求一元二次方程的整数根的方法
求一元二次方程的整数根的方法
2.关于x的方程x2 mx m 1 0的两个根都是正整数，
求m的值.
解：设方程的两个正整数根分别为x1, x2 则x1 x2 m，于是m必为正整数 设＝m2－4m－4 k 2(k为非负整数)
则(m＋k－2)(m－k－2)＝8,
m＋k－2 m－k－2, m＋k－2与m－k－2
同奇偶，则
＝－
2
2 m＋1
所以m＋1＝1， 2，
所以m＝－3，－2，0，1
关于因式分解法的总结整理
• 当一元二次方程整数根具 有这样的特征：几个因式 的积=整数常数，此时方 可使用因式分解法。
•二、求根公式法
1.设关于x的方程x2－（m－2）x＋m2－m－2＝0有正整数根， 求正整数m的值.
解：＝(m - 2)2 4(m2 m 2) 3m2 12 0, 所以m2 4. 所以－2 m 2，所以m＝1或2； 当m＝1时，x＝1或－2； 当m＝2时，x1＝x2＝0. 所以m＝1【. 可否用因式分解法？】
一、因式分解法
1.设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0只有整数根，
求m的值.
解：设方程的两个整数根分别为x1, x2
则x1
x2
m ，于是m必为偶数. 2
原方程可化为（x－m）（2x m) 2因x，m均为整数
Байду номын сангаасx－m 1 2x m＝2
或
2x－x mm＝21或
2x－x mm＝－－1 2或
• 3、已知方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整根， 求a的值.(展开、移项、讨论)
• 4、
解：由韦达定理得 :
x1
x2
10 m m
,
x1x2
2m m
6
第五讲一元二次方程的整数整数解
第五讲一元二次方程的整数整数解从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解.注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.【例题求解】【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整数是的值有__________ 个.注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论.【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是()a b127 A. -22125B.22C.12322121D.——22【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由.注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x • (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程.学历训练1已知关于X的方程(a_1)x2• 2x_a _1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a有_____ .2.已知方程x2 -1999x • m =0有两个质数解，则m = _____________ .3 .给出四个命题：①整系数方程ax2 bx ^0(a^ 0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2 bx ^0(a^0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2 bx・c =0(a z0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2 bx 0没有有理数根，其中真命题是_____________________________________ .4. 已知关于x的一元二次方程x2(2a-1)x a2=0 (a为整数)的两个实数根是为、x?,则肿1 -肿2 = __________ .5. 设rn为整数，且4<m<40 ,方程x2-2(2m—3)x ■ 4m2-14m ・8=0有两个整数根，求m的值及方程的根.(山西省竞赛题)6. 已知方程ax2 -(3a2 -8a)x 2a2 -13a 1^0 (a丰0)至少有一个整数根，求a的值.7. 求使关于x的方程kx2 (k 1)x k-^0的根都是整数的k直&当n为正整数时，关于x的方程2x2 -8nx，10x-n2• 35n-76=0的两根均为质数，试解此方程.9.设关于x的二次方程(k2 -6k，8)x2 (k2 -6k-4)x，k2 =4的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值.10•试求所有这样的正整数a，使得方程ax2 2(2a -1)x 4(a _3) =0至少有一个整数解.11 •已知p为质数，使二次方程x2 -2px p2 _5p-1 =0的两根都是整数，求出p的所有可能值.12 .已知方程x2，bx，c=0及x2cx 0分别各有两个整数根X i、X2及x；、X2，且X i x2>0, x1 x2>0.(1)求证：X1<0, X2<0, x；<0, X2< 0; (2)求证：b-1_c_b，1 ; (3)求b、c所有可能的值.13.如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2 -2x-m V=0的根(m为整数),这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由.4 =】+参考答案 E]一元二次方程的整数解 【例题求解】 5 当A = G 时，褐工=触当4=9时，得J--3,当内工6且世H9时•辉得耳《» 吕，斗=諾亍当&一人=±]*±氛工9 时‘比足整数*这时i = 7,5t 3 +15.-3t 当9一*=士1・土2*士3, ±6时.去是整数"这时居■ 10*8,11,7,12*15*3.编上所 述丄=3飞，7,415时酿方程的解为整忆 B a + b=\3.则 口/为 2T inc-a&=22. 门】当r=0时，得a 三寺不見整数； 怡〉当『工0时*设方程的两根为釘•业〈药£比)•则小+立=一宁，4片=弓于 , 2J -|^7Z —（X ）JJ ）=烈〒)+千 =3,有(2乃一1〉(2忌一】)= 7 丫百凤 为整数•且寸冬工“解得或 r=l f故所求一切有理数$为一专或】.若心・”2伽为l)I +^=n J (n + 2?M —l>(n —2m+ 1) — 4'n+ (2m — 1)=2 f n+ (2wI, n — (2m —1) = 2 i n~ ( Zm~'7 n + (2rn — 1)与n — (2m — 1 )奇偶性相同"故只可能有此与榊为整数矛盾•故心不可惟为完全平方数，方程不可能有有理报.a == ,；+ ；；；尹】①*解得：一2云才疼B 且 —l f j=— 2,0.1,2,3»4T 5»€ 分别代入①*得a=l+13・《的分数值已舍去》 【学力训练】-l-~y z. 3994 3.①②④ 4. ±1 5. A=4(2m +I)为完全平方数.又m 为4<m<40的整数.则m=12或24.当讯=讣时"劝=lh 业=2餉当« = 24时*$ = L 5 当<1=1时+z=l*当口工1时，工1 = 1*壮 38. Xj ="52. 6-显然 a^0t JT\ —2— ,JT E = 1 ——,从而可得 q « a T.当* = 0时山="当AH1时.设两个整数帳为有 1,3 或 5” ①①—②，得 X1 — JTi j r ==2②化(JL -DC JJ —1) = 3=1X3= ( — 1)X(-3),解得曲+壮=6 或巧 + 壮= -2. 即一 1_* = 6或_ 1_+ = _氛解得A=-y 或&="故稠足要或的点值为o>-y*i. 8-设陶顶数根为站申，.则及+找=4“一5为奇數皿曲必一避一偶+不妨设TI =2,代人原方程得M r -19H^18=O,W 得眄 =16 •检=日■当n = 16时.x? = 57$当丹=3时*斗―5. jTTg •消去氏得盘】找+3刁+2 = 0.即.Tn (令+3) = — 2. fjj -21 + 3I E + 3 — 1lw- 4#；廟:!鼻1.解得一4£工翟2,讨论得d=l*3,e 」0.11・6=4, 一4(p'-5p-l〉= 4(5p+l)为完全平方数•从而5/>+1为完全平方散・令5p+l«/i\注意到p>2.故n>4.且n 为赧数•于是5p-<n*l)(n-l).则”+1“一1中至少有一个是5的倍数・刃” =5&土1"为轅数) A5#>+l«25^±10*+l,p=*(5*±2)・由P为质».5*±2>1知*=】"■ 3或7•当p = 3时•原方程变为x:-6x-7 = 0.得小=一1•比=7$当p=7时•原方程变为^-Ux+B-O,得xi-=bx t-13.所以“一3 或7・12・假设Jj>0. lf| xjx：>0 知x,>0.Xi +x：" —6= i•还与已知Xi jfz>O.x\x\>0 矛馬•故Xi <0#x：<0.ffl)理/V0*V0・(2)<~(6-1) = ^^：+^|4-^ + 1 = (^ + 1)(^ + 1)>0»故对于方程”+工+6一0 进行同样讨论■得综上有6-l<c<6+l.(3)①当 *・6+1 时才<・一4 一亠 + 1・从而(T)+ l)(j-r + 1)=2=( —1) K(—2) = 1 X2."+1・一1 fxi +1 = —2故 - 。
求一元二次方程的整数根八法
１ １ ．．
已知其 中两名选 手共得 ８分 ， 其他人 的平均分 为整数． 求参加此次 比赛 的选手共有多少人 ？ 分析 ： 注意到 每 比赛一 盘 ． 比赛 双方共 得
１ ， 分 于是 可知 ， 不论 比赛 的胜 负情况如何 ， 总 得分应 当等 于 比赛 场数 ． 样就排 除 了“ 一 这 胜 盘得 １ ， 分 和一盘各得 ０５ ， ． 分 负一盘得 ０ ” 分
解： 原方 程可 变形 为 ｚ ６ 、 一 ＝ ／３（— ） ｎ．
因为 ｎ 为整数 ， 欲使 为整数 ， 有 — ＝ ， 则 ｎ Ｏ 即 ＝ ． ｘ＿ ６ ０ ｘ ３， ＝ ２ ｎ ３或 ／ 一 ． ｎ由 ２ 一 ＝ 得 １ 一 ． ＝ ． ｘ ＝ ２ 故 ｔ ＇ ２ －
六、 利用主元法转化为一次方程
一
盘得 １ ， 分 和一盘各得 ０ 分 ， ． ５ 负一盘得 ０分．
２若 ０ ｂ为 整 数 ， 证 明 方 程 ｚ１ 似＋ ． 、 试 ＋０ ５一＝ ｂ ３ ０没有整数根 ． ３若关 于 的方 程 似 ２ ０ ３ （一 ）０ ． ＋ （— ）＋ 口 ２ ＝ 至少有一个整数根 ， 求整数 口的值．
其判别式 △为完全平方式 ， 可据此来探求 。的
值．
解： 由题设可 知方程 ｚ（ ） ５ １ （＋ － 叶５卅 ：
ｂ （＋ ）０有两 个整 数根 一 ，ｃ 故设其判别 ） ｃ ＝ ｂ一 ，
式Ａｎ ＝ ：ｎ为非 负整 数 ） 即 （＋ ） ４ ５ — ） ， 口 ５ （０ １ ＝ ＿ （ ５ ＝ 由此可知 口为整数 ， 口 ５ ｍ， ） ． 记 一 ＝ 则 ｍ也是整 数 ， 于是 ｎ－ Ｚ４ 即（ ＋ （ 一 － ． ２ｍ ＝ ， ｎ ｍ）凡 ｍ） ４ ＿ 因为（ ＋ 与 （— 同为奇 数或 同为偶数 ， ， ｍ） ｎ ｍ） ｔ 故
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。
解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。
而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。
2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。
2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。
实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。
下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。
Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。
用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。
这时x1=6，x2=4。
解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。
设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。
归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。
例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。
分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。
我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。
解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。
例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
求一元二次方程整数根方法举隅_9
求一元二次方程整数根方法举隅对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠ 0)的实数根问题，可以用根的判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但对于它的有理根,整数根情况就没有统一的方法来判别，只能具体情况具体分析。
本文对这一问题作一探讨。
1 直接求解例1．m 是什么整数时方程（m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根？（1993年天津市初二数学竞赛决赛） 解：显然m ≠±1,原方程可分解为[（m-1）x-6][(m+1)x-12]=0x 1=16-m x 2=112+m ∵x 1 , x 2是正整数∴m-1=1或2或3或6m+1=1或2或3或4或6或12解得m=2或3.但m=3时x 1=x 2不合题意，舍去。
当m=2时x 1=6 ,x 2=4符合题意。
故m=2。
2.利用判别式Δ≥0例2 已知方程ax 2-(a-3)x+a-2=0至少有一个整数根，求整数a 的值解：如果a=0原方程化为3x-2=0无整数根，故a ≠0∵Δ=(a-3)2-4a(a-2)≥0∴3a 2-2a-9≤03)721(3)721(+≤≤-a 满足上式的整数a 的值有-1，1，2，检验：当a= -1时x=1或3(两个整数解) ；当a=2时x=0或0.5(一个整数解) ；当a=1时x 2+2x-1=0无整数解。
故a= -1或2例3 求满足方程y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对（x,y ）(1995江苏省初中数学竞赛)解：将原方程变形为2x 4-4yx 2+(y4+1)=0有△≥0即（-4y ）2-8(y 4+1)≥0即-8(y 2-1)2≥0 即（y 2-1）2≤0故y=1或-1当y= -1时原方程无解；当y=1时（x 2-1）2=0,x=1或-1∴满足原方程的所有整数对是（1，1） （-1，1）。
3．利用判别式Δ是完全平方式例4 设m 为整数且4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根，求m 的值和方程的根（1993天津市初二数学竞赛决赛）解：易得△=4（2m+1）由△=4（2m+1）是完全平方数和4<m<40可得m=12或24并求得相应的根为26，16和52，38 例5． x 为何有理数时代数式9x 2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？（1998山东省初中数学竞赛）解：设两个连续正偶数为k,k+2则9x 2+23x-2=k(k+2)即9x 2+23x-(k 2+2k+2)=0 ∵x 是有理数∴判别式Δ是完全平方数 即设232+4·9（k 2+2k+2）=565+[6(k+1)]2=p2 (p ≥0)p 2-[6(k+1)]2=565=113•5=565•1即[p+6(k+1)][p-6(k+1)]=113•5=565•1∴ p+6(k+1)=113p-6(k+1)=5或 p+6(k+1)=565p-6(k+1)=1分别解得k=8或k=46。
一元二次方程求根方法
一元二次方程求根方法一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是学生们常常遇到的问题之一。
在解一元二次方程时，我们可以运用不同的方法来求根，本文将介绍几种常见的求根方法，并通过具体例子进行说明。
首先，我们来讨论一元二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0。
其中，a、b、c 为已知实数，且a ≠ 0。
求解一元二次方程的根，可以运用以下几种方法。
一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法来求解。
例如，考虑方程x² - 5x + 6 = 0。
我们可以将方程进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
由此可知，方程的两个根分别为x = 2和x = 3。
二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以运用配方法来求解。
例如，考虑方程x² - 6x + 8 = 0。
我们可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，即(x - 3)² - 1 = 0。
进一步化简，得到(x - 3)² = 1。
通过开平方运算，我们可以得到方程的两个根分别为x = 2和x = 4。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的常用方法之一。
对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其根可以通过求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)来得到。
例如，考虑方程x² - 4x - 5 = 0。
我们可以根据求根公式计算出方程的两个根分别为x = 5和x = -1。
四、图像法图像法是一种直观且易于理解的求解一元二次方程的方法。
我们可以通过绘制一元二次方程的图像，来观察方程的根。
例如，考虑方程x² - 2x - 3 = 0。
我们可以绘制出该方程的图像，发现方程的两个根分别为x = 3和x = -1。
五、因子法当一元二次方程的系数为整数时，我们可以通过因子法来求解。
例如，考虑方程x² - 7x + 10 = 0。
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2x－x mm＝－－1 2或
x－m －2 2x m＝－1
所以m＝0.
设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0 只有整数根，求m的值.
一学生解：原方程可化为（x－m）（2x m) 2
由已知得：
x－m 1时，2x m＝2；x－m 2时，2x m＝1；
一、因式分解法
1.设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0只有整数根，
求m的值.
解：设方程的两个整数根分别为x1, x2
则x1
x2
m ，于是m必为偶数. 2
原方程可化为（x－m）（2x m) 2因x，m均为整数
x－m 1 2x m＝2
或
2x－x mm＝21或
解：原方程可以变形为（x－1）[(m+1)x+2]=0
解得x1＝1，x
＝－
2
2 m＋1
所以m＋1＝1，ห้องสมุดไป่ตู้ 2，
所以m＝－3，－2，0，1
关于因式分解法的总结整理
• 当一元二次方程整数根具 有这样的特征：几个因式 的积=整数常数，此时方 可使用因式分解法。
•二、求根公式法
1.设关于x的方程x2－（m－2）x＋m2－m－2＝0有正整数根， 求正整数m的值.
关于韦达定理法的总结整理
• 1、有分式的找约数； • 2、是整式的分解因式； • 3、注意消元.
厚重
• 以上各题目可否采用其 他方法解决？
练习
• 1、求所有正实数a使得x2-ax+4a=0仅 有整数根;( 法)
• 2、设关于x的二次方程：(k26k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是 整数，求满足条件的所有实数k的 值;(因式分解)
解：＝(m - 2)2 4(m2 m 2) 3m2 12 0, 所以m2 4. 所以－2 m 2，所以m＝1或2； 当m＝1时，x＝1或－2； 当m＝2时，x1＝x2＝0. 所以m＝1【. 可否用因式分解法？】
2.关于x的方程x2 mx m 1 0的两个根都是正整数，
求m的值.
解：设方程的两个正整数根分别为x1, x2 则x1 x2 m，于是m必为正整数 设＝m2－4m－4 k 2(k为非负整数)
则(m＋k－2)(m－k－2)＝8,
m＋k－2 m－k－2, m＋k－2与m－k－2
同奇偶，则
mm＋ －kk－ －22＝ ＝42，或
m＋k－2＝m－k－2＝-
解：由韦达定理得 :
x1
x2
10 m m
,
x1x2
2m m
6
由已知得：m＝1， 2.
当m＝1时，x＝1或8；
当m＝－1时，方程无整根；
当m＝2时， 0,方程无实根；
当m＝－2时，方程无整根.
所以m＝1.
【可否用因式分解法或判别式法？】
2.设关于x的方程x2－(m＋3)x－m 0有两个负整数根， 求m的值.
• 3、已知方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整根， 求a的值.(展开、移项、讨论)
• 4、
求一元二次方程的整 数根的方法
一、因式分解法 二、求根公式法 三、韦达定理法 四、求根代入法 五、待定系数法
总论
• 一元二次方程，在有实数根的前提下 （），要使方程有整数解，首先应该 使其有有理根，所以它的判别式必须 是一个完全平方式。求出方程的根， 再利用整数性质解之。注意关键词， 比如说：“关于x的方程”，此方程可 以是一元一次方程或一元二次方程。
2 4
所以 km＝＝15
或
k＝1 m＝－1
因为m 0,所以m＝5【. 可否用因式分解法？】
关于求根公式法的总结整理
• 注意根的判别式必须是完 全平方数；
• 若判别式无法令为平方的 形式，则可利用不等式来 解。
三、韦达定理法
1.设关于x的一元二次方程 mx2 +(m-10)x+2m+6=0 只有整数根，求整数m的值. 【问题中m为整数的条件 可否去掉？】
解：设方程的两个负整数根分别为x1, x2 则由韦达定理得x1 x2 m 3，x1x2 －m. 于是m必为小于-3的整数，x1 x2 x1x2 3, 所以(x1＋1)(x2 1) 4. x1＋1 1, -4, 2, -2对应的 x2＋1 4, 1, 2, -2. 解得m＝－9或－10. 【可否用因式分解法或判别式法？】
x－m －1时，2x m＝－2；x－m －2时，2x m＝－1.
所以m＝0或－1或1.当m＝0时，x＝ 1；
当m＝1时，x＝－1或 3；当m＝－1时，x＝1或－ 3 .
2
2
综上所述m 0
灵动、思辨
•注意挖掘隐含条件
2.如果方程（m＋1）x2－（m－1）x－2＝0的两个根都是整数， 求整数m的值.