江苏省盐城市时杨中学2017届高三下学期数学附加题练习3 精品
【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷-答案
江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷(2)设, 在ABD ∆中,π,6,34ABC AD BD ∠===.由=πsin sin 4AD BD a ,解得sin a 8分 因为BD AD <，所以π(0,)4a ∈，所以cos 4a =. 10分因此πππsin sin()sin coscos sin =)444244ADC a a a ∠=+=++= 12分 所以ADC ∆的面积113sin 62(1222S AD DC ADC =⨯⨯⋅∠=⨯⨯=+ 14分 16.(本小题满分14分)证明：(1)因为AD ⊥平面,PAB AP ⊂平面PAB ,所以AD AP ⊥ 2分 又因为,,AP AB AB AD A AB ⊥=⊂I 平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以AP ⊥平面ABCD . 4分 因为CD ⊂平面ABCD ,所以CD AP ⊥. 6分 (2)因为,CD AP CD PD ⊥⊥,且,PD AP P PD =⊂I 平面,PAD AP ⊂平面PAD ,所以CD ⊥平面PAD .① 8分 因为AD ⊥平面PAB ,AB ⊂平面PAB , 所以AB AD ⊥.又因为,,AP AB AP AD A AP ⊥=⊂I 平面PAD ,AD ⊂平面PAD .所以AB ⊥平面PAD .② 10分 由①②得CD AB ∥, 12分 因为CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,所以CD ∥平面PAB . 14分 17.(本小题满分14分)解：(1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3600,故当90a =时，40b =, 从而包装盒的侧面积22(902)2(402)=8260,(0,20)S x x x x x x x =⨯-+⨯--+∈, 3分 因为226542258260=8()42S x x x =-+--+, 故当654x =时，侧面积最大，最大值为42252平方厘米. 6分 (2)包装盒的体积2(2)(2)[2()4],(0,)2bV a x b x x x ab a b x x x =--=-++∈, 8分22222[2()4](4)(36002404)=42403600V x ab a b x x x ab x x x x x x x =-++≤-+=++-+当且仅当60a b ==时等号成立. 10分 设32()42403600,(0,30)f x x x x =-+∈. 则()12(10)(30)f x x x '=--.于是当010x <<时,()0f x '>,所以()f x 在(0,10)上单调递增；当1030x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(10,30)上单调递减.因此当=10x 时,()f x 由最大值(10)=16000f . 12分 此时60,10a b x ===.答：当60,10a b x ===时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米. 14分 18.(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆222=18x y b +经过点(,2)b c ,所以2224=18b c b +. 因为22228c c e a ==,所以2228182b b b -+=. 因为222a b c =+,所以2228182b b b-+=. 2分 整理得2212320b b -+=,解得2=4b 或2=8b （舍）.所以椭圆C 的方程为22184x y +=. 4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,因为(1,0)T ,则直线l 的方程为(1)y k x =-.联立直线l 与椭圆方程22(1),184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222(21)4280k x k x k +-+-=,所以212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩6分 因为MN l ∥,所以直线MN 方程为y kx =,联立直线MN 与椭圆方程22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得22(21)=8k x +,解得22821x k =+.因为MN l ∥,所以1222(1)(1)()M N x x AM BT MN x x --=-g g . 8分因为12121227(1)(1)=[()1]21x x x x x x k ----++=+g ,所以212222(1)(1)7217()213232M N x x AM BT k MN x x k --+===-+g g g . 10分 (3)在(1)y k x =-中,令0x =,则y k =-,所以(0,)P k -. 从而25AP TB =u u u ru u r ,所以22(1)5x x -=-,即122255x x +=. 12分 由(2)知,212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由2122124,2122,55k x x k x x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩解得22122242162,3(21)3(21)k k x x k k -+-==++. 14分 因为21222821k x x k -=+,所以2222224216228=3(21)3(21)21k k k k k k -+--⨯+++, 整理得42508334=0k k --,解得2=2k 或21750k =-（舍）. 又因为0k >,所以k 16分 19.(本小题满分16分)解：(1)当a e =时,()1x f x e ex =--,①()()()21,()2x x h x f x g x e x h x e '=-=--=-. 由()0h x '>得ln 2x >,由()0h x '<得ln 2x <.所以函数()h x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞,单调递减区间为(,ln 2)-∞. 3分 ②()x f x e e '=-.当1x <时,()0f x '<,所以()f x 在区间(,1)-∞上单调递减； 当1x >时,()0f x '>,所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.1*当1m ≤时,()f x 在(,]m -∞上单调递减,值域为[1,]m e em --+∞,()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-, 因为()F x 的值域为R ,所以1(2)m e em e m --≤-, 即10m e em --≤.(*)由①可知当0m <时,()21(0)0m h m e m h =-->=,故(*)不成立.因为()h m 在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1)上单调递增,且(0)0,(1)30h h e ==-<,所以01m <≤时,()0h m ≤恒成立,因此01m <≤. 6分 2*当1m >时,()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,]m 上单调递增, 所以函数()=1x f x e ex --在(,]m -∞上的值域为[(1),]f +∞,即[1,)-+∞. ()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-,因为()F x 的值域为R ,所以1(2)e m -≤-,即112m e <≤-. 综上1*,2*可知,实数m 的取值范围是1[0,]2e -. 9分 (1)()xf x e a '=-.若0a ≤时,()0f x '>,此时()f x 在在R 上单调递增. 由12()=()f x f x 可得12=x x 与12||1x x -≥相矛盾,所以0a >,且()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,在[ln ,)a -∞上单调递增. 11分 若12,(,ln ]x x a ∈-∞,则由12()=()f x f x 可得12=x x ,与12||1x x -≥相矛盾, 同样不能有12,[ln ,)x x a ∈+∞,不妨设1202x x ≤≤≤,则有120ln 2x a x ≤<<≤.因为()f x 在1(,ln )x a 上单调递减,在2(ln ,)a x 上单调递增,且12()=()f x f x , 所以当12x x x ≤≤时,12()()=()f x f x f x ≤. 由1202x x ≤≤≤,且12||1x x -≥,可得121[,]x x ∈,故12(1)()=()f f x f x ≤. 14分 又()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,且10ln x a ≤≤,所以1()=(0)f x f , 所以(1)(0)f f ≤,同理(1)(2)f f ≤.即210,122,e a e a e a --≤⎧⎨--≤--⎩解得211e a e e -≤≤--,所以211e a e e -≤≤--. 16分 20.(本小题满分16分)(1)因为{}n a 是公差为2的等差数列.所以11=2(1),1n n S a a n a n n+-=+-. 2分从而11122(1)(2)(1)22nc a n a n n a n n +++++=-+-=+,即1n c =. 4分(2)由1(1)n n n S n b a n++=-,得1(1)n n n n n b na S ++=-,121(1)(2)(1)n n n n n b n a S +++++=+-,两式相减,并化简得211=(2)n n n n a a n b nb +++-+-. 6分 从而12121(2)[(1)]22n n n n n n n n a a S a a n c a n b n++++++++=-=--+21(1)2n n n a a n b +++=++1(2)(1)2n n n n b nb n b ++-=++11(2)()2n n n b b +=++因此11()2n n n c b b +=+. 9分因为对一切*n ∈N ,有n n b c λ≤≤,所以11=()2n n n n c b b λλ+≤+≤,故==n n b c λλ,. 11分 所以1(1)=n n S n a nλ++-,①121(2)=()2n n n S n a a nλ++++-②②-①,得211()=2n n a a λ++-,即21=2n n a a λ++-故1=2(2)n n a a λλ+-≥. 14分 又2212=1n S a a a λ-=-,则1=2(1)n n a a λλ+-≥,所以数列{}n a 是等差数列. 16分 21.【选做题】在A B C D 、、、四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.A .选修41-：几何证明选讲解：(1)因为BC 是圆O 的切线,故由切割线定理得2=BC BM BA ⋅. 2分 设AM t =,因为8,4AB BC ==,所以24=8(8)t -,解得=6t ,即线段AM 的长度为6.. 4分 (2)因为四边形AMNC 为圆的内接四边形,所以A MNB ∠=∠. 6分 又B B ∠=∠,所以MNB BCA ∆∆:. 8分 所以=BN MNBA CA.因为2AB AC =,所以2BN MN =. 10分 B .选修42-：矩阵与变换 解：（方法一）在直线:70l ax y +-=取点(0,7),(1,7)A B a -. 因为30003003,17717(7)1b b b a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 4分 所以(0,7),(1,7)A B a -在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(0,7),(3,(7)1)A b B b a ''--. 由题意知,A B ''在直线:9910l x y '+-=上,所以7910,27(7)1910b b a -=⎧⎨+---=⎩. 8分解得2,13a b ==. 10分 （方法二）设在直线l 上任意一点取点(,)P x y ,点P 在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(,)Q x y '''.因为30017x b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以=3,.x x y x by '⎧⎨'=-+⎩4分 又因为点(,)Q x y '''在直线l '上,所以9910x y ''+-=即27()910x x by +-+-=,也即26910x by +-=,又点(,)P x y 在直线l 上,所以有70ax y +-=. 8分所以269117b a -==-,解得2,13a b ==. 10分 C .选修44-：坐标系于参数方程 解：（方法一）在直线l 的参数方程式为普通方程得434x y -=.将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 4分联立方程组2434,4,x y y x -=⎧⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩或1,41,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以1(4,4),(,1)4A B -. 8分所以254AB . 10分（方法二）设将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得243()4(1)55t t =+,即2415250t t --=, 所以12121515,44t t t t +==-. 6分所以221212121525||()4()2544AB t t t t t t =-=+-=+=. 10分D .选修45-：不等式选讲证明：4224222222222222464()()4()4=(2)()a a b b ab a b a b ab a b a b a b ab a b ++-+=+-+++-=-. 5分 因为a b ≠,所以4()0a b ->,所以42242264()a a b b ab a b ++>+. 10分 【必做题】第22题、第22题,每小题10分,共20分.22.（本小题满10分）解：因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD . 又AE ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以11,AA AE AA AD ⊥⊥.在菱形ABCD 中π=3ABC ∠,则ABC ∆是等边三角形. 因为E 是BC 中点,所以BC AE ⊥. 因为BC AD ∥,所以AE AD ⊥. 以1,,AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立空间执教坐标系,则131(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(,,1)2A C D A E F(1)31(0,2,0),(,,1)2AD EF ==-u u u r u u u r 所以1AD EF ⋅=u u u r u u u r .从而2cos ,||||AD EF AD EF AD EF <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r g .故异面直线,EF AD 所成的余弦值为2. 4分 (2)设(,,)M x y z ,由于点M 在线段1A D 上,且11A MA Dλ=, 则11A M A D λ=u u u u r u u u u r,即(,,2)2(0,2,2)x y z -=-.则(0,2,22),(3,21,22)M CM λλλλ-=---u u u u r. 6分设平面AEF 的法向量为000(,,)n x y z =.因为31(3,0,0),(1)22AE AF ==u u u r u u u r g ,由0,0n AE n AF ==u u u r u u u r g g 得0001=0,02x y z +=.取02y =,则01z =-,则平面AEF 的一个法向量为(0,2,1)n =-. 8分由于CM ∥平面AEF ,则0n CM =u u u u r g ,即2(21)(22)0λλ---=,解得2=3λ. 10分23.（本小题满10分）解：(1)由题意知22223223A p A ==,即2p 的值为23. 3分(2)先排第n 行,则最大数在第n 行的概率为2(1)12n n n n =++； 5分 去掉第n 行已经排好的n 个数, 则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最大数在第1n -行的概率为11(1)2n n n n -=-； 故1212222213(1)3(1)n nn p n n n n n -+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++⨯⨯⋅⋅⋅⨯+. 7分 由于0121212212(11)nnnn n n n n n n n n n C C C C C C C C C C +=+=+++⋅⋅⋅+≥++>+=,故21112(1)(1)nn n n C n n +++>++,即211(1)n n n C p n ++>+. 10分。
江苏省南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试 数学 Word版含答案
江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学2017.3一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 函数()1ln1f x x=-的定义域为 . 2. 若复数z 满足()12z i i -=（i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= .3.某校有三个兴趣小组，甲乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲乙不在同一个兴趣小组的概率为 .4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要从所有参加调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”中抽取8人，则n 的值为 . 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 .6.记公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1421,50a S S =-=，则5S 的值为 .7.将函数()sin f x x =的图象向右平移3π个单位后得到函数()y g x =的图象，则函数()()y f x g x =+的最大值是 .8.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上的一点，,PA l ⊥A 为垂足，若直线AF 的斜率为k =PF 的长为 .9.若3sin ,0,652ππαα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos α的值为 .10.,αβ是两个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 .（填上所有正确的序号）①若//,m αβα⊂，则//m β； ②若//,m n αα⊂，则//m n ； ③若,,n m n αβαβ⊥=⊥，则m β⊥；④若,,m n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥11.在平面直角坐标系xoy 中，直线1:20l kx y -+=与直线2:20l x ky +-=相交于点P ，则当k 实数变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为 . 12.若函数()22cos 38f x x m x m m =-++-有唯一的零点，则满足条件的实数m 的所有的集合为 .13.已知平面向量()()1,2,2,2AC BD ==-，则AB CD ⋅的最小值为 .14.已知函数()()ln f x x e a x b =+--，其中e 为自然对数的底数，若不等式()0f x ≤恒成立，则ba的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，6,3, 2.AD BD DC ===（1）若AD BC ⊥，求BAC ∠的大小； （2）若4ABC π∠=，求ADC ∆的面积.16.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,.PAB AP AB ⊥ （1）求证：CD AP ⊥；（2）若CD PD ⊥，求证：//CD 平面PAB .17.（本题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后再矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）.设小正方形的边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB,BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a b ≥.（1）当90a =时，求纸盒的侧面积的最大值；（2）试确定,,a b x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，焦点在x 轴上的椭圆222:18x y C b+=经过点(),2b c ，其中e 为椭圆C 的离心率，过点()1,0T 作斜率为()0k k >的直线交椭圆C 于A,B 两点（A 在x 轴下方）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M,N ，求2AT BTMN ⋅的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P,若25AP TB =，求直线l 的斜率k .19.（本题满分16分）已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数，a R ∈. （1）若a e =，函数()()2g x e x =-.①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；②若函数()()(),,f x x mF x g x x m≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为R,求实数m 的取值范围；（2）若存在实数[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证：212e a e -≤≤-.20.（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}{},n n b c 满足()()1211,22n n n n n n n S a a Sn b a n c n n+++++=-+=-，其中.n N *∈ （1）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求数列{}n c 的通项公式； （2）若存在实数λ，使得对一切n N *∈，有n n b c λ≤≤，求证：数列{}n a 是等差数列.江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加卷21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆的顶点A,C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M. （1）若BC 是圆O 的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM 的长； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N,且AB=2AC,求证：BN=2MN.B.选修4-2：矩阵与变换设,a b R ∈，若直线:70l ax y +-=在矩阵301A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变化作用下，得到的直线为:9910l x y '+-=，求实数,a b 的值. C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线315:45x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），与曲线24:4x k C y k ⎧=⎨=⎩（k为参数）交于A,B 两点，求线段AB 的长.D.选修4-5：不等式选讲设a b ≠，求证：()42242264a a b b ab a b ++>+.【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12,,,3A A AB ABC E F π==∠=分别是1,BC A C 的中点.（1）求异面直线,EF AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=,若//CM 平面AEF ，求实数λ的值.23.（本小题满分10分） 现有()()12,2n n n n N *+≥∈个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设k M 是第k 行中的最大数，其中1,k n k N *≤≤∈，记12n M M M <<<的概率为n p（1）求2p 的值；（2）证明：()21.1!n n C p n +>+。
江苏省盐城市时杨中学高考数学 第7讲 二项式定理练习
江苏省盐城市时杨中学高考数学：第7讲 二项式定理 【学习目标】 1．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题； 2．培养归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力． 【问题情境】 由多项式的乘法法则可以知道： 2222)(bababa 32232333)()()(babbaabababa 你能写出nba)(的展开式吗？ 【我的疑问】 备 注
第1页共4页 【自主探究】 1．利用二项式定理展开下列各式： （1）6)(ba；（2）4)11(x． 2．在7)21(x的展开式中，求： （1）第4项的二项式系数； （2）含3x的项的系数． 3．求6)21(xx的二项展开式中的常数项． 备 注
第2页共4页 【课堂检测】 1．利用二项式定理展开下列各式： （1）5)1(x；（2）4)2(x；（3）5)2(ba；（4）7)1(xx． 2．求下列各展开式中的指定项： （1）6)2(xx的展开式中的第4项；（2）6)21(x的展开式中含2x的项； （3）1023)212(xx展开式中的常数项； （4）203)212(x展开式中的有理项. 3．若nxx)1(5展开式中的第4项是常数项，求n的值； 【回标反馈】 备 注
第3页共4页 【巩固练习】 1．化简： （1）66)1()1(xx；（2）55)1()1(xx；（3）44)1()1(xxxx． 2. 求下列各展开式中的指定项： （1）12)13(xx展开式中的第7项；（2）10)211(x展开式中含51x的项； （3）52)1()1(xx展开式中含3x的项. 3．已知nxx)2(2的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为3:14，求展开式的常数项. 4．求52)23(xx展开式中含x项的系数. 备 注
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江苏省盐城市时杨中学高三数学综合练习(二)(无答案)
高三数学综合练习（二）1.已知集合{}1A x x =≥，{}1,0,1,4B =−，则A B =________.2.设复数z a bi =+（a ，b R ∈，i 是虚数单位），且22z i =，则a b +=______.3.若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________.4.椭圆222125x y b +=(0b >)与双曲线2218x y −=有公共的焦点，则b =______. 5.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ．6.把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是_____.7.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为__________.8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*123n n n S a n N =−∈，2020S =_______________. 9.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin sin B A c B C a b−=−+则sin 6A π⎛⎫−= ⎪⎝⎭________． 10.如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 在线段BC 上，且3BC BE =，若(,)AC AD AE R λμλμ=+∈，则μλ的值为_______.11.过直线l ：2y x =−上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定()00,B x y ，使得PA PB =恒成立，则00x y −=______.12.设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos a c b C −=.（1）求B ；（2）若3b =，ABC 的面积为32，求ABC 的周长.16.如图，在三棱锥A -BCD 中，点M ，N 分别在棱AC ，CD 上，且N 为CD 的中点． （1）当M 为AC 的中点时，求证：AD //平面BMN ；（2）若平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊥BC ，求证：BC ⊥AD .17.如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数；（2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值.。
【江苏省南京市、盐城市】2017年高考一模数学试卷(附答案与解析)
江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合01{}1A =-,,，0B =∞(-,)，则A B =_________．2．设复数z 满足1i 2z +=()，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为__________．3．已知样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差23s =，则样本数据12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为__________． 4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是_________．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为__________．6．已知实数x ，y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则yx 的最小值是_________．7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为__________．8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S =__________．9．将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π(0)2ϕϕ<<个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ=_________．10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG △为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是___________．11．在ABC △中，已知AB =π3C =，则CA CB 的最大值为__________． 12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线1)y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1k =，2，…，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +△都是等边三角形，则101011A B A △的边长是_________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆2223M x y r +=:(-)的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y f x =()的图象经过点O ，P ，M ，则y f x =()的最大值为_________． 14．在ABC △中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若22228a b c ++=，则ABC △面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ，E 分别是AB ，AC 的中点． （1）求证：11//B C 平面1A DE ； （2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且sin2sin b C c B =． （1）求角C ； （2）若π3sin()35B -=，求sin A 的值． 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222O x y b +=:经过椭圆222:1(02)4x yE b b+=<<的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线l y kx m =+:交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，10M (-,)，10N (,)，记直线TM ，TN 的斜率分别为1k ，2k ，当22221m k =-时，求12k k 的值．18．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan 34θ=． （1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．设函数ln f x x =()，13a g x ax a R x-=+∈()-()． （1）当2a =时，解关于x 的方程0xg e =()（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数x f x g x ϕ=+()()()的单调增区间；（3）当1a =时，记h x f x g x =()()()，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2hx λ≥()有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈）．20．若存在常数*2k k N k ∈≥(,)、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,n n n n a d N ka n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{}n b 为“段比差数列”． （1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3． ①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤对*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分） [选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，PA ，PB 分别交半圆O 于点D ，C ．若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长．[选修4-2：矩阵与变换] 22．设矩阵223m M =-的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x ，y ，z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程． （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E X ()． 26．设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈． （1）求值：①11k k n n kC nC ---；②2212112k k k n n n k C n n C nC k ≥-----(-)-()；（2）化简：2021222212311k n n n n n n C C C k C n C ++++++++()()．江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷答 案1．{}1- 2．1- 3．12 4．95．56 6．3478．639．512π 10．411．3212．13．981415．证明：（1）因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以//DE BC ，又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE ， 又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以11//B C 平面1A DE ． （2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ， 又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE ⊥， 又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， 又1CC ，AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =，所以DE ⊥平面11ACC A ，又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．解：（1）由sin2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =， 因为sin 0B ＞，sin 0C ＞，所以1cos 2C =， 又0πC ∈(,)，所以π3C =． （2）因为π3C =， 所以2π(0,)3B ∈， 所以πππ(,)333B -∈-，又π3sin()35B -=，所以π4cos()35B -=．又2π3A B +=，即2π3A B =-，所以2πππ4133sin sin()sin[()]333252510A B B =-=--=-⨯=． 17．解：（1）因02b ＜＜，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222O x y b +=:经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =，所以224b =，即22b =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）设11P x y (,)，22Qx y (,)，00T x y (,)， 联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222124240k x kmx m +++=()-， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k =-，所以122k x x m+=-， 所以0kx m=-，012k y m k m m =-=， 则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m====-----+--． 18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为96H (,)， 半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +=-，9=，解得24b =或32b =（舍）． 故太阳光线所在直线方程为3244y x =-+，令30x =，得 1.5EG =米 2.5＜米．所以此时能保证上述采光要求．（2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为H r h (,)，半径为r ． 方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +=-r =，解得2b h r =+或2b h r =-（舍）故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++，令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-所以2222213355222(252)50(10)25025022222S rh r rh r r r r r r r π=+=+⨯≤-+⨯=-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为302.5(,)， 设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为533024y x =--(-)， 即341000x y +=-由直线1l 与半圆H 相切，得341005r h r +-=．而点H r h (,)在直线1l 的下方，则341000r h +-＜，即341005r h r +-=-，从而252h r =-又2222135522(252)50(10)2502502222S rh r r r r r r r π=+=-+⨯=-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大19．解：（1）当2a =时，0g x =()，可得12x =或1， 0x g e =()，可得12x e =或1x e =， ∴ln2x =-或0；（2）1ln 3a x f x g x x ax x ϕ-=+=++()()()-，2[(1)](1)ax a x x x ϕ--+'=() ①0a =，210x x x ϕ+'=()＞，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ②1a =，210x x x x ϕ+'=()＞，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ③01a ＜＜，10a x a-=＜，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ④1a ＞，10a x a-=＞，函数的单调递增区间是1(,)a a -+∞； ⑤0a ＜，10a x a -=＞，函数的单调递增区间是1(0,)a a-； （3）1a =，3ln hx x x =()(-)，3ln 1h x x x'=+()-， 2130h x x x "=+()＞恒成立，∴h x '()在0+∞(,)上单调递增， ∴存在0x ，00h x '=()，即003ln 1x x =+-， h x ()在00x (,)上单调递减，0x +∞(,)上单调递增，∴00096min h x h x x x ==++()()-()， ∵10h '()＜，20h '()＞，∴012x ∈(,)， ∴h x ()不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x 的不等式2hx λ≥()有解． 20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴2014201300b b =⨯=，∴2015201433b b =+=，∴2016201536b b =+=．方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=， ∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列． ∴201666b b ==．②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴32313131331313126[]n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+---=+=+=++==--()-()-()-， ∴31{}n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又∵32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b -----++=+++=﹣(-)()，∴3123456n S b b b b b b =+++++()()2323132531(1)3)3[46]932n n n n n n b b b b b b n n n --++++=++=+⨯=+--()(， ∵133n n S λ-≤，∴313n n S λ-≤，设2ADB π∠=，则n max c λ≥()， 又2221119(1)3(1)932(322)333n n n n n n n n n n n c c +--++++----=-=， 当1n =时，23220n n --＜，12c c ＜；当2n ≥时，23220n n --＞，1n n c c +＜， ∴123c c c ＜＜＜，∴214n max c c ==()， ∴14λ≥，得14[,λ∈+∞)．方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++===--，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列， ∴2363(1)76342n n n b b b n n n -++=+⨯=+， 易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列， ∴2124532312(21)21362n n n n b b b b b b n n n ---++++++=⨯+⨯=-， ∴2223(34)(6)93n S n n n n n n =++-=+，以下同方法一．（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ， 则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=， 当*m N ∈时，21km km b b d ++=-，即11km km km bq bq bq q d +==-(-)恒成立，② 若1q =，则0d =，n b b =； ②若1q ≠，则(1)kmd qq b=-，则km q 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，1(1)n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或1(1)n n b b -=-．方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，3b b d q =+()，4b b d q d =++()，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得2b d q b d q d +=++()()，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或1(1)n n b b -=-，经检验均合题意．②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得22b d b b d +=+()()，得0d =，则n b b =，经检验适合题意． 综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或1(1)n n b b -=-．21．解：由切割线定理得：PD PA PC PB = 则42433BC ⨯+=⨯+()()，解得5BC =， 又因为AB 是半圆O 的直径，故2ADB π∠=，则在三角形PDB中有BD ==． 22．解：∵矩阵223m M =-的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， ∴4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩，解得0m =，4λ=-．23．解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）化为普通方程为430x y =-， 圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为2211x y +=(-)，则圆C 的圆心到直线l的距离为45d ==，所以65AB ==． 24．解：由柯西不等式，得22222222121x y z x y z ++≤++++()()()，即222x y z x y ++≤++又因为21x y z ++=，所以22216x y z ++≥， 当且仅当121x y z ==，即16x z ==，13y =时取等号． 综上，222min 1()6x y z ++=．25．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P =-=⨯． （2）由题意得1(5,)3XB ，5512()()()33k k k P X k C -==，0,1,2,3,4,5k =．所以X 的概率分布表为：所以，X 的数学期望为15()533E X =⨯=．26．解：（1）①11!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯---!!0(1)!()!(1)!()!n n k n k k n k =-=----．②221221!(2)!(1)!(1)(1)!()!(2)!()!(1)!()!k k k n n n n n n k C n n C nC k n n n k n k k n k k n k ---------=⨯--⨯-⨯-----!!!(1)!()!(2)!()!(1)!()!n n n k k n k k n k k n k =⨯--------!1(1)0(2)!()!11n k k n k k k =--=----．（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时，222211211(1)(21)C 2[(1)]2k k k k k k k k k n n n n n n n n n k C k k k C kC C n n C nC nC C ------+=++=++=-+++2121(1)3k k k n n n n n C nC C ----=-++．故20212222123(1)(1)knn n n n nC C C k C n C ++++++++202101212123222111(12)(1)()3()(C )n n nn n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C C C --------=++-+++++++++++2122(14)(1)23(21)(21)2(54)n n n n n n n n n n n ---=++-+-+--=++．方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有122(1)1n k k n nn n n n x C x C x C x C x +=++++++，两边同乘以x ，得122311(1)n k k n n n n n n x x x C x C x C x C x +++=++++++，两边对x 求导，得1122(1)(1)123(1)(1)n n k kn nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++，两边再同乘以x ，得12122311(1)(1)23(1)(1)n n k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x -+++++=++++++++，两边再对x 求导，得1221111121n n n n x n x x n n x x n x x +++++++---()()(-)()()2122222123(1)(1)k kn nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++．令1x =，得121212222221222123(k 1)(1)n n n n knn n n n n n n n C C C n C --+++=++++++++-(-)，即20212222222123(k 1)(1)54knn n n n n n C C C n n n C C -++++=++++++()．江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．3．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．4．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．5．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．6．【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．7．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．8．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．9．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．10．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．11．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．12．【考点】数列的求和．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．13．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．14．【考点】余弦定理．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式可求S2≤﹣=﹣+c，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤﹣=﹣+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，﹣ +c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．15．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．17．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．18．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大19．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．20．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【分析】（1）①方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒b n}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n +d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，﹣1即可求S3n方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d即可．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．22．【考点】特征向量的定义．【分析】推导出，由此能求出结果．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【考点】基本不等式．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．25．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．26．【考点】组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．。
江苏省盐城市时杨中学2016-2017学年高中数学选修1-2：数系的扩充学案 精品
6.设 ， ，当 取何值时：（1） ；（2） ．
7.已知关于 的方程组 有实数解，求实数
的值．
备注
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2．实数 取什么数值时，复数 是：
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
3．已知 ，其中 ，求 与 ．
4．已知 ， ,
，则实数 _____．
备注
第2页共4页
【课堂检测】
1．说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的
实部与虚部？
， ， ， ， ， ， ，
2．下列命题中，假命题是__________．
在自然数集内如何解方程 ？
在整数集内解方程 ？
在有理数集内解方程 ？
2．在实数集内方程 的解的问题该如何解决?
3．虚数单位:
4．复数的定义:
5．复数的代数形式:
6．两个复数相等的定义:
【我的疑问】
备注
第1页共4页
【自主探究】
1．写出复数 ， ， ， ， ， 的实部与虚部，并指出哪
些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
6.若 ，求 的
1.设 ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的
__________________条件．
2.复数 是非零实数，则实数 ________．
3.若复数 ，则 的最大值是_______．
③
4.方程 的根是____________．
《数系的扩充》导学案
编制：徐粉芹审核：林汉新批准：
【学习目标】
1．了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位 ．
2．了解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律．
江苏省盐城市2017届高三第二次12月月考试数学试题Word版含答案
ACD EA 1B 1C 1D 1 滨海县八滩中学2016－2017学年度秋学期高三第二次月考试卷数 学 试 题 日期：2016-12-4总 分：160分 时间：120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．设集合{}2,5A =，{}13B x x =≤≤，则A B =I ．2．设复数z 满足i i z i (23)4(+=-⋅是虚数单位），则z 的实部为 ． 3．某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 ．4．已知b a b a ,,3||,2||==的夹角为120o ，则=+|2|b a ． 5．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ．6.运行下面的程序，输出的结果是 ．7．已知F 为双曲线C ：2224(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ．8．设函数24 6 ,0,()6, 0,x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥则不等式)1()(f x f >的解集是 ．9．如图，在长方体1111D C B A ABCD -，对角线D B 1与平面11BC A 交于E 点．记四棱锥E 1111D C B A -的体积为1V ，长方体1111D C B A ABCD -的体积为2V ，则21V V的值是 ．10．已知函数⎩⎨⎧>+≤≤++=1,510,32)(23x mx x m x x x f ，若函数)(x f 有且仅有两个零点，则实数m的取值范围是 ． 11．关于函数)(),32sin(4)(R x x x f ∈+=π，有下列命题：①由0)()(21==x f x f 可得i ←1S ←1While 4i ≤ S ← S ·i i ←i+1 End While Print S21x x -必是π的整数倍；②)(x f y =表达式可写成；③)(x f y =的图象关于点对称；④)(x f y =的图象关于直线号是______________．12．在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,是圆05622=+-+x y x 上的两个动点，且满足，则||OB OA +的最小值为 ．13．各项均为正偶数的数列1a ，2a ，3a ，4a 中，前三项依次成为公差为)0(>d d 的等差 数列，后三项依次成为公比为q 的等比数列，若-4a 881=a ，则q 的所有可能的值构成的集合为 ． 14．已知0a >的图象的两个端点分别为,A B ，设M 是函数()f x 图象上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若||1MN ≤恒成立，则a 的最大值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. 已知C B A ,,是三角形ABC ∆三内角，向量，(cos ,sin )n A A =r ，且1=⋅n m .（1）求角A ； （2）16.在正三棱柱'''ABC A B C -中，. （1）求证：平面'AB D ⊥平面''BCC B ； （2）求证://EF 平面'AB D .17．如图，某城市有一个五边形的地下污水管通道ABCDE ，四边形8CD =km ,3BC =km ；△ABE 是以BE 为底边的等腰三角形，的中间点P 处建地下污水处理中心，为此要过点P 建一个“直线型”的地下水通道管道，其中接口处M 点在矩形BCDE 的边BC 或CD 上. (1) 若点M 在边BC 上，设∠BPM θ=，用θ表示BM 和NE 的长；(2) 点M 设置在哪些地方，能使点M ,N 平分主通道ABCDE 的周长？请说明理由.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22．A为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO =u u u v u u u v．（1）若点P 的坐标为()2,2，求椭圆的方程；（2）设过点P 的一条直线交椭圆于,B C 两点，且BP mBC =u u u v u u u v，直线,OA OB 的斜率之积为12-，求实数的m 的值． 19.已知函数()e ,()ln 1(1)x f x g x x x ==+≥. （1）求函数()(1)()(1)h x f x g x x =--≥的最小值； （2）已知1y x ≤<，求证：e 1ln ln x y x y -->-；（3）设2()(1)()H x x f x =-，在区间(1,)+∞内是否存在区间[,](1)a b a >，使函数()H x 在区间[,]a b 的值域也是[,]a b ？请给出结论，并说明理由.20.已知数列{},{}n n a b 满足：114a =，1n n ab +=，211n n n a b b -=+． （1）求1234,,,b b b b ； （2）求证：数列1{}1n b -是等差数列，并求{}n b 的通项公式； （3）设12231n n n S a a a a a a +=+++L ，若不等式4n n aS b <对任意*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围．数学参考答案及评分标准1.}2{；2.6；3.93；4.72；5.54； 6.24； 7.2； 8. ),3()1,3(+∞⋃-； 9.91； 10.)0,5(-； 11.②③； 12.4； 13.}78,35{； 14.246+15.(1)因为(1,3)m =-u r ，(cos ,sin )n A A =r，所以1)6sin(2sin 3cos =-=+-=⋅πA A A n m分----------------------------4分分（分所以2tan =B -------------------------------------------------------------------10分 所以)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=π-------------------------------------14分 16.（1）因为三角形ABC 是正三角形，D 是边BC 的中点，所以.AD BC ⊥ ------------2分 因为ABC-A 1B 1C 1为正三棱柱，所以'B B ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ， 所以'B B AD ⊥，------------------------------------------------4分 又'B B BC B ⋂=，AD ∴⊥平面''BCC B ，AD ⊂Q 平面ABC ，∴平面'AB D ⊥平面''BCC B ---------6分（2）连结','A C A B ，'A B 交'AB 于O ，连OD ，因为,E F 分别是',A A AC 的中点，所以//'EF A C.--------------------10分由于O ，D 分别为',BC A B 的中点，所以//'OD A C ，从而//EF OD -------------------12分 又OD ⊂平面',EF AB D ⊄平面',AB D//EF ∴平面'AB D . -------------------------------------------14分17.解（1）当点M 在边BC 上，设∠---------------------------2分在Rt △BPM 中，tan 4tan BM BP θθ=⋅=.在△PEN 中,不妨设∠PEN α=,------------------------------------------------------------------------4分------------------------------------------------6分 （2）当点M 在边BC 上，由 BM AB AN MC CD DE EN ++=+++,2BM NE -=;BD CAO FE即10tan 2tan 14tan 3θθθ-=+；即28tan 8tan 30θθ--=,解得210tan .4θ±=与30tan 4≤≤θ矛盾，点只能设在CD 上. -----------------------------------------------------------8分当点M 在边CD 上，设CD 中点为Q ,由轴对称不妨设M 在CQ 上，此时点N 在线段AE 上； 设∠MPQ θ=4(0tan )3θ≤≤，在Rt △MPQ 中，tan 3tan MQ PQ θθ=⋅=；在△PAN 中，不妨设∠PAE β=，其中43sin ,cos ;55ββ==则sin()sin PA AN πθβθ=--，即3sin 15sin 15tan sin()3sin 4cos 3tan 4AN θθθθβθθθ===+++；-------------10分由MC CB BA AN MQ QD DE EN +++=+++,得AN MQ =，即15tan 3tan 3tan 4θθθ=+；解得tan 0θ=或1tan 3θ=；故当4CM =，或者14333CM =-⨯=时，符合题意. -------------------------------------12分答：当点M 位于CD 中点Q 处，或点M 到点C 的距离为3km 时，才能使点M ,N 平分地下水总通道ABCDE 的周长. --------------------------------------------------------------------- 14分18. 解：（1）因为2OP AO =u u u v u u u v ，而()2,2P ，所以21,2A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 代入椭圆方程，得221112a b +=，① -------------------------------------------------------- 2分 又椭圆的离心率为22，所以22212b a -=，② ---------------------------------- 4分由①②，得222,1a b ==，故椭圆的方程为2212x y +=． -------------------------------- 6分 （2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，因为2OP AO =u u u v u u u v，所以()112,2P x y --．因为BP mBC =u u u v u u u v，所以()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--，即()()123212322,2,x x m x x y y m y y --=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩于是32132112,12,m x x x m mm y y y m m -⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩------------------------ 8分--------------10分 因为,A B 在椭圆上，所以 ④ --------------------------------12分因为直线,OA OB的斜率之积为⑤---------------------------------- 14分---------------------------------- 16分，'()0h x ∴≥，函数()h x 在[1,)+∞上是增函数， 所以1x =时，函数()h x 的最小值为(1)0h =. --------------------- 4分 （理科学生可直接使用复合函数的求导公式） （2）由（1）可知，当1x ≥时，1()ln 10x h x e x -=--≥， 1y x ≤<Q ，(1)ln(1)10x y h x y e x y -∴-+=--+-≥，1ln(1)x y e x y -⇒-≥-+①， ------------------------------------- 6分 ，则ln(1)ln ln x y x y -+≥-② 由①②可知：1ln ln x y e x y --≥-.1y x ≤<Q ，所以等号不可能取到，即1ln ln x y e x y -->-. ------------------------------- 10分（3）由于2'()(1)x H x x e =-，当1x >时，假设存在区间[,]a b ，使函数()H x 在区间[,]a b 的值域也是[,]a b .当1x >时，'()0H x >，所以函数()H x 在区间(1,)+∞上是增函数.---------------12分()()H a a H b b =⎧⎨=⎩所以，即22(1)(1)aba e ab e b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 亦即方程x e x x=⋅-2)1(有两个大于1的不等实根. ---------------------------14分1,'()0x u x >>Q ，()u x 在(1,)+∞上是增函数，所以()u x 在(1,)+∞上至多有一个零点，即()0u x =不可能有两个大于1的不等实根，故假设不成立， 从而不存在区间],[b a 满足要求. ---------------------------16分分 分 分 分∴1<a 时,4n n aS b <恒成立 -----------------------------------16分。
【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷
,n m αβ=在平面直角坐标系xoy 40y --=_______________.已知平面向量(1,2),(2,2)AC BD ==-则AB CD 的最小值为⊥．如图,四棱锥中,平面,AP AB⊥；(1)求证：CD AP⊥,求证：CD∥平面PAB.(2)若CD PD17.(本小题满分14分)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后再矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形的边长为x厘≥.米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a ba=时,求纸盒的侧面积的最大值；(1)当90a b x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.(2)试确定,,18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,焦点在x 轴上的椭圆222:18x y C b+=经过点(,2)b c ,其中e 为椭圆C 的离心率,过点(1,0)T 作斜率为(0)k k >的直线交椭圆C 于A ,B 两点(A 在x 轴下方). (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ,N ,求2AT BTMN ⋅的值；(3)记直线l 与y 轴的交点为P ,若25AP TB =,求直线l 的斜率k .19.(本小题满分16分)已知函数()e 1x f x ax =--,其中e 为自然对数的底数,a ∈R . (1)若e a =,函数()(2e)g x x =-.①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；②若函数(),()(),f x x mF x g x x m≤⎧=⎨>⎩的值域为R ,求实数m 的取值范围；已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{},{}n n b c 满足121(1),(2)2n n n n n n n S a a Sn b a n c n n+++++=-+=-,其中.n *∈N(1)若数列{}n a 是公差为2的等差数列,求数列{}n c 的通项公式；(2)若存在实数λ,使得对一切n *∈N ,有n n b c λ≤≤,求证：数列{}n a 是等差数列.数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟) 21．【选做题】在A ,B ,C ,D 四个小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题纸的指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4-1：几何证明选讲如图,ABC ∆的顶点A ,C 在圆O 上,B 在圆外,线段AB 与圆O 交于点M . (1)若BC 是圆O 的切线,且AB=8,BC=4,求线段AM 的长；(2)若线段BC 与圆O 交于另一点N ,且2AB AC =,求证：2BN MN =.B .(选修4-2：矩阵与变换)设,a b ∈R ,若直线:70l ax y +-=在矩阵301A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变化作用下,得到的直线为:9910l x y '+-=,求实数,a b 的值.C .选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中,直线315:45x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),与曲线24:4x k C y k ⎧=⎨=⎩(k 为参数)交于A ,B 两点,求线段AB 的长.D .选修4-5：不等式选讲设a b ≠,求证：42242264()a a b b ab a b ++>+.【必做题】第22题、第23题,每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面四边形ABCD 为菱形,1π2,,,3A A AB ABC E F ==∠=分别是1,BC AC 的中点. (1)求异面直线,EF AD 所成角的余弦值；(2)点M 在线段1A D 上,11A MA Dλ=,若CM ∥平面AEF ,求实数λ的值. 23．(本小题满分10分) 现有(1)(2,)2n n n n *+≥∈N 个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设k M 是第k 行中的最大数,其中1,k n k *≤≤∈N ,记12n M M M <<<的概率为n p(1)求2p的值；(2)证明：211(1)nn nCpn++>+.。
江苏省盐城市时杨中学2016-2017学年高二下学期周末数
高二周末练习(理)2017.6.4班级：___________姓名：___________1．双曲线13422=-y x 的离心率是__________．2．设i 为虚数单位，则=---+)1(12i ii __________．3．某校高二（1）班共有48人，学号依次为01，02，03，…，48，现用系统抽样的办法抽一个容量为4的样本，已知学号为06，30，42的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________．4．若从[1,4]上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为__________． 5．直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有两个公共点，则m 的取值范围为__________．6．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为__________．7．命题“若1=x ，则12=x ”的逆命题是__________ ．8．设5,0,=+>b a b a ,则31+++b a 的最大值为__________．9．已知函数3)(x e x f x +=，若)23()(2-<x f x f ，则实数x 的取值范围是__________．10．若把英语单词“error ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．11．若n xx )3(-的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为__________．12．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为__________．13．一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为l ，2，3，4，5：4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的概率分布.14．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121,1===⊥AA BC AC BC AC ，D 是棱1AA 上的点，BD DC ⊥1.（1）求证：D 为1AA 中点；（2）求直线1BC 与平面BDC 所成角正弦值大小；（3）在ABC ∆边界及内部是否存在点M 使得⊥M B 1面BDC ，若存在，说明M 位置，若不存在，说明理由.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*∈+==N n n a S a n n ),2(3,21.（1）求32,a a 并猜想n a 的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.。
【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷
江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷一、填空题.(共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.函数1()ln1f x x=-的定义域为_______________. 2.若复数z 满足()1i 2z -=,（i 为虚数单位）,z 是z 的共轭复数,则z z •=_______________.3.某校有三个兴趣小组,甲乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可能性相同,则甲乙不在同一个兴趣小组的概率为_______________.4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧 男性青年观众 40 10 女性青年观众4060现要从所有参加调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研,若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”中抽取8人,则n 的值为_______________.5.根据如图所示的伪代码,输出S 的值为_______________.6.记公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S , 若1421,50a S S =-=, 则5S 的值为_______________.7.将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象,则函数()()y f x g x =+的最大值是_______________.8.在平面直角坐标系xoy 中,抛物线26y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是抛物线上的一点,PA l ⊥,A 为垂足,若直线AF 的斜率为3k =-,则线段PF 的长为_______________. 9.若π3πsin(),(0,)652αα-=∈则cos α的值为_______________.10.,αβ是两个不同的平面,,m n 为两条不同的直线,下列命题中正确的是_______________.(填上所有正确的序号)①若,m αβα⊂∥,则m β∥； ②若,m n αα⊂∥,则m n ∥； ③若,,n m n αβαβ⊥=⊥I ,则m β⊥；④若,,m n m αβα⊥⊥⊥,则m β⊥11.在平面直角坐标系xoy 中,直线1:20l kx y -+=,与直线2:20l x ky +-=相交于点P ,则当k 实数变化时,点P 到直线40x y --=的距离的最大值为_______________.12.若函数22()cos 38f x x m x m m =-++-有唯一的零点,则满足条件的实数m 的所有的集合为_______________.13.已知平面向量(1,2),(2,2)AC BD ==-u u u r u u u r ,则AB CD u u u r u u u rg 的最小值为_______________.14.已知函数()ln ()f x x e a x b =+--,其中e 为自然对数的底数,若不等式()0f x ≤恒成立,则ba的最小值为_______________.二、解答题：本大题共6小题 计90分. 解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.(本小题满分14分)如图,在ABC ∆中,D 为边BC 上一点,6,3, 2.AD BD DC ===． (1)若AD BC ⊥,求BAC ∠的大小； (2)若π4ABC ∠=,求ADC ∆的面积.16.(本小题满分14分)如图,四棱锥中,平面,AP AB ⊥． (1)求证：CD AP ⊥；(2)若CD PD ⊥,求证：CD ∥平面PAB .17.(本小题满分14分)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ,然后再矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形的边长为x 厘米,矩形纸板的两边AB ,BC 的长分别为a 厘米和b 厘米,其中a b ≥. (1)当90a =时,求纸盒的侧面积的最大值；(2)试确定,,a b x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,焦点在x 轴上的椭圆222:18x y C b +=经过点(,2)b c ,其中e 为椭圆C 的离心率,过点(1,0)T 作斜率为(0)k k >的直线交椭圆C 于A ,B 两点(A 在x 轴下方). (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ,N ,求2AT BTMN ⋅的值；(3)记直线l 与y 轴的交点为P ,若25AP TB =u u u r u u r,求直线l 的斜率k .19.(本小题满分16分)已知函数()e 1x f x ax =--,其中e 为自然对数的底数,a ∈R . (1)若e a =,函数()(2e)g x x =-.①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；②若函数(),()(),f x x mF x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ,求实数m 的取值范围；(2)若存在实数[]12,0,2x x ∈,使得12()()f x f x =,且121x x -≥,求证：2e 1e 2a -≤≤-,. 20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{},{}n n b c 满足121(1),(2)2n n n n n n n n b a n c n n++++=-+=-,其中.n *∈N(1)若数列{}n a 是公差为2的等差数列,求数列{}n c 的通项公式；(2)若存在实数λ,使得对一切n *∈N ,有n n b c λ≤≤,求证：数列{}n a 是等差数列.数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟) 21．【选做题】在A ,B ,C ,D 四个小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题纸的指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4-1：几何证明选讲如图,ABC ∆的顶点A ,C 在圆O 上,B 在圆外,线段AB 与圆O 交于点M . (1)若BC 是圆O 的切线,且AB=8,BC=4,求线段AM 的长；(2)若线段BC 与圆O 交于另一点N ,且2AB AC =,求证：2BN MN =.B .(选修4-2：矩阵与变换)设,a b ∈R ,若直线:70l ax y +-=在矩阵301A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变化作用下,得到的直线为:9910l x y '+-=,求实数,a b 的值.C .选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中,直线315:45x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),与曲线24:4x k C y k ⎧=⎨=⎩(k 为参数)交于A ,B 两点,求线段AB 的长.D .选修4-5：不等式选讲设a b ≠,求证：42242264()a a b b ab a b ++>+.【必做题】第22题、第23题,每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面四边形ABCD 为菱形,1π2,,,3A A AB ABC E F ==∠=分别是1,BC AC 的中点. (1)求异面直线,EF AD 所成角的余弦值；(2)点M 在线段1A D 上,11A MA Dλ=,若CM ∥平面AEF ,求实数λ的值. 23．(本小题满分10分) 现有(1)(2,)2n n n n *+≥∈N 个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设k M 是第k 行中的最大数,其中1,k n k *≤≤∈N ,记12n M M M <<<L 的概率为n p(1)求2p的值；(2)证明：211(1)nn nCpn++>+.。
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2017届高三数学附加题（17）
班级__________姓名________
1.已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 21
1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
21.求向量α，使得A 2α＝β.
2.在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
3. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1.
(1) 求二面角ADFB的大小；
(2) 试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角为60°.
4.某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，1
4；如果投资乙
项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．
(1) 如果把10万元投资甲项目，用X 表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X 的概率分布列及数学期望E(X)；
(2) 若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．
B. 解：设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β得⎣⎢
⎡⎦⎥⎤3 42
3⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
21，(5分)
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，2x ＋3y ＝1，∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴ α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1.(10分)
C. 解：ρ2
＝3ρcos θ，圆ρ＝3cos θ的普通方程为x 2
＋y 2
＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322
＋y 2＝9
4
.(3分) 直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的普通方程为2x ＋4y ＋a ＝0.(6分) 又圆与直线相切，所以|2·3
2＋4·0＋a|22＋42
＝3
2，解得a ＝－3±3 5.(10分)
22. 解：(1) 如图，以CD →，CB →，CE →
为正交基底建立空间直角坐标系，则E(0，0，1)，D(2，0，0)，B(0，2，0)，F(2，2，1)．(2分)
平面ADF 的法向量t ＝(1，0，0)，BD →＝(2，－2，0)，BF →
＝(2，0，1)． 设平面DFB 的法向量n ＝(a ，b ，c)，则n ·BD →＝0，n ·BF →
＝0，
∴ ⎩⎨⎧2a －2b ＝0，2a ＋c ＝0.
令a ＝1，得b ＝1，c ＝－2，∴ n ＝(1，1，－2)．(4分) 从而cos 〈n ，t 〉＝（1，0，0）·（1，1，－2）1×2＝1
2，显然二面角ADFB 为锐角，
故二面角ADFB 的大小为60°.(6分)
(2) 由题意，设P(a ，a ，0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a ，1)，CB →
＝(0，2，0)． ∵ PF 与BC 所成的角为60°， ∴ cos60°＝|
2·（2－a ）
2×2（2－a ）2＋1
|＝12，解得a ＝22或a ＝32
2(舍)， ∴ 点P 在线段AC 的中点处．(10分)
23. 解：(1) 依题意，X 的可能取值为1，0，－1，(2分) X 的分布列为
(4分)
E(X)＝1×12－1×14＝1
4
.(5分)
(2) 设Y 表示10万元投资乙项目的收益，则Y 的分布列为
(8分)
E(Y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥14，∴ 9
16≤α≤1.(10分)。