江苏高考数学导数练习题
高三数学：2024届高考数学导数大题精选30题(解析版)(共31页)
2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13；(2)递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为2,3 ，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数，赋值求得f (1)，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息，求出函数f (x )的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ，求导得f(x )=2x -10+3f (1)x，则f (1)=-8+3f (1)，解得f (1)=4，于是f (x )=x 2-10x +12ln x ，f (1)=-9，所以所求切线方程为：y +9=4(x -1)，即y =4x -13.(2)由(1)知，函数f (x )=x 2-10x +12ln x ，定义域为(0,+∞)，求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x，当0<x <2或x >3时，f (x )>0，当2<x <3时，f (x )<0，因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，当x =2时，f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2，当x =3时，f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3，所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x，其中a ∈R ．(1)当a =0时，求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0，分别求出f (1)及f (1)，即可写出切线方程；(2)计算出f (x )，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，分类讨论a 的范围，得出f (x )的单调性，由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】(1)当a =0时，f (x )=x 2e x ，则f (1)=1e ，f (x )=2x -x 2ex，所以f (1)=1e ，所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为：y -1e =1e(x -1)，即x -ey =0．(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，当0<a <2时，x ∈[0,a ]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,a ]上单调递减，所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ，则a =1，符合题意；当a >2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，x ∈(2,a ]时，f (x )>0，则f (x )在(2,a ]上单调递增，所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ，则a =4-e <2，不合题意；当a =2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ，不合题意；综上，a =1．3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ，g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数，然后分类讨论即可；(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论，即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ，知f x =ae x -1.当a ≤0时，有f x =ae x -1≤0-1=-1<0，所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0，对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0，所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上，当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时，由(1)的结论，知f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增，所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ，故f x >g x 恒成立，这表明此时条件不满足；当a ≤1时，设h x =ae x -x -cos x ，由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0，h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0，故由零点存在定理，知一定存在x 0∈-a -1,0 ，使得h x 0 =0，故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0，从而f x 0 =g x 0 ，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ，a ∈R 且a ≠0．(1)证明：曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程，从而得证；(2)分类讨论a <0与a >0，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ，所以f (x )=a x -1=a -xx，则f (1)=a ln1-1+a =a -1，f (1)=a -1，所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1)，当x =0时，y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1)，故y =0，所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx，当a<0时，a-x<0，则f x <0，故f(x)单调递减；当a>0时，令f (x)=0则x=a，当0<x<a时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x>a时，f (x)<0，f(x)单调递减；综上：当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x．(1)当a=1e时，求f x 的单调区间；(2)当a>0时，f x ≥2-a，求a的取值范围．【答案】(1)f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，求导得f x =x+1xxe x-1-1，令g x =xe x-1-1，求g x 确定g x 的单调性与取值，从而确定f x 的零点，得函数的单调区间；(2)求f x ，确定函数的单调性，从而确定函数f x 的最值，即可得a的取值范围．【详解】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1，设g x =xe x-1-1，则g x =x+1e x-1>0恒成立，又g1 =e0-1=0，所以当x∈0,1时，f x <0，f x 单调递减，当x∈1,+∞时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞；(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1，设h x =a2xe x-1，则h x =a2x+1e x>0，所以h x 在0,+∞上单调递增，又h0 =-1<0，h1a2=e1a2-1>0，所以存在x0∈0,1 a2，使得h x0 =0，即a2x0e x0-1=0，当x∈0,x0时，f x <0，f x 单调递减，当x∈x0,+∞时，f x >0，f x 单调递增，当x=x0时，f x 取得极小值，也是最小值，所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a，所以1+2ln a≥2-a，即a+2ln a-1≥0，设F a =a+2ln a-1，易知F a 单调递增，且F1 =0，所以F a ≥F1 ，解得a≥1，综上，a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2．(1)当a=-12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2，且g(x1)+g(x2)≥-1-32a，求a的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导，然后确定单调性即可；(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】(1)当a=-12时，f(x)=ln x-14(x-1)2，x>0，则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x，当x∈(0,2)，f (x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)；(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1，所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x，设φ(x)=ax2-(a+2)x+1，令φ(x)=0，由于g(x)有两个极值点x1,x2，所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0，解得a>0．由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a，即ln a-12a-1a≤0，令m(a)=ln a-12a-1a，则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0，所以m(a)在(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，所以a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．7(2024·湖北·二模)求解下列问题，(1)若kx-1≥ln x恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，x∈0,1，求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导，然后分k≤0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；(2)先发现g0 =g1 =0，当a=b时，g x =0，当0<x<1，a≠b时，取ab=t，L x =tx+1-x-t x，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0，则需使f x ≥0恒成立，∴f x =k-1xx>0，当k≤0时，f x <0恒成立，则f x 在(0,+∞)上单调递减，且在x>1时，f x <0，不符合题意，舍去；当k >0时．令f x =0，解得x =1k，则f x 在0,1k 上单调递减，在1k ,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ，要使kx -1≥ln x 恒成立，只要ln k ≥0即可，解得k ≥1，所以k 的最小值为1；(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ，x ∈[0,1]，a >0，b >0，易知g 0 =g 1 =0，当a =b 时，g x =ax +a -ax -a =0，此时函数无极值；当0<x <1，a ≠b 时，g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x，取ab=t ，t >0，t ≠1，L x =tx +1-x -t x ，t >0，t ≠1，x ∈0,1 ，则L x =t -1-t x ln t ，当t >1时，由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t，由(1)知t -1≥ln t ，当t >1时，t -1ln t>1，因为x -1≥ln x ，所以1x -1≥ln 1x ，所以ln x ≥1-1x ，即x >0，当t >1时，ln t >1-1t，所以t >t -1ln t ，则ln t >ln t -1ln t >0，所以ln t -1ln tln t<1，即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增，在ln t -1ln tln t,1单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =ab，a ≠b ，当0<t <1时，同理有ln t -1lntln t∈0,1 ，由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t，即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增，在ln t -1lntln t,1上单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =a b，a ≠b ，综上可知，当a =b 时，函数g x 没有极值；当a ≠b 时，函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t，其中t =ab，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取ab=t ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +．(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )>0恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2；(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数，利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时，g (x )>0恒成立，当n >1时，等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2，利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2，f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，当0<x <π2时，f (x )=sin x cos x +sin x -92x ，求导得：f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x，由于cos x ∈(0,1)，由f (x )>0，得0<cos x <12，解得π3<x <π2，由f (x )<0，得12<cos x <1，解得0<x <π3，即f (x )在0,π3 上单调递减，在π3,π2上单调递增，因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2，从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时，g (x )>0恒成立，即sin x -x cos x >0恒成立，亦即tan x >x 恒成立，令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ，求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0，则函数h (x )在0,π2上为增函数，有h (x )>h (0)=0，因此tan x -x >0恒成立；当n >1时，g (x )>0恒成立，即不等式sin xn cos x>x 恒成立，令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2，求导得：F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ，求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2，由n >1,x ∈0,π2 ，得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0，当n +12n -2≥1时，即n ≤3时，G (x )<0，则函数G (x )在0,π2上单调递减，则有G (x )<G (0)=0，即F (x )<0，因此函数F (x )在0,π2 上单调递减，有F (x )<F (0)=0，即g (x )>0，当n +12n -2<1时，即n >3时，存在一个x 0∈0,π2 ，使得cos n -1n x 0=n +12n -2，且当x ∈(0,x 0)时，G (x )>0，即G (x )在(0,x 0)上单调递增，且G (x )>G (0)=0，则F (x )>0，于是F (x )在(0,x 0)上单调递增，因此F (x )>F (0)=0，即sin xn cos x<x ，与g (x )>0矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数x 1，x 2，均有f x 1 f x 2x 1x 2>0，求a ；(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ，证明：t n -56<ln n +1 <t n ．【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0，再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性，当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；(2)由(1)问的结论可知，1n -12n2<ln 1n +1 <1n ，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =0；f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1，因此f 0 =0；i.a ≤0时，2a -1x +1<0，则此时令f x >0有x ∈-1,0 ，令f x <0有x ∈0,+∞ ，则f x 在-1,0 上单调递增，0,+∞ 上单调递减，又f 0 =0，于是f x ≤0，此时令x 1x 2<0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；ii .a >0时，f x 有零点0和x 0=12a-1，若x 0<0，即a >12，此时令f x <0有x ∈x 0,0 ，f x 在x 0,0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 >0，令x 1>0，x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0>0，即0<a <12，此时令f x <0有x ∈0,x 0 ，f x 在0,x 0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 <0，令-1<x 1<0,x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0=0，即a =12，此时fx =x 2x +1>0，f x 在-1,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，则x >0时f x >0，x <0时f x <0；则x ≠0时f x x >0，也即对x 1x 2≠0，f x 1 f x 2x 1x 2>0，综上，a =12(2)证：由(1)问的结论可知，a =0时，f x =-x +ln x +1 ≤0；且a =12时x >0，f x =12x 2-x +ln x +1 >0；则x>0时，x-12x2<ln x+1<x，令x=1n，有1n-12n2<ln1n+1<1n，即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n，于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加，t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n；欲证t n-56<ln n+1<t n，只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2，只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53；因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1，所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53，得证：于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛：(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R．(1)当a=1时，求函数f x 在x=π2处的切线方程；(2)x∈0,π2时；(ⅰ)若f x +sin2x>0，求a的取值范围；(ⅱ)证明：sin2x⋅tan x>x3．【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3，再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时，f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为：y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2，设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件，即a ≤3.下证a ≤3时，满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1)，设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减，所以h (t )>h (1)=0，又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时，g (x )>g (0)=0；下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,，g (x )=2cos x +1cos 2x-a ，令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ，则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1，∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0，∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数，令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ，则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0，又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0，当x ∈0,x 1 时，g (x )<g x 1 =0，∴此时g (x )在0,x 1 为减函数，∴当x ∈0,x 1 时，g (x )<g (0)=0，∴a >3时，不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,，F x 在0,π2上单调递增，∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x．(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程；(2)若x ∈(-1,π)，讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数．【答案】(1)y =32x -1；(2)2．【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】(1)依题意，f x =11+x +121+x 32，故f 0 =32，而f 0 =-1，故所求切线方程为y +1=32x ，即y =32x -1．(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ，故ln 1+x +2cos x -11+x=0，令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ，g x =11+x -2sin x +121+x -32，令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52．①当x ∈-1,π2时，cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0，∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数，即gx 在-1,π2 上为减函数，又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0，∴g x 在0,1 上有唯一的零点，设为x 0，即g x 0 =00<x 0<1 ．∴g x 在-1,x 0 上为增函数，在x 0,π2上为减函数．又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0，∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点，在x 0,π2上无零点；②当x ∈π2,5π6 时，g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减，又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0，∴g x 在π2,5π6内恰有一零点；③当x ∈5π6,π 时，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数，∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0，∴g x 单调递增，又g π >0,g 5π6 <0，所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0，当x ∈5π6,x 0 时，g x <0,g x 递减；当x ∈x 0,π 时，g x >0,g x 递增，g x ≤max g 5π6 ,g π <0，∴g x 在5π6,π内无零点．综上所述，曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时，求f x 的单调区间；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；(2)借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，借助韦达定理可得t 1+t 2=4，t 1t 2=a ，即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时，f x =-12e 2x +4e x -3x -5，f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ，则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ，即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时，f x <0，当e x ∈1,3 ，即x ∈0,ln3 时，f x >0，故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ，单调递增区间为0,ln3 ；(2)f x =-e 2x +4e x -a ，令t =e x ，即f x =-t 2+4t -a ，令t 1=e x 1，t 2=e x 2，则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，则Δ=-4 2-4a =16-4a >0，即a <4，有t 1+t 2=4，t 1t 2=a >0，即0<a <4，则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2，要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0，即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ，令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ，则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ，令h x =1x -ln x 0<x <4 ，则h x =-1x 2-1x <0，则g x 在0,4 上单调递减，又g 1 =11-ln1=1，g 2 =12-ln2<0，故存在x 0∈1,2 ，使g x 0 =1x 0-ln x 0=0，即1x 0=ln x 0，则当x ∈0,x 0 时，g x >0，当x ∈x 0,4 时，g x <0，故g x 在0,x 0 上单调递增，g x 在x 0,4 上单调递减，则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3，又x 0∈1,2 ，则x 0+1x 0∈2,52 ，故g x 0 =x 0+1x 0-3<0，即g x <0，即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系，即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时，求函数f x 的极值；(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e，无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时，f x =xe x (x ∈R )，所以f x =1+x e x ，令f x =0，则x =-1，x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e，所以f x 的极小值为-1e，无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，令g x =e x -kx ，则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点，易知g x =e x -k ，因为x ∈0,+∞ ，所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时，g x >0在0,+∞ 上恒成立，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =1，所以g x 在0,+∞ 上没有零点，不符合题意；②当k ∈1,+∞ 时，令g x =0，得x =ln k ，所以在0,ln k 上，g x <0，在ln k ,+∞ 上，g x >0，所以g x 在0,ln k 上单调递减，在(ln k ,+∞)上单调递增，所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点，所以g ln k =k -k ⋅ln k <0，所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ，令h x =x -2ln x ，则h x =1-2x =x -2x，所以在0,2 上，h x <0，在2,+∞ 上，h x >0，所以h x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0，所以g ln k 2 =k k -2ln k >0，所以当k >e 时，g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点，即当k >e 时，g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f x 的符号，进而确定f x 的单调区间.f x >0，则f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f x <0，则f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ，g x =2ax，a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a >0与a <0分类讨论即可得；(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0)，当a <0时，由于x >0，所以f x >0恒成立，从而f x 在0,+∞ 上递增；当a >0时，0<x <1a ，f x >0；x >1a ，fx <0，从而f x 在0,1a 上递增，在1a,+∞ 递减；综上，当a <0时，f x 的单调递增区间为0,+∞ ，没有单调递减区间；当a >0时，f x 的单调递增区间为0,1a ，单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax，要使f x ≤g x 恒成立，只要使h x ≤0恒成立，也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2，由于a >0，x >0，所以ax +1>0恒成立，当0<x <2a 时，h x >0，当2a<x <+∞时，h x <0，所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0，解得：a ≥2e 3，所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x，分a ≤0和a >0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0，h x =e x -1x,x >0，根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号，进而可得F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得：f x 的定义域为0,+∞ ，fx =2ax -1x =2ax 2-1x，当a ≤0时，则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立，可知f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，令f x >0，解得x >12a；令f x <0，解得0<x <12a；可知f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增；综上所述：当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0，则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x，由x >0可知x +1>0，构建h x =e x -1x ,x >0，因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 12=e -20,h 1 =e -1 0，可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ，当0<x <x 0，则h x <0，即Fx <0；当x >x 0，则h x >0，即F x >0；可知F x 在0,x 0 上单调递减，在x 0,+∞ 上单调递增，则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1，又因为e x 0-1x 0=0，则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0，x 0∈12,1 ，可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0，即F x ≥0，所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2．(1)求a 的值；(2)若f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；(2)借助函数与方程的关系，可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ，f 1 =a -b ，f (1)=a ×0-b =-b ，则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为：y +b =a -b x -1 ，即y =a -b x -a ，令x =0，则有y =-a =-2，即a =2；(2)由a =2，即f (x )=2ln x -bx ，若f x 有且仅有两个零点，则方程2ln x-bx=0有两个根，即方程b=2ln xx有两个根，令g x =2ln xx，则gx =21-ln xx2，则当x∈0,e时，g x >0，则当x∈e,+∞时，g x <0，故g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，故g x ≤g e =2ln ee=2e，又x→0时，g x →-∞，x→+∞时，g x →0，故当b∈0,2 e时，方程b=2ln x x有两个根，即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若函数f x 有两个极值点，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明：函数f x 有且只有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)(ⅰ)-1<a<0；(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况，分别求出函数的单调区间；(2)(ⅰ)由(1)直接解得；(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞，且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2，当a≤-1时，f x ≤0恒成立，所以f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时，令f x =0，即-x+12+a+1=0，解得x1=-a+1-1，x2=a+1-1，因为-1<a<0，所以0<a+1<1，则-2<-a+1-1<-1，所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0，当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时，此时-a+1-1≤-2，所以x∈-2,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．综上可得：当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0．(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减，所以f x 在x=a+1-1处取得极大值，在x=-a+1-1处取得极小值，又-1<a<0，所以0<a+1<1，则1<a+1+1<2，又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0，又f-a+1-1<f a+1-1<0，所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点，又-1<a<0，则4a<-4，则0<e4a<e-4，-2<e4a-2<e-4-2，则0<e 4a-22<4，所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0，所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点，综上可得函数f x 有且只有一个零点．18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1，a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2．【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性，即可求解；(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1，分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立，进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1，a∈R的定义域为0,+∞，且f (x)=1x-a．当a≤0时，∀x∈0,+∞，f (x)=1x-a≥0恒成立，此时f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，令f (x)=1x-a=1-axx=0，解得x=1a，当x∈0,1 a时，f x >0，f x 在区间0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f x <0，f x 在区间1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，f x 在区间0,1 a上单调递增，在区间1a,+∞上单调递减．(2)设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，在区间(-∞,0)上，g x <0，g x 单调递减，在区间0,+∞上，g x >0，g x 单调递增，所以g x ≥g0 =e0-0-1=0，所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)．依题意，∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，即a≤e2x-ln x+1x恒成立，而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，当且仅当2x+ln x=0时等号成立．因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增，h1e=2e-1<0，h(1)=2>0，所以存在x0∈1e,1，使得2x0+ln x0=0成立．所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2，即a 的取值范围是-∞,2 ．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在，理由见解析【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；(2)求出直线AB 的斜率，再求出f (x 0)，从而得到x 1,x 2的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0，所以ax +1>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减，当x ∈(2,+∞)时，f (x )>0，f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1，f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得，ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2，即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1，不妨设x 2>x 1，则t >1，记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0，所以g (t )在(1,+∞)上是增函数，所以g (t )>g (1)=0，所以方程g (t )=0无解，则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ，f x 是f x 的导函数，且f x -f x =2e x ．(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ，求k ，b 的值；(2)在(1)的条件下，证明：f x ≥kx +b ．【答案】(1)k =3，b =1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，求导可得a 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ，所以f x =ax +a +1 e x ，因为f x -f x =2e x ，所以a =2．则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3．又因为f 0 =1，所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1，即得k =3，b =1．(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，x ∈R ，则g x =2x +3 e x -3，设h x =g x ，则h x =e x 2x +5 ，所以，当x >-52时，h x >0，g x 单调递增．又因为g0 =0，所以，x >0时，g x >0，g x 单调递增；-52<x <0时，g x <0，g x 单调递减．又当x ≤-52时，g x =2x +3 e x -3<0，综上g x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以当x =0时，g x 取得最小值g 0 =0，即2x +1 e x -3x -1≥0，所以，当x ∈R 时，f x ≥3x +1．21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2，求实数a ,m 的值；(2)若对于任意x ≥1，f x +ax ≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a =-1，m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，将问题转化为g x ≥0恒成立；求导后，分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x，∴f 1 =2a -a -1=a -1，∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2，∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ，解得：a =-1，m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得：ax 2-ln x -a ≥0，令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，则当x ≥1时，g x ≥0恒成立；。
高考数学导数的概念与运算选择题
高考数学导数的概念与运算选择题1. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率2. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列关于导数的定义，错误的是（）A. 函数f(x)在某一点x0处的导数定义为f(x0+h)-f(x0)/h，当h趋近于0时B. 导数表示函数在某一点的瞬时变化率C. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率D. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率4. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值25. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-16. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率7. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值28. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-19. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率10. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值211. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-112. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率13. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值214. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-115. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率16. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值217. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-118. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率19. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值220. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-121. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率22. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1D. 最大值3，最小值223. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-124. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率25. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值126. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-127. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率28. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值229. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-130. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率31. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值232. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-133. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率34. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值235. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-136. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率37. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值238. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-139. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率40. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值241. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1C. y=-2x+1D. y=-2x-142. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率43. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值244. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1D. y=-2x-145. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率46. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值247. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+148. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率49. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值250. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-1。
高二数学下学期导数及其应用本章专题复习卷(提升篇)(江苏等八省新高考地区专用)(解析版)
2020-2021学年高二数学下学期专题强化训练试卷五（提升篇）导数及其应用一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知某物体的运动方程是39t s t =+，则当3t s =时的瞬时速度是（ ）A. 2/m sB. 3/m sC. 4/m sD. 5/m s【答案】C【解析】13)(2+='t t s ,当3t s =时的瞬时速度4)3(='s .故选：C ．【点睛】本题考查了导数在物理上的应用，考查了分析求解能力，属于基础题. 2.下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x'⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e x x'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-【答案】B【解析】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确； 因为(3)3ln 3xx'=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错． 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式，考查导数的运算法则，属于基础题． 3.已知函数()sin f x x =，其导函数为()f x '，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'＝（ ） A. 12-B.32C.12D. 32-【答案】C【解析】∵()sin f x x =，∴()cos f x x '=，∴1'332f cos ππ⎛⎫==⎪⎝⎭.故选：C . 【点睛】本题考查了求函数在某点处的导数值，属于基础题. 4.曲线ln y ex x =-在点()1,e 处的切线方程为（ ） A. () 110e x y --+=B. () 110e x y ---=C. ()110e x y --+＝D. ()110e x y ---=【答案】C【解析】记()ln f x ex x =-，则()1f x e x'=-所以曲线ln y ex x =-在点()1,e 处的切线斜率为()1111f e e '=-=- 所以曲线ln y ex x =-在点()1,e 处的切线方程为：()()11y e e x -=--， 整理得：()110e x y --+=,故选:C【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数计算，考查转化能力，属于基础题. 5.若函数3()ln f x x x=+在区间(,2)m m +上是单调减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞ B. [1,)+∞C. (0,1)D. [0,1]【答案】D【解析】函数3()f x lnx x=+在区间(,2)m m +上是单调减函数，0≥∴m ． 且22313()0x f x x x x-'=-+=0≤令0)(≤'x f ，解得：3≤x ．32≤+∴m ，解得01≤≤-m ．∴实数m 的取值范围是[0，1],故选：D ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法，考查逻辑推理能力与运算求解能力,属于基础题．6.“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断以及利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中档题.7.已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．(),1-∞C ．),0(+∞D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意得2ln x x a x +=有两个零点，312ln x xa x '--= ，令()12ln (0)g x x x x =--> ， 则2()10g x x'=--<且(1)0g =，所以(0,1),()0,0x g x a ∈>'>，2ln x xa x +=在(0,1)上为增函数，可得),(1a ∈-∞，当(1,),()0,0x g x a ∈+∞<<'，2ln x xa x+=在(1,)+∞上单调递减， 可得(0,1)∈a ，即要2ln x xa x+=有两个零点有两个零点，实数a 的取值范围是()0,1．故选:A ． 【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，常见的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8.设实数t ＞0，若不等式2ln 2ln e0txxt+-≥对x ＞0恒成立，则t 的取值范围为（ ） A ．[12e ，+∞) B ．[1e ，+∞) C ．(0，1e] D ．(0，12e ]【答案】B【解析】2222ln 2ln 2ln e 0e ln 22e 2ln 22e ln 2e tx tx tx tx xxt x tx x x tx x t +-≥⇒≥⇒≥⇒≥，令()e x f x x =，则0)(>+='x x xe e x f ,所以函数()e xf x x =在),0(+∞上单调递增,故(2)(ln2)f xt f x ≥，故ln 212ln 22e x xt x t t x ≥⇒≥⇒≥，故选:B ．【点睛】本题考查了利用导数研究不等式的恒成立问题,构造函数研究单调性解不等式.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.直线12y x b =+能作为下列（ ）函数的图像的切线. A. 1()f x x=B. 4()f x x =C. ()sin f x x =D. ()x f x e =【答案】BCD 【解析】1()f x x =，故211'()2f x x =-=，无解，故A 排除； 4()f x x =，故31()42f x x ==，故12x =，即曲线在点11,216⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线为13216y x =-，B 正确；()sin f x x =，故1'()cos 2f x x ==，取3x π=，故曲线在点3π⎛ ⎝⎭的切线为126y x π=-，C 正确； ()xf x e =，故'()12x f x e ==，故ln2x =-，曲线在点1ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线为111ln 2222y x =++，D 正确；故选：BCD .【点睛】本题考查了曲线的切线问题，意在考查数学运算能力,属于基础题. 10.已经知道函数32()2f x x x =-在[1,3]-上，则下列说法正确．．的是( ) A ．最大值为9B ．最小值为3-C ．函数()f x 在区间[1,3]上单调递增D ．0x =是它的极大值点【答案】ABD【解析】2()34f x x x '=-，令2()340f x x x '=->，解得0x <或43x >， 所以当[1,0)x ∈-，4(,3]3时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当4(0,)3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故C 错误；所以0x =是它的极大值点，故D 正确；因为(0)0,(3)27299f f ==-⨯=，所以函数()f x 的最大值为9，故A 正确；因为4641632(1)123,()2327927f f -=--=-=-⨯=-，所以函数()f x 的最小值为3-，故B 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值、研究函数的单调性以及极值点，属于基础题.11.如图所示，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于两点，则对于函数()()F x f x kx =-，以下结论成立的是（ ）A. 有3个极大值点，2个极小值点B. 有2个零点C. 有2个极大值点，没有极小值点D. 没有零点【答案】AD【解析】由题意可知：直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于两点，所以方程()f x kx m =+有两个不相等的实数根，由图象可知；(),0,0f x kx m k m ≤+><，因此有()f x kx <，所以()()0F x f x kx =-<，因此函数()F x 没有零点，故选项B 错误，选项D 正确；()()()()''F x f x kx F x f x k =-⇒=-，作出与直线y kx m =+平行的所有切线，各切线与函数()f x 的切点的横坐标依次为(),,,,,?a b c d e f x 在,,,,,a b c d e 处的导数都等于k ,在()()(),,,,,a b c d e -∞上，()’f x k >,()()’0,F x F x >单调递增， 在()()(),,,,,a b c d e +∞上，()()()’0,?0,f x F x F x <<单调递减，因此函数()()F x f x kx =-有三个极大值点，有两个极小值点，所以选项A 正确，选项C 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了利用导数判别函数的极值点以及零点个数,属于中档题.12.设函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ） A. 不等式()0>g x 的解集为1(,)e+∞B. 函数()g x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减C. 当120x x >>时，221212()()()m x x f x f x 2->-恒成立，则m 1≥ D. 若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，则实数1(0,)2a ∈【答案】ACD【解析】因为函数()ln f x x x =，定义域{}0x x >， 所以()ln 1f x x '=+， 则()()ln 1f x g x x x x '=+=，()2ln xg x x'=-， 对于A ，()0g x >，即ln 10x x+>， ln 10x +>，即1x e>，故A 正确；对于B ，()2ln xg x x'=-，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，故B 错误； 对于C ，若120x x >>时，总有221212()()()m x x f x f x 2->-恒成立， 则22111222ln ln 22m mx x x x x x ->-，在()0,∞+上恒成立， 即()maxln 02m x x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭， 令()()ln 0x h x x x=>，则()21ln xh x x -'=，令()0h x '=，解得x e =，故()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故()()max 1h x h e e==， 故12m e >，2m e>，故1m 成立. 对于D ，函数2()()F x f x ax =-有两个极值点， 则()()2F x f x ax ''=-有两个零点，即ln 120x ax +-=，则ln 12x a x+=， 令()ln 1x G x x +=，则()2ln xG x x'=-，()G x 在()0,1递增，在()1,+∞单调递减，()11G =，即()20,1a ∈，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 正确, 故选：ACD 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()1cos 2f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的单调递增区间为______. 【答案】06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()1cos 2f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()1sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()0f x '>，即1sin 02x -+>，所以06x π<<，故()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案：06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，三角函数的性质的应用，属于中档题.14.已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=．若经过点()2,M m 可以作出曲线()y f x =的三条切线，则实数m 的取值范围为_______________．【答案】()6,2-.【解析】∵()323f x ax bx x =+-，∴()2323f x ax bx '=+-，根据题意得()()13213230f a b f a b ⎧=+-=-⎪⎨=+-='⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴函数的解析式为()33f x x x =-,33)(2-='∴x x f设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，()20033f x x '=-，故切线的斜率为2033x -， 由题意得3200003332x x m x x ---=-，即32002660x x m -++=，∵过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解，∴函数()32266g x x x m =-++有三个不同的零点．由于2()6126(2)g x x x x x =-=-'， ∴当0x <时，()0,()'>g x g x 单调递增， 当02x <<时，()0,()g x g x '<单调递减， 当2x >时，()0,()'>g x g x 单调递增.∴当0x =时，()g x 有极大值，且极大值为(0)6g m =+； 当2x =时，()g x 有极小值，且极小值为(2)2g m =-． ∵函数()g x 有3个零点，∴6020m m +>⎧⎨-+<⎩，解得62m -<<．∴实数m 的取值范围是(6,2)-．故答案为:(6,2)- 【点睛】本题考查了利用导数研究方程根,常见的方法有：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体形状，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有直观的整体展现．（2）研究方程根的情况，也可通过分离参数的方法，转化为两函数图象公共点个数的问题处理，解题时仍要利用数形结合求解． 15.已知函数()()1xf x ex =-，则它的极小值为_______；若函数()g x mx =，对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】 (1). 1- (2). ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）由()()1xf x e x =-，得()()1x x x f x e x e xe '=-+=，令()0f x '=，得0x =，列表如下：x(),0-∞()0,∞+所以，函数()y f x =的极小值为()()00011f e=-=-；（2）[]12,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x >，即()()min min f x g x >，()()min min 1g x f x ∴<=-. ①当0m >时，函数()y g x =单调递增，()()min 1g x g m =-=-，1m ∴-<-，即1m ；②当0m <时，函数()y g x =单调递减，()()min 22g x g m ==，21m ∴<-，即12m <-； ③当0m =时，()0g x =，不符合题意. 综上：()1,1,2m ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1-；()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用导数求解函数的极值，同时也考查了存在性问题与恒成立问题综合，考查分类讨论思想的应用，属于中档题. 16.已知函数21()ln 1()2f x m x x m R =-+∈，若m 为区间[1,4]上的任意实数，且对任意12,(0,1]x x ∈，总有()()121211f x f x t x x -≤-成立，则实数t 的最小值为______________. 【答案】）3 【解析】依题意1mx≥∴()0f x '≥，故()f x 在(]0,1上单调递增，不妨设1210x x ≥≥>， 则()()12f x f x ≥且1211x x ≤，原不等式即为()()1212t t f x f x x x +≤+.令()()tg x f x x =+，依题意，应满足()g x 在(]0,1上单调递减， 即()20m tg x x x x'=--≤(]0,1上恒成立.即3t mx x ≥-在(]0,1上恒成立，令()3h x mx x =-，则()23h x m x -'=（i ）若3m ≥，()0h x '≥，此时()h x 在(]0,1上单调递增，故此时()()11h x h m ==-最大值（ii ）若13m ≤<，x ⎛∈ ⎝时，()0h x '>，()h x 单调递增；x ⎫∈⎪⎪⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；故此时()maxh x h ==()31,34m h x m m ≤<=-≤≤⎩最大值， 故对于任意[]1,4m ∈，满足题设条件的t 最小值为3.故答案为:3【点睛】本题考查了利用导数解决已知切线方程求参数，恒成立问题转化为求函数的最值，考查分类讨论和构造函数法，考查了逻辑推理能力、数学运算能力以及方程转化的能力，属于稍难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()()2R xf x ax x a ea -=++∈．（Ⅰ）当=0a 时，求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若0a ≥，求函数()f x 的单调区间； 【答案】（Ⅰ）y x =；（Ⅱ）见解析；【解析】（Ⅰ）当0a =时，()xf x x e -=⋅ ()()1xx x f x ex e e x ---∴=-⋅=-'()01f ∴'=，()00f =∴函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为y x =（Ⅱ）由题意，()()()221xx f x ax eax x a e --'=+-++()()()212111x xe ax a x a e x ax a --⎡⎤=-+-+-=--+-⎣⎦（ⅰ）当0a =时，()()1xf x e x -'=--令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x > 所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减 （ⅱ）当0a >时，111a-< 令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a<-或1x >所以()f x 在11,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，在1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程以及含参单调性的讨论，属于基础题. 18.已知函数()x f x x e =⋅. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[2,1]-上的最大值和最小值.【答案】（1）()f x 的增区间为(1,)-+∞，减区间为(,1)-∞-；（2）最大值为e ，最小值为1e-. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R()(1)x x x f x e xe x e '=+=+由()0f x '>得1x >-，由()0f x '<得1x <- ∴函数()f x 的增区间为(1,)-+∞，减区间为(,1)-∞- （2）()(1)xxxf x e xe x e '=+=+ 令()0f x '= 得1x =- 列表如下：由上表可知 函数()f x 在[2,1]-上的最大值为(1)f e = 最小值为1(1)f e-=-.【点睛】本题考查了利用导数研究具体函数的最值和单调区间，考查了数学运算求解能力，属于基础题. 19.已知函数32111()(2)2323f x x a x ax =-+++（a R ∈）.（1）若函数()f x 在2x =处取得极小值1，求实数a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性. 【答案】（1）1a =；（2）答案见解析. 【解析】（1）()f x 在2x =时的极小值是1，f ∴（2）1=，即32111(2)2(2)241323f a a =-+++=，解得1a =． 当1a =时，32131()2323f x x x x =-++，则2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(,1)(2,)x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>，当(1,2)x ∈时，()0f x '<． 满足函数()f x 在2x =处取得极小值． 故1a =； （2）由32111()(2)2323f x x a x ax =-+++，得2()(2)2f x x a x a '=-++． 令()0f x '=，得2x =或x a =．当2a =时，()0f x '，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当2a <时，由()0f x '>，解得x a <或2x >，由()0f x '<，解得2a x <<，∴函数()f x 在(,)a -∞，(2,)+∞上单调递增，在(,2)a 上单调递减；当2a >时，由()0f x '>，解得2x <或x a >，由()0f x '<，解得2x a <<，∴函数()f x 在(,2)-∞，(,)a +∞上单调递增，在(2,)a 上单调递减．综上：当2a =时，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当2a <时，函数()f x 在(,)a -∞，(2,)+∞上单调递增，在(,2)a 上单调递减； 当2a >时，函数()f x 在(,2)-∞，(,)a +∞上单调递增，在(2,)a 上单调递减．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．20.如图，某景区内有两条道路AB 、AP ，现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把ABC 所在的区域改造成绿化区域.已知6BAC π∠=，2AB km =，AP =.若绿化区域ABC 改造成本为10万元2/km ，新建道路BC 成本为10万元/km .（1）①设ABC θ∠=，写出该计划所需总费用()F θ的表达式，并写出θ的范围； ②设AC x =，写出该计划所需总费用()F x 的表达式，并写出x 的范围； （2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C 在何处时改造计划的总费用最小. 【答案】（1）①()10sin 105sin 6F θθπθ+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②()(21104230232F x x x x x ⎛=⨯++-<≤ ⎝； （2）33AC =. 【解析】（1）①设ABC θ∠=，由正弦定理得25sin sinsin 66ACBCππθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭， 15sin 6BC πθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin 5sin 6AC θπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()101110sin 101010102sin 5552sin sin sin 666ABCF BC Sθθθπππθθθ+∴=+=+⨯⨯⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当点C 与点P 重合的时候，23πθ=，所以20,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ②设AC x =，2423BC x x =+-()()(2110104230232ABCF x SBC x x x x ⎛=+=⨯++-<≤ ⎝；（2）()10sin 105cos 3sin sin 6F θθπθθθ+==⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()240sin 203cos 3F πθθθθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'= ， 令()0F θ'=，得1sin 32πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且,333πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以36ππθ-=-，得6πθ=.当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F θ'<，此时，函数()y F θ=单调递减； 当2,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0F θ'>，此时，函数()y F θ=单调递增.所以当6πθ=，即3AC =时，改造计划的总费用最小. 【点睛】本题考查了导数在实际生活中的应用，要注意以边、角分别为变量求得函数解析式，并利用导数求出函数的最值，属于中档题.21.已知函数()(1)cos (1)sin f x x x x x =--+. （1）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =零点的个数； （2）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ax ≤-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）零点的个数为0；（2）[)0,+∞. 【解析】（1）()sin cos f x x x x x '=-- 因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0cos 0x x x x -≤-≤，，所以()0f x '<，所以函数()y f x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数.所以()(0)10f x f ≤=-<所以()y f x =零点的个数为0.（2）()()1g x f x ax =-+，(0)0g =，()sin cos g x x x x x a '=---，令()()h x g x '=，则()sin cos cos 4h x x x x π⎛⎫'=--+⎪⎝⎭，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0cos 0,cos 04x x x π⎛⎫-≤-<+≤ ⎪⎝⎭，所以()0h x '<，所以函数()y g x '=在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数，所以()()()04a g g x g a π'''-=≤≤=- 1︒当0a ≥时，()g 0x '<，所以函数()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数，所以()()00g x g ≤=，满足题意2︒当4a ≤-时，所以函数()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π增函数，所以()()00g x g ≥=，不满足题意3︒当04a -<<时，因为()00g '>，04g π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，且函数()y g x '=在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π减函数，所以存在唯一的10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()10g x '=，所以函数()y g x =在[]00,x 增函数，在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦减函数，当[]00,x x ∈时，()()00g x g ≥=，不满足题意. 综上所述：实数a 的取值范围为[)0,+∞.【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了利用导数研究函数零点个数需用零点存在定理；恒成立问题通常转化为求函数的最小值问题,考查了逻辑推理能力与数学运算能力,属于中档题. 22.已知函数()()1xf x x e =-，其中e 是自然对数的底数.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）设()()2g x x f x =+，求函数()g x 的单调区间；（3）设()()ln h x mf x x =-，求证：当10m e<<时，函数()h x 恰有2个不同零点. 【答案】（1）()1y e x =-（2）单调增区间为()0,ln 2和[)1,+∞；单调减区间为(),0-∞和()ln 2,1.（3）证明见解析【解析】（1）由()()1xf x x e =-，得()()1xxxf x e x e xe '=+-=，∴()1f e '=，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()1y e x =-.（2）()()()()2221,11,1xxx x e x g x x f x x x e x ⎧+-≥⎪=+=⎨--<⎪⎩， 当1x ≥时，()()220xxg x x xe x e'=+=+>，∴函数()g x 的单调增区间为[)1,+∞.当1x <时，()()21xg x x x e =--，∴()()22x x g x x xe x e '=-=-，令()0g x '>，得0ln 2x <<； 令()0g x '<，得0x <或ln 21x <<，∴函数()g x 的单调增区间为()0,ln 2；单调减区间为(),0-∞和()ln 2,1.综上所述，函数()g x 的单调增区间为()0,ln 2和[)1,+∞； 函数()g x 的单调减区间为(),0-∞和()ln 2,1. （3）由题意知，()()1ln xF x m x e x =--，得()()2110x xmx e F x mxe x x x-'=-=>，令()()210xh x mx e x =->，当10m e<<时，()()220xh x mx mx e '=+>， ∴()h x 在()0,∞+上单调递增，又()110h me =-<，211ln ln 10h m m ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴存在唯一的011,ln x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()020010x h x mx e =-=，当()00,x x ∈时，()0h x '<，∴在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，∴在()0,x +∞上单调递增，故0x 是()()210xh x mx e x =->的唯一极值点，令()ln 1t x x x =-+， 当()1,x ∈+∞时，()110t x x'=-<， ∴在()1,+∞上单调递减，即当()1,x ∈+∞时，()()10t x t <=，即ln 1x x <-，∴1ln 111ln ln 1ln ln m F m e m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11ln 11ln 0m m >-+-=，又()0(1)0F x F <=，∴函数()F x 在()0,x +∞上有唯一的零点，又()F x 在()00,x 上有唯一的零点，∴函数()F x 恰有2个不同零点.【点睛】本题考查了根据导数求函数的单调性和根据单调性求证零点个数，解题关键是掌握导数求单调性的方法和根据单调求判断零点个数步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。
苏教版高二数学导数练习题
导数检测一、选择题〔7′×4〕1、假设函数12)(2-=x x f 的图象上一点〔1,1〕及邻近一点〔1+△x,1+△y 〕,那么x y ∆∆〔 〕 A 、4 B 、x x ∆+4 C 、x ∆+4 D 、2)(4x x ∆+∆2、假设)(x f 为偶函数,且)(x f '存在,那么=')0(f 〔 〕A 、0B 、1C 、x -D 、x -3、假设可导函数)(x f y =的导数,即)(x f '=0只有一个实根0x x =,那么〔 〕A 、)(0x f 是函数的最值B 、)(0x f 是函数的极值C 、)(x f '在0x x =的左右异号D 、当)(x f 有极值时,其极值是)(0x f4、函数223)(a bx ax x x f +--=,在1=x 时有极值10,那么a 、b 值为〔 〕A 、11,43,3=-=-==b a b a 或B 、11,41,4=-==-=b a b a 或C 、5,1=-=b aD 、以上都不对二、填空题〔7'×4〕5、求函数积分值：⑴、⎰+202)sin (πdx x x =___________; ⑵、θθπd ⎰40tan =_____________. 6、假设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间,那么a 的取值范围为______________.7、b x b x b x x f ()1(2131)(223+-+=为常数〕在1=x 处取极值,那么b 的值为______. 8、,432)(23x x x x f ++-=那么过点〔0,0〕的曲线)(x f y =的切线方程是_________. 三、计算题〔515141'+'+'〕 9、设a 为实数,函数a x x x x f +--=23)(,求：⑴求)(x f 的极值：⑵当a 在什么范围内取值时,曲线)(x f y =与x 轴仅有一个交点.10、)(324)(32R x x ax x x f ∈-+=在区间[-1,1]上是增函数.求实数a 的值组成的集合A.11、要做一个底面为长方体的带盖的箱子,其体积为723cm ,其底面两邻边长为1：2,问它的三底〔长、宽、高〕各为多少才能使外表积最小？答案：1、A2、A3、D4、D5、1243+π,2ln 21 C 6、a<0 7、b=0 8、083504=-=-y x y x 或 9、⑴极大值为a +275,极小值为a +-1 ⑵a >1或275- a 10、}{11/≤≤-a a11、长宽高分别为3、6、4。
高考数学专题：导数大题专练含答案
高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数()ln f x x =．(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()12h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．6．已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.7．已知函数()323f x x ax x =-+.(1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；(2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围.8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．10．已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224e f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】 【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈， 令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)单调递增 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；（2）直接由1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+-的两个零点得到1212122ln x xx x x x -=，分别解出1211212ln x xx x x -=，2121212ln xx x x x -=，再换元令12x t x =构造函数()12ln l t t t t=--，求导确定单调性即可求解. (1)由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)根据题意，()()1ln 02h x x b x x =+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=． 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=． 令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=．记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=． 又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<．因为ln 0t <，可得112ln t t t->，∴121x x +>．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=作差，化简得到1212122ln x x x x xx -=， 分别得到12,x x 后，换元令12x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞.4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x x x x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减， 所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a-<<<-，所以βα-> 所以21x x->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011x xx x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax ax =-++++21x x ->5．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】 【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 6．(1)()3232f x x x =+-(2)()2,2- 【解析】 【分析】（1）由已知可得()()2013f f ⎧-=⎪⎨-=-''⎪⎩，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）分析可知，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数λ的取值范围.(1)解：因为()322f x x ax bx =++-，则()232f x x ax b '=++，由题意可得()()212401323f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-''⎪⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，所以，()3232f x x x =+-.当3a =，0b =时，()236f x x x '=+，经检验可知，函数()f x 在2x =-处取得极值. 因此，()3232f x x x =+-.(2)解：问题等价于()f x λ=有三个不等的实数根，求λ的范围.由()2360f x x x '=+>，得2x <-或0x >，由()2360f x x x '=+<，得20x -<<，所以()f x 在(),2-∞-、()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减， 则函数()f x 的极大值为()22f -=，极小值为()02f =-，如下图所示：由图可知，当22λ-<<时，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点， 因此，实数λ的取值范围是()2,2-. 7．(1)最大值为15，最小值为9- (2)3a ≤ 【解析】 【分析】（1）由()30f '=可求得实数a 的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；（2）分析可知()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数a 的取值范围. (1)解：因为()323f x x ax x =-+，则()2323f x x ax =-+'，则()33060f a '=-=，解得5a =，所以，()3253f x x x x =-+，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，列表如下：所以，min 39f x f ==-，因为11f =-，515f =，则max 515f x f ==. (2)解：由题意可得()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，即312a x x⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得313322x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故3a ≤.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】 【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元. 9．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】 【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值. (1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+， 又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直， 所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞，令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ． 又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值． 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围. (1)()()()()221422(0)e e xxmx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-< 当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦(2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立 所以()f x 在[]1,2上为增函数， 即()()max min242()2,()1e em mf x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立()224e 24e e m -+∴≥ 即24em ≤-， 又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦ 故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。
江苏高考数学导数练习题
B A 1 A 2C O A 3 导数复习课1．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ．2．问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可变为34()()155x x +=，考察函数34()()()55x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解2x =.仿照此解法可得到不等式：632(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ．3．已知函数221()23ln 2f x x ex e x b =+--，若函数F (x ) = f ’(x ) + x a 有最小值m ，且m ＞2e ，则实数a 的取值范围是 ．4.已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f（1）讨论()f x 的单调性；（2）设.1-<a 如果对任意的求a x x x f x f x x ,4)()(),,0(21212,1-≥-+∞∈取值范围。
5.如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。
点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。
设细绳的总长为y（1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。
6．已知函数，. (1)讨论函数f(x)的单调性;(2) 是否存在实数，使当时恒成立若存在，求 出实数a;若不存在，请说明理由。
高考数学专题：导数大题专练含答案
高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln ex f x x =，()2ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值；(3)求证：2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．2．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数.(1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.3．已知：()e xf x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围4．设函数()1e ln 1xa f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.5．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．6．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 7．已知函数()ln xf x x =， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值．(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．【参考答案】一、解答题 1．(1)1- (2)2(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数判断函数()f x 的单调性，进而可得最值；（2）将不等式恒成立转化为求函数()g x 的最大值问题，可得参数取值范围； （3）根据函数()f x 与()g x 的单调性直接可证不等式. (1)函数()ln ln ex f x x x x x ==-的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 11f x f ==-． (2)函数()2ln 1g x a x x =-+，0x >，则()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减， 此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾，当0a >时，x ⎛∈ ⎝时，()0g x '>，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '<，故()g x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，所以()max 1ln 12222a a a ag x g a ==+=-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立， 则()max 0g x ≤，即ln 10222aa a -+≤，又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-即ln 10x x x -+≥，（当且仅当1x =时，等号成立）．令2a x =有ln 10222a a a -+≥，故ln 1022a a -+=且12a =， 所以2a =． (3)由（1）知()l n 1l n x f x x x x ex ==-≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令()10t x t t +=>，则1x >，故111ln 1t t t t t t +++->-，即11ln 1tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭令2022t =，则20232023e 2022⎛⎫> ⎪⎝⎭；由（2）知22ln 1x x ≤-在()0,∞+上恒成立， 所以22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）．令()210m x m m +=>，则21x >，故11ln 1m m m m ++<-，即1ln 1mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以1e mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭．令2022m =，则20222023e 2022⎛⎫< ⎪⎝⎭综上，2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增 当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減 综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足， 对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立， 所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭ 则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 3．(1)21y x =+(2)ln 3m ⎡∈-⎣【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接可得切线方程；（2）()2213222m f x x ≥+-恒成立，可转化为()22130222xm g x e mx x =+--+≥恒成立，利用导数判断函数()g x 的单调性与最值情况. (1)当1m =时，()e xf x x =+， 则()e 1xf x '=+，设切点为()()00,x f x ，故()00e 12xk f x '==+=，解得00x =，故()000e e 01x f x x =+=+=，即切点坐标为()0,1，所以切线方程()120y x -=-，即21y x =+； (2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，即2213e 0222xm mx x +--+≥恒成立，设()2213e 222xm g x mx x =+--+，()e x g x x m '=-+， ()e 1x g x ''=-，因为0x ≥，故()e 10xg x ''=-≥恒成立， 则()e xg x x m '=-+在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g m ''≥=+，当1m ≥-时，()()010g x g m ''≥=+≥恒成立， 故()g x 在()0,∞+上单调递增，即()()2235012222m m g x g ≥=-+=-，所以25022m -≥，解得m ≤≤故1m -≤≤当1m <-时，()010g m '=+<，()e 2m g m m -'-=+，设()e 2mh m m -=+，1m <-，()e 20m h m -'=-+<恒成立，则()h m 在(),1-∞-上单调递减，所以()()120h m h e >-=->，即()e 20mg m m -'-=+>，所以存在()00,x m ∈-，使()00g x '=，即000xe x m -+=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()()02200013e 222x m g x g x mx x ≥=+--+()()00000222000011313e e e e e 022222x x x x x x x x x =+----+=-++≥，解得0ln 3x ≤，即00ln 3x ≤≤， 设()e xx m x ϕ==-，0ln3x ≤≤，()1e 0x x ϕ'=-≤恒成立，故()x ϕ在()0,3上单调递减， 故()()3ln33x ϕϕ≥=-， 即ln33m ≥-， 所以ln331m -≤<-，综上所述，ln 3m ⎡∈-⎣.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得到ln 1x x a+=，构造()ln 1x h x x a=+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫⎪+⎝⎭、()1ea h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到00011ln ln x x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥. (1)当1a =时，()1e ln 1xf x x -=--，定义域为()0,+∞，则()11e x f x x -'=-，()121e 0xf x x -+'=>'， 所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=， 当01x <<时，0f x ，所以()f x 在区间0,1上单调递减； 当1x >时，0f x，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意，()11ex af x x -='-，()1211e 0x af x a x-=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111xx x xϕ-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增. 当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ， 令0f x，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1xx a+=，令()ln 1x h x x a=+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln 1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<⎪+++++⎝⎭，又()11111e eln ee 10a a a a h a a a++++=+⋅-=+>， 所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .下证()00f x ≥： 因为()01001e0x af x x -'=-=，所以0101e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，所以()010000e ln 11120x ax a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式. 5．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】 【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数， 当2e x -=时，()()2242e e e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，00000e ln 10g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =．6．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明.(1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--. 令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 7．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞，由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0， 若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1xk x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e ee e 1ln e e 1ϕ==--，即ee 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =-【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】 【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调(1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+， 又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直， 所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞， 令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值． 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.。
高考数学专题：导数大题专练附答案
高考数学专题：导数大题专练附答案一、解答题 1．已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值；(2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．3．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数）5．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 6．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．7．已知函数()e xf x kx =-，()()28ln ag x x x a R x=--∈.(1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值；(2)当()0f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，求实数k 的取值范围；(3)当函数()g x 有两个极值点1x ，()212x x x <，且11x ≠时，是否存在实数m ，总有()21221ln 51a x m x x x >--成立，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.8．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围． 9．已知函数()()1ln f x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值. 10．已知函数2()e 1)(x f x ax x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； (2)若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围； (3)若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】 【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，求单调性求解即可. (1)因为()()2ln 0f x a x ax a =+->，所以()()20axf x a x-'=>， 由()0f x '>得20x a <<；()0f x '<得2x a>；所以()f x 在20,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()222ln 2ln 2max f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>.(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤， 因为()2a a aϕ-'=，所以当02a <<，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>. 所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)答案见解析 (2)211e b ≤-【解析】 【分析】（1）先讨论()f x 的单调性再确定()f x 在()1,e 上的极值（2）利用极值点处的导数为求出1a =，代入恒成立的不等式中，用分离参数法求b 的取值范围 (1)在区间()0,∞+上， ()11ax f x a xx-'=-=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()1,e 上单调递减， 则()f x 在区间()1,e 上无极值； 当0a >时，令()0f x '=得1x a=， 在区间10,a⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在区间1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.若11e a <<，即11e a<<，则()f x 在区间()1,e 上极小值1ln f a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭若1a ≥或10ea <≤，即11a≤或1e a≥，则()f x 在区间()1,e 上无极值 (2)因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+xb xx-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x xx =+-，则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=， 当()20,e x ∈时，()0g x '<；当()2e ,x ∈+∞时，()0g x '> 所以()g x 在()20,e 上单调递减，在()2e ,+∞上单调递增，所以()()22min 1e 1e g x g ==-， 即211e b ≤-. 3．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=> 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x << 令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011xxx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα-> 所以21x x-> 综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011xx x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x+'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222mx ax a x =-++++21x x ->5．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=， 所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点 （ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥， 所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可. ①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意.综上，a 的取值范围是0,1. 【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解. 6．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】 【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x ------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 7．(1)最大值为e 1-，最小值为1；(2)21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (3)(],1-∞-. 【解析】 【分析】（1）求得'()f x ，利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最值即可；（2）分离参数并构造函数()e xh x x=，求其在区间上的值域即可求得参数的范围；（3）根据12,x x 是()g x 的极值点，求得12,,x x a 的等量关系以及取值范围，等价转化目标不等式，且构造函数()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，对参数进行分类讨论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围.(1)当1k =时，()e xf x x =-，'()f x e 1x =-，令'()f x 0=，解得0x =，当()1,,0x ∈-时，()f x 单调递减，当()0,1x ∈时，()f x 单调递增； 又()()()111,01,1e 1ef f f -=+==-，且()()11f f >-， 故()f x 在[]1,1-上的最大值为e 1-，最小值为1. (2)令()e xf x kx =-0=，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x ≠，故e xk x =，令()e 1,,22x h x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则'()h x ()2e 1 x x x-=， 故当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()h x 单调递减，当()1,2x ∈，()h x 单调递增， 又()()2111e,2e 22h h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，且()122h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故()h x 的值域为21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则要满足题意，只需21e,?e 2k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.即()h x 的取值范围为：21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)因为()28ln a g x x x x =--，'()g x 2228282a x x a x x x -+=+-=，因为()g x 有两个极值点12,x x ，故可得12126480,4,02a a x x x x ->+==>， 也即08a <<，且12124,2ax x x x +==. 因为11x ≠，12x x <，故()()10,11,2x ∈⋃，则()21221ln 51a x m x x x >--，即()()()211111124ln 5441x x x m x x x -⎡⎤>---⎣⎦-， 因为140x ->，故上式等价于()11112ln 11x x m x x >+-，即()21111112ln 01m x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦，又当()0,1x ∈时，1101x x >-，当()1,2x ∈时，1101xx <-， 令()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，则'()m x 222mxx mx ++=， 当0m ≥时，'()m x 0>，故()m x 在()0,2单调递增，又()10m =， 故当()0,1x ∈时，()0m x <，当()1,2x ∈时，()0m x >，故不满足题意；当0m <时，令()22n x mx x m =++，若方程()0n x =对应的2440m =-≤时，即1m ≤-时，'()m x 0≤，()m x 单调递减， 又()10m =，故当()0,1x ∈时，()0m x >，当()1,2x ∈时，()0m x <，满足题意； 若2440m =->，即10m -<<时，又()y n x =的对称轴11x m=->，且开口向下， 又()1220n m =+>，不妨取1min ,2b m ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 故当()1,x b ∈，'()m x 0>，()m x 单调递增，又()10m =， 故此时()0m x >，不满足题意，舍去； 综上所述：m 的取值范围为(],1-∞-. 【点睛】本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；其中第三问中，合理的处理12,,x x a 以及m 多变量问题，以及构造函数，是解决本题的关键，属综合困难题. 8．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1xxxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e e e 0e e a a g a a a ⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭， 又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.9．(1)递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，极小值为2e --，没有极大值 (2)3 【解析】【分析】（1）由导数分析单调性后求解 （2）参变分离后，转化为最值问题求解 (1)函数()()1ln f x x x =+的定义域为(0,)+∞， 由()=ln 2f x x '+，令()=0f x '可得2e x -=，当2(0,)e x -∈时，()0f x '<，函数()()1ln f x x x =+在2(0,e )-上单调递减， 当2(e ,)x -∈+∞时，()0f x '>，函数()()1ln f x x x =+在2(e ,)-+∞上单调递增， ∴ 函数()()1ln f x x x =+的递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，函数()()1ln f x x x =+在2e x -=时取极小值，极小值为2e --，函数()()1ln f x x x =+没有极大值 (2)当()1,x ∈+∞时，不等式()()1m x f x -<可化为ln 1x x xm x +<-， 设ln ()1x x xg x x +=-，由已知可得[]min ()g x m <， 又()()()22ln 2(1)ln 2'ln 11()x x x x g x x x x x x +---==----， 令()ln 2(1)h x x x x =-->，则1'()10h x x=->，∴ ()ln 2h x x x =--在()1,+∞上为增函数，又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， ∴ 存在0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -= 当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(,)x +∞上单调递增， ∴ []20000000min 00ln ()=()==11x x x x x g x g x x x x +-=--， ∴ 0m x <， ∴ m 的最大值为3. 10．(1)1y = (2)1(,)2-∞ (3)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）先求导后求出切线的斜率'(0)0f =，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论； （3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解. (1)解：由题意得：22'e 121)e 2)()((x x ax x a f x ax x x ax =-++-=+- '(0)0f =，(0)1f =故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程1y =. (2)由（1）得要使得()f x 在0x =处取得极大值，'()f x 在0x <时应该'()0f x >，'()f x 在0x >时应该'()0f x <，'e 2(1)()x x x ax f a =+-故①0a <且120aa-<，解得0a < ②0a >且120a a->，解得102a <<当0a =时，'()e x f x x =-，满足题意； 当12a =时，'21(e )2x f x x =，不满足题意； 综上：a 的取值范围为1(,)2-∞. (3)可以分三种情况讨论：①0a ≤②102a <<③12a ≥ 若0a ≤，()f x 在12(,)a a --∞上单调递减，在12(,0)aa-单调递增，在(0,)+∞上单调递减，无最小值；若102a <<时，当0x <时，x 趋向-∞时，()f x 趋向于0；当0x > ，要使函数取得存在最小值121221212112()[(41)0e ()]e a aaa a a a f a a a a a a -----=-=-≤+，解得104a <≤，故 12a x a -=处取得最小值,故a 的取值范围10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 若12a ≥时，()f x 在x 趋向-∞时，()f x 趋向于0，又(0)1f =故无最小值； 综上所述函数()f x 存在最小值， a 的取值范围10,4⎛⎤⎥⎝⎦.。
导数 高考数学题库(江苏较难题)
Fr 的导数编辑库(江苏较难题)一、解答题1.已知函数f x =e ln x +kx(其中e 是自然对数的底数，k 为正数)(1)若f x 在x =x 0处取得极值，且x 0是f x 的一个零点，求k 的值；(2)若k ∈1,e ，求f x 在区间1e ,1上的最大值；(3)设函数g x =f x -kx 在区间1e,e 上是减函数，求k 的取值范围．【来源】江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中复习数学试题【答案】(1)1；(2)答案见解析；(3)e 2,+∞【分析】(1)由f x 在x =x 0处取得极值，可得x 0是极值点导数值为0，函数值也为0，解方程得k ；(2)函数在闭区间上的最值:先利用导数判断单调性后，求最值；(3)函数在区间上是减函数，故其导数在该区间上小于或等于恒成立, 故可解得k 的范围.【详解】(1)由f x =e ln x +k x 可得f (x )=e x -kx2,x >0，由已知f x 在x =x 0处取得极值，所以f (x 0)=0,即f (x 0)=e x 0-k x 02=e x 0-k e x 02=0，∴x 0=ke ，又f (x 0)=0, 即e ln ke+e =0，∴k =1.(2)f (x )=e x -kx 2=e x -k e x2,x >0，∵1≤k ≤e ，∴1e ≤ke≤1，当1e ≤k e <1时，x ∈1e ,k e 时，f (x )单调递减，当x ∈k e ,1 时，f (x )单调递增;当k e =1时，x ∈1e,1 时，f (x )单调递减；故函数f (x )在区间1e ,1 上的最大值为：f 1e或f (1).又f 1e=ek -e ,f (1)=k ，当ek -e >k ，即e e -1<k ≤e 时，函数f (x )的最大值为f 1e=ek -e ；当ek -e ≤k ，即1≤k ≤ee -1时，函数f (x )的最大值为f (1)=k .(3)g (x )=f (x )-k =e x -kx 2-k ,x >0，∵g (x )在x ∈1e,e 上是减函数，∴g (x )≤0在x ∈1e ,e 上恒成立，即e x -k x2-k ≤0在x ∈1e ,e 上恒成立，∴k ≥e x +1x 在x ∈1e ,e 上恒成立，又x +1x ≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1时等号成立.∴e x +1x≤e 2,∴k ∈e 2,+∞ .【点睛】关键点睛：本题关键是要明确导数在函数的单调性、极值和最值中的应用. 先利用导数判断单调性, 结合分类讨论思想后求最值.并利用参数分离以及基本不等式的应用求出参数范围，属于较难题.2.已知函数f (x )=e x -ax ，g x =ax -ln x ，a ∈R ．(1)若f x 在x =0处的切线与g x 在x =1处的切线相同，求实数a 的值；(2)令F x =f x +g x ，直线y =m 与函数F x 的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1+x 2>1．【来源】江苏省常州市教育学会2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】(1)a =1(2)证明见解析【分析】(1)由于f x 在x =0处的切线与g x 在x =1处的切线相同，f '(0)=g '(1)即可.(2)本问题为极值点偏移问题，可转化为单变量的不等式证明，构造函数，利用导数证明即可.【详解】(1)f (x )=e x -a ，f (0)=1-a ．g (x )=a -1x，g1 =a -1，1-a =a -1，a =1．检验a =1时两个函数切线方程都是y =1．(2)F (x )=e x -ln x ，x >0，令G (x )=F (x )=e x -1x ，则G (x )=e x +1x2>0，∴F x 在0,+∞ 递增，F 12=e 12-2<0，F (1)=e -1>0，因为函数y =F x 连续不间断，所以存在唯一实数x 0∈12,1 ，F x 0 =0，e x 0=1x 0，从而F x 在0,x 0 递减，x 0,+∞ 递增．不妨设0<x 1<x 0<x 2，则F x 1 =F x 2 =m ，当x 2≥2x 0时，x 1+x 2≥2x 0>1．当0<x 1<x 0<x 2<2x 0，则x 2，2x 0-x 1∈x 0,2x 0 ，F x 在x 0,2x 0 递增，，F x 2 -F 2x 0-x 1 =F x 1 -F 2x 0-x 1 =e x 1-ln x 1-e 2x 0-x 1+ln 2x 0-x 1 ，令g (x )=e x -ln x -e 2x 0-x +ln 2x 0-x ，x ∈0,x 0 ，令h (x )=g (x )=e x -1x +e 2x 0-x -12x 0-x ，h (x )=e x -e 2x 0-x +1x 2-12x 0-x2，令t (x )=e x +1x2，h (x )=t (x )-t 2x 0-x ，t (x )=e x -2x 3≤e x0-2x 30=x 20-2x 30<0，x ∈0,x 0 ，t x 在0,x 0 递减，因为0<x <2x 0-x ，t (x )>t 2x 0-x ，h x >0，g x 在0,x 0 递增，g (x )<g x 0 =2e x 0-1x 0=0，所以g x 在0,x 0 递减，所以g (x )>g x 0 =0，即F x 1 -F 2x 0-x 1 =F x 2 -F 2x 0-x 1 >0，即F x 2 >F 2x 0-x 1 ，因为x 2，2x 0-x 1∈x 0,2x 0 ，F x 在x 0,2x 0 递增，所以x 2>2x 0-x 1，所以x 1+x 2>2x 0>1．综上可得，x 1+x 2>1．【点睛】导数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极(最)值问题处理.3.已知函数f (x )=(x +2-ae 2x )e x ，其中e 为自然对数的底数．(1)当a =0时，求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，(i )若f (x )≤1恒成立，求实数a 的最小值；(ii )若f (x )存在最大值，求实数a 的取值范围．【来源】江苏省扬州市2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】(1)f (x )的单调递增区间为(-3,+∞)，单调递减区间为(-∞,-3).(2)(i )1;(ii )0<a ≤e 32【分析】(1)代入a 的值,求f (x )的导函数, f (x )>0即为增区间, f (x )<0即为减区间.(2)(i )因为f (x )≤1恒成立，即转化为a ≥xe x +2e x -1e 3x max ，求g (x )=xe x +2e x -1e 3x的最大值即可. (ii )若f (x )存在最大值，则在定义域范围内的必有极值点，转化为极值问题.【详解】(1)a =0,f (x )=(x +2)e x ,f (x )=e x (x +3),令f (x )=0，得x =-3，当x <-3时，f (x )<0，当x >-3时，f (x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为(-3,+∞)，单调递减区间为(-∞,-3).(2)(i )由f (x )≤1，即(x -ae 2x +2)ex ≤1解得a ≥xe x +2e x -1e 3x max ，令g (x )=xe x +2e x -1e 3x，g(x )=e x (x +2)+e x ⋅e 3x -e x (x +2)-1 ⋅3e 3x(e 3x )2=e x -2x -3 +3e 3x ，令h (x )=e x (-2x -3)+3，h (x )=(-2x -5)e x所以h (x )>0,x <-52，h (x )在-∞,-52 单调递增，h (x )<0,x >-52，h (x )在-52,+∞ 单调递减.h (x )max =h -52>0且x <0时，h (x )>0h (x )在-52,+∞ 上有唯一的零点，∵h (0)=0，当x <0时，h (x )>0,g (x )>0,g (x )单调递增，当x >0时，h (x )<0,g (x )<0，g (x )单调递减，∴g (x )max =g (0)=1，∴a ≥1所以a 的最小值为1.(ii )f (x )=(x +2-ae 2x )e x ，所以f (x )=e x (x -3ae 2x +3)，设g (x )=x -3ae 2x +3，则g (x )=1-6ae 2x ，∴g (x )在-∞,-12ln6a 上递增，在-12ln6a ,+∞ 上递减，∴g (x )max =g -12ln6a =-12ln6a +52.若a ≥5e26，则g (x )max ≤0，∴f (x )≤0，∴f (x )在R 上单调递减，∴f (x )无最大值，不合题意舍去.若0<a <5e 26，则g (x )max >0，且-12ln6a >-52，∵g (-3)0,g -12ln6a 0,g (x )在-∞,-12ln6a 上递增且连续，∴g (x )在区间-3,-12ln6a 上存在唯一零点，设为x 1，设h (x )=e x -x -1，h x =e x -1,h (x )>0,x >0，h (x )<0,x <0，∴h (x )min =h (0)=0∴e x ≥x +1，x +3≤e x +2，∴g (x )=x +3-3ae 2x ≤e x +2-3ae 2x =e x (e 2-3ae x)，不妨取x 0=ln e 23a +1，则x 0>-12ln6a ，∵g (x 0)<0,∴g -12ln6a >0,g (x )在-12ln6a ,+∞ 上递减且连续，所以g (x )在-12ln6a ,x 0 上存在唯一零点，设为x 2-3<x 1<-52<-12ln6a <x 2<x 0，g (x i )=x i +3-3ae 2x i,则a =x i +33e 2x i，∴f (x )在(-∞,x 1)上递减，在(x 1,x 2)上递增，在(x 2,+∞)上递减，在x ∈-∞,-3 时，x +2-ae 2x 0,e x 0∴f (x )<0，f (x )<f (-3)<0，f (x )极大=f x 2 =x 2+2-ae 2x 2e x 2=x 2+2-x 2+33 e x 2=2x 2+33e x2.函数y =x +33e 2x 在-52,+∞ 上单调递减，(其中y=-2x -53e 2x<0)，当x ≥-32，即0<a ≤e 32时，f (x 2)≥0，∴f (x )存在最大值f (x 2)，符合题意.当-52<x 2<-32时，即当e 32<a <e 56，f (x 2)<0.下证：存在实数x ∈(-∞,x 1),使得f (x 2)<f (x )<0，设t (x )=2x 2e x ,x ∈(-∞,-3)，t (x )=2(2+x )xe x >0，所以t (x )=2x 2e x ,在x ∈(-∞,-3)上单调递增，所以t x =2x 2e x <t -3 =18e -3<1，所以当x ∈(-∞,2-a ),2-a <-3时，f (x )=(x +2-ae 2x )e x >(x +a -2)e x >2xe x >1x，所以取k =max f (x 2),12-a ，则1k ∈(-∞,2-a )，f 1k>k ≥f (x 2)∴f (x )不存在最大值.综上得，a ∈0,e 32【点睛】利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.4.已知函数f x =ln 2x -1 +ax +b ，曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程为x -y -1=0．(1)求a ,b 的值；(2)记m 表示不超过实数m 的最大整数，若f x ⋅x 2+px +q ≤0对任意x ∈12,+∞ 恒成立，求ln q -1 +1ep +2-q 的值．【来源】江苏省南京市江宁区五校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题【答案】(1)a =-1，b =1；(2)1.【分析】(1)根据导数的几何意义及f (1)=0列方程求解即可；(2)利用导数求出函数的极值、单调性，再由零点存在性定理求出函数的隐零点x 0∈2,52，由恒成立问题转化为x 2+px +q =0的两根为1,x 0，求出p ,q 代入ln q -1 +1ep +2-q 计算即可.【详解】(1)因为f x =22x -1+a ，所以f 1 =2+a =1⇒a =-1f 1 =a +b =0⇒b =-a =1(2)由(1)知f x =ln 2x -1 -x +1，f x =22x -1-1=-2x +32x -1=0⇒x =32，列表如下：x 12,323232,+∞f x +0-f x↗极大值↘f x 极大值=f 32=ln2-12>0，因为f 2 =ln3-1>0，f 52 =ln4-32=ln 16e3 12<0，且函数f x 在32,+∞ 是连续不间断的减函数，所以恰有一个x 0∈2,52 ，使f x 0 =0因为f 1 =0，所以x ∈12,1 ∪x 0,+∞ 时，f x <0，x ∈1,x 0 时，f x >0，因为f x ⋅x 2+px +q ≤0任意x ∈12,+∞ 恒成立，所以x ∈12,1 ∪x 0,+∞ 时，x 2+px +q >0，x ∈1,x 0 时，x 2+px +q <0，所以x 2+px +q =0有两个根1和x 0，所以x 0+1=-p ，x 0=qf x 0 =0⇒ln 2x 0-1 =x 0-1⇒e x 0-1=2x 0-1所以ln q -1 +1ep +2-q =ln x 0-1 +e x 0-1-x 0=ln x 0-1 +2x 0-1-x 0=ln x 0-1 +x 0-1=ln 2x 0-1 +ln x 0-1 =ln 2x 02-3x 0+1设g x =2x 2-3x +1,x ∈2,52 ，因为对称轴x =34，所以3=g 2 <g x =2x 2-3x +1<g 52=6，即ln3<ln 2x 02-3x 0+1 <ln6，所以ln q -1+1ep +2-q=1【点睛】关键点点睛：利用导数确定出函数的单调性后，根据零点存在性定理，得到函数的隐零点x 0是解题的关键点之一，根据f (x )的正负及f x ⋅x 2+px +q ≤0恒成立，可转化为1,x 0是x 2+px +q =0的两根，进而求出p ,q 是关键点之二，利用隐零点满足ln 2x 0-1 =x 0-1进行运算化简是解题的关键点之三.5.已知函数f x =x -p e x 的极值为-1．(1)求p 的值，并求f x 的单调区间；(2)若f a =f b (a ≠b )，证明：a +b +e a +e b <2．【来源】江苏省南通市通州区2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】(1)p =1；单调减区间为-∞,0 ，单调增区间为0,+∞ ；(2)证明见解析.【分析】(1)根据极值点处导数为零，以及函数的极值，列出方程求得参数；再利用导数判断函数单调性即可；(2)构造函数g x =e x -1+ln 1-x ，根据其单调性，通过证明e b <1-a ，e a <1-b 即可证明结果.【详解】(1)设f x 的极值点为x 0，f x =x +1-p e x ，则x 0+1-p ex 0=0x 0-p e x 0=-1，解得x 0=0，p =1，经检验，p =1时满足题意．所以f x =x -1 e x ，f x =xe x ，当x <0时，f x <0，当x >0时，f x >0，所以f x 的单调减区间为-∞,0 ，单调增区间为0,+∞ ．(2)不妨设a <b ，因为f a =f b =a -1 e a <0，由(1)知，a <0<b <1，f x ≥f 0 =-1．设函数g x =e x -1+ln 1-x ，x <1，则g x =e x-11-x =-x -1 e x +1 1-x≤0，所以g x 在-∞,1 上单调递减，所以g a >g 0 =0，即ln 1-a -1>-e a ，所以ln 1-a -1 ⋅e ln 1-a >a -1 e a ，即f ln 1-a >f a =f b ．又ln 1-a >0，b >0，所以ln 1-a >b ，即e b <1-a ．由f a =f b ，得e a 1-b=e b1-a <1，又b <1，所以e a <1-b所以e a +e b <2-a -b ，即a +b +e a +e b <2，得证．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数由函数极值求参数，以及利用导数求函数单调性和证明不等式；第二问处理的关键是如何逆向思考，得到构造g x =e x -1+ln 1-x 的思路，属综合困难题.6.已知函数f (x )=ln x(1)求曲线f (x )在x =e 处的切线方程；(2)已知g (x )=f (x )1+x-f (x )，求证：存在实数x 0使得g (x )在x =x 0处取得最大值，且g (x 0)=x 0(3)求证：h (x )=af (x )-x 2a <0 有唯一零点【来源】江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题【答案】(1)y =1ex(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)利用导数可求得函数在某一点处的切线；(2)整理函数解析式，求导，构造函数，利用其单调性以及零点存在性定理，可得导数的性质，结合导数求得最值，可得答案；(3)函数求导，明确其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.【详解】(1)由y =ln x ，则y =1x ，将x =e 代入y =ln x ，可得y =1，切线斜率k =1e，则y -1=1e x -e ，整理可得y =1e x .(2)由g (x )=ln x x +1-ln x ，∴g (x )=-1+x +ln x1+x 2，x >0，设u (x )=1+x +ln x ，x >0，∵u (x )在0,+∞ 递增，u 1e 2 =1+1e 2-2<0，u (1)=2>0，知∃x 0∈1e 2,1 有1+x 0+ln x 0=0，且u (x )在0,x 0 小于0，在x 0,+∞ 大于0，∴g (x )在0,x 0 递增，在x 0,+∞ 递减，∴g (x )在x =x 0处取最大值，∴g (x 0)=ln x 01+x 0-ln x 0=-1-x 01+x 0-ln x 0=-1-ln x 0=x 0.(3)∵h (x )=a ln x -x 2,(a <0)，∴h (x )=ax-2x <0，∴h (x )在0,+∞ 上单调递减，h e 1a =a ln e 1a -e 2a =1-e 2a ，又∵a <0，所以2a <0，∴e 2a <e 0=1∴h e 1a =1-e 2a >0，又∵h 1 =-1<0，故∃x 1∈e 1a,1 ，h x 1 =0且唯一，故函数h (x )=af (x )-x 2a <0 有唯一零点.【点睛】解决函数存在唯一零点，利用函数的导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得零点的唯一性，推广也可求得函数的零点的个数；当函数的导数时分式函数时，往往利用其分子构造成新函数，通过研究新函数的单调性和最值，可得导数与零的大小关系，可得原函数的单调性.7.已知a >0,n 为正整数．(1)设y =(x -a )n ，证明：y =n (x -a )n -1；(2)设f n (x )=x n -(x -a )n ，对任意n ≥a ，证明：f n +1 (n +1)>(n +1)f n (n )．【来源】2003年普通高等学校招生考试数学试题(江苏卷)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用二项式定理结合导数的定义证明即可；(2)我们易得当x >a >0时，f n (x )=x n -(x -a )n 是关于x 的增函数，且n ≥a 时，有：(n +1)n -(n +1-a )n >n n -(n -a )n ，求出f n +1 (n +1)后，用不等式的性质即可得到结论．【详解】(1)证明：由二项展开式a +b n=∑nk =0C k nan -k b k，可得(x -a )+Δx n=∑nk =0C kn x -a n -k Δx k =x -a n +∑nk =1C kn x -a n -k Δx k ，所以由导数的定义可得y ′=limΔx →0x -a +Δxn-(x -a )nx=limΔx →0∑nk =1C kn x -a n -k Δx k Δx=lim Δx →0∑nk =1C kn x -a n -k Δx k -1=lim Δx →0C 1n x -a n -1Δx 0=n x -an -1故y =n (x -a )n -1(2)证明：由(1)知，y =n (x -a )n -1，所以f n (x )=nx n -1-n (x -a )n -1=n [x n -1-(x -a )n -1]，∵a >0，x >0，∴f n (x )>0，∴f n (x )在(0,+∞)单调递增，∴当n ≥a 时，有：(n +1)n -(n +1-a )n >n n -(n -a )n ，∴f n +1 (x )=(n +1)[x n -(x +a )n ]，∴f n +1 (n +1)=(n +1)[(n +1)n -(n +1-a )n ]>(n +1)[n n -(n -a )n ]=(n +1)[n n -(n -a )(n -a )n -1]，∵(n +1)f n (n )=(n +1)n [n n -1-(n -a )n -1]=(n +1)[n n -n (n -a )n -1]，∵-(n -a )>-n ，∴f n +1 (n +1)>(n +1)f n(n ).8.已知a >1，x 0是函数f x =xe x -a sin x 在区间0,π2上的极值点.(1)若函数y =-e x tan x 的图象过点x 0,f x 0 ，求x 0；(2)求证：f x 在区间0,+∞ 上存在两个零点x 1,x 2，且x 1+x 2<2x 0.【来源】江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期11月期中数学试题【答案】(1)x 0=π4(2)证明见解析【分析】(1)求导，求出函数f x =xe x -a sin x 的极值点满足的等式，再加上函数y =-e x tan x 的图象过点x 0,f x 0 得到的等式，联立求出x 0；(2)求导，可得一个零点为0，另一个零点所在范围，再利用f x 的单调性，判断出f 2x 0 >0=f x 2 ，进而可通过单调性去掉f 得到答案.【详解】(1)∵f x =xe x -a sin x ，a >1∴f x =e x +xe x -a cos x =x +1 e x -a cos x令g x =x +1 e x -a cos x ，x ∈0,π2时，g x =x +2 e x +a sin x >0，∴f x 在0,π2上单调递增，∵f 0 =1-a <0，f π2 =π2+1 e π2>0，∴存在唯一的x 0∈0,π2使f x 0 =0，且当0<x <x 0时，f x <0，f x 单调递减；当x 0<x <π2时，f x >0，f x 单调递增；∴x 0为f x 的极小值点且f x 0 =x 0+1 e x 0-a cos x 0=0，则a =x 0+1 excos x 0，∵y =-e x tan x 过x 0,f x 0 ，∴-e x 0tan x 0=x 0e x 0-a sin x 0，∴-e x 0tan x 0=x 0e x-x 0+1 e xcos x 0⋅sin x 0，∴-e x 0tan x 0=x 0e x 0-x 0+1 e x 0tan x 0，∴tan x 0=1，x ∈0,π2，∴x 0=π4;(2)当x ∈0,π 时，g x =x +2 e x +a sin x >0，f x 在0,π 上单调递增，由(1)知存在唯一的x 0∈0,π2使f x 0 =0，∴f x 在0,x 0 上单调递减；x 0,π 上单调递增，∵f 0 =0，f x 0 <f 0 =0，f π =πe π>0，∴f x 在0,π 上有两个零点，不妨设一个零点为x 1=0，另一个零点x 2∈x 0,π ∴x 1+x 2=x 2且2x 0∈x 0,π ，f x 在x 0,π 上单调递增，∴f 2x 0 =2x 0e 2x 0-a sin2x 0=2x 0e 2x 0-2a sin x 0cos x 0，=2x 0e 2x 0-2x 0+1 e x 0sin x 0=2e x 0x 0e x 0-x 0+1 sin x 0>2e x 0x 0x 0+1 -x 0+1 x 0 =0(利用e x ≥x +1,x ≥sin x 放缩)∴f 2x 0 >f x 2 ⇒x 2<2x 0，即x 1+x 2<2x 0命题得证！证明：e x ≥x +1，设h x =e x -x -1，x ∈0,π ，则h x =e x -1>0，即h x =e x -x -1在0,π 上单调递增，h x ≥h0 =e0-1=0，即e x≥x+1；证明：x≥sin x，设p x =x-sin x，x∈0,π则p x =1-cos x≥0，即p x =x-sin x在0,π上单调递增，p x ≥p0 =-sin0=0，即x≥sin x.【点睛】方法点睛：1：当一次求导不能解决问题的时候，可以再求一次导；2：针对不等式的证明，有时候可以利用不等式e x≥x+1，ln x≤x-1来帮助进行证明.9.已知函数f x =ae x-e1-a，g x =ln x+1，a∈R.(1)求函数g x 在x=0处的切线方程；(2)关于x的不等式f x ≥g x 恒成立，求实数a的取值范围.【来源】江苏省南通市海门市2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】(1)y=x(2)1，+∞【分析】(1)利用导数的几何意义即可求得切线方程.(2)根据函数的结构特征利用切线进行放缩进行证明从而得到a的范围.【详解】(1)由已知g x =ln x+1定义域为-1，+∞所以g x =1x+1，所以斜率的斜率为k=g 0 =1又因为g0 =0，所以切点为0,0故切线方程为y=x(2)由已知f x ≥g x ，即ae x-e1-a≥ln x+1⇒x=0时，a-e1-a≥0令h x =x-e1-x，所以h a ≥h1易知h x =x-e1-x在R为单调递增，所以a≥1(必要性)下证充分性：当a≥1时，令m x =e x-x-1，所以m x =e x-1当x∈-∞，0时，m x <0，故m x 为单调递减，当x∈0，+∞时，m x >0，故m x 为单调递增，所以m x =e x-x-1≥m0 =0，即e x≥x+1，令n x =ln x+1-x，则n x =1x+1-1=-xx+1，当x∈-1,0时，n x >0,n x 单调递增，当x∈0,+∞时，n x <0,n x 单调递减，则n x ≤n0 =0,ln x+1≤x，所以f x -g x =a⋅e x-e1-a-ln x+1≥e x-1-ln x+1≥x+1-1-x=0故充分性成立，得证.故实数a的取值范围为1，+∞10.已知函数f x =x ln x+1．(1)求f x 的最小值；(2)设点A a,b,0<b<a ln a+a，证明：当x∈e-2,+∞时，过点A可以作曲线y=f x 的两条切线．【来源】江苏省无锡市2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】(1)f x min=-1 e2(2)证明见解析【分析】(1)根据导数研究函数单调性，再根据单调性求解最值即可；(2)设过点A且与f x 相切的直线与f x 的切点为P x0,x0ln x0+1，进而根据导数几何意义将问题转化为h x=a ln x-x+2a-b在x∈e-2,+∞上有两个零点问题，进而利用导数研究函数零点即可.【详解】(1)解：f x =ln x+1+1=ln x+2，令f x =0，解得x=e-2，所以，当0<x<e-2时，f'x <0，f x 单调递减；当x>e-2时，f'x >0，f x 单调递增，所以，f x min=f e-2=e-2-2+1=-1e2．(2)证明：设过点A且与f x 相切的直线与f x 的切点为P x0,x0ln x0+1，所以，切线的斜率为k=ln x0+2所以，切线方程为y-x0ln x0+1=ln x0+2x-x0因为点A a,b在切线上，所以，b-x0ln x0+1=ln x0+2a-x0，即b=ln x0+2a-x0，所以，a ln x0-x0+2a-b=0因为a ln a+a>0，所以a>1e，令h x =a ln x-x+2a-b，h x =ax-1=a-xx=0，解得x=a，所以，当e-2<x<a时，h x >0，h x 单调递增；当x>a时，h x <0，h x 单调递减，所以，h x 在e-2,+∞上至多两个零点，因为0<b<a ln a+a，h e-2=-e-2-b<0，h a =a ln a+a-b>0，所以，h x 在e-2,a上有一个零点，下面证明h x 在a,+∞有一个零点.令y=ln x-x,x>1，则y =1x-12x=2-x2x，所以，当x∈1,4时，y >0，y=ln x-x单调递增；当x∈4,+∞时，y <0，y=ln x-x单调递减；所以，y=ln x-x≤ln4-2<0，即ln x<x，x>1，当x>1时，h x =a ln x-x+2a-b<a x-x+2a<3a x-x，令3a x-x≤0，则x≥9a2所以，h9a2<0，h a =a ln a+a-b>0所以，h x 在a,9a2上有一个零点所以，当x∈e-2,+∞时，过点A可以作曲线y=f x 的两条切线．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于结合导数的几何意义，将问题转化为h x =a ln x-x+2a-b在x ∈e-2,+∞上有两个零点问题，进而研究函数的单调性易得h x 在e-2,a上有一个零点，再通过不等式放缩得h9a2<0即可证明h x 在a,9a2上有一个零点，进而综合证明结论.11.已知函数f(x)=ln x-a x-1x+1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意的x>1，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：若函数f(x)有极值点，则f(x)必有3个不同的零点.【来源】江苏省镇江市2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2(3)证明见解析【分析】(1)求出f x ，对判别式Δ的正负进行讨论，得出函数的单调区间；(2)借助第一问的结论，将不等式恒成立问题转化为单调性求最值得问题，另外注意特殊值f1 =0；(3)借助第一问的结论，确定在a>2的时候存在极值，然后根据两极值点的大小及隐含范围，逐步给与证明.【详解】(1)f(x)=ln x-a x-1x+1定义域为0,+∞fx =1x -a x +1-x -1 (x +1)2=1x -2a(x +1)2=(x +1)2-2ax x (x +1)2=x 2+2-2a x +1x (x +1)2，令f x =0，即x 2+2-2a x +1=0，Δ=(2-2a )2-4=4a 2-8a(i )若Δ=4a 2-8a ≤0，即0≤a ≤2时，f x ≥0,f x 在0,+∞ 上单调递增.(ii )若a <0时，x 2+2-2a x +1>0在0,+∞ 上恒成立，则有f x >0，f x 在0,+∞ 上单调递增.(iii )若a >2时，令f x =0，则x =a -1±a 2-2a ；当x ∈0,a -1-a 2-2a ∪a -1+a 2-2a ,+∞ 时，有f x >0；当x ∈a -1-a 2-2a ,a -1+a 2-2a 时，有f x >0.因此f x 在0,a -1-a 2-2a 上单调递增，a -1-a 2-2a ,a -1+a 2-2a 上单调递减，a -1+a 2-2a ,+∞ 上单调递增.综上：a ≤2时，f x 单增区间为0,+∞ ，无单减区间；a >2时，f x 单调递增区间为0,a -1-a 2-2a ，a -1+a 2-2a ,+∞单递减区间为a -1-a 2-2a ,a -1+a 2-2a(2)由(1)知，当a ≤2时，f x 在1,+∞ 上单调递增，此时f x >f 1 =0当a >2时，f x 在1,a -1+a 2-2a 上单调递减，此时有f x <f 1 =0这与f x >0矛盾，综上：a 的取值范围为-∞,2 .(3)由(1)知，当a ≤2时，f x 无极值点当a >2时，f x 在0,a -1-a 2-2a 上单调递增，a -1-a 2-2a ,a +1+a 2-2a 上单调递减，a -1+a 2-2a ,+∞ 上单调递增且f (1)=0则f a -1-a 2-2a 为极大值，f a -1+a 2-2a 为极小值.又a -1-a 2-2a <1<a +1+a 2-2a要使f x 有3个不同的零点，则f a -1-a 2-2a >0，f a -1+a 2-2a <0当0<x <1时，ln x -a x -1x +1<ln x +a ，令ln x +a =0⇒x =e -a∴f e -a <0，当x >1时，ln x -a x -1x +1>ln x -a ，令ln x -a =0,x =e a∴f e a >0,∴f x 在e -a ,a -1-a 2-2a ，a +1+a 2-2a ,e a上各有一个零点另一个零点为1，共3个不同的零点.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；12.函数f x =e x ，g x =sin x ．(1)求函数y =g xf x的单调递增区间；(2)当x ∈0,π 时，g x -t ln x +1 +2≤2f x ，求实数t 的取值范围．【来源】江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】(1)2k π-3π4,2k π+π4k ∈Z(2)-1,+∞【分析】(1)利用导数与函数单调性的关系可求得函数y =g xf x的单调递增区间；(2)构造函数h x =2f x -g x +t ln x +1 -2，可知对任意的x ∈0,π ，h x ≥h 0 ，对实数t 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数h x 在0,π 上的单调性，验证h x ≥h 0 对任意的x ∈0,π 能否恒成立，综合可得出实数t 的取值范围.【详解】(1)解：y =g x f x =sin x e x ，求导得y =cos x -sin xe x=2cos x +π4e x，由y >0可得cos x +π4 >0，则2k π-π2<x +π4<2k π+π2k ∈Z ，解得2k π-3π4<x <2k π+π4k ∈Z ，故函数y =g x f x 的单调递增区间为2k π-3π4,2k π+π4 k ∈Z .(2)解：令h x =2f x -g x +t ln x +1 -2=2e x -sin x +t ln x +1 -2，其中x ∈0,π ，且h 0 =0，由题意可知，对任意的x ∈0,π ，h x ≥h 0 ，则h x =2e x -cos x +t x +1，令p x =2e x -cos x +t x +1，其中x ∈0,π ，p x =2e x +sin x -t x +12，①当t ≥0时，对任意的x ∈0,π ，cos x ∈-1,1 ，2e x ≥2，则h x >0，此时函数h x 在0,π 上单调递增，故h x ≥h 0 =0，合乎题意；②当t <0时，p x >0对任意的x ∈0,π 恒成立，所以，函数p x 在0,π 上单调递增，因为p 0 =t +1，p π =2e π+1+t π+1，(i )当t +1≥0时，即当-1≤t <0时，对任意的x ∈0,π ，h x ≥0且h x 不恒为零，此时，函数h x 在0,π 上单调递增，则h x ≥h 0 =0，合乎题意；(ii )当p 0 <0p π >0时，即当-π+1 2e π+1 <t <-1时，由零点存在定理可知，存在x 0∈0,π ，使得h x 0 =0，且当x ∈0,x 0 时，h x <0，则函数h x 在0,x 0 上单调递减，所以，h x 0 <h 0 =0，不合乎题意；(iii )当p π ≤0时，即当t ≤-π+1 2e π+1 时，对任意的x ∈0,π ，h x ≤0且h x 不恒为零，此时，函数h x 在0,π 上单调递减，则h π <h 0 =0，不合乎题意.综上所述，t ≥-1.【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：若f x 在区间D 上有最值，则(1)恒成立：∀x ∈D ,f x >0⇔f x min >0；∀x ∈D ,f x <0⇔f x max <0；(2)能成立：∃x ∈D ,f x >0⇔f x max >0；∃x ∈D ,f x <0⇔f x min <0.若能分离常数，即将问题转化为：a >f x (或a <f x )，则(1)恒成立：a >f x ⇔a >f x max ；a <f x ⇔a <f x min ；(2)能成立：a >f x ⇔a >f x min ；a <f x ⇔a <f x max .13.设函数f x =sin x -x +m 3x 3.(1)若m =12，求函数f x 在0,+∞ 上的最小值；(2)若对任意的x ∈0,+∞ ，有f x ≥0，求m 的取值范围.【来源】江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】(1)0；(2)12,+∞【分析】(1)对f x 进行求导可得f x =cos x -1+12x 2，令g x =cos x -1+12x 2，对其求导可得g x =-sin x +x ，令h x =-sin x +x ，利用导数的知识研究h x 的单调性即可求解；(2)对f x 进行求导可得f x =cos x -1+mx 2，令m x =cos x -1+mx 2，对其求导可得m x =-sin x +2mx ，令n x =-sin x +2mx ，分m ≤0，m ≥12和0<m <12三种情况对n x 的单调性进行求解即可【详解】(1)由f x =sin x -x +16x 3可得f x =cos x -1+12x 2，令g x =cos x -1+12x 2，所以g x =-sin x +x ，令h x =-sin x +x ，所以h x =-cos x +1因为h x ≥0，所以h x 即g x 在0,+∞ 单调递增，又因为g 0 =0，所以g x ≥0，所以g x 即f x 在0,+∞ 单调递增，所以f x 在0,+∞ 上的最小值为f 0 =0；(2)由f x =sin x -x +m 3x 3可得f x =cos x -1+mx 2，令m x =cos x -1+mx 2，所以m x =-sin x +2mx ，令n x =-sin x +2mx ，所以n x =-cos x +2m①m ≤0时，f x ≤0，即f x 在0,+∞ 单调递减，又因为f 0 =0，所以f x ≤0，与已知矛盾，舍；②m ≥12时，n x =-cos x +2m ≥1-cos x ≥0，所以n x 即m x 在0,+∞ 单调递增，又因为m 0 =0，所以m x ≥0，所以m x 即f x 在0,+∞ 单调递增，又因为f 0 =0，所以f x ≥0，所以f x 在0,+∞ 单调递增，又因为f 0 =0，所以f x ≥0，满足题意；③0<m <12时，n x 在0,π2 上单调递增，又因为n 0 =2m -1<0，n π2 =2m >0，所以存在t ∈0,π2，令n t =0，当0≤x ≤t 时，n x ≤0，所以n x 即m x 在0,t 单调递减，又因为m 0 =0，所以m x ≤0，所以m x 即f x 在0,t 单调递减，又因为f 0 =0，所以f x ≤0，所以f x 在0,t 单调递减，又因为f 0 =0，所以f t <0，与已知矛盾，舍；综上所述，m 的取值范围为12,+∞【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(3)考查数形结合思想的应用．14.已知函数f (x )=ln (1+x )-(ln a )⋅x (实数a >0)．(1)若实数a ∈N *，当x ∈(0,+∞)时，f (x )<0恒成立，求实数a 的最小值；(2)证明：1+1n n <3．【来源】江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期期中数学试题【答案】(1)3(2)证明见解析【分析】(1)由题意，利用导数证明不等式恒成立，由a 的取值范围，逐一检验，可得答案；(2)由(1)，令a =3，根据单调性，整理不等式，结合对数运算，可得答案.【详解】(1)因为f (x )=ln (1+x )-(ln a )⋅x ，求导得f (x )=11+x -ln a ．由于x ∈(0,+∞)，11+x ∈(0,1)，又因为a ∈N *，当a =1时，f (x )=11+x >0，f (x )在(0,+∞)上单调递增，f (x )>f (0)=0舍去；当a =2时，令f (x )=11+x -ln2=0，得x =1ln2-1>0，当x ∈0,1ln2-1 时，f (x )>0，f (x )在0,1ln2-1 上单调递增，此区间上f (x )>f (0)=0舍去；当a ≥3时，由于11+x ∈(0,1)，ln a >1，f '(x )=11+x-ln a 恒小于零，f (x )在(0,+∞)上单调递减，f (x )<f (0)=0，满足题意．综合上述，实数a 的最小值为3．(2)由(1)，当a =3时，f (x )<0恒成立，即ln (1+x )-(ln3)⋅x <0，于是ln (1+x )<(ln3)⋅x ．取x =1n ，有ln 1+1n <(ln3)⋅1n ，所以n ln 1+1n <ln3，即ln 1+1n n <ln3，所以1+1nn <3．【点睛】利用导数证明不等式恒成立，根据导数与单调性的关系，求解函数与端点值之间的大小关系，因此，在解题时，观察不等式与函数端点值的关系，清晰解题思路.15.已知函数f (x )=ax -ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的极值；(2)当x >0时，是否存在正实数a ，使得e ax -2ax 2+2x ln x -(e -2)x <0成立(e 为自然对数的底数)？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【来源】江苏省南京师范大学苏州实验学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题【答案】(1)答案见解析(2)0<a <1【分析】(1)求出函数的导函数，再分a ≤0、a >0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；(2)依题意可得e ax x-2ax +2ln x -(e -2)<0在0,+∞ 上有解，即e ax -ln x -2ax -ln x -(e -2)<0在0,+∞ 上有解，由(1)可得ax -ln x min =1+ln a ，令t =ax -ln x ，则问题转化为e t -2t -(e -2)<0在1+ln a ,+∞ 上有解，构造函数h t =e t -2t -(e -2)，利用导数说明函数的单调性，即可得解.(1)解：函数f (x )=ax -ln x (a ∈R )的定义域为(0,+∞)．∴f (x )=a -1x =ax -1x．①当a ≤0时，f (x )<0恒成立，∴f (x )在(0,+∞)上为减函数，函数不存在极值；②当a >0时，当x >1a 时f (x )>0，当0<x <1a 时f (x )<0∴f (x )在0,1a 上单调递减，在1a ,+∞ 上单调递增，所以f x 在x =1a 处取得极小值，即f x 极小值=f 1a=1+ln a ，无极大值．综上可得：当a ≤0时函数无极值，当a >0时f x 极小值=1+ln a ，无极大值；(2)解：因为x >0时e ax -2ax 2+2x ln x -(e -2)x <0成立，即e ax x-2ax +2ln x -(e -2)<0在0,+∞ 上有解，即e ax -ln x -2ax -ln x -(e -2)<0在0,+∞ 上有解，又a >0，由(1)可知f x 极小值=1+ln a ，即ax -ln x min =1+ln a ，令t =ax -ln x ，则t ≥1+ln a ，则e t -2t -(e -2)<0在1+ln a ,+∞ 上有解，令h t =e t -2t -(e -2)，则h t =e t -2，所以当t <ln2时h t <0，当t >ln2时h t >0，即h t 在-∞,ln2 上单调递减，在ln2,+∞ 上单调递增，又h 1 =0，h 0 =3-e >0，所以存在t 0∈0,ln2 使得h t 0 =0，所以当t >1时h t >0，当t <t 0时h t >0，当t 0<t <1时h t <0，所以只需1+ln a <1，即0<a <1时满足题意.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．16.已知函数f (x )=3me x (x -3)-x 3+3x 2．(1)若曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线与直线x -6y +2=0垂直，求实数m 的值；(2)若函数f (x )有3个不同的零点x 1，x 2，x 3，求实数m 的取值范围，并证明：x 1+x 2+x 3>4．【来源】江苏省宿迁市沭阳县建陵高级中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】(1)m =1；(2)0<m <1e 且m ≠2e2，证明见解析.【分析】(1)利用导数的几何意义，根据切线的斜率求解.(2)根据函数零点与方程根的关系，通过求导、式子变形、分离参数、构造函数，再利用导数、结合图形，利用均值不等式进行求解.(1)由题知，y =f (x )在(0,f (0))处的切线斜率为-6，因为f (x )=3me x (x -3)-x 3+3x 2，所以f (x )=3me x (x -3+1)-3x 2+6x =3me x (x -2)-3x 2+6x ，所以f (0)=3me 0(0-2)-3×02+6×0=-6，解得m =1.(2)因为f (x )=3me x (x -3)-x 3+3x 2，所以f (x )定义域为R ，又f (x )=3me x x -2 -3x 2+6x =3x -2 me x -x 有3个不同的零点x 1，x 2，x 3，所以f (x )=3x -2 me x -x =0由3个不同的实数根，不管m 为何值时，方程f (x )=0始终有一个根2，不妨设x 1=2，当me x -x =0时，m =x e x ，令g (x )=x e x ，则g (x )=1-x e x，当x >1时，g (x )=1-x e x <0，g (x )=x e x 单调递减，当x 趋向+∞，g (x )趋向0；当x <1时，g (x )=1-x e x >0，g (x )=x e x 单调递增，当x 趋向-∞，g (x )趋向-∞；所以g (x )max =g (1)=1e ，当0<m <1e 时，才存在x 2，x 3，且不妨设x 3>x 2，则x 3>1>x 2>0，又g (0)=0，g (2)=2e 2，所以0<m <1e 且m ≠2e 2.令g (x 2)=g (x 3)=t ，则x 2e x 2=t ，x 3ex 3=t ，两式两边取对数有：ln x 2=x 2+ln t ，ln x 3=x 3+ln t ，两式相减得：ln x 2-ln x 3=x 2-x 3，即x 2-x 3ln x 2-ln x 3=1，由对数均值不等式a -b ln a -ln b<a +b 2有：x 2-x 3ln x 2-ln x 3=1<x 2+x 32，故x 2+x 3>2，又x 1=2，所以x 1+x 2+x 3>4，结论得证.(对数均值不等式a -b ln a -ln b <a +b 2证明如下：不妨设a >b >0，要证a -b ln a -ln b <a +b 2，即证a b -1ln a b<a b +12，令m =a b>1，即证m -1ln m <m +12，即2(m -1)m +1<ln m ，即证：ln m -2(m -1)m +1>0，令h (m )=ln m -2(m -1)m +1，则h (m )=1m -4(m +1)2=(m -1)2m (m +1)2>0，所以h (m )=ln m -2(m -1)m +1在1,+∞ 上单调递增，所以h (m )>h (1)=0，所以a -b ln a -ln b <a +b 2结论得证.)17.已知函数f x =x 2+x +a ln x +b ，其中a ,b ∈R .(1)若a ∈-1,0 ，b ∈Z ，且f x 没有零点，求b 的最小值；(2)若a ∈25,1 ，b ∈0,a ，求g x =f ax 的零点个数.【来源】江苏省2023届高三上学期起航调研测试(Ⅱ)数学试题【答案】(1)1(2)g x 只有1个零点.【分析】(1)求导，利用导数证明ln x ≥1-1x x >0 ，进而可得f x 的单调性，由f x >x 2+x ln x +b >0即可确定b ，(2)构造函数u x =g (x )-b a =ax 2+x +1 ln ax ，通过反复求导，确定单调性，即可求解.(1)设h x =ln x +1x -1x >0 ，h x =1x -1x 2=x -1x 2，令h x =0，解得x =1，h 1 =0，所以h x ≥h 1 =0，即ln x ≥1-1x x >0 ，f x =2x +1 ln x +x +1+a x >2x +1 ln x +x +1-1x，当x ≥1时，f x >0，即f x 在1,+∞ 上为增函数，所以f 1 =b >0，当x ∈0,1 时，ln x <0，a ln x >0，所以f x >x 2+x ln x +b >0，且p x =x 2+x ln x +1>x 2+x 1-1x+1>0，所以当b ≥1时，符合条件，且b ∈Z ，b >0，所以b 的最小值为1；(2)g x =f ax =a 2x 2+ax +a ln ax +b ，设u x =g (x )-b a =ax 2+x +1 ln ax ，u x =2ax +1 ln ax +ax +1+1x ，记v (x )=u x , 则v x =2a ln ax +3a +1x -1x2，记k x =v x ,k x =2a x -1x 2+2x 3=2ax 2-x +2x 3在F x =2ax 2-x +2中，Δ=1-16a <0，所以k x >0恒成立，即v x 在0,+∞ 上为增函数，且v 1 =2a ln a +3a ≥2a 1-1a +3a >0，设φx =ln x -x +1x >0 ，φ x =1x-1，令φ x =0，解得x =1，φ1 =0，所以φx ≤φ1 =0，即ln x ≤x -1x >0 ，则v 1e =2a ln a +a -e 2+e ≤2a a -1 +a -e 2+e <0，所以存在x 0∈1e,1 ，使得v x 0 =0，所以u x 在0,x 0 上为减函数，在x 0,+∞ 上为增函数，且v x 0 =2a ln ax 0 +3a +1x 0-1x 20=0，且u x 0 =2ax 0+1 ln ax 0 +ax 0+1+1x 0=2x 0-2ax 0+ln ax 0 ，设m x =ln ax -2ax +2x ,x ∈1e ,1 ，m x =1x -2x 2-2a =x -2x 2-2a <0，所以m x 在1e ,1 上为减函数，且m 1 =ln a -2a +2，设m 1 =h a =ln a -2a +2，a ∈25,1 ，h a =1a -2，令h a >0，h a <0，所以h a 在25,12 上为增函数，在12,1 上为减函数，所以h a >h 1 =0，则m 1 >0，m x 0 >0，所以u x 0 >0，即u x >0，u x 在0,+∞ 上为增函数，。
江苏高考数学高考必会题型专题三函数与导数第9练分段函数,剪不断理还乱
第9练 分段函数，剪不断理还乱题型一 分段函数的值域问题例1函数f(x)＝⎩⎨⎧log21x ，x≥1，2x ，x<1的值域为________．破题切入点 求各段值域，然后求并集． 答案 (－∞，2)解析 因为当x≥1时，f(x)＝log21x＝－log2x≤0，当x<1时，0<f(x)＝2x<2，因此函数f(x)的值域为(－∞，2)． 题型二 分段函数的零点问题例2 (2021·扬州模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x≠0，0，x ＝0，那么关于x 的方程f2(x)＋bf(x)＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是________．破题切入点 分类讨论思想，结合函数图象解决． 答案 b<－2且c ＝0解析 能够从c ＝0，c≠0两种情形来考虑．假设c ＝0，那么x ＝0是方程f2(x)＋bf(x)＋c ＝0其中的一个根，且f(x)[f(x)＋b]＝0，现在f(x)≠0，因此f(x)＋b ＝0，因此当－b>2时，f(x)＋b ＝0有四个根，知足题意，因此b<－2. 题型三 分段函数的综合性问题例3 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x2＋mx ，x<0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)假设函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 破题切入点 分段函数奇偶性的概念，结合图象分类讨论． 解 (1)∵函数f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)．当x>0时，－x<0，有(－x)2－mx ＝－(－x2＋2x)， 即x2－mx ＝x2－2x. ∴m ＝2.(2)由(1)知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x2＋2x ，x<0，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x ＝－(x －1)2＋1，∴当x ∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减； 当x ∈(0,1]时，f(x)单调递增．当x<0时，f(x)＝x2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴当x ∈(－∞，－1]时，f(x)单调递减； 当x ∈[－1,0)时，f(x)单调递增．综上知：函数f(x)在[－1,1]上单调递增． 又函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解之得1<a≤3. 故实数a 的取值范围是(1,3]．总结提高 (1)分段函数是一个函数在其概念域的不同子集上，因对应法那么的不同而别离用几个不同的式子来表示的．分段函数的概念域等于各段函数的概念域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部份组成，但它表示的是一个函数．(2)在求分段函数f(x)解析式时，必然要第一判定x 属于概念域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．1．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x≤1，1－log2x ，x>1，那么知足f(x)≤2的x 的取值范围是________．答案 [0，＋∞)解析 当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，因此0≤x≤1； 当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥12， 因此x>1.综上可知x≥0.2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x≤1，2a x ，x>1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．答案 (0,2]解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a>0，a －3＋5≥2a ，解得0<a≤2.3．设函数g(x)＝x2－2(x ∈R)，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x<g (x )，g (x )－x ，x≥g (x )， 那么f(x)的值域是______________________．答案 [－94，0]∪(2，＋∞) 解析 由x<g(x)得x<x2－2， ∴x<－1或x>2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x ＋2，x<－1或x>2，x2－x －2，－1≤x≤2.即f(x)＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x<－1或x>2，(x －12)2－94，－1≤x≤2.当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]． 综上可知，f(x)的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．4．已知f(x)＝⎩⎨⎧－2x (－1≤x≤0)，x (0<x≤1)，那么以下函数的图象错误的选项是________．答案 ④解析 先在座标平面内画出函数y ＝f(x)的图象，再将函数y ＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可取得y ＝f(x －1)的图象，因此①正确；作函数y ＝f(x)的图象关于y 轴的对称图形，即可取得y ＝f(－x)的图象，因此②正确；y ＝f(x)的值域是[0,2]，因此y ＝|f(x)|的图象与y ＝f(x)的图象重合，③正确；y ＝f(|x|)的概念域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y ＝f(|x|)＝x ，相应这部份图象不是一条线段，因此④不正确．5．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x>0，log2(－x )，x<0.假设f(m)>f(－m)，那么实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 假设m>0，那么－m<0，f(m)＝12log m＝－log2m ，f(－m)＝log2m ，由f(m)>f(－m)，得－log2m>log2m ，即log2m<0,0<m<1；假设m<0，那么－m>0，f(－m)＝log 12(－m)＝－log2(－m)，f(m)＝log2(－m)，由f(m)>f(－m)得log2(－m)>－log2(－m)，解得m<－1.6．对实数a 和b ，概念运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x －x2)，x ∈R.假设函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，那么实数c 的取值范围是____________________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，－34)解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，x2－2－(x －x2)≤1，x －x2，x2－2－(x －x2)>1，即f(x)＝⎩⎨⎧x2－2，－1≤x≤32，x －x2，x<－1或x>32，f(x)的图象如下图，由图象可知c 的取值范围为(－∞，－2]∪(－1，－34)．7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，f (x ＋2)＋1，x≤0，那么f(－3)的值为________．答案 2解析 f(－3)＝f(－1)＋1＝f(1)＋2＝2.8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2ax ，x≥2，2x ＋1，x<2，假设f(f(1))>3a2，那么a 的取值范围是________．答案 －1<a<3解析 由分段函数可得f(f(1))＝f(3)＝6a ＋9，故f(f(1))>3a2⇔6a ＋9>3a2，解得－1<a<3.9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x≥2，(x －1)3， x<2.假设关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 画出分段函数f(x)的图象如下图，结合图象能够看出，假设f(x)＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f(x)的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．10．设f(x)是概念在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x≤1，其中a ，b ∈R.假设f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，那么a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f(x)的周期为2，因此f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 因此－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f(－1)＝f(1)，因此－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a.② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 因此a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.11．(2021·四川)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)假设函数f(x)的图象在点A ，B 处的切线相互垂直，且x2<0，证明：x2－x1≥1； (3)假设函数f(x)的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．(1)解 函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)证明 由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f′(x1)，点B 处的切线斜率为f′(x2)． 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时， 有f′(x1)·f′(x2)＝－1，当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2， 因为x1<x2<0，因此(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1， 因此2x1＋2<0,2x2＋2>0.因此x2－x1＝12[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥ [－(2x1＋2)](2x2＋2)＝1.(当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1， 即x1＝－32且x2＝－12时等号成立)因此，函数f(x)的图象在点A 、B 处的切线相互垂直时，有x2－x1≥1. (3)解 当x1<x2<0或x2>x1>0时， f′(x1)≠f′(x2)， 故x1<0<x2. 当x1<0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y －(x21＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x －x1)， 即y ＝(2x1＋2)x －x21＋a.当x2>0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为 y －ln x2＝1x2(x －x2)，即y ＝1x2·x ＋ln x2－1. 两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x2＝2x1＋2， ①ln x2－1＝－x21＋a ② 由①及x1<0<x2知，0<1x2<2. 由①②得，a ＝ln x2＋⎝⎛⎭⎫12x2－12－1＝－ln 1x2＋14⎝⎛⎭⎫1x2－22－1. 令t ＝1x2，那么0<t<2，且a ＝14t2－t －ln t. 设h(t)＝14t2－t －ln t(0<t<2)， 那么h′(t)＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0， 因此h(t)(0<t<2)为减函数，那么h(t)>h(2)＝－ln 2－1，因此a>－ln 2－1. 而当t ∈(0,2)且t 趋近于0时，h(t)无穷增大， 因此a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)，故当函数f(x)的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围为(－ln 2－1，＋∞)．12．(2021·湖南)已知a>0，函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a .(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(2)是不是存在a ，使函数y ＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线彼此垂直？假设存在，求a 的取值范围；假设不存在，请说明理由． 解 (1)当0≤x≤a 时，f(x)＝a －xx ＋2a ；当x>a 时，f(x)＝x －ax ＋2a .因此，当x ∈(0，a)时，f′(x)＝－3a(x ＋2a )2<0，f(x)在(0，a)上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x )＝3a(x ＋2a )2>0，f(x)在(a ，＋∞)上单调递增．①假设a≥4，那么f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)＝f(0)＝12.②假设0<a<4，那么f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增． 因此g(a)＝max{f(0)，f(4)}． 而f(0)－f(4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a ，故当0<a≤1时，g(a)＝f(4)＝4－a4＋2a； 当1<a<4时，g(a)＝f(0)＝12. 综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧4－a 4＋2a ，0<a≤1，12，a>1.(2)由(1)知，当a≥4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不知足要求． 当0<a<4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增．假设存在x1，x2∈(0,4)(x1<x2)，使曲线y ＝f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点处的切线相互垂直．那么x1∈(0，a)，x2∈(a,4)，且f′(x1)·f′(x2)＝－1. 即－3a (x1＋2a )2·3a(x2＋2a )2＝－1.亦即x1＋2a ＝3ax2＋2a.(*)由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a ∈(2a,3a)，3a x2＋2a ∈⎝⎛⎭⎫3a 4＋2a ，1.故(*)成立等价于集合A ＝{x|2a<x<3a}与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|3a4＋2a <x<1的交集非空．因为3a 4＋2a<3a ，因此当且仅当0<2a<1，即0<a<12时，A∩B≠∅.综上所述，存在a 使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直，且a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.。
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A 2 导数复习课
1．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f′(x )．如果存在x 0∈[a ，
b ]，使得f (b )－f (a )＝f′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间
[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ．
2．问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可
变为34()()155x x +=，考察函数34()()()55
x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解2x =.仿照此解法可得到不等式：632(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ．
3．已知函数221()23ln 2f x x ex e x b =+--，若函数F (x ) = f ’(x ) + x a 有最小
值m ，且m ＞2e ，则实数a 的取值范围是 ．
4.已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设.1-<a 如果对任意的求a x x x f x f x x ,4)()(),,0(21212,1-≥-+∞∈取值范围。
5.如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，
通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个
等分点A 1，A 2，A 3。
点C 为OB 上一点（不包含端
点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。
设细绳的总长为y
（1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。
6．已知函数，. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2) 是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求 出实数a;若不存在，请说明理由。
7.已知函数()ln f x x mx m =-+，m R ∈
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，任意的0a b <<，证明：
()()()11f b f a b a a a -<-+. 8．设
()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n n f x g x n x
=∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0n g x '≥，则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）．
（1）若31()(0)a f x x x x x =-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c
<
恒成立，试判断()
f x是否为“2阶负函数”？并说明理由．。