全等变换
图形的全等变换
图形的全等变换1、 当对称轴平行时，两次翻折等于一次平移。
（平移的距离=对称轴间距离的2倍）。
2、 当对称轴相交时，两次翻折等于一次旋转。
（旋转角度=对称轴间夹角的2倍）。
3、 当对称轴互相垂直时，两次翻折等于一次中心对称。
三、轴对称1、 常见的轴对称图形及对称轴条数：线段（2）、角（1）、等腰三角形（1）、正n 边形(n)、矩形(2)、菱形(2)、圆(无数)。
2、相关定理：⑴、根据线段的轴对称性，有：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
⑵、根据角的轴对称性，有：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
⑶、根据等腰三角形的轴对称性，有：等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角上的角平分线“三线合一”。
⑷、根据等边三角形的轴对称性，有：在Rt △中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、典型例题⑴如图，在正方形ABCD 中，P 为AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，连接EF ，求证：DP=EF 。
⑵如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，求证：CF ⊥DE 。
A B C D EFP AB CD E F⑶如图，在四边形ABCD 中，DC ⊥BC 于C ，若AB=100，∠A=45°，∠DBA=75°，∠CBD=30°，求BC 的长。
⑷如图，正方形ABCD 中，BE 平分∠DBC ，CE=1，求AB 的长。
四、平移1、 相关定理：平行线间的平行线段相等。
推论：平行线间的距离处处相等。
2、 典型例题⑴如图，△ABC 是等边三角形，且DE ，EG ，DF 把它分成四个完全相同的等边三角形，试问：若把△ECF 看着是由△DFA 平移得到的，其平移的方向是 ，平移的距离是 。
⑵如图，△DEF 是由△ABC 沿MN 方向平移得到的，若∠A=60°，∠B=50°，AD=3，EF=4，则∠F= ，∠AOE= ，BE= ，EC= 。
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质相似变换和全等变换是初中数学中非常重要的概念，它们在几何图形的研究和解决问题中起着至关重要的作用。
了解它们的性质和特点，能够帮助我们更好地理解几何图形的变换过程，并能够应用于各种数学问题的解决中。
一、相似变换的性质相似变换是指在平面上进行的一种变换，通过等比例的缩放、平移、旋转或镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之相似的图形。
相似变换的性质如下：1. 边长比例相等：在相似变换中，两个相似图形的对应边的长度之比是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应边的长度之比为a:b，则可以表示为AB/aB = AC/aC = BC/bC。
2. 角度相等：在相似变换中，两个相似图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应角的度数相等，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积比例相等：在相似变换中，两个相似图形的面积之比等于对应边长的平方之比。
即若两个图形A和B相似，对应边长之比为a:b，则面积之比为A: B = (a^2:b^2)。
4. 直线平行：在相似变换中，图形中直线的平行性保持不变。
即如果两个图形A和B相似，那么其中的平行线段保持平行关系。
二、全等变换的性质全等变换也是一种平面上的变换，通过平移、旋转和镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之完全重合的图形。
全等变换的性质如下：1. 边长相等：在全等变换中，两个全等图形的对应边的长度是相等的。
即若两个图形A和B全等，则它们对应边的长度是完全相等的，可以表示为AB = aB = aC = BC。
2. 角度相等：在全等变换中，两个全等图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B全等，则对应角的度数是完全相等的，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积相等：在全等变换中，两个全等图形的面积是相等的。
若两个图形A和B全等，则它们的面积完全相等，可以表示为A = B。
4. 其他性质：全等变换还具有对称性、传递性和自反性等性质。
全等变换在小学数学中的体现
目录一、全等变换及其性质 (1)（一）全等变换的概念 (1)（二）全等变换的性质 (1)二、全等变换的基本分类 (1)（一）平移 (1)1. 平移的概念 (1)2. 平移的性质 (2)3. 关于平移的问题 (2)（二）旋转 (4)1. 旋转的概念 (4)2. 旋转的性质 (5)3. 关于旋转的问题 (5)（三）对称 (7)1. 对称的概念 (7)2. 对称的性质 (7)3. 关于对称的问题 (8)三、平移、旋转和对称之间的关系 (14)参考文献 (16)一、全等变换及其性质（一）全等变换的概念在《小学数学研究》一书中给出了全等变换的概念，即：一般的，如果在欧氏平面上定义的变换T，使得任意两点A，B和它们的象A'B'，总有AB=A'B'，则称T是全等变换，也称保距变换，或者合同变换。
这种图形运动也叫图形的刚体运动，即刚体运动所生成的变换是全等变换。
①而在《几何课程研究》一书中，则给出了更为简洁的定义，即：一个平面上得到其自身的变换f，如果对于平面上任意两点A,B,其距离ρ（A,B）总等于它们的对应点A'，B'间的距离ρ（A'，B'），那么f叫做平面上的全等变换。
②（二）全等变换的性质1.全等变换是一一变换；2.平面上所有全等变换的集合构成一个全等变换群；3.两直线的夹角不变；三角形的面积不变；平面图形的面积不变；直线上A、B、C三点的简比AC/BC不变；4.共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；5.直线变为直线、线段变为线段、射线变为射线，半平面变为半平面；6.两直线的平行性、正交性不变。
③二、全等变换的基本分类（一）平移1.平移的概念平移，也叫平移变换，是指平面到其自身的一种变换，它将平面上的任意一点P 变换到P'，满足：（1）射线PP'有给定的方向；（2）线段PP'有给定的长度。
其中，点P与P'就是一对对应点。
几何形的全等变换
几何形的全等变换几何学中的全等变换指的是通过一系列变换操作，使得一个图形与另一个图形完全重合。
全等变换是几何学中非常重要的内容，它有助于我们理解和分析各种几何形态，并在解决问题时提供了便利。
本文将介绍几何形的全等变换，包括平移、旋转、翻转和对称。
1. 平移：平移是指在平面上沿着某个方向将一个图形整体移动一定的距离。
平移保持原图形的形状和大小不变，只是位置发生了改变。
平移变换可用矢量表示，如向量AB表示从点A到点B的平移向量。
在平移过程中，所有点都按照相同的方向和距离移动。
2. 旋转：旋转是指围绕某个点为中心，按照一定的角度将一个图形旋转。
旋转变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向或朝向发生了改变。
旋转变换可用角度表示，如逆时针旋转θ度表示为Rθ。
在旋转过程中，图形中的所有点都按照相同的角度进行旋转。
3. 翻转：翻转是指将一个图形关于某条直线翻转，形成一个关于这条直线对称的新图形。
翻转变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向发生了改变。
翻转有两种形式：水平翻转和垂直翻转。
水平翻转可用词可矩阵表示，如对于点P(x, y)的水平翻转变换为(-x, y)。
垂直翻转同理可得。
4. 对称：对称是指将一个图形关于某个中心点进行对称，形成与原图形相似但相反方向的新图形。
对称变换保持原图形的形状和大小不变，只是方向或朝向发生了改变。
对称有两种形式：轴对称和中心对称。
轴对称是指围绕一条直线对称，中心对称是指围绕一个中心点对称。
几何形的全等变换在很多领域有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，平移变换用于设计建筑的布局和平面图的布置；旋转变换用于设计圆形的柱体和建筑物的旋转平面；翻转变换用于设计对称的立面和对称的建筑物；对称变换用于制作左右对称的室内控制装饰。
此外，全等变换在计算机图形学、模式识别等领域也得到了广泛应用。
通过运用全等变换，可以将一个图像或图形与另一个进行匹配，从而实现目标检测、图像配准等任务。
全等变换还被用来设计游戏角色和动画效果，增强视觉体验。
位似变换与全等变换的几何性质
位似变换与全等变换的几何性质几何变换是几何学中的重要概念，在形状保持不变的情况下，通过平移、旋转、镜像、位似变换和全等变换等操作来改变图形的位置和方向。
其中，位似变换和全等变换是常用的几何变换方式。
本文将重点探讨位似变换与全等变换的几何性质。
一、位似变换的概念与性质位似变换，又称为相似变换，是指通过等比例因子同时对图形进行平移、旋转和缩放，使得图形的形状和内部角度保持不变。
具体来说，对于图形ABC，若存在一个坐标变换矩阵T，使得任意点P(x, y)变换后的坐标为P'(x', y')，同时满足以下条件：1. P' = T(P)；2. 所有线段的长度比例相同，即AB/CD = BC/DE = AC/DF；3. 所有角度保持相等。
从以上性质可以看出，位似变换能够改变图形的大小、位置和朝向，但不改变其形状和内部角度关系。
这在很多几何问题中具有重要意义，比如类似三角形的判断和比较、计算图形长度和角度等。
二、全等变换的概念与性质全等变换，又称为同构变换，是指通过平移、旋转和镜像等操作将一个图形变换到与之完全相同的位置和形状。
对于图形ABC，若存在一个坐标变换矩阵T，使得任意点P(x, y)变换后的坐标为P'(x', y')，同时满足以下条件：1. P' = T(P)；2. 所有线段的长度相等，即AB = CD，BC = DE，AC = DF；3. 所有角度相等。
全等变换保持了图形的大小、位置、朝向以及形状和内部角度的关系，是一种更为严格和精确的几何变换方式。
全等变换在证明几何定理和解决几何问题时经常使用，尤其在三角形全等判定、证明以及线段长度的测量等方面有着重要的应用。
三、位似变换与全等变换的关系位似变换与全等变换之间存在一定的关系和差异：1. 相同点：位似变换和全等变换都能改变图形的位置和朝向，以及图形的大小。
2. 不同点：位似变换仅保持图形的形状和内部角度关系不变，全等变换则保持了所有的性质都不变。
几何变换全等
几何变换全等几何变换是几何学中研究的一种重要内容，它通过改变几何对象的位置、形状或者大小来获得新的几何对象。
而几何变换全等是指通过变换操作后的几何对象与原对象完全相同，即形状和大小都保持不变。
本文将从几何变换的基本概念入手，介绍几何变换全等的相关知识。
一、几何变换的基本概念几何变换是通过对几何对象的位置、形状或者大小进行操作，使得原对象发生改变。
常见的几何变换包括平移、旋转、翻转、放缩和错切等。
1. 平移平移是将一个几何对象沿着某个方向上的直线移动一定距离，保持移动前后的形状和大小不变。
平移通常用向量表示，具体操作是将每个点的坐标向某个方向平移一定距离。
平移变换可以通过向量的加法实现。
2. 旋转旋转是将一个几何对象围绕某个点进行旋转，使得原对象绕该点旋转一定角度后形状和大小保持不变。
旋转通常用旋转角度和旋转中心点来描述。
旋转变换可以通过坐标变换公式实现。
3. 翻转翻转是将一个几何对象围绕某条直线进行镜像翻转，使得原对象与翻转后的对象完全对称。
翻转通常有关于某条直线的翻转和关于某个点的翻转两种情况。
翻转变换可以通过坐标变换公式实现。
4. 放缩放缩是将一个几何对象的每个点都按照一定比例进行扩大或缩小，使得原对象与放缩后的对象大小发生改变，但形状保持不变。
放缩变换通常用比例因子来表示。
放缩变换可以通过坐标变换公式实现。
5. 错切错切是将一个几何对象的每个点按照一定规则进行拉伸，使得原对象发生形状的改变。
错切变换通常有平行于坐标轴的错切和斜向错切两种情况。
错切变换可以通过坐标变换公式实现。
二、几何变换全等的条件几何变换全等是指通过变换操作后的几何对象与原对象完全相同，即形状和大小都保持不变。
根据几何学的性质，几何变换全等需要满足以下条件：1. 平移全等当两个几何对象进行平移变换，并且平移的向量相同，则它们是平移全等的。
2. 旋转全等当两个几何对象绕同一点进行旋转变换，并且旋转的角度相同，则它们是旋转全等的。
6、全等模型汇总--陆老师
全等模型汇总编辑：陆老师2023.10.15【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常见模型】【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。
【常见模型】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。
寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
(通用)第一阶段7、图形变换及相似、全等
第七部分 图形变换与图形的全等、相似 图形变换一、轴对称：如果某个图形沿一条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.如果两个图形以一条直线为轴翻折，能够彼此重合，那么就说这两个图形成轴对称。
轴对称的特征：轴对称图形的对称轴垂直平分对称点的连线段；两个图形成轴对称，则这两个图形全等。
二、平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移的特征：平移后对应线段相等且平行或在一条直线上，对应角相等；对应点连线相等且平行或在一条直线上；图形的形状、大小不变。
三、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.旋转的特征：旋转时每个点都绕旋转中心旋转相同的角度；对应点到旋转中心的距离相等；图形的形状、大小不变。
四、中心对称：如果一个图形绕着某一定点旋转180°后能与自身重合，那么就称这个图形为中心对称图形；如果一个绕着某一定点旋转180°后能与另一个图形重合，那么就称这两个图形成中心对称.这个定点叫对称中心.中心对称的特征：成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
五、全等变换：能够完全重合的两个图形叫全等图形.一个图形经过平移、翻折、旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等.全等多边形的对应边相等、对应角相等。
六、位似变换：以一个定点为中心，将一个图形进行放大或缩小的变换，叫位似变换. 这个定点叫位似中心.【位似一定相似，相似不一定位似】【中考试题】：1、直线12+=x y 向下平移2个单位后的解析式是，再向右平移2个单位后的解析式是 .2、如图，O 是边长为1的正△ABC 的中心，将△ABC 绕点O逆时针方向旋转180°得△DEF ，则△DEF 与△ABC 重叠部分(图中阴影部分)的面积为 .3、如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3cm ，AC=5cm ，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于 cm .4、在同一坐标平面内，下列4个函数①,1)1(22-+=x y②,322+=x y ③,122--=x y ④1212-=x y 的图象不可能 由函数122+=x y 的图象通过平移、轴对称变换得到的是 (填序号).5、如图，矩形ABCO 中，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC 沿着AC 对折得到△AB ’C ，AB ’交y 轴于D 点，则点B ’的坐标为 .6、如图，将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后，得到△ADE ，则图中阴影部分的面积是 .7、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3.点D 是BC 边上一动点(不与B 、C 重合)，过点D 作DE ⊥BC交AB 于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处.当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 .8、如图，已知点C 为直线x y =上在第一象限内的一点，直线12+=x y 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，将直线AB 沿射线OC 方向平移23个单位，求平移后的直线的解析式.9、如图，在等边△ABC 内有一点D ，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转到点E ，则∠CDE 的正切值为 .10、如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将△PCD 绕P 点顺时针旋转60°后恰好D 点与A 点重合，得到△PEA ，连结EB .(1)判断△ABE 形状,并说明理由；(2)若AB=2，AD=33，求PE 的长.11、如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，AB=4.将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB 、CD 交于点G 、F ，AE 与FG 交于点O .(1)如图1，求证：A 、G 、E 、F 四点围成的四边形是菱形；(2)如图2，当△AED 的外接圆与△A 相切于点N 时，求证：点N 是线段BC 的中点；(3)在(2)的条件下，求折痕FG 的长.12、已知等腰△OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为)3,33(-，点B 的坐标为)0,6(-.(1)若△OAB 关于y 轴的轴对称图形是△''B OA ，请直接写出A 、B 的对称点''B A 、的坐标；(2)若将△OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数xy 36=的图象上，求a 的值；(3)若△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转30°时点B 恰好落在反比例函数xk y =的图象上，求k 的值.图形的全等一、定义：能够完全重合的两个图形，叫全等形；能够完全重合的两个三角形，叫全等三角形.二、识别：(1)三边对应相等(符号记为“S.S.S.”)；(2)两边和夹角对应相等(符号记为“S.A.S.”)；(3)两角和夹边对应相等(符号记为“A.S.A.”)；(4)两角和其中一个角的对边对应相等(符号记为“A.A.S.”)的两个三角形全等.特殊地，有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等.(记为“H.L.”) 三、性质：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.(2)全等三角形对应边上的中线、高分别对应相等，对应角的平分线对应相等； 全等三角形的周长相等，面积相等.【中考试题】：1、下列命题正确的是( )A.三个内角对应相等的两个三角形全等 B .有两边对应相等的两个直角三角形全等 C .一边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 D .一边相等的两个等腰三角形全等2、如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE;②BG=4GE;③CHD BHE S S ∆∆=;④∠AHB=∠EHD.其中正确的是 .3、如图，现给出五个等式①AD=BC;②AC=BD;③CE=DE;④∠D=∠C;⑤∠DAB=∠CBA ，请以其中两个为条件，另两个为结论，写出一个正确的命题.(写出已知、求证并证明)4、如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则EC 的长为 .5、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连结EF 、BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC .(1)求证：OE=OF ；(2)若BC=32，求AB 的长.6、如图，P 是等边△ABC 内的一点，连结P A 、PB 、PC 并以PB 为角的一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ .(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若P A :PB :PC=3:4:5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由。
初中数学知识点精讲精析 平面图形的全等变换
第五节平面图形的全等变换要点精讲1．全等图形的定义两个图形重叠在一起的时候，无论是顶点、边、角都与对应的顶点、边、角完全吻合，而且大小也要完全相同．2．图形重叠的方式（1）平行移动以固定的方向移动，也就是所谓的平行移动在平面上透过平行移动或垂直移动，使原对象的位置产生移动的现象．（2）旋转移动设一个定点为中心然后旋转，称为旋转移动，平面上透过旋转活动产生位移，而图形与所呈现的图像不变，只是观看的角度变得不一样．（3）翻转将平面图形翻转180°，使图形产生位移，此时图的形状并未改变，但图像会从原来的正面转为反面，可以透过从背面看或用镜子反射的方式进行翻转活动，让学生易于理解．相关链接1．在全等变换下，直线变为直线，线段变为线段，射线变为射线；两直线的平行性、垂直性，所成的角度都不变；共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；直线上A、B、C 三点的简比AC：BC不变．2．在全等变换下，三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变．典型解析1．如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了_______度．【答案】60．【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°．又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置．∴旋转角为60°．中考案例1．（2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，则点P 的坐标为__________．【答案】（﹣1，﹣1）．【解析】∵将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，∴△ABC 和△DEF 关于点P 中心对称． ∴连接AD ，CF ，二者交点即为点P ．由图知，P （﹣1，﹣1）．或由A （0，1），D （﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P 的坐标为（），即（﹣1，﹣1）．针对训练1．如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD 的周长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．将点A （－3，＋2）先沿轴向上平移5个单位，再沿轴向左平移4个单位得到点A ′，则点A ′的坐标是___________．3．如图，EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿AB 方向平移到△EBD 的位置，点D 在BC 上，已知△AEF 的面积为5，则图中阴影部分的面积为___________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 上，△ABO 是直角三角形，∠ABO=900，点B 的坐标为（－1，2），将△ABO 绕原点O 顺时针旋转900，得到△Al BlO ，则过A1, B 两点的直线解析式为___________．y x5．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是___________．6．如图，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=___________．7． 如图，直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是________．8．长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a 的值为______．参考答案3y x 32=+﹣1．【答案】C【解析】根据平移的基本性质作答．根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，故四边形ABFD的边长分别为AD=CF=1个单位，AB+BC+AC=8；AB+BC+CF+DF+AD=10．故其周长为10．2．【答案】（－7，3）【解析】根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵不变，上下移，纵坐标加减，横不变即可解的答案：∵点A（-3，-2）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点A′，∴A′的坐标是（－3－4，－2＋5），即：（－7，3）．3．【答案】10【解析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴EF：BC=1：2，∴S△AEF：S△ABC=1：4．∵△AEF的面积为5，∴S△ABC=20．∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD=5．∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10．4．【答案】y=3x＋5【解析】设A（a，0），∵点B 的坐标为（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5．∵∠ABO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5．即A（－5，0）．∵△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）．设过A1 、B 两点的直线解析式为y=kx＋b，则，解得．∴过A 、B 两点的直线解析式为y=3x＋5．5．【答案】19【解析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE．∵△ABC是等边三角形，BC=10，∴AC= BC=10．∴AE＋AD=AC=10．又∵旋转角∠DBE=600，∴△DBE是等边三角形．∴DE=BD=9．∴△AED的周长=DE＋AE＋AD=9＋10=19．6．【答案】70°【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∴∠A1OA=100°．又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．7．【答案】（﹣1，﹣2）或（5，2）．【解析】当y=0时，，解得x=2；当x=0时，y=3．∴点A（2，0），B（0，3）．∴OA=2，OB=3，根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，∴AO′=OA=2，O′B′=OB=3，①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2）．综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．8．【答案】12或15【解析】解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．此时，分两种情况：①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．则2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12；②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞40，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．则20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15．∴当n=3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．扩展知识认识和欣赏平移变换、旋转变换、轴对称变换在现实生活实际中的应用，学习运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合进行一定的图案设计（能画）．应用平移变换、旋转变换、轴对称变换将那些分散、远离的条件从图形的某一部位转移到适当的新位置上，得以相对集中，从而达到化繁为简、化难为易、巧妙解题的目的．。
中考几何图形全等变换探究
三角形中去 ， 因为已知 、 Ⅳ分 别是两边 的 中点 ， 我们 可 以考
虑用 三 角 形 中 位 线 定 理 来 添 辅 助线． 证明 连结 Ａ Ｃ， 取Ａ Ｃ 的 中 点 Ｆ， 再 连结 Ｆ Ｍ、 Ｆ Ｎ， 可 得
对称变换 （ 这里指 的是轴对 称变换 ） 是将 两个 几何 图形 中的一个 图形 看成 是另 一个 图形关 于某 条直 线为 对称轴翻折 １ ８ ０ 。 而得到 的． 用对称变换观点来证 明线段 相等 、 角相 等 、 三角形全等 ……这种 方法叫对称变换法． 例 １ 如图 １ ， 等腰直角 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， ＬＢ Ａ Ｃ为直 角 ， Ｄ 为其内部一点 ， 且 ＬＡ Ｂ Ｄ＝３ ０ 。 ， Ｂ Ｄ：Ｂ Ａ， 求证 ： Ａ Ｄ＝ Ｃ Ｄ ． 分析 由于等腰 直角 三角
形 可看 成 是 一 条 对 角 线 将 正 方
Ｆ Ｍ是 ＡＡ ＤＣ的 中位 线 ， 所 以
ＦＭ ／ ／ — ＣＤ
，
Ｎ
ｃ
１
厶 ＦＭ Ｎ ＝ ＣＰＮ．
图２
又 刚 是 ＡＡ Ｂ Ｃ的中位 线－ ． ． ． Ｆ Ｎ ÷Ａ Ｂ ， Ｆ Ｎ Ｍ＝
二
ＬＢ Ｑ Ｎ ． ‘ ． 。 Ａ Ｂ＝Ｃ Ｄ， ． ’ ． Ｆ Ｍ ：Ｆ Ｎ， Ｆ ＭＮ＝ Ｆ Ｎ Ｍ．
解： 将 ＡＡ Ｂ Ｃ 绕 点
整体 旋 转 １ ８ ０ 。 ， 如 图 ３所 示， 则 点 、 Ｅ、 Ｆ、 Ｇ、 Ｈ所处
的位 置 分 别 为 、 、 ， 、
Ｇ 、 Ｈ ， 三 个 四边 形 Ａ Ｂ ∞ 、
Ｂ Ｅ Ｆ ｃ
Ａ Ｅ Ｃ Ｅ 、 Ａ Ｆ Ｃ Ｆ 均 为 平 行 四
． ．
＝ｙ＋ ｚ ． ① 在 ＡＢ Ｃ Ｈ 中， ‘ ． ’ Ｆ Ｈ／ ／ Ｃ Ｈ ，
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1、观察图中的两个图案，左、右图案可以看做 是由什么“基本图案”经过怎样的变化形成的？
下面的图案可以看做是以一个什么图案为 “基本图案”形成的？试试用两种方法分 析它的 形成过程。
欣
赏
可以先将甲图案绕图上的 A 点旋转，使得图 案被“扶直”，然后，在沿 AB 方向将所得 图案平移到 B 点位置，即可得到乙图案．
乙 甲
B
A
在上图中，还可以用什么方法把甲图 案变成乙图案？
乙 甲
B
A
如图，怎样将右边的图案变成左 边的图案？
下图是由三个正三角形拼成的， 它可以看做上游其中一个三角形 经过怎样的变化而得到的？
下图由四部分组成， 每部分都包括两个 小“十字”。 红色部分能经过适 当的旋转得到其他 三部分吗？能经过 平移吗？能经过轴 对称吗？还有其他 的方式吗？
旋 转 先平移后旋转
平 移 轴对称后旋转
你能将图中的左 图通过平移或旋 转得到右图吗？
例１怎样将图中的甲图案变成乙图案？
乙
甲
B
A
解：