整式方程与分式方程
整式方程和分式方程-教师版
【例1】下列关于x 的方程中，为一元整式方程的是（ ）A ．343x y -=B ．24x -C ．322x x =-D ．22350x x --=【难度】★ 【答案】D【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程． 【总结】考察一元整式方程的概念．【例2】判断下列关于x 的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程?① 23270x a x +-=； ②321240(0)x x x a b a b+-=+≠+； ③13(0)1x x x +=≠-； ④212(0)x x x +=-≠； ⑤213502m xm x ⋅+-=-； ⑥352270(1)1x x x b b +--=≠-． 【难度】★【答案】 ①、②、⑥都是整式方程；①是一元二次方程；②是一元三次方程；⑥是一元五次方 程．【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；【总结】考察一元整式方程的概念．【例3】（1）若关于x 的方程62ax x +=的解为2，则a =__________；（2）若方程2250x kx --=的一个根是1-，则k =__________． 【难度】★【答案】（1）1a =-（2）3k =【解析】（1）把2x =代入62ax x +=，得：2641a a +=∴=-，； （2）把1x =-代入2250x kx --=，得：2503k k +-=∴=，． 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用．例题解析【例4】若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m ≤；B ．0m <；C ．0m ≥；D ．0m >；【难度】★ 【答案】D【解析】因为42x m =-，所以412x m =-，若方程没有实数根，则0m >．【总结】考察二项偶次方程有解的情况．【例5】关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是（ ） A ．1个B ．2个C ．1个或2个D ．不确定【难度】★★ 【答案】D【解析】当0m =时，方程化为14104x x +==-，，只有一个解；当0m ≠时，方程为一元二次方程，160m =+≥V ，即16m ≥-且0m ≠时，方程有两个实数根，160m =+<V ， 即16m <-时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定． 【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论．【例6】如果m ．n 为常数，关于x 的方程2(2)32x kmkx n -+-=，无论k 为何值，方程的解总是12，则m =___________，n =____________． 【难度】★★ 【答案】13216m n ==，． 【解析】将方程整理得：()4168k x km n -=--，把12x =代入得：()141682k km n -=--，整理得：()13282m k n -=-，若k 为任意实数，则13216m n ==，． 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用．（1）42416x x =；（2）4220x x +-=； （3）222(231)22331x x x x -+=-+；（4）22(1)1x x x +--=．【难度】★★【答案】（1）1234022x x x x ===-=，，； （2）1211x x =-=，；（3）1234330322x x x x ====-，，，； （4）12342210x x x x =-==-=，，，．【解析】解：（1）由42416x x =，得：4240x x -=，即()()2220x x x +-=，解得原方程的解为：1234022x x x x ===-=，，；（2）由4220x x +-=，得：()()22210x x +-=，即()()()22110x x x ++-=， 解得原方程的解为：1211x x =-=，； （3）由222(231)22331x x x x -+=-+，得：()()()222223223111231x x x x x x -+-+=-+，即()()222239230x x x x ---=，分解因式，得：()()()233230x x x x --+=，解得原方程的解为：1234330322x x x x ====-，，，；（4）因为22(1)1x x x +--=，所以分以下情况讨论： ①当20x +=时，解得：12x =-；②当211x x --=时，解得：2321x x ==-，； ③当211x x --=-时，解得：4501x x ==，， 当211x x --=-时，2x +应为偶数，1x ∴=舍去， 故原方程的解为：12342210x x x x =-==-=，，，．【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论．（1）(1)42a ax x -=-； （2）2(2)31a x a x --=+． 【难度】★★【答案】（1）当2a ≠±时，12x a =+，当2a =时，x 为一切实数，当2a =-时，方程无解； （2）当1a =-时，x 为一切实数，当1a =时，方程无解，当1a ≠±时，()()121a x a -=+，211a x a +=-．【解析】解：（1）由(1)42a ax x -=-，得：()242a x a -=-，故当240a -≠时，即2a ≠±，12x a =+；当240a -=时， （1）2a =：00x =，x 为一切实数；（2）2a =-：04x =-，方程无解；综上所述：当2a ≠±时，2x a =+；当2a =时，x 为一切实数；当2a =-，方程无解； （2）由2(2)31a x a x --=+，得：()()2212310a x a a --++=， 即()()()()11121a a x a a +-=++，当1a =-时，00x =，x 为一切实数； 当1a =时，06x =，方程无解；当1a ≠±时，()()121a x a -=+，211a x a +=-．【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意进行分类讨论．【例9】解下列方程：（1）222(2)0x x --=；（2）(1)(2)(3)35x x x x +++=；（3）()()()()123410x x x x +++++=． 【难度】★★【答案】（1）12342121x x x x =-===-，，，；（2）12x x ==；（3）12x x ==【解析】解：（1）由222(2)0x x --=， 得：()()22220x x x x +---=，即()()()()21210x x x x +--+=，故原方程的解为：12342121x x x x =-===-，，，；（2）由(1)(2)(3)35x x x x +++=，得：()()2235370x x x x +-++=，2350x x ∴+-=或2370x x ++=，当2350x x +-=，12x x =2370x x ++=，0<V ，方程无解．所以原方程的解为：12x x =； （3）由()()()()123410x x x x +++++=， 得：()()()()142310x x x x +++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()22545610x x x x +++++=， 所以()22550x x ++=， 即2550x x ++=，解得原方程的解为：12x x =． 【总结】考察整式方程的解法，注意因式分解的准确运用．【例10】关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m 、n 为何值时，原方程：（1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解． 【难度】★★★【答案】（1）3m ≠，n 为任意实数，有唯一解； （2）3m =，4n =-，有无数多解； （3）3m =，4n ≠-，方程无解．【解析】解：43mx x n +=-，整理得：()34m x n -=+，（1）当30m -≠时，即3m ≠，n 为任意实数，43nx m+=-，即有唯一解； （2）当30m -=，40n +=时，即3m =，4n =-，00x =，x 为一切实数，即有无数多解； （3）当30m -=，40n +≠时，即3m =，4n ≠-，04x n =+，方程无解． 【总结】考察整式方程含字母系数的方程求解的分类讨论．【例11】解下列方程：（1）22b x x a a b-+=（0a b <<）； （2）24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠）． 【难度】★★★【答案】（1）x =（2）3312b a x x a b ==，．【解析】（1）因为22b x x aa b -+=，所以2222b bx ax a -=+， 即2222ax bx b a +=-，则()()()2a b x a b b a +=+-， 因为0a b <<，所以0a b +≠，0b a ->，所以原方程的解为：x =（2）因为24433()0abx a b x a b -++=（0ab ≠），所以()()330ax b bx a --=， 则30ax b -=或30bx a -=，∴3ax b =或3bx a =，0ab ≠Q ，∴00a b ≠≠，，∴原方程的解为：3312b a x x a b==，．【总结】考察含字母系数的方程的分类讨论，注意考虑未知数系数是否为零．【例12】已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】a 的值为13610，，，．【解析】（1）将原方程变形为()()2226x a x +=+，显然20x +≠，即2x ≠-．()()2262x a x +∴=+，Q a 是正整数，1a ∴≥，即()()22612x x +≥+，()()228042042x x x x x ∴+-≤+-≤∴-≤<，即，．Q 方程至少有一个整数根，∴当x 可取431012---，，，，，时，故对应的a 的值为141610319，，，，，，Q a 是正整数，a ∴的值为13610，，，．【总结】考察在一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数求解，题目比较典型，难度较大．【例13】已知方程：①2510x x +-=，②22123x x +=，③3711510x x +=+-，④10x=，⑤111y z x y x z +=---3=，其中分式方程有_________________． 【难度】★【答案】③、④、⑤．【解析】分母中含有未知数的方程叫分式方程． 【总结】考察分式方程的概念．【例14】解下列分式方程： （1）23y y +=；（2）216244y y y -=--． 【难度】★【答案】（1）1212y y ==，；（2）2y =-． 【解析】（1）由23y y+=，得：2320y y -+=，即()()120y y --=，解得：1212y y ==，， 经检验：1212y y ==，是原方程的解， 所以原方程的解为1212y y ==，；（2）由216244y y y -=--，得：2280y y --=，即()()420y y -+=，解得：1242y y ==-，， 经检验：14y =是原方程的增根，所以原方程的解为：2y =-． 【总结】本题主要考察分式方程的解法，注意解完后要检验． 【例15】解下列分式方程： （1）2613x x x +=+-； （2）214124x x -=--． 【难度】★★【答案】（1）12x x ==； （2）1x =-． 【解析】（1）由2613x x x +=+-，得()()()2361x x x +-=+，即27120x x --=，解得：12x x =，经检验：12x x =是原方程的解，所以原方程的解为12x x ==； （2）由214124x x -=-- ，得2244x x +-=-，即()()210x x -+=，解得：1221x x ==-，，经检验：2x =是原方程的增根， 所以原方程的解为：1x =-．【总结】考察分式方程解法，注意要检验根．【例16】解下列分式方程：（1）222412352x x x x x +-+=---；（2）21111333x x x x +-=--． 【难度】★★【答案】（1）12012x x ==-，；（2）无解． 【解析】（1）由222412352x x x x x +-+=---，得：()()22412312x x x x x +-+=-+-， 即()()222314352x x x x x +++-=--， 解得：12012x x ==-，， 经检验：12012x x ==-，是原方程的解， 所以原方程的解为12012x x ==-，；（2）由21111333x x x x +-=--，得：()()1111331x x x -=--， 即()31x x x --=，解得：1x =， 经检验：1x =为原方程的增根，所以原方程无解．【总结】考察分式方程的解法，注意要检验．【例17】解下列分式方程：（1）2223x x+=；（2）2231712x x x x -+=-．【难度】★★【答案】（1）123411x x x x =-===，，；（2）12122x x =-=，，3411x x =+=【解析】（1）由2223x x+=，得42320x x -+=，即()()(110x x x x +-=，解得：123411x x x x =-===，，，经检验：123411x x x x =-===，，是原方程的解，所以原方程的解为：123411x x x x =-==，，； （2）设21x a x =-，则1732a a +=可化为整式方程：26720a a -+=， 即()()32210a a --=， 解得：122132a a ==，，当2213x x =-时，即22320x x --=，()()2120x x +-=，解得：12122x x =-=，， 当2112x x =-时，即2210x x --=，解得：3411x x =+= 经检验：12122x x =-=，，3411x x =+=所以原方程的解为：12122x x =-=，，3411x x ==-【总结】考察利用换元法解分式方程，注意解完后进行验根．【例18】解下列分式方程：（1）517311x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）51342212x y xy ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 【难度】★★【答案】（1）3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）612x y =⎧⎨=⎩．【解析】（1）设11a b x y x y ==+-，，则5731a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， 1112x y x y⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪-⎩，112x y x y +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，3414x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 经检验：3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解， ∴原方程的解为3414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）设11a b x y ==，，则3541222a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：16112a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1161112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，612x y =⎧∴⎨=⎩， 经检验：612x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解， 所以原方程的解为：612x y =⎧⎨=⎩．【总结】考察利用换元法解分式方程组，注意进行检验．【例19】解方程：（1）2225413242x x x x x -+=++--； （2）221193431x x x x x ++=--+-． 【难度】★★【答案】（1）6x =； （2）无解．【解析】（1）原方程可化为：()()()()254112222x x x x x x -+=+++--， 去分母，得：28120x x -+=， 即()()260x x --=，解得：1226x x ==，，经检验：2x =是方程的增根，∴原方程的解为6x =；（2）原方程可化为：()()()12113313x x x x x -+=----，去分母，得：2430x x -+=，解得：1213x x ==，，经检验：1213x x ==，是方程的增根，∴原方程无解．【总结】考察分式方程的解法，注意先分解因式再计算，解完后注意验根．【例20】若方程222312122x b bx x x x +-+=---有增根，求b 的值．【难度】★★【答案】1b =±或2b =-．【解析】222312122x b bx x x x +-+=---，去分母得()2221210x b x b -++-=，Q 方程有增根，∴（1）把增根0x =代入整式方程得：210b -=，1b ∴=±； （2）把增根2x =代入整式方程，得：2470b b +-=，2b ∴=-± 综上所述，1b =±或2b =-．【总结】考察已知增根，如何求解分式方程中的字母．先将分式方程化成整式方程，再代入增根求得字母的值．【例21】解方程：34xx x x-=【难度】★★★ 【答案】4x =． 【解析】当0x >时，43x x-=，去分母，得：()()2340410x x x x --=-+=，， 1241x x ∴==-，，0x >Q ，1x ∴=-舍去，4x ∴=，经检验4x =是原方程的解； 当0x <时，43x x+=，去分母，得23400x x -+=<V ，此时，∴方程无解． 综上所述，原方程的解为4x =．【总结】考察含绝对值的分式方程的解法，注意进行分类讨论．【例22】解方程：（1）11115867x x x x +=+++++； （2）222(3)223x x x x x x -+++=+--． 【难度】★★★ 【答案】（1）132x =-；（2）12403x x ==，．【解析】（1）由11115867x x x x +=+++++，得11115678x x x x -=-++++， 即()()()()115678x x x x =++++，所以()()()()5678x x x x ++=++， 去括号，得：2211301556x x x x ++=++，即426x =，解得：132x =-， 经检验：132x =-是原方程的解， ∴原方程的解为132x =-； （2）由222(3)223x x x x x x -+++=+--，得()2362424223x x x x x x -++--++=+--， 即4412112223x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭，113223x x x -=-+-， 即()()()()()()2323322x x x x x x +----=+-，2340x x -=，解得：12403x x ==，，经检验：12403x x ==，是原方程的解，∴原方程的解为12403x x ==，． 【总结】考察分式方程的解法，本题综合性较强，注意对方法的归纳总结．【例23】解下列方程：（1）22111256890x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11111(1)(1)(9)(10)12x x x x x x ++⋅⋅⋅+=-+++；（3）222111011828138x x x x x x ++=+-+---．【难度】★★★【答案】（1）12122x x ==，，343223x x ==，；（2）12211x x ==-，； （3）2181x x ==-，，3481x x =-=，． 【解析】（1）设1x a x+=，原方程可化为：21256650a a -+=， 即()()256130a a --=，解得：1251326a a ==，，当52a =时，即152x x +=，22520x x -+=，解得：12122x x ==，；当136a =时，即1136x x +=，261360x x -+=，解得：343223x x ==，；经检验：12122x x ==，，343223x x ==，是原方程的解， ∴原方程的解为12122x x ==，，343223x x ==，； （2）原方程变形为111111111191012x x x x x x -+-++-=-+++L ， 整理得：111111012x x -=-+，去分母得：29220x x +-=，解得：12211x x ==-，， 经检验12211x x ==-，是原方程的根，∴原方程的解为12211x x ==-，；（3）令228x x y +-=，原方程可化为1110915y x y y x++=+-， 解得：9y x =或5y x =-，当9y x =时，2289x x x +-=，解得：1281x x ==-，； 当5y x =-时，2285x x x +-=-，解得：3481x x =-=，； 经检验1281x x ==-，，3481x x =-=，是原方程的解，∴原方程的解为1281x x ==-，，3481x x =-=，．【总结】考察利用换元法解分式方程，综合性较强，注意对方法的归纳总结．【例24】已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a 的值． 【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】由方程有增根可知，1x =或2x =，原方程去分母得：()2122x a x a -+-=+，当1x =时，221a +=-，解得：32a =-；当2x =时，解得：2a =-，综上所述：当32a =-或2a =-时，x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根． 【总结】考察分式方程的解，利用分式方程的增根是整式方程的解得出关于a 的一元一次方程，从而解得求出a 的值．【例25】当a 取什么整数时，关于x 的方程2202(2)x x x a x x x x -+++=--只有一个实数根，并求此实数根． 【难度】★★★【答案】当4a =-时，方程只有一个实数根1x =；当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-． 【解析】原方程可化为()222402x x ax x -++=-， （1）若0x ≠且2x ≠，则22240x x a -++=，Q 方程只有一个实数根，0∴=V ，即8280a =--=V ，72a ∴=-，但a 为整数，则应舍去；（2）若22240x x a -++=有一个根是0x =，则4a =-；此时原方程为()224022x x x x x x x --++=--，去分母得2220x x -=，解得：1201x x ==，； 经检验0x =为增根，1x =是原方程的解，4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =；（3）若22240x x a -++=有一个根是2x =，则8a =-；此时原方程为()228022x x x x x x x --++=--， 去分母得，22240x x --=，解得：1221x x ==-，； 经检验2x =为增根，1x =-是原方程的解，4a ∴=-时，原方程只有一个根为1x =-．综上所述：当4a =-时，方程只有一个实数根1x =； 当8a =-时，方程只有一个实数根1x =-．【总结】考察分式方程增根的综合应用，综合性较强，注意分类讨论．【例26】解已知关于x 的方程22(1)()(27)1011x xa a x x --++=-- （1）求a 的取值范围，使得方程有实数根；（2）求a 的取值范围，使得方程恰有一个实数根；（3）若原方程的两个相异的实数根为12x x ，，且121231111x x x x +=--，求a 的值．【难度】★★★ 【答案】（1）5328a ≥-且1a ≠±（2）5328a =-或1a ≠±；（3）128103a a ∴=-=，．【解析】（1）当原方程为一元一次方程时，即210a -=，1a ∴=±，此时原方程有解；当原方程为一元二次方程时，此时2101a a -≠≠±，，设1xy x =-，原方程可以化为()()2212710a y a y --++=，()()2227410a a ∴=+--≥V ，即28530a +≥， 解得：5328a ≥-且1a ≠±， 综上所述：5328a ≥-； （2）同理可知：若方程有一个实数根，则1a =±；或0=V ，5328a ∴=-； （3）令12121211x x y y x x ==--，，则12311y y +=，即2273111a a +=-， 2227733a a ∴+=-，2322800a a ∴--=，128103a a =-=解得：，．【总结】考察分式方程与整式方程之间的转化即求解情况的讨论．随堂检测【习题1】 在方程：①969642x x -=-，②213014000x x +-=，③3132x x +=， ④121014x x -=+中，是分式方程的有（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【难度】★ 【答案】D【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【总结】考察分式方程的定义．【习题2】 下列方程中，有实数根的是（） A ．220x x -+= B ．410x -=C ．40n x +=D ．111x x x =-- 【难度】★ 【答案】B【解析】.0A <V ，无解；4.11B x x ==±，；.C n 为偶数时无解，n 为奇数时有解； .1D x =为增根，方程无解．【总结】考察方程有无实数根的分类讨论．【习题3】 下列方程中，不是二项方程的为（ ）A ．51x =；B ．6x x =C ．31309x += D ．4160x +=【难度】★ 【答案】B【解析】如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数) 【总结】考察二项方程的定义．【习题4】 （1）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于__________；（2）若分式351x x +-无意义，当510322m x m x -=--时，则m =__________．【难度】★【答案】（1）2；（2）37m =．【解析】（1）由2220210x x x x ⎧--=⎨++≠⎩， 得：()()()212010x x x +-=⎧⎪⎨+≠⎪⎩，2x ∴=； （2）若分式351x x +-无意义，10x ∴-=，即1x =；5103221m m ∴-=--， 去分母，得730m -=，解得：37m =．【总结】考察分式值为零和分式无意义的解法．【习题5】 （1）用换元法解方程222212x x x x -+=-时，如设212y x x=-，则将原方程化为关于y 的整式方程是___________； （2）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m =__________． 【难度】★【答案】（1）2210y y --=；（2）2m =-．【解析】（1）原方程可转化为()2212212x x x x ⋅--=-，212y x x =-Q ， ∴方程转化为分式方程为1210y y --=，去分母化为整式方程为：2210y y --=；（2）方程去分母得：23x m =--，若方程无解，则3x =，代入整式方程得2m =-． 【总结】考察分式方程去分母转化整式方程及对方程无解的理解及运用． 【习题6】 解下列方程： （1）3(2)80x ++=； （2）45(52)10x -=．【难度】★★【答案】（1）4x =-；（2）12x x ==． 【解析】（1）由3(2)80x ++=，得：()328x +=-，解得：4x =-；（2）由45(52)10x -=，得：()4522x -=，解得：12x x ==． 【总结】考察高次方程的解法，注意偶次方根有两个．【习题7】 解下列方程： （1）3244160x x x --+=；（2）()()426767720x x +-+-=；（3）4322914920x x x x -+-+=． 【难度】★★【答案】（1）123224x x x =-==，，；（2）125233x x =-=-，；（3）12341122x x x x ====，，． 【解析】（1）由3244160x x x --+=，得：()()24440x x x ---=，即()()()2240x x x +--=，解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；（2）由()()426767720x x +-+-=，得：()()226796780x x ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦，所以()26790x +-=，即673x +=±，故原方程的解为：125233x x =-=-，；（3）原方程可变形为：()()()43322227777220x x x x x x x +--+++--+=，即()()()()43322227777210x x x x x x x ---+---=，所以()()32127720x x x x --+-=，()()()32122770x xx x ⎡⎤----=⎣⎦，()()()()21211710x x x x x x ⎡⎤--++--=⎣⎦，即()()()212210x x x ---=，解得原方程的解为12341122x x x x ====，，． 【总结】本题主要考查一元高次方程的解法，注意通过因式分解进行降次，从而求出方程的解，综合性较强，解题时注意分析．【习题8】 解下列方程： （1）22(a b)ax b bx a +=+≠；（2）2(3)40m y y -+=．【难度】★★【答案】（1）x a b =+；（2）1240(3)3y y m m==≠-，此时． 【解析】（1）原方程可变形为：()()()a b x a b a b -=+-， a b ≠Q ，0a b ∴-≠，()()a b a b x a b+-∴=-，x a b ∴=+；（2）原方程可变形为：()340y m y -+=⎡⎤⎣⎦，当30m -=，即3m =时，40y =，0y ∴=；当30m -≠，即3m ≠时，12403y y m==-，，综上所述：1240(3)3y y m m ==≠-，此时【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意需要分类讨论．【习题9】 解下列分式方程：（1）3363242x x -=-+； （2）214124y y -=--； （3）2116122312x x x x -+=--+--； （4）222222322141233636109x x x x x x x x x x -+-+-+=+--++． 【难度】★★【答案】（1）12x x ==；（2）1y =-； （3）12233x x =-=，；（4）12912x x ==-，．【解析】（1）去分母，得：()()()()12233222432x x x x +--+=-， 化简，得：21224912127248x x x x +--+=-，2324280x x +-=，解得：12x x ，经检验：12x x ==是原方程的解，所以原方程的解为12x x ==； （2）去分母，得：2244y y +-=-，即()()210y y -+=， 解得：1221y y ==-，，经检验：12y =是原方程的增根，舍去， 所以原方程的解为：1y =-；（3）去分母，得：()()()()232312326x x x x ++-=-+--，即23760x x +-=， 解得：12233x x =-=，，经检验：12233x x =-=，是原方程的解， 所以原方程的解为：12233x x =-=，；（4）原方程变形为：()()()()()()()()()()()12261311326(6)19x x x x x x x x x x x x ----+-+=+--+++，即()()21311369x x x x x x ---+=+++，去分母得：()()()()()()()()()169213931360x x x x x x x x x -+++-++--++= 所以()()()()()()()1692393360x x x x x x x -+++++-++=⎡⎤⎣⎦，即 ()()112540x x -+=，解得：12912x x ==-，经检验：12912x x ==-，是原方程的解，∴原方程的解为12912x x ==-，．【总结】本题主要考查分式方程的求解，注意先去分母再计算，解完后注意要验根．【习题10】 当a 为何值时，方程2233x ax x-=---有增根． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】原方程去分母得：()223x x a -=-+，Q 方程有增根，3x ∴=， 代入整式方程得：1a =，∴当1a =时，方程有增根．【总结】考察已知方程有增根，如何求解方程中的字母参数；先将分式方程转化整式方程，再代入增根求解字母的值．【习题11】 解下列分式方程：（1）1111x a x a +=+--（a 为已知数）； （2）1121511015x y x y x y x y ⎧+=⎪-+--⎪⎨⎪+=⎪-++-⎩； （3）16252736x x x x x x x x +++++=+++++． 【难度】★★★【答案】（1）121a x a x a ==-，；（2）22x y =⎧⎨=⎩；（3）92x =-． 【解析】（1）原方程变形为：()()111111x a x a -+=-+--， 11x a ∴-=-或111x a -=-，解得：121a x a x a ==-，， 经检验：121ax a x a ==-，是原方程组的解，∴原方程组的解为121ax a x a ==-，；（2）设x y a x y b +=-=，，则方程组变形为()()112115110215b ab a ⎧+=⎪⎪+-⎨⎪+=⎪+-⎩，由()()21-，得：225a =--，解得：4a =，将4a =代入()1得：0b =，40x y x y +=⎧∴⎨-=⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩经检验：22x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，∴原方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩；（3）原方程可化为111111112736x x x x -+-=-+-++++，则11112736x x x x +=+++++， 即11112367x x x x -=-++++， 去分母，得：()()()()6723x x x x ++=++， 解得：92x =-，经检验92x =-是原方程的根，所以原方程的解为：92x =-．【总结】考察方程通过变形后转化成为一般的方程求解的解法，注意解完后进行检验．【习题12】 若关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实数根，求m 的值； 【难度】★★★【答案】74m <或2m =【解析】去分母整理得：220x x m -+-=，Q 原方程无实数根，则（1）()1420m =--<V ，即74m <；（2）整式方程的根是原分式方程的增根，则0x =或1x =，代入整式方程得：2m =，综上所述：当74m <或2m =时，原方程无实数根．【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2.整式方程的根为分式方程的增根．【习题13】 已知关于x 的二次方程22(815)2(133)80k k x k x -+--+=的两个根都是整数，求实数k ． 【难度】★★★ 【答案】7k =或133k =或4k = 【解析】原方程可化为：()()()23562680k k x k x --+-+=，即 ()()34520k x k x -+-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()350k k --≠Q ，124235x x k k ∴=-=---，， 124235k k x x ∴-=--=-，，消去k 得：122120x x x x •+-=，()()12212x x ∴+-=-．12x x Q ，都是整数，122112x x +=⎧∴⎨-=-⎩，122112x x +=-⎧⎨-=⎩，122211x x +=⎧⎨-=-⎩，122211x x +=-⎧⎨-=⎩解得：1211x x =-⎧⎨=-⎩，1233x x =-⎧⎨=⎩，1200x x =⎧⎨=⎩（舍去），1242x x =-⎧⎨=⎩解得：7k =或133k =或4k =；经检验，7k =或133k =或4k =满足分式方程的解，综上所述：7k =或133k =或4k =． 【总结】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为零是隐含的条件，将参数k 用方程两根表示最终消去是解题的关键．【作业1】用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关 于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=【难度】★ 【答案】A【解析】原方程可化为310y y-+=，去分母得230y y +-=． 【总结】考察分式方程运用换元法转化整式方程的方法．【作业2】（1）若关于x 的方程(2)1a x b -=-无解，那么a ________，b __________；（2）已知关于x 的方程1302x a --=与203x ax --=的解相同，则a =____________．【难度】★【答案】（1）21a b =≠，；（2）531a =-． 【解析】（1）方程ax b =，当00a b ==，时，x 为一切实数；当00a b =≠，时，方程无解；当0a ≠时，bx a =-；（2）由方程1302x a --=，解得：61x a =+；由方程203x a x --=，解得：5ax =-：Q 方程的解相同，615a a ∴+=-，解得：531a =-．【总结】考察含字母的方程的解得问题的分类讨论．课后作业【作业3】下列说法错误的个数是（）①二项方程一定有解；②二项方程的解最多有两个；③二项方程如果有两个解，则一定互 为相反数； A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★ 【答案】B【解析】①二项方程一定有解；（错）；①二项方程的解最多有两个；（对）①二项方程如果有两 个解，则一定互为相反数；（对），故错误的有1个，选B ． 【总结】考察二项方程及二项方程的解得概念．【作业4】关于x 的方程351x a bx -+=+有唯一解，则必须（ ）A ．2a b ≠；B ．6a ≠且3b ≠；C ．3b ≠；D ．6a =且3b ≠【难度】★ 【答案】C【解析】原方程可化为：()36b x a -=-，若方程有唯一解，则30b -≠，3b ∴≠． 【总结】考察含字母的方程求解问题的分类讨论．【作业5】如果不论k 为何值，1x =-总是关于x 的方程2123kx a x bk+--=-的解，试求a 、b 的值． 【难度】★★ 【答案】10332a b =-=，． 【解析】把1x =-代入方程，得：2123k a bk-+---=-，整理得()23310b k a -+=-， 230310b a ∴-==-，，解得：10332a b =-=，．【总结】考察了一元一次方程的解以及方程未知数的转换．【作业6】解下列方程： （1）3215200x x +=；（2）3244160x x x --+=；（3）22(321)(327)120x x x x -+--+=；（4）222()4(223)0x x x x ----=．【难度】★★【答案】（1）123403x x x ===-，； （2）123224x x x =-==，，；（3）1234151133x x x x ==-=-=，，，； （4）12341223x x x x =-==-=，，，．【解析】（1）由3215200x x +=，得：()25340x x +=，解得原方程的解为：123403x x x ===-，；（2）由3244160x x x --+=，得()()24440x x x ---=，故()()()2240x x x +--=，解得原方程的解为：123224x x x =-==，，；（3）由22(321)(327)120x x x x -+--+=，得()()2223263250x x x x ---+=，即()()223213250x x x x ----=，分解因式，得：()()()()1311350x x x x -++-=，解得原方程的解为：1234151133x x x x ==-=-=，，，；（4）由222()4(223)0x x x x ----=，得：()()2228120x x x x ---+=，即()()22260x x x x ----=，分解因式，得：()()()()12230x x x x +-+-=， 解得原方程的解为：12341223x x x x =-==-=，，，． 【总结】考察整式方程中运用换元思想降幂，求解高次方程的解法．【作业7】解下列方程：（1）222()0abx a b x ab -++=（0a ≠，0b ≠）； （2）2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-． 【难度】★★【答案】（1）12b ax x a b==，；（2）当0a =时，0x =；当1a =时，2x =； 当0a ≠且1a ≠时，1211a ax x a a +==-，． 【解析】（1）原方程可分解为：()()0ax b bx a --=，即ax b =或bx a =， 00a b ≠≠Q ，，∴可得原方程的解为：12b ax x a b==，； （2）原方程可整理为：()()()2222210a a x a x a a ---++=， 当20a a -=时，当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；当20a a -≠时，即0a ≠且1a ≠时，()()110ax a a x a -+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得：1211a ax x a a +==-，， 综上所述：当0a =时，0x =；当1a =时，2x =；当0a ≠且1a ≠时，1211a ax x a a +==-，． 【总结】考察含字母系数的方程的求解，注意进行分类讨论．【作业8】解下列方程： （1）651(1)x x x x +=++；（2）225242414015x x x x x x-+++=+-；（3）221245422x x x x +++=++；（4）22171()102x x x x +--+=．【难度】★★【答案】（1）1x =； （2）1212x x ==，，3434x x =-=-，；（3）1x =-；（4）12122x x =-=，，3411x x =+=-【解析】（1）对原方程去分母得：65x x =+，解得：1x =， 经检验1x =是原方程的解，∴原方程的解为：1x =；（2）设251x xy x -=+，原方程可化为24140y y ++=， 214240y y ∴++=，()()2120y y ++=，解得：12212y y =-=-，．当2y =-时，2521x xx -=-+，2320x x -+=，解得：1212x x ==，当12y =-时，25121x xx -=-+，27120x x ++=，解得：3434x x =-=-，经检验1212x x ==，，3434x x =-=-，均是原方程的解， 所以原方程的解为：1212x x ==，，3434x x =-=-，； （3）原方程可化为()2212223022x x x x +++-=++，设222x x a ++=，则可化为1230a a+-=，转化整式方程得：22310a a -+=， ()()2110a a ∴--=，解得：12112a a ==，．当12a =时，21222x x ++=，22430x x ++=，0<V ，方程无解；当1a =时，2221x x ++=，2210x x ++=，121x x ∴==-； 经检验1x =-是原方程的解，所以原方程的解为：1x =-； （4）原方程可化简为：21712102x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x t x -=，则27302t t -+=，化成整式方程得：22760t t -+=，即()()2320t t --=，解得：12322t t ==，，当32t =时，132x x -=，22320x x --=，()()2120x x +-=，解得：12122x x =-=，；当2t =时，12x x-=，2210x x --=，解得：3411x x ==经检验12122x x =-=，，3411x x ==所以原方程的解为：12122x x =-=，，3411x x ==【总结】本题主要考察利用去分母或者是换元法解分式方程，注意解完后要检验．【作业9】解下列方程：（1）11118475x x x x +=+----； （2）222212219116x x x x x x x +++++=+++． 【难度】★★★【答案】（1）6x =；（2）12x x ==，31x =． 【解析】（1）原方程可变形为：11118754x x x x -=-----，即()()()()118754x x x x =----， 所以()()()()8754x x x x --=--， 去括号，得：221556920x x x x -+=-+， 解得：6x =．经检验6x =是原方程的解，所以原方程的解为6x =；（2）原方程可变形为：222211231132x x x x x x ++++=++++，设2211x x y x ++=+，则原方程变为12332y y +=+，解得：122332y y ==，．当221213x x x ++=+时，化简得：2310x x ++=，解得：12x x ==； 当221312x x x ++=+时，化简得：2210x x -+=，解得：31x =，经检验12x x =，31x =是原方程的解，所以原方程的解为：12x x ==，31x =． 【总结】考察分式方程的解法，注意对方法的归纳总结，解完后注意要检验．【作业10】若方程x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】0k =或12k =． 【解析】原方程可以化为()22310kx k x +--=①，（1）当0k =时，原方程有一个解，12x =； （2）当0k ≠时，()225410k k =+->V ，则方程①恒有两个不相等的实数根，又Q 原方程只有一个解，则必有一个解为原方程的增根，即0x =或1x =，当0x =时，不是方程①的解，1x ∴=，代入方程①得12k =；把12k =代入原方程，得2x =-．综上所述：0k =或12k =【总结】考察先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程解的讨论．【作业11】已知方程()222221210()x ax a a x a +-++-=+有实数根，求实数a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】原方程可整理得()()22221210x a x a a x a +-++-=⎡⎤⎣⎦+，进一步整理得：()()222220x ax a ax x a +-+=+，()20x a x a x a ⎡⎤∴+-=⎢⎥+⎣⎦，()0x a x a x a ∴+-=+， 去分母整理，得：()223210ax a x a +-+=；当0a =时，解得：0x =，此时0x a +=，原方程无意义；当0a ≠时，若方程有实数根，则()2242140a a =--≥V ，解得：1122a -≤≤，其方程的根为：x =，又0x a +≠Q ，即x a =≠-，解得：0a ≠，综上所述，当原方程有实数根时，a的取值范围为：1122a-≤≤且0a≠．【总结】考察方程有解求方程中参数的问题，以及结合含字母系数的分类讨论的综合运用，综合性加强，注意进行方法的总结．。
(完整)分式方程概念及解法
分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程;②含有分母；③分母里含有未知量。
2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程,如：关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程.要点二：分式方程的解法1。
解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解.2．解分式方程的一般方法和步骤(1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
（2)解这个整式方程。
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时,无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.规律方法指导1．一般地，解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义1、下列各式中,是分式方程的是（）A．B．C．D．举一反三:【变式】方程中,x为未知量,a，b为已知数，且，则这个方程是( ）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________。
整式方程、分式方程
整式方程、分式方程考点扫描：1. 整式方程的概念（Ⅰ）2. 含有字母系数的一元一次方程与一元二次方程的解法（Ⅱ）3. 分式方程的概念（Ⅱ）4. 分式方程的解法（Ⅲ）考点梳理：1.一元整式方程的概念：如果方程中只含有一个 ，且两边都是关于 ，那么这样方程叫做一元整式方程。
一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程就叫做一元n 次方程。
2.字母系数（1）在方程ax=12中，x 是未知数，a 是用字母表示的已知数，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程。
（2）在方程bx ²=2s 中，x 是未知数，b 和s 是用字母表示的已知数，字母b 是字母系数，2s 是常数项。
这个方程是含字母系数的一元二次方程。
3.分式方程的概念：如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程是分式方程。
4．分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1） （2） （3）（4） （5）5.增根的概念：在分式方程求解中，有可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根。
前测：1.下列关于x 的方程中，属于一元整式方程的是（ ）A.4x+y=3B.16x ²-25C.xx -=132 D.3x ²-4x+1=0 2．有下列四个关于x 的方程：①6312=--x x ②300500900-=x x ③x x 2313=+④x x 129=。
属于分式方程的有 。
（填序号）3.用换元法解分式方程02232=----x x x x 时，如果设y xx =-2，则原方程可化为关于y 的飞、整式方程是 ；4.若方程xx x --=-3323有增根，则这个增根一定是 ； 5.解关于y 的方程（k-2）y ²-3y=0； 6.解方程：121212-=--+x x x x ；检测：1.下列关于x 的方程中，属于一元整式方程的是（ ）A.3x+2y=3B.42480300=-x xC.213-=x x D.x ²-2 2．下列是分式方程的是（ ） A.023=+-πx B.31-x C.x x 532=- D.5x+6y=0 3.解方程()312122=-+-x x x x 时，设12-=x x y ，则原方程化为y 的整式方程为（ ） A.2y ²-6y+1=0 B. 2y ²-3y+1=0 C. y ²-3y+2=0 D.y ²+2y-3=04.方程112+=++x m x x 有增根，此时m= ； 5.解关于x 的方程3a-x=2（3-x ）； 6.解方程：433422-=-+x x x x ；7.解方程：3214242=-+--x x x。
八年级数学分式方程
工程优化问题
通过设定工程目标函数和 约束条件，建立分式方程 求解最优方案或最大效益。
行程问题
相遇问题
根据两物体相对运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解相遇时间或相 对速度。
追及问题
根据两物体同向运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解追及时间或速 度差。
航行问题
根据船在静水和流水中的 速度、时间和距离，建立 分式方程求解船速、水速 或航行时间。
预测未来情况
通过建立分式方程模型并求解，可以预测未来某些情况的 发生或变化趋势，为决策提供依据。
实际问题中分式方程解的意义
1 2
解释现象
通过求解分式方程得到的解可以解释实际问题的 现象或结果，如相遇时间、工作效率等。
指导实践
根据分式方程的解可以指导实践操作或决策制定， 如合理安排工作时间、选择最佳方案等。
利用高次方程的判别式，判断方程的根的情况，从而求解方程。
多元分式方程组解法
消元法
通过消去一个或多个未知数，将多元分式方程组转化为一元或低 元方程求解。
代入法
将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解出所有未知数的值。
整体法
将方程组中的某些项看作一个整体，通过整体代入或整体消元的 方法求解方程组。
分式方程与函数关系探讨
分式函数定义域与值域
分析分式函数的定义域和值域，理解函数的基本性质。
分式函数图像与性质
通过绘制分式函数的图像，探讨函数的单调性、奇偶性等性质。
分式方程与函数零点
利用分式方程的解，确定分式函数的零点，进一步分析函数的性质。
分式方程在数学竞赛中应用
复杂分式方程求解
在数学竞赛中，常常遇到复杂的分式方程，需要灵活运用各种方法求解。
分式方程与整式方程
分式方程与整式方程在数学中，分式方程与整式方程是我们经常遇到的两类方程。
它们之间有着明显的区别，下面我将从不同的角度来介绍它们的特点和应用。
一、定义和形式1. 分式方程：分式方程是指方程中含有分式的方程。
一般形式为a/b = c/d，其中a、b、c、d为整数，b和d不为0。
分式方程的特点是方程中含有未知数的分数形式。
2. 整式方程：整式方程是指方程中只含有整数和未知数的方程。
一般形式为ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0，其中a、b、c、d 为整数，n为非负整数。
整式方程的特点是方程中只含有未知数的整数形式。
二、解的形式1. 分式方程：分式方程的解一般为有理数。
通过对分子和分母进行因式分解，我们可以求得方程的解。
2. 整式方程：整式方程的解可以是有理数或无理数。
通过代数运算，我们可以求得方程的根。
三、求解方法1. 分式方程：求解分式方程时，我们通常采用通分的方法，将方程中的分式转化为整式方程。
然后通过解整式方程，得到方程的解。
2. 整式方程：求解整式方程时，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法，根据方程的形式选择合适的方法求解。
四、应用领域1. 分式方程：分式方程常常出现在实际问题中，例如涉及到比例、速度、浓度等方面的问题。
求解分式方程可以帮助我们解决实际生活中的实际问题。
2. 整式方程：整式方程广泛应用于各个数学领域，包括代数、几何、概率等。
解整式方程可以帮助我们深入理解数学的基本概念和原理。
总结：分式方程与整式方程在定义、解的形式、求解方法和应用领域上都有所区别。
了解它们的特点和应用，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
无论是在实际生活中还是学术研究中，掌握分式方程与整式方程的区别都是非常重要的。
分式方程与整式方程
分式方程与整式方程1. 引言在数学中，方程是一种用于描述等式关系的数学语句。
它是由未知量、已知量和运算符组成的代数表达式。
分式方程和整式方程是常见的两种方程类型。
分式方程是包含有一个或多个分式的等式，其中分子和分母都可以是整式（多项式）。
而整式方程则包含有一个或多个整式的等式，其中所有的项都是整数次幂的多项式。
本文将详细介绍分式方程与整式方程，包括其定义、性质、解法以及实际应用。
2. 分式方程2.1 定义分式方程是指包含有一个或多个分式的等式。
在分数中，我们将分子和分母都看作是整体，并且可以对它们进行各种运算。
例如，下面是一个简单的分式方程：2 x +3y=5z其中x、y和z都是未知量。
2.2 性质•分母不能为0：在求解分式方程时，我们需要注意避免让任何一个出现在分母中的变量取值为0。
因为除以0在数学中是没有定义的。
•分式方程可以化简：我们可以对分式方程进行合并同类项、约分等操作，使其更简洁明了。
2.3 解法要解决一个分式方程，我们需要将方程两边的分式化为相同的分母，然后根据等式性质进行运算。
下面是一般的解题步骤：1.将方程两边的分式化为相同的分母；2.合并同类项；3.在等号两边进行消元操作，将未知量移到一边，已知量移到另一边；4.求解得到未知量的值。
下面通过一个例子来说明解决分式方程的过程。
例题：解方程1x +2y=3。
解：首先，我们将方程两边的分式化为相同的分母。
由于x和y都是未知量，我们可以选择它们的最小公倍数作为通分的基数。
在本例中，最小公倍数是xy。
因此，我们需要将每个分数乘以适当的因子来得到通分后的形式：1 x ⋅y+2y⋅x=3接下来，合并同类项：y x +2xy=3然后，我们可以通过消元操作将未知量移到一边，已知量移到另一边。
在本例中，我们可以通过乘以xy来消去分母：y2+2x2=3xy最后，我们需要将方程化为标准形式，并求解得到未知量的值。
在本例中，我们可以将方程移项得到：y2−3xy+2x2=0这是一个二次方程，可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解。
整式方程和分式方程
整式方程与分式方程【教学目标】1. 认识整式方程与分式方程，了解它们的定义2. 掌握解方程的方法，会求解整式方程与分式方程【教学重难点】1. 能根据定义正确判断整式方程中的不同分类2. 熟练掌握解方程的方法，正确求解整式方程与分式方程【教学内容】★ 知识梳理一、整式方程1. 一元整式方程（1）一元一次方程：形如b ax =，其中x 是未知数，a 是字母系数（2）一元二次方程：形如02=++c bx ax ，其中x 是未知数，a 、b 、c 是字母系数（3）一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式（4）一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数）（5）高次方程：n 大于2的一元n 次方程2. 特殊高次方程解法（1）二项方程：形如0=+b ax n ，一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零（2）对于二项方程0=+b ax n ，当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数，如果0>ab ，那么方程没有实数根（3）双二次方程：形如024=++c bx ax ，只含有偶数次项的一元四次方程二、分式方程1. 定义：分母中含有未知数的方程2. 解法：通过方程两边同乘以各分式的最简公分母，约去分母，转化为整式方程来解★ 考点一、整式方程例1. 当a 时，方程0=+b ax 是一元一次方程，它的根是当a 时，方程02=++c bx ax 是一元二次方程，它的根是 当0≠a 、0>c 时，方程02=+c ax 有实数根（填“一定”或“一定没”或“不一定”）例2. 下列关于x 的方程中，是整式方程的有（1）32x x x =+；（2）071615124=+-x x ；（3）a x ax 5322=-；（4）x x x x =++1362例3. 下列关于x 的方程中，是二项方程的有（1）0854=+x ；（2）053=+x x ；（3）1255+=x x ；（4）)0,0( 02≠≠=+c a c ax例4. 下列关于x 的方程中，是双二项方程的有（1）063224=+-x x ；（2）024=-+x x ；（3）1)3)(3(22=-+x x ；（4）5)2)(2(24=-+x x例5. 解方程（1）432-=a x （2）2)3(=+x a （3）73)12(+=+x x a（4）5322=-x x （5）2)1()1(8+=+x x x （6）0)32(2)1(322=--+x x（7）9)2(23=+x （8）08)1(32=+-x（9）05424=-+x x （10）025324=--x x（11）09)1(10)1(222=++-+x x （12）08223=--x x x（13）03323=+--x x x （14）2)1)(2(2=++x x二、分式方程（注意检验增根）例6. 下列关于x 的方程中，是分式方程的有（1）0162=-+x x ；（2）64552=+x x ；（3）z x y x z y -=-+-111；（4）325611=-++-x x ； （5）53212++-x x x ；（6）01=x例7. 当x 取哪些值时，代数式x x 11-有意义？例8. 解方程（1）01212=++--x x （2）44422-+=-+x x x x x（3）21212-=---x xx x x x（4）918332-=--+x x x x x（5）x x x x x x 3133512=-++-+（6）26219132--=-x x x x（7）142214232=----+x xx x（8）11171272-=+---x x x x例9. 当x 是什么值时，代数式3472--x x x 与534+x 的值互为倒数例10. 若关于x 的方程211=-x 与312=+a x x 的解相等，求a 的值例11. 当m 为何值时，关于x 的分式方程11122-+=---x x x m x x 没有实数根★ 能力训练1. 解高次方程：021434136=+-x x2. 解分式方程：3221431--+--=--+-x x x x x x x x3. 解分式方程：12112)1(22=----xx x x4. 若关于x 的方程242122xk x x -=--+有增根，求k 的值【课后作业】一、填空1. 方程0352=-+a x 的根为2. 已知x=1是方程x a x =-+6322的根，则aa 1+的值为 3. 下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（1）02=++c bx ax ； （2）()()5272102+=-x x ； （3）08112=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ； （4）222132x x x x +-=-4. 对于二项方程0=+b ax n ，当n 为偶数时，如果ab 0，则方程有两个实数根，如果ab 0，方程没有实数根（填写“>”、“=”或“<”）5. 方程0233=+x 是一元 次方程，它的解的情况是6. 方程08=+b ax （0,0≠≠b a ）有一个解是x=2，则它的另一个解是7. 下列关于x 的方程中，分式方程的个数是（1）732=-x x ；（2）155=+x x ；（3）23122=+x ；（4）x x x=-+13212 8. 方程02132=+-x x 的根为 9. 若代数式x x 132-有意义，则x 的取值范围是 10. 当x = 时，分式325422-+-+x x x x 的值是2二、解方程11. 2)3(=+x a 12. 5)13(2-=-x x a13. 03522=--x x 14. 22)2(16)12(9-=+x x15. 01032=--x x 16. 4)1(23=+x17. 027)5(32=+-x 18. 0624=-+x x19. 035224=--x x 20. 03223=--x x x21. 024223=+--x x x三、简答题22. 已知代数式8624-+-x x x 的值等于1，求代数式1+x x 的值23. 当x 是什么值时，代数式27+x x 与432-+x x 的值互为相反数。
可化为整式方程的分式方程
寻找公因式
检查方程中的各项，找出它们共同的因子。
简化方程
通过提取公因式，简化方程的形式，便于进 一步求解。
公式法求解
一元二次方程求根
公式
对于形式为 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 进行求解。
完全平方公式
混淆去分母与去括号顺序
在解分式方程时，去分母和去括号的 顺序很重要。若混淆这两者的顺序， 可能会导致计算错误。
例如，对于方程 $frac{2x}{x+1} + frac{x2}{x+1} = 1$，正确的解法是先去分母，得到 $2x + x - 2 = x + 1$，再解得 $x=1.5$。若先 去括号再去分母，则会得到错误的解。
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与整式方程区别
未知数位置不同
整式方程未知数在分子或分母中，而分式方程未知数在分母中。
解的范围不同
整式方程的解是一切实数，而分式方程的解需要满足分母不为零的 条件，因此解的范围受到限制。
求解方法不同
整式方程通常通过移项、合并同类项等方法求解，而分式方程则需 要通过去分母、换元等方法转化为整式方程进行求解。
可化为整式方程的分式方程
contents
目录
• 分式方程基本概念 • 化为整式方程方法 • 整式方程求解技巧 • 分式方程应用举例 • 误区警示与易错点剖析 • 总结回顾与拓展延伸
01 分式方程基本概念
定义与特点
分式方程定义
分母里含有未知数的方程叫做分式方 程。
分式方程特点
分式方程和整式方程的运算方法
分式方程和整式方程的运算方法数学是一门非常重要的学科，我们在日常生活中处处可见它的应用。
在学习数学的过程中，方程是一个非常重要的知识点。
方程是指由等号连接的左右两个式子，其中至少有一个未知数。
方程有很多种类型，例如整式方程和分式方程。
本文将主要讲解分式方程和整式方程的运算方法。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的形式，方程通常形如a/b=c/d，其中a、b、c、d均为式子，其中b和d不为0。
分式方程的求解过程，需要将分母约分，把分式方程化为整式方程。
1. 分式方程的基本性质分式方程有一些基本的性质，我们在运算的过程中需要注意以下几点：(1)如果两个分式式子的分母相等，则可以把分母去掉，同时保留分子，合并成一个式子。
(2)如果两边同时乘以同一个数或同一个式子，分式方程仍然成立。
(3)如果两边同时除以同一个数或同一个式子，分式方程仍然成立。
(4)在分式方程中，不能将一个分数直接移到另一边，需要通过乘除法等变形方法进行处理。
2. 分式方程的运算方法分式方程的运算方法主要分为以下两种。
(1)通分法。
如果分式方程中的分母不相同，则需要通过通分的方法，将分母变成相同的数，然后再进行求解。
其中，通分的方法与普通的通分方法相同。
例如：3/x+1/2x=7/2首先对2x和x求最小公倍数，得到2x。
然后将分子和分母乘以合适的系数，使分母变为2x。
然后将分式方程化简为整式方程即可。
经过上述处理，得到6+3=x*7，化简后得到x=3。
(2)交叉乘法法。
如果分式的分母相同，则可以使用交叉乘法将分式方程化为整式方程。
其中，交叉乘法的方法同分数的通分方法。
例如：2/x+1/2=5/4将分式进行交叉乘法得到：2*2+1*x=1*x*5然后将方程化简得到x=4/3。
二、整式方程整式方程是指方程中的未知数只带有整数幂。
例如，x+3=6，x^2+3x+2=0等是整式方程。
整式方程和分式方程都是方程的一种，但它们的运算方法是不同的。
分式方程知识总结
分式方程知识总结一、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。
例如15x =，3233x x x =+--，523x x +=-都是分式方程。
分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中不含有未知数的方程叫做整式方程。
练习：下列方程都是关于x 的方程，其中是分式方程的有 。
（只填序号） ①52x =；②313x =-；③152x x =-；④2x n x m m n +--=；⑤2m n m n x m -+-= 答案：②、③、⑤。
二、分式方程的解法解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，然后通过求整式方程，将整式方程的解代入最简公分母中，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解就是分式方程的根，否则这个解就不是原分式方程的根，原分式方程无解。
例题1、解方程32222x x x x-=--- 方程两边同时乘以2x -，约去分母得322(2)x x x -=---解这个整式方程得1x =检验：当1x =时，20x -≠。
所以1x =是原方程的解。
三、增根将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，约去分母，有时就可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常被称为增根。
所以解分式方程一定要进行检验。
①增根产生的原因：对原分式方程的根来说，它必须使分式方程中各个分式分母的值不能为0，当所得到的整式方程的解使原分式方程中至少一个分式的分母为0（这个分母实际上是去分母时最简公分母的一个因式），那么最简公分母的值为0，即相当于在分式方程两边都乘以了0，不符合等式性质的要求，所以这个整式方程的解不适合原来的分式方程，它就是增根。
②分式方程验根的方法：分式方程验根的方法有两种：一是将整式方程的解代入到去分母时方程两边所乘以的最简公分母中，如果这个最简公分母的值为0，它就是原分式方程的增根，舍去，反之就是原分式方程的根；二是将整式方程的解代入到原分式方程左右两边，看看两边的值是否相等。
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整式方程与分式方程
复习上节课
一次函数一章有哪些知识点：
常考题型：
本课知识结构图：（本节课重点）
教学过程
一、整式方程的解法
1.一元一次方程和一元二次方程的解法
一元一次方程的解法同学们都很熟练了，我们主要回顾一下一元二次方程的解法。
一元二次方程的解法主要有四种：
（1）直接开平方法：
适用于（mx+n ）2=h (h ≥0)的一元二次方程。
（2）配方法：
适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。
但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。
配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n ）2=h (h ≥0)的形式，再利用直接开平方法求
解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
其基本步骤是：
①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；
②把常数项移到等式的右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；
⑤利用直接开平方法解此方程
用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方
（3）公式法： 适用于解一般形式的一元二次方程。
利用公式()
042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程。
注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2-4ac ＜0时，原方程无实数解。
（4）因式分解法：
适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
例题 用适当的方法解下列方程：
（1）（2x+1）2=25 （2）01422
=--x x （3）3x 2+8x-1=0 (4) x 2-9x=0
二、可化为一元二次方程的分式方程的解法
1．适宜用“去分母”的方法的分式方程
解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。
解分式方程要注意验根！
分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。
（1）首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例x 2-17x+60可分解因式
为（x-5）（x-12）.
（2）分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“（x-5）（x-12）”.
（3）用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解.
（4）最后应检验，至此例可找到本例完整解答.
解：原方程就是
)
12)(5(4512354---=--+-x x x x x x ， 方程两边都乘以)12)(5(--x x ，约去分母，得
45)5)(3()12(4-=----x x x x ，
整理后，得
018112=++x x .
解这个方程，得
9,
221==x x . 检验：0)12)(5(9,221≠--==x x x x 代入，
∴ 9,221==x x 均为原方程根.
在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x ”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.
2.适宜用“换元法”的分式方程
适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法，
下面的例题中的两个方程，分别具有这两种特点。
例题 解下列方程：
（1）061512
=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ； （2）112)1(31)2(82222=+-+-+x
x x x x x . （1）分析：观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑同底换元法为宜.
解：（1）设y x x =+1
.则原方程可化为 0652=++y y ，
0)3)(2(=++y y ，
∴ 3,221-=-=y y .
当y 1=-2时，即3
221-=⇒-=+x x x ； 当y 2=-3时，即
4331-=⇒-=+x x x . ，均不为代入检验把0)1(4
3,3221+-=-=x x x ∴ 4
3,3221-=-=x x 均为原方程的根. （2）分析：观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的1222-+x x x 与x
x x 2122+-互为倒数，根据这个特点，可以用倒数换元法来解. 解：设y x x x =-+1222，那么y
x x x 12122=+-，于是原方程变形为 1138=+
y y ， 去分母，得 031182=+-y y ，
0)1)(38(=--y y ，
解得 y 1=8
3,y 2=1. 当 y=83时，831
222=-+x x x . 去分母并整理，得
031652=++x x .
解得 3,5
1
21-=-=x x .
当y=1时，即11
222=-+x x x . 去分母并整理，得
211
23-=∴-=x x . 检验：把21,3,51321-
=-=-=x x x 分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根. ∴原方程根是：21,3,5
1321-=-=-=x x x . 由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点，考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.。