2020年中考数学《反比例函数》总复习题及答案解析 (7)
2020人教版中考数学《反比例函数》专题及答案详解
k
y=
8. 如图，已知 A 为反比例函数
x （ x <0）的图像上一点，过点 A 作 AB ⊥ y 轴，垂足为 B.
若△ OAB 的面积为 2，则 k 的值为（
）
A.2
B. -2
C. 4
D.-4
y
A
B
O
x
【答案】 Dy
-6
O
x
【解析】如图，∵ AB ⊥ y 轴， S△ OAB ＝ 2，而 S△OAB 4．故选 D．
是（ ）
A ．9
B． 12
C． 15
D ． 18
y
B
C'
D
A'
C
AO
x
【答案】 C 【解析】取 AB 的中点（－ 1， 3），旋转后 D（ 3， 5）∴ k＝ 3×5＝15，故选 C.
9. 如图 ,在平面直角坐标系中等腰直角三角形 ABC 的顶点 A,B 分别在 x 轴 ,y 轴的正半轴上 ,∠ k
【答案】 B
第9题
k
k
【解析】由题意知 S1= 2 ，S△ BOE=S△ COF= 2 ,因为 S2=S△ BOE-S△ OME,S3=S △ COF-S△
OME ，所以 S2＝S3，所以选 B。 1 4．将 y 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得图象如图（ 3）．则所 x 得图象的解析式为（ ）
）．
A. x ＜－ 1 x＞2
B. － 1＜x＜ 0
C. x ＜－ 1 或 0＜x ＜2
D.－1＜ x＜ 0 或
y
A
2
2
x
-1 O -1 B
【答案】 C． m
【解析】由图象得，不等式 kx＋ b＞ x 的解集是 x＜－ 1 或 0＜ x＜ 2，故选 C．
2020年中考数学试题《反比例函数》试题精编含答案
2020年中考数学试题《反比例函数》试题精编含答案1．（2020•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．（1）求反比例函数y＝（k≠0，x＞0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的表达式；（2）求△AOB的面积．2．（2020•德阳）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．（1）求a，b的值．（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．3．（2020•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC＝3．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△CDE的面积．4．（2020•盘锦）如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C．（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．5．（2020•赤峰）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．6．（2020•河池）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是．（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是．（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是．（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是．7．（2020•广州）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．8．（2020•大庆）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB 的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．9．（2020•雅安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．10．（2020•昆明）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．11．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD ⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．12．（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为C，且BC＝AC．（1）求点A的坐标；（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．13．（2020•玉林）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？14．（2020•呼和浩特）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．x…﹣2﹣1012…y1…12111098…（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；（2）设反比例函数y2＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O 为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．15．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求▱OABC的周长．16．（2020•郴州）为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若1＜x1＜x2，则y1y2；若x1•x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？17．（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．18．（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…12442m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．19．（2020•黄冈）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y 轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB＝，tan∠DOB＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）当S△ACO＝S△OCD时，求点C的坐标．20．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．21．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．22．（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求四边形ABOC的面积．23．（2020•天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；（3）在y轴上取点P，使PB﹣P A取得最大值时，求出点P的坐标．24．（2020•咸宁）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）△AOB的面积为；（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．25．（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．26．（2020•攀枝花）如图，过直线y＝kx+上一点P作PD⊥x轴于点D，线段PD交函数y ＝（x＞0）的图象于点C，点C为线段PD的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，3）．（1）求k、m的值；（2）求直线y＝kx+与函数y＝（x＞0）图象的交点坐标；（3）直接写出不等式＞kx+（x＞0）的解集．27．（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．28．（2020•临沂）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝4Ω时，I＝9A．（1）写出I关于R的函数解析式；（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；R/Ω……I/A……（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？29．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A （1，4）和点B（n，2）．（1）m＝，n＝；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为．30．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x ＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．31．（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．32．（2020•南京）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1）．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组解：解不等式①，得．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．33．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．（1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．34．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．（1）m＝，点C的坐标为；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．35．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A （3，a），点B（14﹣2a，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．36．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．37．（2020•凉山州）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．38．（2020•济宁）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．（1）y关于x的函数关系式是，x的取值范围是；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．39．（2020•聊城）如图，已知反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直线y＝ax+b的表达式；（2）在x轴上有一点P使得△P AB的面积为18，求出点P的坐标．40．（2020•乐山）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y＝上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B（1，a）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．1．【解答】解：（1）将点A（1，5）代入y＝（k≠0，x＞0）得：5＝，解得k＝5，故反比例函数的表达式为：y＝，将点B（m，1）代入y＝得：m＝5，故点B（5，1），将点A（1，5），B（5，1）代入y＝ax+b得，解得，故一次函数表达式为：y＝﹣x+6；（2）由一次函数y＝﹣x+6可知，D（0，6），则△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积＝6×5﹣＝12．2．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A 的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，2），B（4，1），则有，解得．（2）过点P作直线PM∥AB，当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，设直线PM的解析式为y＝﹣x+n，由，消去y得到，x2﹣2nx+8＝0，由题意得，△＝0，∴4n2﹣32＝0，∴n＝﹣2或2（舍弃），解得，∴P（﹣2，﹣）．3．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴∠CAE＝45°，即△CAE为等腰直角三角形，∴AE＝CE，∵AC＝，即，解得：AE＝CE＝3，在y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1，∴A（﹣1，0），令y＝3，得到x＝2，∴OE＝2，CE＝3，∴C（2，3），∴k＝2×3＝6，∴反比例函数表达式为：，（2）联立：，解得：x＝2或﹣3，当x＝﹣3时，y＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣3，﹣2），∴S△CDE＝×3×[2﹣（﹣3）]＝．4．【解答】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵CD⊥OB，∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝∠CBD+∠DCB＝90°，∴∠ABO＝∠DCB，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝3﹣2＝1，∴C点的坐标为（3，1），∴k＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为：；（2）设P（，m），∵CD⊥y轴，CD＝3，由△PCD的面积为3得：CD•|m﹣1|＝3，∴×3|m﹣1|＝3，∴m﹣1＝±2，∴m＝3或m＝﹣1，当m＝3时，＝1，当m＝﹣1时，＝﹣3，∴点P的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．5．【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，；理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而2+3＝5，∴能构成“和谐三数组”，故答案为：如；（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴+＝＝﹣，∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，∴x3＝﹣，∴＝﹣，∴+＝，∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝，y2＝，y3＝，∴＝，＝，＝，∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∴①+＝，∴+＝，∴m＝2，②+＝，∴+＝，∴m＝﹣4，③+＝，∴+＝，∴m＝﹣2，即满足条件的实数m的值为2或﹣4或﹣2．6．【解答】解：（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（2，3）；（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，﹣2）；（3）设反比例函数解析式为y＝，把B（2，3）代入得：k＝6，∴反比例函数解析式为y＝；（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，2）与C（1，﹣2）代入得：，解得：，则一次函数解析式为y＝﹣2x．故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y＝；（4）y＝﹣2x．7．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，∴k＜0，∴k﹣1＜0，∴﹣+＝+＝k+4+＝k+4+|k﹣1|＝k+4﹣k+1＝5．8．【解答】解：（1）设AE交x轴于M．由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，∵OM∥EB，∴△AMO∽△AEB，∴＝（）2＝，又△AEB的面积为6，∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝＝|k|，∴k＝﹣3，k＝3（舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣；（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，由题意得，，解得，，，又A在第二象限，点C在第四象限，∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N的坐标为（0，2），∴S△AOC＝S△CON+S△AON＝×2×（1+3）＝4．9．【解答】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴CD＝10，∴点C坐标是（﹣2，10），∵B（0，6），A（3，0），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+6．∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），∴m＝﹣20，∴反比例函数解析式为y＝﹣．（2）由解得或，∴E的坐标为（5，﹣4）．（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．10．【解答】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则，解得，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），设反比例函数表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，故反比例函数表达式为y＝，当x＝55时，y＝＜1，故一班学生能安全进入教室．11．【解答】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y＝的解析式为y＝，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．12．【解答】解：（1）由题意得：令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0，即ax﹣3a＝0，解得x＝3，∴点A的坐标为（3，0），故答案为（3，0）．（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：显然，CM∥OA，∴∠BCM＝∠BAO，且∠ABO＝∠CBO，∴△BCM∽△BAO，∴，即：，∴CM＝1，又即：，∴CN＝2，∴C点的坐标为（1，2），故反比例函数的k＝1×2＝2，再将点C（1，2）代入一次函数y＝ax﹣3a（a≠0）中，即2＝a﹣3a，解得a＝﹣1，∴当S△AOC＝3时，a＝﹣1，k＝2．13．【解答】解：（1）根据题意可得：y＝，∵y≤600，∴x≥1；（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：﹣＝0.2，解得：m＝﹣600（舍）或500，检验得：m＝500是原方程的根，答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．14．【解答】解：（1）根据表格中数据发现：y1和x的和为10，∴y1＝10﹣x，且当x＝0时，y1＝10，令y1＝0，x＝10，∴M（10，0），N（0，10）；（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，∵点A和点B都在反比例函数图象上，∴S△AOB＝S△AOM﹣S△OBM＝×10×（10﹣m）﹣×10×（10﹣n）＝30，化简得：n﹣m＝6，联立，得：x2﹣10x+k＝0，∴m+n＝10，mn＝k，∴n﹣m＝，则，解得：k＝16，∴反比例函数解析式为：，解x2﹣10x+16＝0，得：x＝2或8，∴A（2，8），B（8，2），∵（a，y2）在反比例函数上，（a，y1）在一次函数y＝10﹣x上，∴当a＜0或2＜a＜8时，y2＜y1；当0＜a＜2或a＞8时，y2＞y1；当a＝2或8时，y2＝y1．15．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，∴k＝12，∵四边形OABC是平行四边形，∴AM＝MC，∴点M的纵坐标为2，∵点M在y＝的图象上，∴M（6，2）．（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）∴C（9，0），∴OC＝9，OA＝＝5，∴平行四边形OABC的周长为2×（5+9）＝28．16．【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，若x1•x2＝1，则y1＝y2．故答案为＞，＜，＝．（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．②由题意1+x+≤3.5，∵x＞0，可得2x2﹣5x+2≤0，解得：≤x≤2∴水池底面一边的长x应控制在≤x≤2的范围内．解法二：利用图象法，直接得出结论．17．【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6．18．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x ＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．19．【解答】解：过点B、A作BM⊥x轴，AN⊥x轴，垂足为点M，N，（1）在Rt△BOM中，OB＝，tan∠DOB＝．∵BM＝1，OM＝2，∴点B（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2，∴反比例函数的关系式为y＝；（2）∵S△ACO＝S△OCD，∴OD＝2AN，又∵△ANC∽△DOC，∴＝＝＝，设AN＝a，CN＝b，则OD＝2a，OC＝2b，∵S△OAN＝|k|＝1＝ON•AN＝×3b×a，∴ab＝①，由△BMD∽△CNA得，∴＝，即＝，也就是a＝②，由①②可求得b＝1，b＝﹣（舍去），∴OC＝2b＝2，∴点C（0，2）．20．【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，，解得，，∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），∴PQ＝﹣（2n﹣4），∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，∵﹣1＜0，∴当n＝1时，S最大＝4，答：△DPQ面积的最大值是4．21．【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×3×4+×3×2，＝9．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．22．【解答】解：（1）B（﹣1，﹣3）代入y＝得，m＝3，∴反比例函数的关系式为y＝；把A（﹣3，n）代入y＝得，n＝﹣1∴点A（﹣3，﹣1）；把点A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的关系式为：y＝﹣x﹣4；答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；（2）如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，∴S四边形ABOC＝S△BOM+S梯形ACMB，＝+×（1+3）×2，＝．23．【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4，∴|k|＝4，解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣，把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，a＝4，b＝8；答：a＝4，b＝8；（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞的解集为x＜﹣2或0＜x ＜8；（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，设直线A′B的关系式为y＝cx+d，则有，解得，，∴直线A′B的关系式为y＝﹣x+，∴直线y＝﹣x+与y轴的交点坐标为（0，），即点P的坐标为（0，）．24．【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2＝中，解得：m＝6，故反比例函数的解析式为y2＝；把B（a，﹣3）代入y2＝，解得a＝﹣2，故B（﹣2，﹣3），把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，得，解得：，故一次函数解析式为y1＝x﹣2；（2）如图，设一次函数y1＝x﹣2与x轴交于点C，令y＝0，得x＝4．∴点C的坐标是（4，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×4×1+×4×3＝8．故答案为8；（3）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞6时，直线y1＝kx+b落在双曲线y2＝上方，即y1＞y2，所以y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6．25．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），∴m＝4，∴k＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数解析式为：y＝﹣；（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），∴y＝x+5﹣b，∵平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，∴x+5﹣b＝﹣，∴x2+（5﹣b）x+4＝0，∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，解得b＝9或1，答：b的值为9或1．26．【解答】解：（1）∵C′的坐标为（1，3），代入y＝（x＞0）中，得：m＝1×3＝3，∵C和C′关于直线y＝x对称，∴点C的坐标为（3，1），∵点C为PD中点，∴点P（3，2），将点P代入y＝kx+，∴解得：k＝；∴k和m的值分别为：3，；（2）联立：，得：x2+x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍），∴直线y＝kx+与函数y＝（x＞0）图象的交点坐标为（2，）；（3）∵两个函数的交点为：（2，），由图象可知：当0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上面，∴不等式（x＞0）的解集为：0＜x＜2．27．【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，∵A（3，4），∴OE＝3，AE＝4，∴，∵四边形OABC是菱形，∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，∴EF＝AB＝5，∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，∴B（8，4）．设过B点的反比例函数解析式为，把B点坐标代入得，k＝32，∴反比例函数解析式为；（2）∵OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBF+∠DBF＝90°，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠OBF＝∠BDF，又∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF～△BDF，∴，∴，解得，DF＝2，∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，∴D（10，0）．设BD所在直线解析式为y＝kx+b，把B（8，4），D（10，0）分别代入，得：，解得，，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．28．【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，∵R＝4Ω时，I＝9A∴9＝，解得k＝4×9＝36，∴I＝（R＞0）；（2）列表如下：R/Ω…3456891012…I/A…1297.26 4.54 3.63…（3）∵I≤10，I＝，∴≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在不低于3.6欧的范围内．29．【解答】解：（1）∵把A（1，4）代入y1＝（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y＝，∵把B（n，2）代入y＝得：2＝，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM＝|m|＝＝2，故答案为2．30．【解答】解：（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∴∠AOE＝∠AEO，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．31．【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝，得：m＝2，∴y＝，当y＝﹣1时，x＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得：，解得，∴y＝x+1；∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），设P（m，0），则PC＝|﹣1﹣m|，∵S△ACP＝•PC•y A＝4，∴×|﹣1﹣m|×2＝4，解得m＝3或m＝﹣5，∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．32．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；（2）解不等式组解：解不等式①，得x＜1．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为0＜x＜1，故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．33．【解答】解：（1）如图，∵点A（a，6）在反比例函数y＝的图象上，∴6a＝12，∴a＝2，∴A（2，6），把A（2，6）代入一次函数y＝x+b中得：＝6，∴b＝3，∴该一次函数的解析式为：y＝x+3；（2）由得：，，∴B（﹣4，﹣3），当x＝0时，y＝3，即OC＝3，∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO＝＝9．34．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），∴m＝＝6，∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．∴C（2，0）；故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，），C（2，0）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；∵点D为线段AB上的一个动点，∴设D（x，x﹣）（0＜x≤4），∵DE∥y轴，∴E（x，），∴S△ODE＝x•（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．35．【解答】解：（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y＝；（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，△ACD的面积＝×CD•x A＝×12×3＝18．36．【解答】解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2，4），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，故反比例函数表达式为：y＝﹣②；（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），设y＝x+5交x轴于点C，令y＝0，则x+5＝0，∴x＝﹣10，∴C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AM OC•BN＝．37．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．38．【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，∴xy＝2，∴xy＝4，∴y关于x的函数关系式是y＝，x的取值范围为x＞0，故答案为：y＝，x＞0；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，∴△＝（3+a）2﹣16＝0，解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），故此时a的值为1．39．【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，故反比例函数表达式为：y＝﹣，将点B的坐标代入上式并解得：m＝﹣6，故点B（1，﹣6），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得，故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；（2）连接AP、BP，设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，则S△P AB＝PE•CA+PE•BD＝PE PE＝PE＝18，解得：PE＝4，故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．40．【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣2）代入，得k＝4，即，将B（1，a）代入，得a＝4，即B（1，4），设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（﹣2，﹣2）、B（1，4）代入y＝mx+n，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+2；（2）∵A（﹣2，﹣2）、B（1，4），∴，∵，∴．。
2020年中考二轮复习：反比例函数实际应用题专题复习(含答案解析)
2020年中考二轮复习：实际问题与反比例函数专题复习一．解答题（共20小题）1．已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？2．教室时的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）怡萱同学想接不低于50℃的水，在一轮开机到关机过程中，请问有多长时间能满足这位同学的水温需求？3．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）请求出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”不能驾车上路，参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天最早几点驾车去上班？请说明理由．4．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的表达式；（2）当气球内的气压大于150kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？5．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当R＝10Ω时，求电流I（A）．6．一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间成反比例函数关系，其图象如图所示．（1）求V与t之间的函数表达式；（2）若要2h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？（3）如果每小时排水量不超过4000m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？7．夏天，小明家的饮水机将温控器设置为加热时的温度最高为98℃，保温时的温水最低温度为33℃．接通电源后进入自动程序，加热到98℃时停止加热，水温开始下降，直至水温降至33℃，饮水机即刻自动进入加热程序，重复上述自动程序．若在水温为33℃时小明接通了电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系（部分图象）如图所示，依据图象回答下列问题：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）接通电源后，若小明准备用不低于91℃的水沏茶，请问他可用水的时间有多长？（不考虑其它因素）8．某闭合电路中，其两端电压恒定，电流I（A）与电阻R（Ω）图象如图所示，回答问题：（1）写出电流I与电阻R之间的函数解析式；（2）若允许的电流不超过4A时，那么电阻R的取值应该控制在什么范围？9．某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？10．某小学为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）与通电时间x（分）的关系如下图所示，回答下列问题：（1）当0≤x≤8时，求y与x之间的函数关系式；（2）求出图中a的值；（3）某天早上7：20，李优老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在8：00上课前能喝到不超过40℃的温开水，问：他应在什么时间段内接水？11．某中学为了预防流行性感冒，对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例．药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物6min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为4mg，（1）写出药物燃烧前后，y与x之间的函数表达式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生方能回到教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2mg且持续时间不低于9min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？12．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．（1）直接写出v与t的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．13．去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待．经调查发现，同学的舒适度指数y 与等待时间x（分）之间存在如下的关系：y＝，求：（1）若等待时间x＝5分钟时，求舒适度y的值；（2）舒适度指数不低于10时，同学才会感到舒适．函数y＝的图象如图（x＞0），请根据图象说明，作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间？14．为了预防“流感”，某学校在休息日用“药熏”消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米的含药量y（毫克）与时间x（时）成正比例；药物释放结束后，y与x成反比例；如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数解析式；（2）据测定，当药物释放结束后，每立方米的含药量降至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多长时间，学生才能进入教室？15．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；（2）求图中t的值；（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？16．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这一函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）17．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？18．如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y＝（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．19．六•一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2＝6（单位：平方米）．OG＝GH＝HI．（1）求S1和S3的值；（2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP＝2米，NQ＝3米．问一共能种植多少棵花木？20．月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．2020年中考二轮复习：实际问题与反比例函数专题复习参考答案与试题解析1．已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？【分析】（1）反比例函数经过点（10，4），代入反比例函数式，即可求得函数解析式．（2）I≤8时，根据反比例函数的单调递减性质，求电阻R的范围．【解答】解（1）设反比例函数表达式为I＝（k≠0）将点（10，4）代入得4＝∴k＝40∴反比例函数的表达式为（2）由题可知，当I＝8时，R＝5，且I随着R的增大而减小，∴当I≤8时，R≥5∴该用电器的可变电阻至少是5Ω．2．教室时的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）怡萱同学想接不低于50℃的水，在一轮开机到关机过程中，请问有多长时间能满足这位同学的水温需求？【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．【解答】解：（1）观察图象，可知：当x＝7（min）时，水温y＝100（℃）当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，，得，即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，当x＞7时，设y＝，100＝，得a＝700，即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y＝，∴y与x的函数关系式为：y＝；（2）当y＝30时，x＝，y与x的函数关系式每分钟重复出现一次，将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，将y＝50代入y＝，得x＝14，∵14﹣2＝12，﹣12＝（分钟），∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待min．3．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）请求出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”不能驾车上路，参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天最早几点驾车去上班？请说明理由．【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；（2）根据题意得出y＝20时x的值进而得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y＝kx，则150＝1.5k，解得：k＝100，故y＝100x，当1.5≤x时，设函数关系式为：y＝，则a＝150×1.5＝225，解得：a＝225，故y＝（x≥1.5），综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：y＝；（2）在中令y＝20得x＝11.25，21+11.25﹣24＝8.25（小时），所以第二天最早8点（15分）能驾车去上班．4．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的表达式；（2）当气球内的气压大于150kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？【分析】（1）根据温度＝气体的气压P×气体体积V，求温度，再确定P与V的函数关系式；（2）依题意P≤150，即P＝≤150，解不等式即可．【解答】解：（1）设P＝，将A（0.5，120）代入求出k＝60，∴P＝；（2）当P＞150KPa时，气球将爆炸，∴P≤150，即P＝≤150，解得V≥＝0.4（m3）．故为了安全起见，气体的体积应不小于0.4（m3）．5．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当R＝10Ω时，求电流I（A）．【分析】（1）根据电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设出I＝（k≠0）后把（4，9）代入求得k值即可；（2）将R＝10Ω代入上题求得的函数关系式后求得电流的值与4比较即可．【解答】解：（1）由电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设I＝（k≠0），把（4，9）代入得：k＝4×9＝36，∴．（2）当R＝10Ω时，I＝3.6A．6．一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间成反比例函数关系，其图象如图所示．（1）求V与t之间的函数表达式；（2）若要2h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？（3）如果每小时排水量不超过4000m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）利用t＝2代入进而得出V的值；（3）把V＝4 000代入V＝，求出答案．【解答】解：（1）设函数表达式为V＝，把（6，3000）代入V＝，得3000＝．解得：k＝18000，所以V与t之间的函数表达式为：V＝；（2）把t＝2代入V＝，得V＝9000，答：每小时的排水量应该是9 000 m3；（3）把V＝4 000代入V＝，得t＝4.5，根据反比例函数的性质，V随t的增大而减小，因此水池中的水至少要4.5 h才能排完．7．夏天，小明家的饮水机将温控器设置为加热时的温度最高为98℃，保温时的温水最低温度为33℃．接通电源后进入自动程序，加热到98℃时停止加热，水温开始下降，直至水温降至33℃，饮水机即刻自动进入加热程序，重复上述自动程序．若在水温为33℃时小明接通了电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系（部分图象）如图所示，依据图象回答下列问题：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）接通电源后，若小明准备用不低于91℃的水沏茶，请问他可用水的时间有多长？（不考虑其它因素）【分析】（1）根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题；【解答】解：（1）观察图象，可知：当0≤x≤6.5时，设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，，得，即当0≤x≤6.5时，y关于x的函数关系式为y＝10x+33，当6.5＜x＜时，设y＝，98＝，得a＝637，∴6.5＜x＜时，y关于x的函数关系式为y＝；（2）将y＝91代入y＝10x+33，得x＝5.8，将y＝91代入y＝，得x＝7，∵7﹣5.8＝1.2，∴若小明准备用不低于91℃的水沏茶，请问他可用水的时间有1.2min；8．某闭合电路中，其两端电压恒定，电流I（A）与电阻R（Ω）图象如图所示，回答问题：（1）写出电流I与电阻R之间的函数解析式；（2）若允许的电流不超过4A时，那么电阻R的取值应该控制在什么范围？【分析】（1）可设I＝，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入R＝6求得I的值即可．（2）限制的电流不超过4A，把I＝4代入函数解析式求得最小电阻值．【解答】解：（1）设I＝，由图中曲线过（3，2）点，所以2＝，解得k＝6，即函数关系式为I＝；（2）由I＝可知I＝4时，R＝1.5Ω，所以电阻应至少1.5Ω．9．某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？【分析】（1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于k的绝对值，由图可知1.8×5＝9，即可求出解析式．（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值．（3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出函数的范围．【解答】解：（1）由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y＝，把（5，1.8）代入关系式得1.8＝，∴k＝9，∴y＝，∴12﹣9＝3（万元）．答：首付款为3万元；（2）当x＝20时，y＝＝0.45（万元），答：每月应付0.45万元；（3）当y＝0.4时，0.4＝，解得：x＝，答：他至少23个月才能结清余款．10．某小学为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）与通电时间x（分）的关系如下图所示，回答下列问题：（1）当0≤x≤8时，求y与x之间的函数关系式；（2）求出图中a的值；（3）某天早上7：20，李优老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在8：00上课前能喝到不超过40℃的温开水，问：他应在什么时间段内接水？【分析】（1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得y与x的关系式；（2）将y＝20代入y＝，即可得到a的值；（3）要想喝到不超过40℃的开水，7：30加20分钟即可接水，一直到8：10；【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（0，20），（8，100）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为y＝10x+20；（2）当8≤x≤a时，设y与x之间的函数关系式为：y＝（k2≠0），将（8，100）代入y＝，得：100＝解得：k2＝800，∴当8≤x≤a时，y与x之间的函数关系式为：y＝；将（a，20）代入y＝，得：a＝40；（3）依题意，得：≤40，解得：x≥20．∵x≤40，∴20≤x≤40．∴他应在7：40～8：00时间段内接水．11．某中学为了预防流行性感冒，对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例．药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物6min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为4mg，（1）写出药物燃烧前后，y与x之间的函数表达式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生方能回到教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2mg且持续时间不低于9min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（6，4）代入即可，药物燃烧后，设出y与x之间的解析式（k2＞0）代入（6，4）即可；（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；（3）把y＝2代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与9进行比较，≥9就有效．【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为：y＝k1x（k1＞0）代入（6，4）为4＝6k1∴k1＝，设药物燃烧后y关于x的函数关系式为：（k2＞0）代入（6，4）为：4＝，∴k2＝24，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为：y＝x（0≤x≤6），药物燃烧后y关于x的函数关系式为：y＝（x＞6）；（2）令y＝中y≤1.6，得：x≥15，即从消毒开始，至少需要15分钟后学生才能进入教室；（3）把y＝2代入y＝x，得：x＝3，把y＝2代入y＝，得：x＝12，∵12﹣3＝9，所以这次消毒是有效的．12．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．（1）直接写出v与t的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．【分析】（1）利用时间t与速度v成反比例可以得到反比例函数的解析式；（2）①由客车的平均速度为每小时v千米，得到货车的平均速度为每小时（v﹣20）千米，根据一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，3小时后两车相遇列出方程，解方程即可；②分两种情况进行讨论：当A加油站在甲地和B加油站之间时；当B加油站在甲地和A加油站之间时；都可以根据甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）设函数关系式为v＝，∵t＝5，v＝120，∴k＝120×5＝600，∴v与t的函数关系式为v＝（5≤t≤10）；（2）①依题意，得3（v+v﹣20）＝600，解得v＝110，经检验，v＝110符合题意．当v＝110时，v﹣20＝90．答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t﹣（600﹣90t）＝200，解得t＝4，此时110t＝110×4＝440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t＝600，解得t＝2，此时110t＝110×2＝220．答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．13．去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待．经调查发现，同学的舒适度指数y 与等待时间x（分）之间存在如下的关系：y＝，求：（1）若等待时间x＝5分钟时，求舒适度y的值；（2）舒适度指数不低于10时，同学才会感到舒适．函数y＝的图象如图（x＞0），请根据图象说明，作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间？【分析】函数关系式y＝中，y代表舒适度指数，x（分）代表等待时间．（1）是已知x＝5，代入函数解析式求得y．（2）是已知y≥10，就可以得到关于x的不等式求的x的范围．【解答】解：（1）当x＝5时，舒适度y＝＝＝20；（2）舒适度指数不低于10时，由图象y≥10时，0＜x≤10所以作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待10分钟．14．为了预防“流感”，某学校在休息日用“药熏”消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米的含药量y（毫克）与时间x（时）成正比例；药物释放结束后，y与x成反比例；如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数解析式；（2）据测定，当药物释放结束后，每立方米的含药量降至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多长时间，学生才能进入教室？【分析】（1）药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（小时）成正比；药物释放完毕后，含药量y（毫克）与时间x（小时）成反比，用待定系数法可得函数关系式；（2）根据函数值为0.25，利用反比例函数即可得到自变量x的值．【解答】解：（1）药物释放过程中，y与x成正比，设y＝kx（k≠0），∵函数图象经过点A（2，1），∴1＝2k，即k＝，∴y＝x；当药物释放结束后，y与x成反比例，设y＝（k'≠0），∵函数图象经过点A（2，1），∴k'＝2×1＝2，∴y＝；（2）当y＝0.25时，代入反比例函数y＝，可得。
2020年中考数学 专题复习 反比例函数解答题(含答案)
2020年中考数学专题复习反比例函数解答题1.如图，在平闻直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B(0，7)，与反比例函数y=在第二象限内的图象相交于点A(﹣1，a)．(1)求直线AB的解析式；(2)将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；(3)设直线CD的解析式为y=mx+n，根据图象直接写出不等式mx+n≤的解集．2.如图，点A(，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数y=(x＞0)图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D(0，1)，连接AD，BD，BC．(1)求直线AB的表达式；(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2﹣S1．3.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A，与x轴交于点B(5，0)，若OB=AB，且S△OAB=．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．4.如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△ABC的面积．5.如图，已知函数（x>0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长．6.如图,已知直线l：y1=kx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点,与双曲线y2=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点.若点D的坐标为（4,1）,点E的坐标为（1,4）（1）分别直接写出直线l与双曲线的解析式：；（2）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点；（3）当y1＜y2时,直接写出x的取值范围．7.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A,C分别在坐标轴上,点B的坐标为（4,2）,直线y=﹣x+3交AB,BC于点M,N,反比例函数y=的图象经过点M,N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标．8.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为（0,3），点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．9.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的一个交点为A（-1，n）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若P是x轴上一点,且满足∠APO=45°,直接写出点P的坐标．10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx-1的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出点P的坐标．11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=kx-1（x>0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）求△BMN面积的最大值；（3）若MA⊥AB，求t的值．12.如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系A（-2，0）、B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；（2）将四边形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值．13.如图,反比例函y=kx-1(k<0)的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点,且BE=2AE,E(﹣1,2)．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接EF，求△BEF的面积．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD=5，tan∠COD=4/3．（1）求过点D的反比例函数的解析式；（2）求△DBE的面积；（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．15.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．参考答案1.解：(1))∵点A(﹣1，a)在反比例函数y=的图象上，∴a==8，∴A(﹣1，8)，∵点B(0，7)，∴设直线AB的解析式为y=kx+7，∵直线AB过点A(﹣1，8)，∴8=﹣k+7，解得k=﹣1，∴直线AB的解析式为y=﹣x+7；(2)∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y=﹣x﹣2，∴D(0，﹣2)，∴BD=7+2=9，联立，解得或，∴C(﹣4，2)，E(2，﹣4)，连接AC，则△CBD的面积=×9×4=18，由平行线间的距离处处相等可得△ACD与△CDB面积相等，∴△ACD的面积为18．(3)∵C(﹣4，2)，E(2，﹣4)，∴不等式mx+n≤的解集是：﹣4＜x＜0或x＞2．2.解：(1)由点A(，4)，B(3，m)在反比例函数y= (x＞0)图象上∴4=∴n=6∴反比例函数的解析式为y= (x＞0)将点B(3，m)代入y= (x＞0)得m=2∴B(3，2)设直线AB的表达式为y=kx+b∴解得∴直线AB的表达式为y=﹣；(2)由点A、B坐标得AC=4，点B到AC的距离为3﹣=∴S1=×4×=3设AB与y轴的交点为E，可得E(0，6)，如图：∴DE=6﹣1=5由点A(，4)，B(3，2)知点A，B到DE的距离分别为，3∴S2=S△BDE﹣S△ACD=×5×3﹣×5×=∴S2﹣S1=﹣3=．3.解：(1)如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B(5，0)，∴OB=5，∵S△OAB=，∴×5×AD=，∴AD=3，∵OB=AB，∴AB=5，在Rt△ADB中，BD==4，∴OD=OB+BD=9，∴A(9，3)，将点A坐标代入反比例函数y=中得，m=9×3=27，∴反比例函数的解析式为y=，将点A(9，3)，B(5，0)代入直线y=kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y=x﹣；(2)由(1)知，AB=5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB=PB时，∴PB=5，∴P(0，0)或(10，0)，②当AB=AP时，如图2，由(1)知，BD=4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP=BD=4，∴OP=5+4+4=13，∴P(13，0)，③当PB=AP时，设P(a，0)，∵A(9，3)，B(5，0)，∴AP2=(9﹣a)2+9，BP2=(5﹣a)2，∴(9﹣a)2+9=(5﹣a)2∴a=，∴P(，0)，即：满足条件的点P的坐标为(0，0)或(10，0)或(13，0)或(，0)．4.解：5.6.解：（1）∵直线l：y1=kx+b与双曲线y2=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点，点D的坐标为（4,1），点E的坐标为（1,4）,∴，，解得，，a=4，即直线l：y1=﹣x+5，双曲线y2=,故答案为：y1=﹣x+5，y2=；（2）由题意可得，化简，得x2+（m﹣5）x+4=0，∵直线l与双曲线有且只有一个交点,∴（m﹣5）2﹣4×1×4=0，解得，m=1或m=9∵m=1时,直线与双曲线的一个交点在第一象限,当m=9时，直线与双曲的一个交点在第三象限,双曲线y2=（a≠0，x＞0）∴m=1，即当m为1时,直线l与双曲线有且只有一个交点；（3）由图象可知,当0＜x＜1或x＞4时，y1＜y2，故答案为：0＜x＜1或x＞4．7.【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，∴M（2，2），把M的坐标代入y=得：k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）把x=4代入y=得：y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣×2×2﹣×4×1=4，由题意得： |OP|×AO=4，∵AO=2，∴|OP|=4，∴点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）．8.解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，∵AD=2DB，∴AD=AB=2，∴D（﹣3，2），把D坐标代入y=得：m=﹣6，∴反比例解析式为y=﹣，∵AM=2MO，∴MO=OA=1，即M（﹣1，0），把M与D坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=b=﹣1，则直线DM解析式为y=﹣x﹣1；（2）把y=3代入y=﹣得：x=﹣2，∴N（﹣2，3），即NC=2，设P（x，y），∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴（OM+NC）•OC=OM|y|，即|y|=9，解得：y=±9，当y=9时，x=﹣10，当y=﹣9时，x=8，则P坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）．9.【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在反比例函数y=﹣的图象上，∴n=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∵点A在一次函数y=kx﹣k的图象上，∴2=﹣k﹣k，∴k=﹣1，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1；（2）如图所示，当P与F重合时，AE=EF=2，此时P（1，0）；当P与G重合时，AE=EG=2，此时P（﹣3，0）．10.解：（1）∵点A（2，3）在y=mx-1上，∴m=6，∴反比例函数解析式为y=6x-1；又∵点B（﹣3，n）在y=6x-1上，∴n=﹣2，∴点B的坐标为（﹣3，﹣2），把A（2，3）和B（﹣3，﹣2）两点的坐标代入一次函数y=kx+b得2k+b=3,-3k+b=-2解得k=1,b=1，∴一次函数的解析为y=x+1．（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：S△ABP=0.5PC×2+0.5PC×3=5，解得：PC=2，所以，P（0，3）或（0，﹣1）．11.12.略13.14.解：15.解：。
2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》含答案
2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》1．如图，四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形，A（1，3），B（﹣3，﹣1），该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H，连接EC．（1）直接写出点C的坐标；（2）判断点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的内部还是外部；（3）求四边形ECHO的面积；（4）如果反比例函数的图象过点A，那么它是否一定过点D？请说明理由．解：（1）∵A、C关于原点对称，A（1，3），∴C（﹣1，﹣3）．（2）∵B、D关于原点对称，B（﹣3，﹣1），∴D（3，1），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，∵x＝1时，y＝﹣1，﹣12＜﹣1，∴点（1，﹣1.2）在直线CD的下方，∴点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的外部．（3）∵直线CD的解析式为y＝x﹣2，∴H（0，﹣2），F（2，0），∵E 、F 关于原点对称，∴E （﹣2，0），连接OC ，∴S 四边形ECHO ＝S △EOC +S △OHC ＝×2×3+×2×1＝4．（4）一定过点D ．理由：∵过点A （1，3）的反比例函数的解析式为y ＝，∵x ＝3时，y ＝1，∴D （3，1）也在反比例函数的图象上．2．如图，直线y 1═﹣x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝（x ＜0）的图象交于点P ，过点P ，作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC（1）求反比例函数y 2的解析式；（2）反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，1∴A（4，0），C（0，1），又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O是AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴P的坐标是（﹣4，2），将P（﹣4，2）代入y＝，得m＝﹣8，2＝﹣；即反比例函数的解析式为y2（2）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，如图，连接DC，与PB交于点E．∵四边形BCPD是菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，将x＝﹣8代入反比例函数解析式y＝﹣，得y＝1，∴D的坐标是（﹣8，1），即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，此时D的坐标是（﹣8，1）．3．如图，一次函数y 1＝﹣x +b 的图象与反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．已知：点B 的坐标为（，﹣2）．（1）求该反比例函数的解析式和点D 的坐标；（2）点M 在CA 延长线上，且AM ＝AC ，连接OM ，OB ，求△MOB 的面积．解：（1）∵反比例函数y 2＝（k ≠0）的图象经过点B （，﹣2）．∴k ＝﹣2×＝﹣3，∴反比例函数为y 2＝﹣；∵一次函数y 1＝﹣x +b 的图象经过点B （，﹣2），∴﹣2＝﹣×+b ，解得b ＝﹣1，∴y 1＝﹣x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1，∴D （0，﹣1）；（2）连接OM ，OB ， 解方程组，可得，，∴A （﹣3，1），B （，﹣2），∵直线AB ：y 1＝﹣x ﹣1，当y ＝0时，x ＝﹣，∴C（﹣，0），∴S△COD ＝S△BOD，∵MA＝AC，∴S△MAO ＝S△ACO，∴S△MOB ＝2S△AOD＝2××|y D|×|x A|＝2××1×3＝3．4．已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．解：（1）∵正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．∴2＝3a，2＝∴a＝，k＝6∴正比例函数表达式：y ＝x ，反比例函数的表达式：y ＝（2）BM ＝MD∵直线MN ∥x 轴，直线AC ∥y 轴∴四边形BDCO 是平行四边形且∠BOC ＝90°∴▱BDCO 为矩形∴BD ＝OC ＝3∵M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点∴mn ＝6即S △BMO ＝3∵S △AOC ＝OC ×AC ＝3，且S OADM ＝6∴S BDCO ＝S △AOC +S △BMO +S OADM ＝12且S BDCO ＝OC ×BO∴12＝3×OB∴OB ＝4∴n ＝4即m ＝∴BM ＝且BD ＝3∴DM ＝∴BM ＝DM5．如图，已知，点O 为坐标原点，点C 在x 轴的正半轴上．在▱AOCB 中，边AO ＝2，OC ＝4，∠AOC ＝60°，∠AOC 的角平分线交AB 于点D ．点P 从点O 出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD 方向移动：同时点Q 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OC 方向移动，连结QP ，BQ ，BP ，设移动时间t 秒．（1）求B ，D 两点的坐标；（2）若反比例函数y ＝（k ≠0）的图象的一个分支过点P ，且经过BQ 的中点，求k 的值；（3）当t 为何值时，△PQB 是直角三角形．解：（1）如图1中，作AH⊥OC于H．在Rt△AOH中，∵OA＝2，∠AOH＝60°，∴OH＝OA＝1，AH＝，∴A（1，），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝OC＝4，AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∵∠AOD＝∠DOC，∴∠AOD＝∠ADO，∴AO＝AD＝2，∴D（3，），B（5，）．（2）如图2中，设BQ的中点为T，作BM⊥x轴于M，TN⊥x轴于N．由题意P（t，t），BM＝，∵QT＝TB，TN∥BM，∴QN＝NM，∴TM＝BM＝，∵P、T在y＝上，根据横坐标与纵坐标的乘积相等可得T（t2，），∴（2t+5）＝t2∴3t2﹣2t﹣5＝0，∴t＝或﹣1（舍弃），∴T（，），∴k＝．（3）由题意P（t，t），Q（2t，0），B（5，），∴PB2＝（t﹣5）2+（t﹣）2，BQ2＝（5﹣2t）2+3，PQ2＝（t）2+（t）2，①当PB为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2＝（5﹣2t）2+3+（t）2+（t）2，解得t＝1或0（舍弃）．②当PQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（5﹣2t）2+3＝（t）2+（t）2，解得t＝4或．③当BQ为斜边时，（t﹣5）2+（t﹣）2+（t）2+（t）2＝（5﹣2t）2+3，解得t＝0（不合题意）综上所述，满足条件的t的值为1或4或．6．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以OB为对角线作正方形OABC，一次函数y＝kx+b的图象过A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过线段AB的中点M，点M的坐标为（3，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，点D是线段MN上一点，过点D 作DE⊥x轴于点E，连接OD，若△ODE的面积为S，求S的取值范围．解：（1）设A（a，b）∵OABC是正方形，OB为对角线∴B（2a，0）∵M（3，1）是AB的中点∴b＝2，a＝2∴解得：∴解析式y＝﹣x+4∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过M点∴m＝3×1＝3∴反比例函数解析式：y＝（2）∵反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N，∴∴x1＝1，x2＝3（舍去）∴N（1，3）设D（x，﹣x+4）∴S△ODE＝×x×（﹣x+4）＝﹣x2+2x（1≤x≤3）∴≤S△ODE≤27．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．8．如图所示，一次函数y＝kx+b交y轴于点D，交x轴于点E，且与反比例函数y＝的图象交于A（2，3）．B（﹣3，n）两点．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．（2）过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AF⊥y轴于点F，求四边形AFCB的面积S；（3）当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．．解：（1）∵点A（2，3）在y＝上，∴m＝6，∴y＝，∵B（﹣3，n）在y＝上，∴n＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），把A、B两点坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴y＝x+1．（2）连接CD．由题意F（0，3），D（0，1），C（﹣3，0），∴S△AFCB ＝S△ADF+S△CDF+S△BCD＝×3×2+×2×3+×2×3＝8．（3）观察图象可知，当kx+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2．故答案为x＜﹣3或0＜x＜2．9．如图：直线y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．（1）求m、k的值；（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，求点A'的坐标．解：（1）∵直线y＝x经过A（2，m），∴m＝2，∴A（2，2），∵A在y＝的图象上，∴k＝4．（2）设B（0，n），由题意：×（﹣n）×2＝2，∴n＝﹣2，∴B（0，﹣2），设直线AB的解析式为y＝k′x+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（3）当点O'恰好落在反比例函数y＝的图象上时，点A'的坐标（2+，2+2）．10．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（m，3），AB⊥x轴于点B，tan∠OAB＝，反比例函数y1＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）设直线OA的解析式为y2＝nx，请直接写出y1＜y2时，自变量x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞2 ．（3）如图2，若函数y＝3x与y1＝的图象的另一支交于点M，求△OMB与四边形OCDB的面积的比值．解：（1）在Rt △AOB 中，∵AB ＝3，∠ABO ＝90°，∴tan ∠OAB ＝＝，∴OB ＝4，∴点A （4，3），∵点C 是OA 中点，∴点C 坐标（2，），∵反比例函数y 1＝的图象的一支经过点C ，∴k ＝3，∴反比例函数解析式为y 1＝．（2）如图1，由反比例函数图象的对称性质得到点C 关于原点对称的C ′的坐标为（﹣2，﹣），结合图象得到：当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞2．故答案是：﹣2＜x ＜0或x ＞2．（3）由解得或， ∵点M 在第三象限，∴点M 坐标（﹣1，﹣3），∵点D 坐标（4，），∴S△OBM ＝×4×3＝6，S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ACD＝×4×3﹣×2×＝，∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比＝6：＝8：5．11．如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．（1）求a和b的值；（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．∴a＝﹣2．∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．将x＝0代入上式，得y＝2．∴b＝2．（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得∴．∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．如图1，连接BC、AD．∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC＝2．∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD＝4．∴BC⊥AD．＝×BC×AD＝×2×4＝4．∴S四边形ABDC（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时，如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．∵∠MCN＝90°，∴∠MCF+∠NCE＝90°．∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC+∠NCE＝90°．∴∠MCF＝∠ENC．又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM（AAS）．∴CF＝EN＝2，FM＝CE．∴FG＝CG+CF＝2+2＝4．∴x M＝4．将x＝4代入y＝，得y＝1．∴点M（4，1）；②当∠NMC ＝90°、MC ＝MN 时，如图3，过点C 作直线l ⊥y 轴与点F ，则CF ＝x C ＝2．过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，MG 交直线l 与点E ，则MG ⊥直线l 于点E ，EG ＝y C ＝2． ∵∠CMN ＝90°，∴∠CME +∠NMG ＝90°．∵ME ⊥直线l 于点E ，∴∠ECM +∠CME ＝90°．∴∠NMG ＝∠ECM ．又∵∠CEM ＝∠NGM ＝90°，CM ＝MN ，∴△CEM ≌△MGN （AAS ）．∴CE ＝MG ，EM ＝NG ．设CE ＝MG ＝n ，则y M ＝n ，x M ＝CF +CE ＝2+n ．∴点M （2+n ，n ）．将点M （2+n ，n ）代入y ＝，得n ＝． 解得n 1＝﹣1，n 2＝﹣﹣1（因为点M 在第一象限，所以n 大于0，所以舍去）． ∴x M ＝2+n ＝+1． ∴点M （+1，﹣1）．综合①②可知：点M 的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，﹣3）、B（6，0），且OA＝OB．（1）若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′（﹣3，3），B′（﹣6，0）；（2）若将△OAB沿x轴向左平移m个单位，此时点A恰好落在反比例函数y＝的图象上，求m的值；（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°（0＜α＜90）；①当α＝30时点B恰好落在反比例函数y＝的图象上，求k的值；②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，直接写出α的值，若不能，请说明理由．解：（1）∵△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称，且A（3，﹣3）、B（6，0），∴A'（﹣3，3），B'（﹣6，0）故答案为（﹣3，3），（﹣6，0）（2）∵将△OAB沿x轴向左平移m个单位，∴点A平移后的坐标为（3﹣m，﹣3）∴﹣3＝m＝5（3）①设点B逆时针旋转30°后对应点为B1．如图：过点B1作B1C⊥OB∵旋转∴OB1＝6，∠COB1＝30°∴B1C＝3，OC＝OB1＝3∴B1（3，3）∴3＝∴k＝9∴解析式为y＝②α＝60°如图2，过点A作AD⊥OB，∵A（3，﹣3）∴OD＝3，DA＝3∵tan∠BOA＝＝∴∠AOB ＝30°设点A 逆时针旋转60°后对应点为A 1．∴∠A 1OB ＝30°，且OA ＝OB ＝6＝OA 1．∴A 1（3，3）设点B 逆时针旋转60°后对应点为B 2．∴∠B 2OB ＝60°，且OB 2＝OB ＝6∴B 2（3，3） 当x ＝3时，y ＝＝3，当x ＝3时，y ＝＝3∴点A 1，点B 2在反比例y ＝的图象上 ∴将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转60°时，点A 、B 能同时落在反比例函数的图象上．13．阅读理解：若点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的相似特征点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的相似特征点．问题解决：在平面直角坐标系中，点M 是双曲线C ：y ＝（x ＞0）上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，在Rt △ONM 中，∠ONM ＝90°，点N （，0）点P 是△ONM 内一点，且∠PON ＝∠M ，NP ⊥OP ，垂足为P ，试说明点P 是△ONM 的相似特征点，并求出点P 的坐标；（2）如图3，点N 的坐标是（2，0）时，且∠MON ＝30°，连接MN ，求△MON 的相似特征点的坐标；（3）当△MON 无相似持征点时，请直接写出这两点M ，N 的坐标；（4）在△MON 中，点M 的横坐标为m （m ＞0），点N 的模坐标为n ，点P 在线段OM 上，且∠PNO ＝∠M ，试用含m ，n 的式子表示点P 的坐标．解：（1）∵∠PON＝∠M，∠OPN＝∠MNO＝90°，∴△OPN∽△MNO，∴点P是△MON的自相似点；如图2中，过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝tan∠OMN＝＝，∴∠POD＝∠OMN＝30°，∴OP＝ON×cos30°＝，∴OD＝OP cos30°＝，PD＝OP•sin30°，∴P（，）；（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：由题意点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM＝＝2，直线OM的解析式为y＝x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝ON＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝×1＝∴P（1，）；②如图4所示：由勾股定理得：MN＝＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴＝，即＝，解得：PN＝，即P的纵坐标为，代入y＝x得：＝x，解得：x＝2，∴P（2，）；综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2 ，0）；理由如下：∵M（，3），N（2，0），∴OM＝2＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．（4）如图5中，作PH⊥x轴于H，MF⊥x轴于F．∵M（m，），N（n，0），∴ON＝n，OM＝，∵∠PON＝∠ONP＝∠OMN，∴△ONP∽△OMN，∴ON2＝OP•OM，∴OP＝，∵PH∥MF，∴＝＝，∴PH＝，OH＝，∴P（，）．14．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝4，直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标解：（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形， ∴OA ＝BC ＝2，将y ＝2代入y ＝﹣x +3得：x ＝2， ∴M （2，2），把M 的坐标代入y ＝得：k ＝4， ∴反比例函数的解析式是y ＝；（2）把x ＝4代入y ＝得：y ＝1， 即CN ＝1，∵S 四边形BMON ＝S 矩形OABC ﹣S △AOM ﹣S △CON ＝4×2﹣×2×2﹣×4×1＝4， 由题意得：OP ×AM ＝4， ∵AM ＝2， ∴OP ＝4，∴点P 的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．15．已知点P 的坐标为（m ，0），点Q 在x 轴上（不与P 重合），以PQ 为边，∠PQM ＝60°作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝﹣的图象上．（1）如图所示，若点P 的坐标为（1，0），求出图中点M 的坐标；（2）当P （1，0）时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN ，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形PQ 1M 1N 1，并求点M 1的坐标；（3）随着m 的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，请直接写出点M 的坐标．解：（1）如图，∵四边形PQMN 是菱形， ∴PN ∥QM ，MN ∥PQ ， ∴∠OPN ＝∠PQM ＝60°， ∵P （1，0），∴OP ＝1，PN ＝PQ ＝MN ＝2OP ＝2，OM ＝OP ＝∴M （2，﹣）．（2）如下图中，∵四边形PQ 1M 1N 1是菱形， ∴Q 1P ＝Q 1M 1， ∵∠PQ 1M 1＝60°， ∴△PQ 1M 1是等边三角形， ∴∠Q 1PM 1＝60°， ∴直线PM 1的解析式为y ＝﹣x +，由解得或，∴M1（﹣1，2）．（3）如下图，当过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足条件的菱形只有3个．设直线PM1的解析式为y＝x+b，由，消去y得到：x2+bx+2＝0，由题意：△＝0，∴b＝±2，当b＝﹣2时，可得y＝x﹣2，由：，解得，∴M1（，﹣），由解得或，∴M2（+2，﹣2），M2（﹣2，+2），当b＝2时，同法可得满足条件的点M的坐标为（﹣，）或（﹣﹣2，2﹣）或（﹣+2，﹣2﹣）．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x ＞0，m≠0）的图象交于点C，与x轴、y轴分别交于点D、B，已知OB＝3，点C的横坐标为4，cos∠0BD＝（1）求一次函数及反比例函数的表达式；（2）将一次函数图象向下平移，使其经过原点O，与反比例函数图象在第四象限内的交点为A，连接AC，求四边形OACB的面积．解：（1）∵OB＝3，∴B（0，3），∵cos∠0BD＝，∴∠OBD＝45°，∴△OBD是等腰直角三角形，∴OD＝OD＝3，∴D（3，0），将点D，B代入y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+3；∴C（4，﹣1），∵点C在反比例函数y＝（x＞0，m≠0）的图象上，∴m＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；（2）由平移可得直线OA的解析式为：y＝﹣x，∴，解得：，，∴A（2，﹣2），过A 作AE ⊥x 轴交BC 于E ，则AE ＝OB ＝3，∴S 四边形OACB ＝S 四边形OAEB +S △ACE ＝OB •x A +AE •（x C ﹣x A ）＝3×2+（4﹣2）＝9．17．如图，在平面直角坐标系xOy 内，函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝（k ≠0）图象有公共点A ，点A 的坐标为（4，a ），AB ⊥x 轴，垂足为点B ． （1）求反比例函数的解析式；（2）点C 是第一象限内直线OA 上一点，过点C 作直线CD ∥AB ，与反比例函数y ＝（k ≠0）的图象交于点D ，且点C 在点D 的上方，CD ＝AB ，求点D 的坐标．解：（1）∵点A 在函数y ＝的图象上，点A 的坐标为（4，a ），∴a ＝2，∴点A 坐标为（4，2）．∵点A 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴2＝，解得k ＝8．∴反比例函数的解析式为y ＝． （2）∵AB ⊥x 轴，点A 坐标为（4，2）， ∴AB ＝2．∵点C 为第一象限内直线y ＝x 上一点，∴设点C坐标为（m，m）（m＞0）．又∵CD∥AB，且点D在反比例函数y＝的图象上，∴设点D坐标为（m，）．∵点C在点D的上方，可得CD＝m﹣．∵CD＝AB，∴m﹣＝×2，∴解得m＝8或m＝﹣2．∵m＞0，∴m＝8．∴点D的坐标为（8，1）．18．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（﹣，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得S△AOP ＝S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．解：（1）把A（﹣，1）代入反比例函数y＝，则k＝﹣，∴反比例函数y＝﹣；（2）设P（m，0），m＞0，从点A（﹣，1）的坐标，tan∠AOC＝，∴∠AOC＝30°，∵OA⊥OB，AB⊥x轴，∴∠ABO＝30°，∴OB＝2OC＝2，S△AOP＝•OP•AC＝m，S△AOB＝AO•BO＝×2＝2，S△AOP ＝S△AOB，∴m＝4，∴点P的坐标为（4，0）；（3）△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE，∴∠OBE＝60°﹣30°＝30°，如下图，连接OE，∵AB＝BE，BO＝BO，∠BOA＝∠BOE＝30°，∴△BOA≌△BOE，∴AO＝EO，而OA⊥OB，∴A、O、E在一条直线上，∴点E是点A关于原点的对称点，∴E（，﹣1），也在反比例函数上．19．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（1，3）．已知点A （3，0），B（0，2），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1与k2的值；（2）求直线PC的解析式；（3）直接写出线段AB扫过的面积．解：（1）将点P（1，3）代入直线y＝k1x得，k1＝3，将P（1，3）代入双曲线y＝得，k2＝1×3＝3，（2）∵A（3，0），B（0，2），∴AO＝3，BO＝2，由平移知，A'（4，3），B'（1，5），∵A'C∥y轴交双曲线于点C，∴C点的横坐标为1+3＝4，当x＝4时，y＝，∴C（4，），设直线PC的解析式为y＝kx+b，把点P（1，3），C（4，）代入得，，∴，（3）如图，延长A'C交x轴于D，过点B'作B'E⊥y轴于E，∴A'D＝3，B'E＝1，由平移得，△AOB≌△A'PB'，∴线段AB扫过的面积为S▱POBB'+S▱AOPA'＝BO×B'E+AO×A'D＝2×1+3×3＝11．20．如图，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，b）．点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，O为坐标原点．（1）求△OCD面积为时，点D的坐标；（2）求△OCD面积的最大值；（3）当△OCD面积最大时，以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵点B（3，b）在反比例函数y＝的图象上，∴3b＝3，∴b＝1，∴B（3，1），∵点B（3，1）在一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象上，∴3k﹣2＝1，∴k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，设点C的坐标为（m，m﹣2）（0＜m＜3），∵C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，∴D（m，），∴CD＝﹣（m﹣2）＝+2﹣m，＝CD•m＝（+2﹣m）×m＝﹣（m2﹣2m﹣3），∴S△OCD∵△OCD面积为，∴﹣（m2﹣2m﹣3）＝，∴m＝0（舍）或m＝2，∴D（2，），（2）由（1）知，S＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣（m﹣1）2+2，△OCD∵0＜m＜3，∴m＝1时，△OCD面积的最大值为2．（3）存在，理由：∵直线AB的解析式为y＝x﹣2，∴A（0，﹣2），∴OA＝2，由（1）知，B（3，1），∴OB＝＝由（2）知，m＝1，∴C（1，﹣1），D（1，3），∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＜OA＜OB＝OD，∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．∴2＜r≤．。
2020届中考数学压轴题专题：07 反比例函数问题【含解析】
2020届中考数学压轴题专题 专题07 反比例函数问题【典例分析】【考点1】反比例函数的图象与性质【例1】（2019·湖北中考真题）反比例函数3y x=-，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点(1,-3) B ．图象位于第二、四象限 C ．图象关于直线y=x 对称 D ．y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A 选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．【详解】解：由点()1,3-的坐标满足反比例函数3y x=-，故A 是正确的； 由30k =-<，双曲线位于二、四象限，故B 也是正确的；由反比例函数的对称性，可知反比例函数3y x=-关于y x =对称是正确的，故C 也是正确的， 由反比例函数的性质，0k <，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，故选：D ．【点睛】考查反比例函数的性质，当0k <时，在每个象限内y 随x 的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y x =和y x =-是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.【变式1-1】（2019·广东中考真题）若点1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(3,)C y 在反比例函数6y x=的图像上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．321y y y << B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．123y y y <<【答案】C【解析】根据点A 、B 、C 分别在反比例函数上，可解得1y 、2y 、3y 的值，然后通过比较大小即可解答. 【详解】解：将A 、B 、C 的横坐标代入反比函数6y x=上， 得：y 1＝－6，y 2＝3，y 3＝2， 所以，132y y y <<； 故选C.【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键.【变式1-2】（2019·湖南中考真题）如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2m y x=（m 为常数且0m ≠）的图象都经过()()1,2,2,1A B --，结合图象，则不等式mkx b x+>的解集是（ ）A ．1x <-B ．10x -<<C ．1x <-或02x <<D ．10x -<<或2x >【答案】C【解析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围便是不等式mkx b x+>的解集．【详解】解：由函数图象可知，当一次函数()10y kx b k =+≠的图象在反比例函数2my x=（m 为常数且0m ≠）的图象上方时，x 的取值范围是：1x <-或02x <<，∴不等式mkx b x+>的解集是1x <-或02x <<. 故选：C ．【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 【考点2】反比例函数k 的几何意义【例2】（2019·江苏中考真题）如图，已知A 为反比例函数ky x=（x <0）的图像上一点，过点A 作AB⊥y 轴，垂足为B ．若△OAB 的面积为2，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-4【答案】D【解析】设A 点坐标为(m ，n)，则有AB=-m ，OB=n ，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案.【详解】设A 点坐标为(m ，n)，则有AB=-m ，OB=n ， ∵S △ABO =12AB OB =2， ∴22mn-=， ∴mn=-4，又∵点A 在反比例函数ky x=(x <0)的图象上， ∴n=k m， ∴k=mn=-4， 故选D.【点睛】本题考查了反比例函数ky x=(k≠0)图象上点的坐标特征以及k 的几何意义，熟练掌握相关内容是解题的关键.【变式2-1】（2019·辽宁中考真题）如图，点A在双曲线y＝6x（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝kx（x＞0）经过点C，则k＝_____．【答案】2【解析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．【详解】解：连接OC，∵点A在双曲线y＝6x（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，∴S△OAB＝12×6＝3，∵BC：CA＝1：2，∴S△OBC＝3×13＝1，∵双曲线y＝kx（x＞0）经过点C，∴S△OBC＝12|k|＝1，∴|k|＝2，∵双曲线y＝kx（x＞0）在第一象限，∴k＝2， 故答案为2．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．【变式2-2】（2019·湖南中考真题）如图所示，在直角平面坐标系Oxy 中，点、、A B C 为反比例函数(0)ky k x=>上不同的三点，连接OA OB OC 、、，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，过点B C 、分别作,BE CF 垂直x 轴于点E F 、，OC 与BE 相交于点M ，记AOD ∆、BOM ∆、四边形CMEF 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则（ ）A ．123S S S =+B ．23S S =C ．321S S S >>D ．2123S S S <【答案】B【解析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到231S S S =<，即可得到结论． 【详解】解：∵点A B C 、、为反比例函数(0)ky k x=>上不同的三点， AD y ⊥轴， ,BE CF 垂直x 轴于点E F 、， ∴111,22BOE COF S k S S k ∆∆===， ∵0BOE OME C F OME S S S S ∆∆∆-=-， ∴231S S S =<，（故B 正确、故A.C 错误）∵22312313331()0S S S S S S S S S -=-=-＜∴2123S S S ＞，即D 错误. 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2-3】（2019·湖南中考真题）如图，点A ，C 分别是正比例函数=y x 的图象与反比例函数4y x=的图象的交点，过A 点作AD x ⊥轴于点D ，过C 点作CB x ⊥轴于点B ，则四边形ABCD 的面积为___．【答案】8【解析】由反比例函数的对称性可知OA OC =，OB OD =，则ΔAOB ΔBOC ΔDOC AOD S S S S ∠===，再根据反比例函数k 的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案． 【详解】A 、C 是两函数图象的交点，∴A 、C 关于原点对称，CD x ⊥轴，AB x ⊥轴，OA OC ∴=，OB OD =，ΔAOB ΔBOC ΔDOC AOD S S S S ∠∴===，又反比例函数4y x=的图象上， ΔAOB ΔBOC ΔDOC AOD 1S S S S 422∠∴====⨯=，ΔAOB S 4S 428∴==⨯=四边形，故答案为：8.【点睛】本题主要考查反比例函数的对称性和k 的几何意义，根据条件得出OA OC =，OB OD =是解题的关键，注意k 的几何意义的应用．【变式2-4】（2019·辽宁中考真题）如图，四边形ABCD 是矩形，点A 在第四象限y 1＝﹣2x的图象上，点B 在第一象限y 2＝k x 的图象上，AB 交x 轴于点E ，点C 与点D 在y 轴上，AD ＝32，S 矩形OCBE ＝32S 矩形ODAE ．（1）求点B 的坐标．（2）若点P 在x 轴上，S △BPE ＝3，求直线BP 的解析式．【答案】（1）B （32，2）；（2）直线BP 的解析式是y ＝23x +1或y ＝﹣23x +3． 【解析】（1）根据反比例函数系数k 的几何意义求得k ＝3，得出23y x ＝，由题意可知B 的横坐标为32，代入即可求得B 的坐标；（2）设P （a ，0），根据三角形面积求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BP 的解析式．【详解】（1）∵S 矩形OCBE ＝32S 矩形ODAE ，点B 在第一象限y 2＝kx 的图象上， ∵点A 在第四象限y 1＝﹣2x的图象上，∴S 矩形ODEA ＝2 ∴S 矩形OCBE ＝32×2＝3， ∴k＝3，∴y 2＝3x， ∵OE＝AD ＝32，∴B 的横坐标为32，代入y 2＝3x得，y ＝332＝2，∴B（32，2）；（2）设P （a ，0）， ∵S △BPE ＝12PE•B E ＝132322a ⨯-⨯=，解得a ＝﹣32或92， ∴点P （﹣32，0）或（92，0），设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），①若直线过（32，2），（﹣32，0），则3m n223n02m⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2m3n1⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BP的解析式为y＝23x+1；②若直线过（32，2），（92，0），则3n229n02mm⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得233mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BP的解析式为y＝﹣23x+3；综上，直线BP的解析式是y＝23x+1或y＝﹣23x+3．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得B点的坐标是解题的关键．【考点3】反比例函数的实际应用【例3】（2019·内蒙古中考真题）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？【答案】（1）y 与x 的函数关系式为： 1030,0770070,73x x y x x+≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，y 与x 的函数关系式每703分钟重复出现一次；（2）她最多需要等待343分钟； 【解析】（1）分情况当07x ，当7x >时，用待定系数法求解；（2）将50y =代入1030y x =+，得2x =，将50y =代入700y x=，得14x =，可得结果. 【详解】（1）由题意可得，(10030)1070107a =-÷=÷=，当07x 时，设y 关于x 的函数关系式为：y kx b =+，307100b k b =⎧⎨+=⎩，得1030k b =⎧⎨=⎩， 即当07x 时，y 关于x 的函数关系式为1030y x =+， 当7x >时，设ay x=， 1007a=，得700a =， 即当7x >时，y 关于x 的函数关系式为700y x=， 当30y =时，703x =， ∴y 与x 的函数关系式为： 1030,0770070,73x x y x x+≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，y 与x 的函数关系式每703分钟重复出现一次； （2）将50y =代入1030y x =+，得2x =，将50y =代入700y x =，得14x =， ∵14212-=，70341233-= ∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待343分钟； 【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键.【变式3-1】（2019·湖北中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m ，则动力F （单位：N ）关于动力臂l （单位：m ）的函数解析式正确的是（ ） A ．1200F l=B ．600F l=C ．500F l=D ．0.5F l=【答案】B【解析】根据所给公式列式，整理即可得答案.【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m ，∴动力F (单位：N )关于动力臂l (单位：m )的函数解析式为：12000.5Fl ⨯=， 则600F l=， 故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.【变式3-2】（2018·山东中考真题）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min ，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量3(/)y mg m 与药物在空气中的持续时间(min)x 之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ）A ．经过5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到310/mg m B ．室内空气中的含药量不低于38/mg m 的持续时间达到了11minC ．当室内空气中的含药量不低于35/mg m 且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效D ．当室内空气中的含药量低于32/mg m 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到32/mg m 开始，需经过59min 后，学生才能进入室内【答案】C【解析】利用图中信息一一判断即可. 【详解】解: A 、正确．不符合题意．B 、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m 3的持续时间达到了11min ，正确，不符合题意；C 、y=5时，x=2.5或24，24-2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；D 、正确．不符合题意， 故选C.【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.【考点4】反比例函数与一次函数综合【例4】（2019·辽宁中考真题）如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝2k x的图象分别交于C ，D 两点，点C （2，4），点B 是线段AC 的中点．（1）求一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝2k x的解析式； （2）求△COD 的面积；（3）直接写出当x 取什么值时，k 1x +b ＜2k x． 【答案】（1）y 1＝x +2；y 2＝8x ；（2）S △COD ＝6；（3）当0＜x ＜2或x ＜﹣4时，k 1x +b ＜2k x． 【解析】（1）把点C 的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE x ⊥轴于E ，根据题意求得B 的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）联立方程求得D 的坐标，然后根据CODBOCBOD S SS=+即可求得△COD的面积；（3）根据图象即可求得21k k x b x+＜时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）∵点C （2，4）在反比例函数y ＝2k x的图象上， ∴2248k ⨯＝＝， ∴28y x＝；如图，作CE ⊥x 轴于E ，∵C （2，4），点B 是线段AC 的中点， ∴B （0，2），∵B 、C 在11y k x b +＝的图象上，∴1242k b b +=⎧⎨=⎩，解得112k b ＝，＝， ∴一次函数为12y x +＝；（2）由28y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩，∴D （﹣4，﹣2）， ∴1222462COD BOCBODSSS+⨯⨯+⨯⨯＝＝＝； （3）由图可得，当0＜x ＜2或x ＜﹣4时，21k k x b x+＜． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B 点的坐标是解题的关键．【变式4-1】（2019·广西中考真题）已知0ab <，一次函数y ax b =-与反比例函数ay x=在同一直角坐标系中的图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据反比例函数图象确定b 的符号，结合已知条件求得a 的符号，由a,b 的符号确定一次函数图象所经过的象限．【详解】解：若反比例函数axy ＝经过第一、三象限，则0a ＞ ．所以0b ＜ ．则一次函数y axb ＝﹣ 的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数axy ＝经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数y axb ＝﹣的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A 正确； 故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【变式4-2】（2019·四川中考真题）如图，一次函数(0)y mx n m =+≠的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于第二、四象限内的点(,4)A a 和点(8,)B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC ∆的面积为4．（1）分别求出a 和b 的值； （2）结合图象直接写出kmx n x+<的解集； （3）在x 轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标． 【答案】（1）2a =-，1b =-；（2）20x -<<或8x >； （3）34(,0)3P 【解析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得2OC =，得到()2,4A -，将A 代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B 代入解析式，即可解答 （2）根据函数图象结合解析式即可判断（3）作点B 关于x 轴的对称点'B ，直线'AB 与x 轴交于P ，得到()'8,1B ，设直线AP 的关系式为y kx b =+，把将 ()2,4A -，()'8,1B 代入得到解析式，即可解答【详解】（1）∵点(),4A a ， ∴4AC =， ∵4AOC S ∆=，即142OC AC ⋅=， ∴2OC =，∵点(),4A a 在第二象限， ∴2a =- ()2,4A -，将()2,4A -代入ky x=得：8k =-， ∴反比例函数的关系式为：8y x=-，把()8,B b 代入得：1b =-， ∴()8,1B -因此2a =-，1b =-；（2）由图象可以看出kmx n x+<的解集为：20x -<<或8x >； （3）如图，作点B 关于x 轴的对称点'B ，直线'AB 与x 轴交于P ，此时PA PB -最大， ∵()8,1B - ∴()'8,1B设直线AP 的关系式为y kx b =+，将 ()2,4A -，()'8,1B 代入得：2481k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得：310k =-，175b =， ∴直线AP 的关系式为317105y x =-+， 当0y =时，即3170105x -+=，解得343x =， ∴34,03P ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式 【考点5】反比例函数与几何综合【例5】（2019·山东中考真题）已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点A ，与x 轴交于点(5,0)B ，若OB AB =，且152OAB S ∆=.（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，求点P 的坐标. 【答案】（l ）27y x =，31544y x =- ；（2）1(0,0)P 、2(10,0)P ，3(13,0)P ，465,08P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）根据152OAB S ∆=可计算出A 点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A 点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式.（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB 为底，一种是AB 为腰，以A 为顶点，一种是AB 为腰，以B 为顶点.【详解】（l ）过点A 作AD x ⊥轴于点D ∵152OAB S ∆= ∴11155222OB AD AD ⨯⋅=⨯⨯= ∴3AD =∵(5,0)B ∴5AB OB == 在Rt ABD ∆中，2222534BD AB AD =-=-=∴9OD =∴(9,3)A∵m y x =经过点A ∴39m= ∴27m = ∴反比例函数表达式为27y x=∵y kx b =+经过点A ，点B∴9350k bk b+=⎧⎨+=⎩解得34154kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴一次函数表达式为31544y x=-（2）本题分三种情况①当以AB为腰，且点B为顶角顶点时，可得点P的坐标为1(0,0)P、2(10,0)P②当以AB为腰，且以点A为顶角顶点时，点B关于AD的对称点即为所求的点3(13,0)P③当以AB为底时，作线段AB的中垂线交x轴于点4P，交AB于点E，则点4P即为所求由（1）得，150,4C⎛⎫-⎪⎝⎭在Rt OBC中，22221525544BC OC OB⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭∵4cos cosABP OBC∠=∠∴4BE OBBP BC=∴4552254BP=∴4258BP=∴42565588OP=+=∴465,08P⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB为腰和底，为腰又要分顶点是A还是B.【变式5-1】（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点(3,2)A在反比例函数(0)ky xx=>的图象上，点B 在OA 的延长线上，BC x ⊥轴，垂足为C ，BC 与反比例函数的图象相交于点D ，连接AC ，AD ．（1）求该反比例函数的解析式； （2）若32ACD S ∆=，设点C 的坐标为(,0)a ，求线段BD 的长．【答案】（1）6y x=；（2）3 【解析】（1）把点A （3，2）代入反比例函数y=kx，即可求出函数解析式； （2）直线OA 的关系式可求，由于点C （a ，0），可以表示点B 、D 的坐标，根据 S △ACD =32，建立方程可以解出a 的值，进而求出BD 的长． 【详解】解：（1）∵点(3,2)A 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，∴326k =⨯=， ∴反比例函数6y x=； 答：反比例函数的关系式为：6y x=； （2）过点A 作AE OC ⊥，垂足为E ，连接AC ，设直线OA 的关系式为y kx =，将(3,2)A 代入得，23k =， ∴直线OA 的关系式为23y x =， ∵点(,0)C a ，把x a =代入23y x =，得：23y a =，把x a =代入6y x =，得：6y a=，∴2(,)3B a a ），即23BC a =，6(,)D a a ，即6CD a=∵32ACD S ∆=，∴1322CD EC •=，即163(3)22a a ⨯⨯-=，解得：6a =， ∴2633BD BC CD a a=-=-=；答：线段BD 的长为3．【点睛】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．【变式5-2】（2019·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 与原点O 重合，顶点B 落在x 轴的正半轴上，对角线AC 、BD 交于点M ，点D 、M 恰好都在反比例函数()0ky x x=>的图象上，则ACBD的值为（ ）A 2B 3C ．2D 5【答案】A【解析】利用菱形的性质, 根据正切定义即可得到答案. 【详解】解：设,k D m m ⎛⎫⎪⎝⎭，(),0B t ， ∵M 点为菱形对角线的交点， ∴BD AC ⊥，AM CM =，BMDM =，∴,22m t k M m +⎛⎫⎪⎝⎭，把,22m t k M m +⎛⎫⎪⎝⎭代入k y x =得22m t k k m +⋅=， ∴3t m =，∵四边形ABCD 为菱形， ∴OD AB t ==，∴()2223k m m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得222k m =， ∴()2,2M m m ，在Rt ABM ∆中，31tan 62BM m MAB AM m ∠===， ∴2ACBD=． 故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于运用菱形的性质． 【达标训练】1．（2019·山东中考真题）如图，直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点C ，若S △AOB ＝S △BOC ＝1，则k ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．【详解】如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．∵S△AOB＝S△BOC，∴AB＝BC．∵△AOB的面积为1，∴12OA•OB＝1，∴OA＝2a，∵CD∥OB，AB＝BC，∴OD＝OA＝2a，CD＝2OB＝2a，∴C（2a，2a），∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点C，∴k＝2a×2a＝4．故选D．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．2．（2019·辽宁中考真题）如图，点A在反比例函数y=3x(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )A ．3B ．2C ．3 2D ．1【答案】C【解析】连结OA ，如图，利用三角形面积公式得到S △OAB =S △CAB ，再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到S △OAB =12|k|，便可求得结果． 【详解】解：连结OA ，如图，∵AB ⊥x 轴， ∴OC ∥AB ， ∴S △OAB =S △CAB ，而S △OAB =12|k|=32，∴S △CAB =32，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 3．（2019·四川中考真题）如图，一次函数1y ax b 和反比例函数2ky x=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x >【答案】B【解析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<， 故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 4．（2019·山东中考真题）函数y ax a =-+与ay x=（0a ≠）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】0a >时，0a -<，y ax a =-+在一、二、四象限，ay x=在一、三象限，无选项符合． 0a <时，0a ->，y ax a =-+在一、三、四象限，ay x=（0a ≠）在二、四象限，只有D 符合； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a 的取值确定函数所在的象限．5．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数ky x=（0x >）的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y x =的对称点C '的坐标为(1,)(1)n n ≠，若OAB 的面积为3，则k 的值为（ ）A．13B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与AB的长度，再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n，进而用待定系数法求得k．【详解】∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），∴C（n，1），∴OA=n，AC=1，∴AB=2AC=2，∵△OAB的面积为3，∴12n×2＝3，解得，n=3，∴C（3，1），∴k=3×1=3．故选：D．【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．6．（2019·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数ykx（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为5则k的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE ，BE 的长，根据菱形的面积为25，求得AE 的长，在Rt △AEB 中，即可得出k 的值． 【详解】过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，∵A ，B 两点在反比例函数y kx=（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （4k，4），B （2k ，2），∴AE ＝2，BE 12=k 14-k 14=k ，∵菱形ABCD 的面积为5 ∴BC×AE＝5BC 5=∴AB ＝BC 5=在Rt △AEB 中，BE 22AB AE =-=1∴14k ＝1， ∴k ＝4． 故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键． 7．（2019·湖北中考真题）如图，平面直角坐标系中，()()()8,0,8,4,0,4A B C --，反比例函数ky x=的图象分别与线段,AB BC 交于点,D E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k =（ ）A ．20-B ．16-C ．12-D ．8-【答案】C【解析】根据A(-8,0), B(-8,4), C(0,4)，可得矩形的长和宽，易知点D 的横坐标，E 的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k 的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF 的长，然后把问题转化到三角形ADF 中，由勾股定理建立方程求出k 的值．【详解】过点E 作EG OA ⊥，垂足为G ，设点B 关于DE 的对称点为F ，连接DF EF BF 、、，如图所示：则BDE FDE ∆≅∆，,,BD FD BE FE ∴==90DFE DBE ︒∠=∠=易证~ADF GFE ∆∆AF DFEG FE∴=， (8,0),(8,4),(0,4)A B C --，4,8AB OC EG OA BC ∴=====，D E 、在反比例函数ky x=的图象上， k k ,4,8,-48⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E Dk k-,48∴===-OG EC AD4,884k kBD BE ∴=+=+k 4BD 1DF AF 8k BE 2FE EG84+∴====+ 1EG 22AF ∴==，在Rt ADF ∆中，由勾股定理： 222AD AF DF +=即：222k k 2488⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：12k =- 故选C ．【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD 与BE 的比是1:2是解题的关键．8．（2019·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点A 、C 的坐标分别是()()0,33,0、，090ACB ∠=，2AC BC =，则函数()0,0ky k x x=>>的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A ．92B ．9C ．278D ．274【答案】D【解析】根据A 、C 的坐标分别是()()0,33,0、可知3OA OC ==，进而可求出AC ，由2AC BC =，又可求BC ，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B 的坐标，再求出k 的值．【详解】解：过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，∵A C 、的坐标分别是()()0,33,0、， ∴3OA OC ==，在Rt AOC ∆中，2232AC OA OC =+=， 又∵2AC BC =， ∴32BC =， 又∵090ACB ∠=，∴045OAC OCA BCD CBD ∠=∠==∠=∠， ∴32232CD BD ==⨯=， ∴39322OD =+= ∴93,22B ⎛⎫⎪⎝⎭代入k y x =得：274k =，故选：D ．【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键.9．（2019·湖南中考真题）如图，⊙O 的半径为2，双曲线的解析式分别为1y x =和1y x=-，则阴影部分的面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【答案】C【解析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可． 【详解】双曲线1y x =和1y x=-的图象关于x 轴对称， 根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180︒，半径为2， 所以：218022360S ππ⨯==阴影．故选C ．【点睛】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于x 轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为180°，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．10．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点(10,0)A ，4sin 5COA ∠=．若反比例函数(0,0)ky k x x =>>经过点C ，则k 的值等于（ ）A ．10B ．24C ．48D ．50【答案】C【解析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点()6,8C ，将点C 坐标代入解析式可求k 的值． 【详解】解：如图，过点C 作CE OA ⊥于点E ，∵菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点(10,0)A ， ∴10OC OA ==， ∵4sin 5CECOA OC∠==． ∴8CE =，∴22CO CE 6OE =-=∴点C 坐标(6,8) ∵若反比例函数k(0,0)xy k x =>>经过点C ， ∴6848k =⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C 坐标．11．（2019·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点,A B 恰好分别落在函数()()140,0y x y x x x=-<=>的图象上，则sin ABO ∠的值为（ ）A ．13B ．33C ．54D ．5 【答案】D【解析】点,A B 落在函数()10y x x =-<，()40y x x=>的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB 的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】过点,A B 分别作AD x ⊥轴，BE x ⊥轴，垂足为,D E ，点A 在反比例函数()10y x x =-<上，点B 在()40y x x=>上， 14AODBOESS∴＝，＝，又90AOB ∠︒＝AOD OBE ∴∠∠＝， AOD OBE ∴∽，214AOD OBES AO OB S ⎛⎫∴==⎪⎝⎭， 12AO OB ∴= 设OA m ＝，则2OB m AB ＝，＝()2225m m m +=在RtAOB sin ABO ∠中，＝55OA AB m ==故选D【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin ∠ABO 的值．12．（2019·山东中考真题）如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y=kx（k ＞0）经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为24，则k 的值是（ ）A ．8B ．7.5C ．6D ．9【答案】A【解析】设出点A 的横坐标为x ，根据点A 在双曲线y=kx（k ＞0）上，表示出点A 的纵坐标，从而表示出点A 的坐标，再根据点B 在x 轴上设出点B 的坐标为（a ，0），然后过A 作AD ⊥OB 于D ，EF ⊥OB 于F ，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E 为AB 的中点，又EF ∥AD ，得到EF 为△ABD 的中位线，可得EF 为AD 的一半，而AD 为A 的纵坐标，可得出EF 的长，由OB-OD 可得BD 的长，根据F 为BD 的中点，得到FB 的长，由OB-FB 可得出OF 的长，由E 在第一象限，由EF 和OF 的长表示出E 的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x ，再由BO 与AD 的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC 的面积为24，列出等式，将a=3x 代入可得出k 的值． 【详解】设A （x ，kx），B （a ，0），过A 作AD ⊥OB 于D ，EF ⊥OB 于F ，如图， 由平行四边形的性质可知AE=EB ，再EF 为△ABD 的中位线， 由三角形的中位线定理得：11,(),2222k a x EF AD DF a x OF x +===-= 则E ,22a x k x +⎛⎫⎪⎝⎭ ∵E 在双曲线上， ∴22a x k k x+⋅= ∴a=3x ，∵平行四边形的面积是24， ∴3324k ka x k z x⋅=⋅== 解得：k=8． 故选：A【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出如图的辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．13．（2019·山东中考真题）如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数ky x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】C。
【精选】2020年中考数学《反比例函数》专题 复习试题(word版有答案)
中考数学《反比例函数》专题 复习试题命题点1 图象与性质1．一台印刷机每年可印刷的书本数量 y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20.则y 与x 的函数图象大致是(C)A B C D2．反比例函数y ＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则h ＜k ；④若P(x ，y)在图象上，则P ′(－x ，－y)也在图象上．其中正确的是(C)A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．如图，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x （x ＞0），－1x （x ＜0）的图象所在坐标系的原点是(A)A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q4．定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b （b ＞0），－ab （b ＜0）. 例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y ＝2⊕x(x≠0)的图象大致是(D)A B C D5．如图，若抛物线y ＝－x2＋3与x 轴围成的封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ，则反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象是(D)A B CD命题点2 反比例函数、一次函数与几何图形综合6．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx(x＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)解：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ＝2，AD ∥BC ，BC ⊥x 轴．∴AD ⊥x 轴． 又∵A(1，0)，∴D(1，2)．∵点D 在反比例函数y ＝mx的图象上，∴m ＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x.(2)当x ＝3时，y ＝kx ＋3－3k ＝3，∴一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定过点C.(3)设点P 的横坐标为a ，则23＜a ＜3.命题点3 反比例函数的实际应用(8年2考)7．(2019·杭州)方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位：小时)，行驶速度为v(单位：千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时．(1)求v 关于t 的函数解析式；(2)方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发．①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围；②方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由．解：(1)∵vt ＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v 关于t 的函数解析式为v ＝480t (t ≥4)．(2)①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时．将t ＝6代入v ＝480t，得v ＝80；将t ＝245代入v ＝480t，得v ＝100.∴小汽车行驶速度v 的范围为80≤v ≤100.②方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t ＝72代入v ＝480t ，得v ＝9607.∵9607＞120，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达B 地．基础训练1．(2019·柳州)反比例函数y ＝2x的图象位于(A)A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第一、二象限D ．第二、四象限2．(2019·哈尔滨)点(－1，4)在反比例函数y ＝kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(A)A ．(4，－1)B ．(－14，1)C ．(－4，－1)D ．(14，2)3．(2019·邢台模拟)已知甲圆柱型容器的底面积为30 cm 2，高为8 cm ，乙圆柱型容器底面积为x cm 2.若将甲容器装满水，全部倒入乙容器中(乙容器没有水溢出)，则乙容器水面高度y(cm)与x(cm 2)之间的大致图象是(C)A B C D4．(2019·唐山乐亭县模拟)若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都是反比例函数y ＝－6x图象上的点，并且y 1＜0＜y 2，则下列结论中正确的是(A)A ．x 1＞x 2B ．x 1＜x 2C ．y 随x 的增大而减小D ．两点有可能在同一象限5．(2019·唐山滦南县一模)如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝4x的图象交于A ，B 两点，其中A(2，2)，当y ＝x 的函数值大于y ＝4x的函数值时，x 的取值范围为(D)A ．x ＞2B ．x ＜－2C ．－2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．－2＜x ＜0或x ＞26．(2019·石家庄模拟)已知反比例函数y ＝kx的图象过第二、四象限，则一次函数y ＝kx ＋k的图象大致是(B)A B C D7．(2019·唐山路北区模拟)已知点P(m ，n)是反比例函数y ＝－3x图象上一点，当－3≤n ＜－1时，m 的取值范围是(A)A ．1≤m ＜3B ．－3≤m ＜－1C ．1＜m ≤3D ．－3＜m ≤－18．(原创)(2017·河北T15变式)将九年级某班40名学生的数学测试成绩分为5组，第1～4组的频率分别为0.3，0.25，0.15，0.2，第5组的频数记为k ，则反比例y ＝kx(x ＞0)的图象是(D)A B C D9．(原创)(2019·河北T12变式)如图，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx（x ＞0），－mx（x<0）的图象如图所示，以下结论：①常数m ＞0；②在每个象限内，y 随x 增大而减小；③若点A(－2，a)，B(3，b)在图象上，则a ＜b ；④若P(x ，y)在图象上，则P ′(－x ，y)也在图象上，其中正确的是(D)A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④10．(2019·兰州)如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象上，S 矩形OABC＝6，则k ＝6．11．(2019·北京)在平面直角坐标系xOy 中，点A(a ，b)(a ＞0，b ＞0)在双曲线y ＝k 1x上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y ＝k 2x，则k 1＋k 2的值为0．12．(2019·盐城)如图，一次函数y ＝x ＋1的图象交y 轴于点A ，与反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象交于点B(m ，2)．(1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积．解：(1)∵点B(m ，2)在直线y ＝x ＋1上， ∴2＝m ＋1，解得m ＝1. ∴点B 的坐标为(1，2)．∵点B(1，2)在反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象上，∴2＝k1，解得k ＝2.∴反比例函数的解析式是y ＝2x.(2)将x ＝0代入y ＝x ＋1，得y ＝1，则点A 的坐标为(0，1)． ∵点B 的坐标为(1，2)，∴△AOB 的面积为12×1×1＝12.能力提升13．(2019·石家庄新华区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，2)，点P 是双曲线y ＝kx(x ＞0)上的一个动点，作PB ⊥x 轴于点B ，当点P 的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB 的面积将会(C)A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先减小后增大14．(2019·陕西)如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A(0，4)，B(6，0)．若一个反比例函数的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为(32，4)．16．(2019·秦皇岛海港区模拟)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点A(1，b)，B(3，b)，D(2，b ＋1)．(1)点C 的坐标是(4，b ＋1)(用b 表示)；(2)双曲线y ＝kx过▱ABCD 的顶点B 和D ，求该双曲线的解析式；(3)如果▱ABCD 与双曲线y ＝4x(x ＞0)总有公共点，求b 的取值范围．解：(2)∵双曲线y ＝kx过▱ABCD 的顶点B(3，b)和D(2，b ＋1)，∴3b ＝2(b ＋1)，解得b ＝2，即B(3，2)，D(2，3)．则该双曲线解析式为y ＝6x .(3)将A(1，b)代入y ＝4x ，得b ＝4；将C(4，b ＋1)代入y ＝4x ，得b ＋1＝1，即b ＝0.则▱ABCD 与双曲线y ＝4x(x ＞0)总有公共点时，b 的取值范围为0≤b ≤4.17．如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC 段可看成是一段双曲线，建立如图的直角坐标系后，其中，矩形AOEB 为向上攀爬的梯子，OA ＝5米，进口AB ∥OD ，且AB ＝2米，出口C 点距水面的距离CD 为1米，则B ，C 之间的水平距离DE 的长度为(D)A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米18．(1)探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．(2)结论应用：①如图2，点M ，N 在反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，试证明：MN ∥EF ；②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置，如图3所示，请判断MN 与EF 是否平行？解：(1)AB ∥CD.理由：过点C 作CG ⊥AB 于点G ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ， ∴∠CGA ＝∠DHB ＝90°.∴CG ∥DH. ∵△ABC 和△ABD 的面积相等， ∴CG ＝DH.∴四边形CGHD 是矩形．∴AB ∥CD.(2)①证明：连接MF ，NE ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，∵点M ，N 在反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象上，∴x 1y 1＝k ，x 2y 2＝k. ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴EM ＝x 1，OE ＝y 1，OF ＝x 2，NF ＝y 2.∴S △EFM ＝12x 1·y 1＝12k ，S △EFN ＝12x 2y 2＝12k.∴S △EFM ＝S △EFN ，由(1)中的结论可知，MN ∥EF.②MN ∥EF ，理由：连接MF ，NE ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．∵M ，N 在反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象上，∴x 1y 1＝k ，x 2y 2＝k. ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴EM ＝x 1，OE ＝y 1，OF ＝－x 2，NF ＝－y 2.∴S △EFM ＝12x 1·y 1＝12k ，S △EFN ＝12(－x 2)(－y 2)＝12k.∴S △EFM ＝S △EFN .由(1)中的结论可知，MN ∥EF.反比例函数中的面积问题1．(2019·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝kx(x ＞0)的图象上．若AB ＝1，则k的值为(A)A ．1B.22C. 2 D ．22．如图，A ，B 两点在双曲线y ＝4x(x ＞0)上，分别经过A ，B 两点向x 轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S 1＋S 2＝(D)A ．3B ．4C ．5D ．63．(2019·黄冈)如图，一直线经过原点O ，且与反比例函数y ＝kx(k>0)相交于点A ，B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，连接BC.若△ABC 面积为8，则k ＝8．4．如图，A ，B 是反比例函数y ＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则(B)A ．S ＝2B ．S ＝4C ．2＜S ＜4D ．S ＞45．(2019·郴州)如图，点A ，C 分别是正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝4x的图象的交点，过A 点作AD ⊥x 轴于点D ，过C 点作CB ⊥x 轴于点B ，则四边形ABCD 的面积为8．6．如图，AB 是反比例函数y ＝3x在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是1和3，则S △AOB ＝4．7．(2019·鸡西)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，▱OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，顶点B 在反比例函数y ＝5x(x ＞0)的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则▱OABC 的面积是(C)A.32B.52C ．4D ．68．如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交反比例函数y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx(x ＜0)的图象于B ，C 两点．若△ABC 的面积为2，则k 的值为－1．9．(2019·株洲)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 为反比例函数y ＝k x(k ＞0)图象上不同的三点，连接OA ，OB ，OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B ，C 分别作BE ，CF 垂直x 轴于点E ，F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD ，△BOM ，四边形CMEF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则(B)A ．S 1＝S 2＋S 3B ．S 2＝S 3C ．S 3＞S 2＞S 1D ．S 1S 2＜S 2310．(2019·本溪)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 的边OA 和菱形OCDE 的边OE 都在x 轴上，点C 在OB 边上，S △ABD ＝3，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点B ，则k 的值。
2020年中考数学重难点突破：反比例函数综合题型解析与练习(含答案)
中考数学重难点突破反比例函数综合应用题型解析与练习反比例函数综合应用题中考中常以解答题的形式出现，常考查的形式有：求一次函数解析式、反比例函数解析式、与三角形和四边形面积相关的计算、利用三角形相似求函数的解析式等．【例1】如图，直线y＝x＋b与双曲线y＝kx(k为常数，k≠0)在第一象限内交于点A(1，2)，且与x轴、y轴分别交于B，C两点．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．【分析】(1)要求两函数解析式，根据待定系数法，把A(1，2)代入双曲线y＝kx以及直线y＝x＋b，分别可得k，b的值；(2)先根据直线解析式得到BO＝CO＝1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．解：(1)把A(1，2)代入双曲线y＝kx，可得k＝2，∴双曲线的解析式为y＝2x ；把A(1，2)代入直线y＝x＋b，可得b＝1，∴直线的解析式为y＝x＋1；(2)设P 点的坐标为(x，0)，在y＝x＋1中，令y＝0，则x＝－1；令x＝0，则y＝1，∴B(－1，0)，C(0，1)，即BO＝1＝CO，∵△BCP 的面积等于2，∴12BP×CO＝2，即12|x－(－1)|×1＝2，解得x＝3或－5，∴P 点的坐标为(3，0)或(－5，0).【例2】如图，已知反比例函数y＝kx 的图象经过点A(4，m)，AB⊥x 轴，且△AOB 的面积为2.(1)求k 和m 的值；(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝kx 的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y 的取值范围．解：(1)∵△AOB 的面积为2，∴k＝4，∴反比例函数解析式为y＝4x，∵A(4，m)，∴m＝44＝1；(2)∵当x＝－3时，y＝－43；当x＝－1时，y＝－4，又∵反比例函数y＝4x在x＜0时，y随x的增大而减小，∴当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－4 3 .【例3】如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝6x (x>0)的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为()A.y＝－6xB.y＝－4xC.y＝－2xD.y＝2x解：过点B作BC⊥x轴与点C，过点A作AD⊥x轴于点D∵∠BOC＝∠OBC=90°∴∠AOB＝90°∴∠BOC+∠AOD＝90°∴∠OBC=∠AOD又∵∠BCO=∠ODA＝90°∴△BOC∽△OAD ∴OB AO =OC AD又OB AO =tan30°=33∴OB AO =OC AD =33∴S △BOC S △OAD =(OB AO )2=13∵点A 在反比例函数y＝6x (x>0)的图象上∴S△OAD=12×│6│=3∴S△BOC=1设点B 所在的反比例函数为y＝k x∴12×│k│=1∴k=±2又因点B 在第二象限∴k=-2∴B 所在的反比例函数为y＝-2x故选C达标训练1.次函数y＝ax＋b 和反比例函数y＝a－bx在同一直角坐标系中的大致图象是()2.如图，△ABC 的顶点A 在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上，顶点C 在x 轴上，AB∥x 轴，若点B 的坐标为(1，3)，S △ABC ＝2，则k 的值为()A.4B.－4C.7D.－7第2题图第3题图3.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx 与y＝－2x 的图象交于A、B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数y＝4x 的图象于点C，连接BC，则△ABC 的面积为()A.2B.4C.6D.84.如图，直线y＝kx－3(k≠0)与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线y＝－2x (x<0)交于点A(m，1)，则AB 的长是()A.25B.13C.23D.26第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 是反比例函数y＝2x 图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA 的面积为________．第5题图第6题图6.如图，点D 为矩形OABC 的AB 边的中点，反比例函数y＝kx (x>0)的图象经过点D，交BC 边于点E.若△BDE 的面积为1，则k＝________．第7题图第8题图7.如图，过x 轴上任意一点P 作y 轴的平行线，分别与反比例函数y＝3x (x>0)，y＝－6x (x>0)的图象交于A 点和B 点，若C 为y 轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC 的面积为________．8.如图，矩形ABCD 的边AB 与x 轴平行，顶点A 的坐标为(2，1)，点B 与点D 都在反比例函数y＝6x(x＞0)的图象上，则矩形ABCD 的周长为________．9.如图，一次函数y 1＝k 1x＋b(k 1≠0)的图象分别与x 轴，y 轴相交于点A，B，与反比例函数y 2＝k 2x (k 2≠0)的图象相交于点C(－4，－2)，D(2，4)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)当x为何值时，y1>0；(3)当x为何值时，y1<y2，请直接写出x的取值范围．第9题图10.如图，一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数y＝kx(k为常数且k≠0)的图象交于A(－1，a)，B两点，与x轴交于点C.(1)求此反比例函数的表达式；(2)若点P在x轴上，且S△ACP ＝32S△BOC，求点P的坐标．第10题图提升拓展1.已知点P(－3，2)、点Q(2，n)都在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，过点Q分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为()A.3B.6C.9D.122.如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝kx(k≠0，x＞0)的图象同时经过顶点C，D.若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为()A.52B.3C.154D.5第2题图3.如图，一次函数y＝x－2的图象与反比例函数y＝kx(k>0)的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C，若tan∠AOC＝13，则k的值为________．第3题图4.如图，直线y＝x＋m与双曲线y＝3x相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为________．第4题图5.如图，一次函数y＝－12x＋52的图象与反比例函数y＝kx(k>0)的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．第5题图6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝kx的图象交于点A(1，3)和B(－3，m)．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点C是平面直角坐标系内一点，BC∥x轴，AD⊥BC于点D，连接AC，若AC＝5CD，求点C的坐标.第6题图参考答案达标训练1.A2.C3.C4.A5.16.47.928.129.(1)一次函数的表达式为y1＝x＋2，反比例函数的表达式为y2＝8x；(2)当x>－2时，y1>0；(3)x<－4或0<x<2.10.(1)此反比例函数的表达式为y＝－3x ；(2)点P的坐标为(－6，0)或(－2，0)．提升拓展1.B2.C3.34.65.(1)反比例函数的解析式为y＝2x ；(2)点P的坐标为(0，1710)，PA＋PB的最小值为1092.6.解：(1)将A(1，3)代入反比例函数解析式得：k＝1×3＝3，则反比例函数解析式为y＝3x ，将B(－3，m)代入反比例函数解析式得：m＝－1，即B(－3，－1)．将A与B坐标代入y＝ax＋b，则一次函数解析式为y＝x＋2；(2)∵BC∥x轴，AD⊥BC于点D，且A(1，3)，B(－3，－1)，∴D(1，－1)，C(x，－1)，∴CD＝|x－1|，AD＝4.∵AC＝5CD＝5|x－1|，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴AD2＋CD2＝AC2，即16＋(x－1)2＝5(x－1)2，解得x1＝3，x2＝－1，∴点C的坐标为(3，－1)或(－1，－1).。
2020年陕西省中考13题---反比例函数(包含答案)
反比例函数（13题）知识点一 反比例函数的图象与性质1．反比例函数的概念一般地，形如y ＝kx (k ≠0，k 为常数)的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是关于x 的函数．2．反比例函数的图象与性质1．关于反比例函数y＝1x，下列说法不正确的是()A．图象过点(1,1)B．图象在第一、三象限C．当x>0时，y随x的增大而减小D．当x<0时，y随x的增大而增大2．如果函数y＝4－2kx(x>0)的函数值y随x的增大而减小，那么k的取值范围是__________.知识点二反比例函数系数k的几何意义1．k的几何意义如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝|xy|＝⑤__________.2．与k几何意义应用有关的类型S△AOB＝S△BOC＝S△ABP＝⑥________关于直线y＝x或y＝－x成轴对称S△APP ′＝⑦_____________(P′为P关于原点的对称点)S△AOB＝⑧__________________________3．如图，点A(x，y)在反比例函数y＝－12x的图象上，且AB垂直于x轴，垂足为B，则S△OAB＝______.知识点三反比例函数解析式的确定1．待定系数法(1)设函数解析式为y＝kx(k≠0)；(2)找出反比例函数图象上的一点P(a，b)；(3)将P(a，b)代入函数解析式得k＝ab；(4)确定反比例函数的解析式为y＝ab x.2．利用k的几何意义求解：当已知面积时，可考虑用k的几何意义．由面积得|k|值，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k值，代入解析式即可．4．若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点P(－2,3)，则反比例函数的解析式为____________.5．如图，正方形OABC 的边长为2，反比例函数y＝kx 的图象过点B ，则该反比例函数的解析式为____________.知识点四 反比例函数的应用1．方法：求解此类题目要认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解答，解题时注意利用反比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值．2．步骤⎩⎪⎨⎪⎧(1)根据实际情况建立反比例函数模型；(2)利用待定系数法或跨学科的公式等确定函数解析式；(3)根据反比例函数的性质解决实际问题.重点一 反比例函数的图象与性质1、已知反比例函数y ＝1－mx .(1)若反比例函数y ＝1－mx 的图象如图，则m 的取值范围是__________.【解答】由图象可得k ＞0，即1－m ＞0，解得m ＜1.(2)若反比例函数y＝1－mx的图象经过点(－3，－1)，则m＝________.【解答】∵反比例函数y＝1－mx的图象经过点(－3，－1)，∴－1＝1－m－3，解得m＝－2.(3)若A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝1－mx图象上的两个点，当m＝5时，y1与y2的大小关系为______________.【解答】方法一：∵m＝5，∴反比例函数的解析式为y＝－4x.∵－4＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大．∵A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝－4x图象上的两个点，－4＜－1<0，∴y1＜y2.方法二：∵m＝5，∴反比例函数的解析式为y＝－4x，画草图如答图，由图象可知y1<y2.方法三：∵m＝5，∴反比例函数的解析式为y＝－4 x.∵当x＝－4时，y1＝1，当x＝－1时，y2＝4，∴y1<y2.(4)若m＝3，y≤1，则自变量x的取值范围是____________________.【解答】把m＝3代入y＝1－mx，得出反比例函数的解析式为y＝－2x.∵当y ＝1时，x ＝－2， ∴当y ≤1时，x ≤－2或x ＞0.重点二 反比例函数解析式的确定 (高频考点)(1)若反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点P (5,3)，则该反比例函数的解析式为__________.【解答】∵反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点P (5,3)，∴k ＝5×3＝15，∴该反比例函数的解析式为y ＝15x .(2)如图，A 为反比例函数y ＝kx 图象上的一点，且矩形ABOC 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为____________.【解答】由题意，得S矩形ABOC＝|k |＝3，则k ＝±3.∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴k ＜0，∴k ＝－3，则反比例函数的解析式为y ＝－3x .(3)在平面直角坐标系中，点P (2，a )在反比例函数y ＝2x 的图象上，把点P 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点Q ，则经过点Q 的反比例函数图象的解析式为__________.【解答】∵点P (2，a )在反比例函数y ＝2x 的图象上，∴a ＝1，即点P 的坐标为(2,1)．∵把点P 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点Q ，∴点Q 的坐标是(3,3)．设经过点Q 的反比例函数图象的解析式是y ＝kx .把Q (3,3)代入，得k ＝9，∴经过点Q 的反比例函数图象的解析式为y ＝9x .(4)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点B的坐标为(1,4)，则经过点A的双曲线的解析式为____________.【解题思路】设经过点A的双曲线的解析式为y＝kx.过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥EC的延长线于点D，过点A作AF⊥x轴于点F，得到△AOF≌△OCE≌△CBD，设OE＝a，CE＝B．由B(1,4)可得a与b的关系式，可得点A的坐标，即可得到答案．【解答】设经过点A的双曲线的解析式为y＝kx.如答图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥EC的延长线于点D，过点A作AF⊥x轴于点F.易证得△AOF≌△OCE≌△CBD．设OE＝a，CE＝B．∵B(1,4)，∴a－b＝1，a＋b＝4，解得a＝52，b＝32，∴A(－32，52)，∴k＝－154，∴经过点A的双曲线的解析式为y＝－15 4x.(5)如图，直线l经过点A(－2,0)和点B(0,1)，点M在x轴上，过点M作x轴的垂线交直线l 于点C．若OM＝2OA，则经过点C的反比例函数图象的解析式为__________.【解答】由直线l经过点A(－2,0)和点B(0,1)，可得直线l的解析式为y＝12x＋1.∵A(－2,0)，∴OA＝2.∵OM＝2OA，∴OM＝4，∴点C的横坐标为4，当x＝4时，y＝3，∴C(4,3)．设反比例函数的解析式为y＝kx，将C(4,3)代入，得k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝12x.重点三反比例函数系数k的几何意义1、如图，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过A ，B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连接AD ．已知AC ＝1，BE ＝1，S 矩形BDOE ＝4，则S △ACD ＝______.【解答】如答图，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，交BD 于点F ，则四边形ACOH 和四边形ACDF 均为矩形．∵S矩形BDOE＝4，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点B ，∴k ＝4，∴S 矩形ACOH ＝4.∵AC＝1，∴OC ＝4，∴CD ＝OC －OD ＝OC －BE ＝4－1＝3，∴S 矩形ACDF ＝1×3＝3，∴S △ACD ＝32.作业练习1．如图，△AOB 与反比例函数y ＝kx 的图象交于C ，D 两点，且AB ∥x 轴，△AOB 的面积为6.若AC ∶CB ＝1∶3，则反比例函数的解析式为__y ＝3x__.2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OACB 为菱形，OB 在x 轴的正半轴上，∠AOB＝60°，过点A 的反比例函数y ＝4x的图象与BC 交于点F ，则△AOF 的面积为__4__.3．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴上，∠ADO ＝30°，OA ＝2，反比例函数y ＝kx的图象经过CD 的中点M ，则k ＝。
2020年陕西省中考13题---反比例函数(包含答案)
y ＝x (k ≠0)y反比例函数（13 题）知识点一 反比例函数的图象与性质1．反比例函数的概念k一般地，形如 y ＝x(k ≠0，k 为常数)的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是关于 x 的函数．2．反比例函数的图象与性质表达式 k k 的符号k ＞0k ＜0图象取值范围x ≠0，y ≠0性质函数图象的两个分支分别在第 ①_______象限，在每个象限 内， 随 x 的增大而②________函数图象的两个分支分别在第③__________象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而④________对称性 关于原点成中心对称1．关于反比例函数 y ＝x ，下列说法不正确的是(关于直线 y ＝x 或 y ＝－x 成轴对称1)A ．图象过点(1,1)B ．图象在第一、三象限C ．当 x >0 时，y 随 x 的增大而减小D ．当 x <0 时，y 随 x 的增大而增大2．如果函数 y ＝ 4－2kx (x >0)的函数值 y 随 x 的增大而减小，那么 k 的取值范围是__________.知识点二 反比例函数系数 k 的几何意义1．k 的几何意义如图，过双曲线上任意一点 P 作 x 轴，y 轴的垂线 PM ，PN ，所得矩形PMON 的面积 S ＝|xy|＝⑤__________.2．与 k 几何意义应用有关的类型△S AOB ＝ △S BOC ＝△S ABP ＝⑥________3．如图，点 A (x ，y )在反比例函数 y ＝－ x的图象上，且 AB (1)设函数解析式为 y ＝x(k ≠0)；(4)确定反比例函数的解析式为 y ＝ x .4．若反比例函数 y ＝x (k ≠0)的图象经过点 P (－2,3)，则反比例函数的解析式△S APP ′＝⑦_____________(P ′为 P 关于原点的对称点)△S AOB ＝⑧__________________________12垂直于 x 轴，垂足为 B ，则 △S OAB ＝______.知识点三 反比例函数解析式的确定1．待定系数法k(2)找出反比例函数图象上的一点 P (a ，b )；(3)将 P (a ，b )代入函数解析式得 k ＝ab ；ab2．利用 k 的几何意义求解：当已知面积时，可考虑用 k 的几何意义．由面积得|k |值，再结合图象所在象限判断 k 的正负，从而得出 k 值，代入解析式即可．k5．如图，正方形 OABC 的边长为 2，反比例函数 y ＝x 的图象过点 B ，则该3)函数解析式；为____________.k反比例函数的解析式为____________.知识点四 反比例函数的应用1．方法：求解此类题目要认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解答，解题时注意利用反比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值．⎧⎪(1)根据实际情况建立反比例函数模型； 2．步骤⎨(2)利用待定系数法或跨学科的公式等确定⎪⎩( 根据反比例函数的性质解决实际问题.重点一 反比例函数的图象与性质1－m1、已知反比例函数 y ＝ x .1－m(1)若反比例函数 y ＝ x 的图象如图，则 m 的取值范围是__________.【解答】由图象可得 k ＞0，即 1－m ＞0，解得 m ＜1.【解答】方法一：∵m＝5，∴反比例函数的解析式为y＝－x.∵－4＜0，∵A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝－x图象上的两个点，－4＜－1<0，1－m(2)若反比例函数y＝x的图象经过点(－3，－1)，则m＝________.1－m【解答】∵反比例函数y＝x的图象经过点(－3，－1)，∴－1＝1－m－3，解得m＝－2.1－m(3)若A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝x图象上的两个点，当m ＝5时，y1与y2的大小关系为______________.4∴在每个象限内，y随x的增大而增大．4∴y1＜y2.4方法二：∵m＝5，∴反比例函数的解析式为y＝－x，画草图如答图，由图象可知y1<y2.4方法三：∵m＝5，∴反比例函数的解析式为y＝－x.∵当x＝－4时，y1＝1，当x＝－1时，y2＝4，∴y1<y2.(4)若m＝3，y≤1，则自变量x的取值范围是____________________.1－m2【解答】把m＝3代入y＝x，得出反比例函数的解析式为y＝－x.(1)若反比例函数 y ＝x(k ≠0)的图象经过点 P (5,3)，则该反比例函数的解析式 【解答】∵反比例函数 y ＝x (k ≠0)的图象经过点 P (5,3)，∴k ＝5×3＝15，∴(2)如图，A 为反比例函数 y ＝x图象上的一点，且矩形 ABOC (3)在平面直角坐标系中，点 P (2，a )在反比例函数 y ＝x 的图象上，把点 P 向∴点 Q 的坐标是(3,3)．设经过点 Q 的反比例函数图象的解析式是 y ＝x .把 Q (3,3)∵当 y ＝1 时，x ＝－2，∴当 y ≤1 时，x ≤－2 或 x ＞0.重点二 反比例函数解析式的确定 (高频考点)k为__________.k15该反比例函数的解析式为 y ＝ x .k的面积为 3，则这个反比例函数的解析式为____________.【解答】由题意，得 S 矩形ABOC ＝|k |＝3，则 k ＝±3.∵反比例函数的图象位于3第二、四象限，∴k ＜0，∴k ＝－3，则反比例函数的解析式为 y ＝－x .2上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点 Q ，则经过点 Q 的反比例函数图象的解析式为__________.2【解答】∵点 P (2，a )在反比例函数 y ＝x 的图象上，∴a ＝1，即点 P 的坐标为(2,1)．∵把点 P 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点 Q ，k代入，得 k ＝9，∴经过点 Q 的反比例函数图象的解析式9为 y ＝x .【解题思路】设经过点 A 的双曲线的解析式为 y ＝x .过点 C 作 CE ⊥x 轴于【解答】设经过点 A 的双曲线的解析式为 y ＝ .如答图，过点 C 作 CE ⊥x 轴x解得 a ＝2，b ＝2，∴A (－2，2)，∴k ＝－ 4 ， 得直线 l 的解析式为 y ＝ x＋1.∵A (－2,0)，∴OA ＝2.2(4) 如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 B 的坐标为(1,4)，则经过点 A 的双曲线的解析式为____________.k点 E ，过点 B 作 BD ⊥EC 的延长线于点 D ，过点 A 作 AF ⊥x 轴于点 △F ，得到AOF ≌△OCE ≌△CBD ，设 OE ＝a ，CE ＝B ．由 B (1,4)可得 a 与 b 的关系式，可得点 A 的坐标，即可得到答案．k于点 E ，过点 B 作 BD ⊥EC 的延长线于点 D ，过点 A 作 AF ⊥x 轴于点 F .易证得△AOF ≌△OCE ≌△CBD ．设 OE ＝a ，CE ＝B ．∵B (1,4)，∴a －b ＝1，a ＋b＝4，5 3 3 5 1515∴经过点 A 的双曲线的解析式为 y ＝－4x .(5)如图，直线 l 经过点 A(－2,0)和点 B(0,1)，点 M 在 x 轴上，过点 M 作 x 轴的垂线交直线 l于点 C ．若 OM ＝2OA ，则经过点 C 的反比例函数图象的解析式为__________.【解答】由直线 l 经过点 A (－2,0)和点 B (0,1)，可1∵OM ＝2OA ，∴OM ＝4，∴点 C 的横坐标为 4，当 x ＝4 时，y ＝3，∴C (4,3)．设k反比例函数的解析式为 y ＝x ，将 C (4,3)代入，得 k ＝12，∴反比例函数的解析式12为 y ＝ x .重点三 反比例函数系数 k 的几何意义1、如图，反比例函数 y ＝x(x ＞0)的图象经过 A ，B 两点，过点 A 作 AC ⊥yS ＝4，反比例函数 y ＝x (x ＞ ．如图，△1 AOB 与反比例函数 y ＝ 的图象交于 C ，D 两点，且 AB ∥x 轴，△AOB 的k轴于点 C ，过点 B 作 BD ⊥y 轴于点 D ，过点 B 作 BE ⊥x 轴于点 E ，连接 AD ． 已知 AC ＝1，BE ＝1， 矩形 BDOE＝4，则 △S ACD ＝______.【解答】如答图，过点 A 作 AH ⊥x 轴于点 H ，交 BD 于点 F ，则四边形 ACOH 和四边形 ACDF均为矩形．∵S矩形 BDOEk 0)的图象经过点 B ，∴k ＝4，∴S 矩形 ACOH ＝4.∵AC ＝1，∴OC ＝4，∴CD ＝OC －OD ＝OC －BE ＝4－1＝3，∴S 矩形 ACDF ＝1×3＝3，∴△S AC D3＝2.作业练习k x3面积为 6.若 AC ∶CB ＝1∶3，则反比例函数的解析式为__y ＝x __.2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OACB 为菱形，OB 在 x 轴的正半轴上，∠AOB4，则AOF的面积为__4__.＝60°，过点A的反比例函数y＝x的图象与BC交于点△F3．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，∠ADO＝30°，OA＝2，反k比例函数y＝x的图象经过CD的中点M，则k＝__3＋6__.。
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2020年中考数学《反比例函数》总复习题
1．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A，B两点，且A点的横坐标为4．（1）求k的值；
（2）过原点O的另一条直线l交双曲线y＝（k＞0）于P，Q两点，（P点在第一象限），若由点A、O、P为顶点组成的三角形面积为6，求点P的坐标．
【分析】（1）由于A点的横坐标为4，所以把x＝4代入y＝x得y＝2，得到A点坐标为（4，2），再把A点坐标代入•反比例函数解析式可求出k的值；
（2）设，过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，分两种情况根据三角形面积列出关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵A点横坐标为4，把x＝4代入中，得y＝2，
∴A（4，2），
∴k＝4×2＝8；
（2）设，
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S△POE＝S△AOF＝4，
若0＜m＜4，
∵S△POE+S梯形PEF A＝S△AOF+S△POA
∴S梯形PEF A＝S△POA＝6，
∴，
解得m1＝2，m2＝﹣8（舍去），
∴P（2，4），
若m＞4，
∴，
解得m1＝8，m2＝﹣2（舍去），
∴P（8，1），
综上，P（2，4）或P（8，1）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键，即利用点的坐标表示出图形的面积是关键，注意方程思想的应用．。