一元二次方程整数根问题的解法技巧
求一元二次方程的整数根的方法
2.关于x的方程x2 mx m 1 0的两个根都是正整数，
求m的值.
解：设方程的两个正整数根分别为x1, x2 则x1 x2 m，于是m必为正整数 设＝m2－4m－4 k 2(k为非负整数)
则(m＋k－2)(m－k－2)＝8,
m＋k－2 m－k－2, m＋k－2与m－k－2
同奇偶，则
＝－
2
2 m＋1
所以m＋1＝1， 2，
所以m＝－3，－2，0，1
关于因式分解法的总结整理
• 当一元二次方程整数根具 有这样的特征：几个因式 的积=整数常数，此时方 可使用因式分解法。
•二、求根公式法
1.设关于x的方程x2－（m－2）x＋m2－m－2＝0有正整数根， 求正整数m的值.
解：＝(m - 2)2 4(m2 m 2) 3m2 12 0, 所以m2 4. 所以－2 m 2，所以m＝1或2； 当m＝1时，x＝1或－2； 当m＝2时，x1＝x2＝0. 所以m＝1【. 可否用因式分解法？】
一、因式分解法
1.设关于x的方程2x2 -mx-m2 -2＝0只有整数根，
求m的值.
解：设方程的两个整数根分别为x1, x2
则x1
x2
m ，于是m必为偶数. 2
原方程可化为（x－m）（2x m) 2因x，m均为整数
Байду номын сангаасx－m 1 2x m＝2
或
2x－x mm＝21或
2x－x mm＝－－1 2或
• 3、已知方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整根， 求a的值.(展开、移项、讨论)
• 4、
解：由韦达定理得 :
x1
x2
10 m m
,
x1x2
2m m
6
一元二次方程整数根问题的解法技巧
7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后 代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为 整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,
一元二次方程整数根问题的几种思维策略
一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。
解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。
而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。
2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。
2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
初中数学一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。
因此成为近年来各种自招考试的热点。
下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。
一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。
利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。
故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。
可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。
（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。
当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。
确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。
若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。
一元二次方程的整数根与有理根-初中数学知识点
一元二次方程的整数根与有理根一元二次方程的整数根与有理根例谈一元二次方程整 数根的求解 选自《初中数学竞赛》辅导丛书对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 的实数根问题，可以用根的判别式2=4b ac ∆- 来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有: (1 )直接求解， (2 )根的判别式法， (3 )根与系数的关系， (4 ) 巧设主元， (5 )构造函数等方法，另对公式1212x x x x ++ 的恒等变形也是解诀整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用。
下面笔者从近几年全国各地初中数学竞赛试题中选取有关一元二次方程整根的试题，供同行参考借鉴。
1. 直接求解例1 . m 是什么整数时方程()()221631720m x m x ---+= 有两个不相等的正整数根? 2 .利用判别式0∆≥例2. 已知方程()2320ax a x a --+-= 至少有一 个整数根，求整数a 的值例3. 求满足方程442214y x x y ++= 的所有整数对 (),x y3 .利用判别式∆ 是完全平方式例4. 设m 为整数且440m << ,方程()2222341480x m x m m --+-+= 有两个整数根，求m 的值和方程的根。
例5. x 为何有理数时代数式29+232x x -的值恰为两个连续正偶数的乘积?4 .利用韦达定理例6. 方程20x px q ++=的两个根都是正整数并且1992p q += ，求方程较大根与较小根之比。
例7. 求所有实数k 使方程()()2110kx k x k +++-= 的根都是整数5 .常元互换例8. 求出所有这样的正整数a 使得二次方程()()2221430ax a x a =-+-= 至少有一个整数根例9 . 使方程222170a x ax a ++-= 两根都是整数根的所有正数a 的和0 是多少?6 .利用整数性质例10 . 如果方程210x ax b -++= 的两 根12,x x 都为自然数，试证:22a b + 必为合数例11. 已知,m n 为整数，方程2+10530x mx n ++= 有实数，问方程有无整数根?7 .利用二次函数例12 .已知,b c 为整数， 方程250x bx c ++= 的两个根都大于1- 且小于0，求b 和c8 .综合应用例13 .已知关于x 的方程24832x nx n --= -- ---- ①和()22-3220x n x n +-+= ---- -②问是否存在这样的n 值， 使第一 个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?如存在，求出这样的n 值;如不存在，说明理由。
初中数学 一元二次方程的公共根与整数根
,j'_'中中中中考要求内容基本要求略高要求 :1,1代例题精讲公共根问题：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 整数根问题：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 丰0）的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 丰0）有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴A=b 2-4ac 为完全平方数；（2）-b+b 2-4ac=2ak 或一b-b 2-4ac=2ak ，其中k 为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a 、b 、c 均为有理数）方程的根的取值范围问题：先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.【例1】求k 的值，使得一元二次方程x 2+kx -1=0,x 2+x+（k-2）=0有相同的根，并求两个方程的根.【例2】1.设a ,b ,c 为AABC 的三边，且二次三项式12+2ax +b 2与x 2+2cx -b 2有一次公因式，证明:元二次方程的公共根与整数根一元二次 方程 一元二次 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方 方程的解因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 较高要求AABC一定是直角三角形.(北京数学竞赛试题)2.三个二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0有公共根.⑴求证：a+b+c-0；⑵求03+b3+c3的值.abc【例3】试求满足方程x2-kx-7-0与x2-6x-(k+1)-0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.【例4】三个二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0有公共根.(1)求证：a+b+c-0；(2)求a3+加+c3的值.abc【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)-0和(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a,b为正整数)有一个公共根，求ab +ba的值.a-b+b-a【例6】k为什么实数时，关于x的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54-0的解都是整数?【巩固】若关于x的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54-0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.【例7】(2007年全国初中数学联合竞赛)1.已知a是正整数，如果关于％的方程%3+(a+17)%2+(38-a)%-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.2.若k为正整数，且关于k的方程(k2-1)%2-6(3k-1)%+72=0有两个相异正整数根，求k的值.(2000年全国联赛试题)3.关于％的二次方程(k2-6k+8)%2+(2k2-6k-4)%+k2=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.4.当m为何整数时，方程2%2-5m+2m2=5有整数解.5.已知关于％的方程4%2-8n%-3n=2和%2-(n+3)%-2n2+2=0，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【例8】求所有有理数r，使得方程r%2+(r+1)%+(r-1)=0的所有根是整数.【例9】1已知关于％的方程%2+(a-6)%+a=0的两根都是整数，求a的值.6.已知k为常数，关于%的一元二次方程(k2-2k)%2+(4-6k)%+8=0的解都是整数，求k的值.【例11】已知p为质数，二次方程%2-2p%+p2-5p-1=0的两根都是整数，请求出p的所有可能的值.【例12】(2007—2008清华附中初三第一次月考试题)1已知12<m<40,且关于%的二次方程%2-2(m+1)%+m2=0有两个整数根，求整数m.2.若一直角三角形两直角边的长，a、b(a丰b)均为整数，且满足[a+b=m+2[ab=4m试求这个直角三角形的三边长．【例13】关于％的方程ax2+2（a-3）x+（a—2）=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.【巩固】已知方程ax2-（3a2-8a）x+2a2-13a+15=0（a是非负整数）至少有一个整数根，那么【例14】（2008年西城区初三抽样试题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数.【例15】（2007—2008清华附中初三第一次月考试题）已知12<m<40,且关于x的二次方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，求整数m.【巩固】设m为整数，且4<m<40，方程x2-2（2m-3）x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．【例16］当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解.【例17】已知方程ax2-Q a2-8a ）x+2a2-13a+15=0（a是非负整数）至少有一个整数根，那么【例18］若关于x的方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.【例19】设方程mx2-(m-2)x+(m-3)=0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解.【例20】设m为整数，且4<m<40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．【例21】①已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根，求a 的值.②已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值. 【例22】(1999年全国联赛试题)已知b,c为整数，方程5x2+bx+c=0的两根都大于-1且小于0，求b和c的值．【例23】(2007年“数学周报”杯全国数学竞赛试题)1.已知a,b都是正整数，试问关于x的方程x2-abx+2(a+b)=0是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明.(1993年全国数学联赛试题)2.已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根x,x12及x',x',且xx>0,x'x'>0.121212⑴求证：x<0,x<0,x'<0,x'<0；1212⑵求证：b-1W c W b+1；⑶求b,c所有可能的值.3.设p、q是两个奇整数，试证方程x2+2px+2q=0不可能有有理根.(北京市数学竞赛)4.试证不论n是什么整数，方程x2-16nx+7s=0没有整数解，方程中的s是任何正的奇数．【例24】求方程a3b-ab3+2a2+2b2+4=0的所有整数解.【例25】1.已知a为整数，关于％,j的方程组「+>=(a+2*的所有解均为整数解，求a的值.[xy=(a2+1)x一2a3+24.求方程x +y=3的所有正整数解.x2一xy+y275.求所有的整数对(x,y)，使x3一x2y+xy2一y3=4x2一4xy+4y2+47.【例26】设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，求m的值.【例27】(2008年西城区初三抽样试题)当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2一4mx+4m2一4m一5=0的根都是整数．【例28】(2007年全国联赛试题)a是正整数，关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.【例29】（2004年“信利杯”全国初中数学竞赛）已知a,b是实数，关于％,y的方程组卜=x3-ax2-b x有整数解（％,丁），求0,b满足的关系式.I y=ax+b【例30】（2002年上海市初中数学竞赛）已知p为质数，使二次方程x2-2px+p2-5p-1=0的两根都是整数，求出所有可能的p的值.【例31】（2000年全国联赛）设关于x的二次方程（k2-6k+8）x2+（2k2-6k-4）x+k2=4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.【例32】b为何值时，方程x2-bx-2=0和x2-2x-b（b-1）=0有相同的整数根？并且求出它们的整数根?【例33】（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程（a-1）x2+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a有个.【例34】（1998年全国竞赛题）求所有正实数a,使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根.【例35】(1996年全国联赛)方程(%—a)(x-8)—1=0有两个整数根，求a的值.【例36】(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数a,b,c使得关于x的方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的所有的根都是正整数.【例37】(1993年安徽竞赛题)n为正整数，方程x—拒+1)x+/n-6=0有一个整数根，则n=【例38】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a，使方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根．【例39】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根，则整数a的值是.【例40】不解方程，证明方程x2-1997x+1997=0无整数根【例41】(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程x2-1999x+a=0有两个质数根，则常数a=【例42】（1996年四川竞赛题）已知方程％2+mx-m+1=0有两个不相等的正整数根，求m的值.【例43】（1994年福州竞赛题）当m是什么整数时，关于x的方程x2-（m-1）x+m+1=0的两根都是整数? 【例44】设方程mx2-（m-2）x+（m-3）=0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解. 【例45】（2007年全国初中数学联合竞赛）已知a是正整数，如果关于x的方程x3+Q+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.【例46］若k为正整数，且关于k的方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个相异正整数根，求k的值.【例47】（2008年全国初中数学联赛）设a为质数，b,c为正整数，且满足9(2a+2b-c)2=509(4a+1022b-511c)求a(b+c)的值.b-c=2。