4.1估算求一元二次方程的根(2)
一元二次方程求根方法
一元二次方程求根方法一元二次方程是高中数学中的重要内容，求解一元二次方程的根是我们学习的基础。
本文将介绍一元二次方程的概念、求解方法以及求根的具体步骤。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 分别为已知系数（且a ≠ 0），x 为未知数。
这个方程的解即为方程的根。
二、求解一元二次方程的方法求解一元二次方程的方法有多种，常用的有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程的根。
具体步骤如下：Step 1：将方程写成 (px + q)(rx + s) = 0 的形式，其中 p、q、r、s 为常数。
Step 2：得到两个一次方程 px + q = 0 和 rx + s = 0。
Step 3：分别求解这两个一次方程，得到 x 的值。
2. 配方法当一元二次方程无法通过因式分解时，我们可以通过配方法求解方程的根。
具体步骤如下：Step 1：将方程中二次项的系数变为 1，即将方程写成 x^2 + bx + c = 0 的形式。
Step 2：在方程两边同时加上一个适当的常数 d，使得方程可以进行配方。
Step 3：根据配方公式 (x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2，将方程转化为一个完全平方的形式。
Step 4：利用完全平方公式将方程进行化简，并求解得到 x 的值。
3. 求根公式法一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
具体步骤如下：Step 1：将方程写成标准形式 ax^2 + bx + c = 0。
Step 2：根据求根公式，将 a、b、c 的值代入公式中，计算得到 x 的值。
三、一元二次方程求根步骤示例以方程 2x^2 - 5x - 3 = 0 为例，演示一元二次方程求根的具体步骤。
Step 1：将方程写成标准形式，即 2x^2 - 5x - 3 = 0。
如何求解一元二次方程的根
如何求解一元二次方程的根求解一元二次方程的根是高中数学中的重要内容之一。
一元二次方程一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
下面将介绍解一元二次方程的三种常用方法：因式分解法、配方法和公式法。
一、因式分解法当一元二次方程可因式分解时，可利用因式分解法求解。
考虑方程ax^2 + bx + c = 0，若存在两个实数根x1和x2，那么方程可表示为(x-x1)(x-x2)=0，进而得到两个方程x-x1=0和x-x2=0。
示例：求解方程x^2 - 5x + 6 = 0。
根据因式分解法，应找到两个数，使其乘积等于6，和等于-5。
观察可得，-2和-3满足条件，得到方程(x-2)(x-3)=0。
根据零元等于0的性质，得到x=2和x=3，即方程的两个实数根为2和3。
二、配方法当无法通过因式分解法解得方程时，可尝试使用配方法。
配方法的基本思想是通过添加常数项使得一元二次方程能够进行因式分解，从而求得方程的根。
示例：求解方程x^2 - 8x - 9 = 0。
根据配方法，将方程x^2 - 8x - 9 = 0中的常数项“-9”进行分解，找两个数，其乘积等于-9，和等于-8。
观察可得，9和-1满足条件，得到方程x^2 - 8x + 9x - 9 = 0。
根据配方法的原理，将方程进行分组得到(x^2 - 8x) + (9x - 9) = 0，再进行因式分解得到x(x - 8) + 9(x - 1) = 0。
继续化简得到(x + 9)(x - 1) = 0，根据零元等于0的性质，得到x=-9和x=1，即方程的两个实数根为-9和1。
三、公式法当无法通过因式分解法和配方法求得方程的根时，可以使用求根公式，即一元二次方程求解公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其求解公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
示例：求解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
一元2次方程求根公式
一元2次方程求根公式
求一元二次方程的根的公式，通常都是利用韦达定理和根的判别式。
一元二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。
假设其解为x1和x2，那么根据韦达定理，我们有如下等式：x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。
于是，我们可以使用这两个等式来求出一元二次方程的根。
若要解出一元二次方程的具体根，还需利用根的判别式，即 Δ = b² - 4ac，其中，Δ即为变量的讨论范围，也称为判别式。
如果判别式Δ小于0，那么方程无实根。
即方程的解为两个虚根。
如果判别式Δ等于0，那么方程有两个相同的实根，或者说有一对重根。
这时候，方程的解可以用以下的公式来求解：x1,2 = -b/2a。
如果判别式Δ大于0，那么方程有两个不相同的实根。
这时候，方程的解可以
用以下的公式来求解：x1,2 = [-b ± sqrt(Δ)] / 2a。
需要注意的是，以上这些公式只是一元二次方程的求解方法之一，对于一些特殊的情况，比如说完全平方，或者是可以通过因式分解来求解的情况，就需要选
用不同的求解策略。
但无论如何，以上这些公式是求解一元二次方程最常用，也是最基础的工具。
用图象法求一元二次方程的根
用图象法求一元二次方程的根学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。
下面介绍几种具体的方法： 方法一：直接画出函数y=ax2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.方法二：先将方程变形为ax2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.方法三：可将方程化为a c x ab x ++2=0，移项后为a c x ab x --=2.设y=x2和y=a cx a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=a cx ab --的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.例：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：（1）观察图象，抛物线与x 轴交于两点（1，0）、（3，0）故方程20ax bx c ++=的两个根11x =，23x = .（2）不等式20ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的部分，因此不等式20ax bx c ++>的解集应为13x <<.（3）因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x >（4）若使方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.点评：可以看到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系。
初中八年级数学下册【一元二次方程(2)】
0.5 1 1.5 2 28 18 10 4
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求 解方法吗?与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方 程 x2 +12 x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的 1m
说法正确吗？为什么？
10m 8m
(2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？
由上表可发现，当2＜x＜3时, -1＜ x2 - 2x -1 ＜2；
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
x
2.2 2.3
2.4
2.5
…
x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04 0.25 …
由表发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25; （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45, ∴x≈2.4.
即 2t2－t－2＝0. 根据题意,t的取值范围大致是0<t<3.
完成下表(在0<t<3这个范围内取值计算,逐步逼近):
根据题意,t的取值范围大致是0<t<3. 完成下表(在0<t<3这个范围内取值计算,逐步逼近):
t … 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3 … 2t2-t-2 … -2 -1 -0.68 -0.32 0.08 0.52 4 13 …
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近):
x x2 +2x – 120
2.1 课时2 一元二次方程根的估算 课件(共20张PPT) 数学北师版九年级上册
所求宽度为 1 m.
你还有其他求解方法吗？
①在未知数x的取值范围内确定范围；②根据题意的具体情况再次确定大致范围；③列出未知数的取值和方程的值的表格进行再次确定；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.。
x
1
2
3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
当x=1时，x2+12x-15<0，当x=2时，x2+12x-15>0，当x=1时，(x+6)2+72<100，当x=2时，(x+6)2+72>100
可以看出：
据此猜测x在1和2之间，即1<x<2
(4)x的整数部分是几?十分位是几?
由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？
x 不可能大于 2.5 ，(5-2x) 表示地毯的宽，所以有 5-2x > 0.
0 < x <2.5
x
0.5
1
1.5
2
(8-2x)(5-2x)
(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?
(3)填写下表:
28
18
10
4
①表格中，当x的值从小到大变化时(8-2x)(5-2x)的值逐渐减小，经历了从大于18到等于18再到小于18的过程。
x
0
0.5
1
1.5
2
x2 + 12x - 15
-15
-8.75
-2
5.25
13
下面是小亮的求解过程：
计算一元二次方程的根
计算一元二次方程的根一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知实数并且a不为0。
计算一元二次方程的根是解方程的过程，通过求解方程得到x的值。
本文将介绍如何计算一元二次方程的根，并给出相应的求根公式以及求解步骤。
一、求根公式要计算一元二次方程的根，可以使用求根公式。
求根公式是根据一元二次方程的形式推导出来的，可以直接求得方程的根。
根据求根公式，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)其中，±表示两个解，即方程有两个不同的根；√表示求平方根；b^2 - 4ac被称为判别式，用来判断方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不同的实根；当判别式等于0时，方程有两个相同的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
二、求解步骤下面以具体的例子来介绍如何计算一元二次方程的根。
例题：求解方程2x^2 - 5x + 2 = 0的根。
Step 1: 确认方程的系数该例中，方程的系数是a = 2，b = -5，c = 2。
Step 2: 计算判别式判别式D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9。
根据判别式的值，可以得到方程的根的情况为大于0，即存在两个不同的实根。
Step 3: 求根x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)将方程的系数代入求根公式，得到：x = (-(-5) ± √(25 - 4*2*2))/(2*2)= (5 ± √(25 - 16))/4= (5 ± √9)/4化简可得：x1 = (5 + 3)/4 = 8/4 = 2x2 = (5 - 3)/4 = 2/4 = 0.5所以，方程2x^2 - 5x + 2 = 0的根为x1 = 2，x2 = 0.5。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
北师大版九年级数学上册一元二次方程的解及其估算
知1－讲
例1 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解：－1，2.
总结
知1－讲
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等， 就不是方程的根．
知1－讲
例2 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根， 那么字母b的值为( B ) A. 3 B. －3 C. 4 D．－4
知2－讲
(2)步骤： ①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值； ②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范 围； ③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出 符合要求的范围．
知2－讲
例3 在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足 方程(x＋6)2＋72＝102，也就是x2＋12x－15＝0. (1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？ 为什么？ (2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？ 为什么？ (3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ (4)x的整数部分是几？十分位是几？
解：小亮把他的求解过程整理如下：
x
0 0.5 1 1.5 2
x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13
所以1<x<1.5.
一元二次方程求根公式及讲解
主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
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由表2得到x的3<x<5. 3.再在实数3-5之间取一个中间值
至此，可得出x的大致范围3<x<4.
东平县初中数学
上面这种方法叫二分法. 我们可继续采用这种两边夹逐渐逼近的方法取值. 4.接着在实数3-4之间取一个中间值，x=3.5
此时，x的取值范围3<x<3.5.
东平县初中数学
一直这样做下去,x的值就越来越接近了……
验证：当X=0时，x2+ 7x = 0；当X=3时， x2+ 7x<36, 所以方程在0和3范围内不可能有根.
如果不考虑根的实际意义,你会估计这个方程其 他的根吗？
东平县初中数学
一长方形栅栏的周长是28cm，面积是45cm2 , 列方程，用刚才的方法估算该长方形栅栏的宽.
分析： 1.先设栅栏的宽为x，则栅栏的长可以表示为______， 找出题目的相等关系，列方程. 2.根据题目的实际意义，估算出x的取值.
东平县初中数学
1.估算一元二次方程的根： 列表；两边夹逐渐逼近 2.实际问题要结合方程的实际意义.
东平直角三角形的三边都是整数,它的斜边长是 11cm,两条直角边的差为7cm,求两直角边的长.
东平县初中数学
x2＋(x＋7)2＝112
1.试着把这个方程化简; 2.能估计出x的大致范围吗？
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由表1可得x的大致范围0<x<5. 2.然后在实数0-5之间取中间值
通过上表，进一步确定x的一个大致范围3<x<5. 东平县初中数学