发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波在信号（如声音信号，图像信号等）处理中得到极其广泛的应用。
1傅里叶变换的伟大贡献及其局限性1807年，法国数学、物理学家傅立叶（Jean Bap -tistle Joseph Fourier ），提出任意一个周期为T =2π的函数f （t ）都可以用三角级数表示。
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。
她在各个领域产生了深刻的影响，得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。
其原因是，傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有傅里叶变换与小波分析的对比研究房永亮（包头轻工职业技术学院，内蒙古包头014045）收稿日期：2009－12－29作者简介：房永亮（1981-），男，本科，助教。
主要从事电子信息等领域的教学和科研工作。
摘要：小波是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具，是继110多年前的傅立叶(Joseph Fourier)分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。
本文先简单回顾傅里叶变换讨论其优缺点，然后讨论如何克服其缺点和引入窗口傅里叶变换，继而引入小波的基本概念，重点探讨在大多数情况下小波变换优于傅里叶变换的内在原因。
关键词：小波分析；傅里叶变换；加窗傅里叶变换中图分类号：O29文献标识码：Adoi:10.3969/j.issn.1002-6673.2010.02.009文章编号：1002－6673（2010）02－022－03The Comparative Study of Fourier Transform and Wavelet AnalysisFANG Yong-Liang（Baotou Light Industry Vocational Technical College ，Baotou Inner Mongolia 014035，China ）Abstract:Wavelet analysis,the mathmatical tool which has been developing in recent decades and are applied in many feilds like image pro -cessing and voice analysis etc.,is a great breakthrough after the analytic method of Joseph Fourier 110years ago.It bring about great impact on both triditional natural sciences and some new high-tech application technologies.In the following pages,I shall first give an review on fourier transformation.after that,we talk about the way we overcome its weakness and introduce the basic concepts of wavelet,followed by the introduction of window fourier transformation.The key point of this page is finding the internal reason why wavelet is better than fourier transformation under many situations.Key words:wavelet analysis ；fourier transform ；windowed fourier transform22·开发与创新·物理意义。
遗憾的是，这种理论具有一定的局限性：（1）傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间t变化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反地在处理非平稳信号时会带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。
在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。
硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差，低频的傅立叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。
（2）求傅立叶系数是全时间域上的加权平均。
局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来（好比吃大锅饭，平均主义）。
差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波都可以得到相同的频率，所以处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。
处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。
为了克服以上两点局限性，这就要求：①将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重；②使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或加窗傅立叶变换的窗函数。
2Garbor变换—窗口Fourier变换在时间—频率分析中，Fourier变换公式的不足已经被D.Garbor注意到了，在1946年的论文中，为了提取信号的Fourier变换的局部信息，引入了一个时间局部化的Gaussian函数作为“窗函数”g（t-b），其中参数b用于平移动窗以便覆盖整个时间域。
因为一个Gaus-sian函数的Fourier变换还是Gaussian函数，所以Fourier逆变换即频率也是局部的。
加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。
在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的Fourier变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。
若减小时间窗（减小a），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。
综上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。
3小波分析将时程函数f（t）表示为下面的小波级数：f（t）=∞j=-∞Σ∞k=-∞Σ<f，ψ軒j,k>ψj,k(t)=∞j=-∞Σ∞k=-∞Σd j,kψj,k(t)（1）ψj,k=ψ（2j t-k）（2）其中，ψ（t）—小波函数；d j,k—小波系数，且:d j,k=<f，ψ軒j,k>（3）由式（1）~（3）可以看到，小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标j，而且还有时间的指标k。
也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标j，在不同时刻k，小波系数也是不同的。
这样就克服了上面所述的第一个不足。
由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。
这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，从而克服了上面所述的第二个不足。
第三个不足，小波分析是如何克服的呢？通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积是:[b+at*-a△ψ，b+at*+a△ψ]×ω·a-1a△ψ⌒，ω·a+1a△ψ⌒⌒⌒（4）其中a=2-j，时间窗的宽度为2a△ψ，随着频率的增大（即j的增大）而变窄，随着频率的减小（即j的减小）而变宽，之所以有这样的结果，关键在于式（2）中，时间变量t前面乘了个“膨胀系数”2j。
小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。
根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。
如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。
然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。
再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推[3]。
为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要选好小波函数。
选择小波函数的“四项原则”。
在求小波系数式（3）中，如果ψ（t-k）是L2（IR）空间的正交基，则ψ軒j,k为ψj,k的复共轭。
小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。
小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少C'是连续。
由前面分析可知，小波函数必须具有紧支撑的性质。
所以，正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。
（下转第18页）23·开发与创新·如果选择某个小波函数，同时满足四项指标，为了进行小波分解与重构，“四合一”的小波函数不存在，数学家们“一分为四”，选择了四个函数，巧妙地解决了这些问题。
这四个函数是：尺度函数准，小波函数ψ，对偶尺度函数准軒，对偶小波函数ψ軒。
选择这四个函数的原因是小波变换的“时间—频率窗”的宽度，当检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。