一元二次方程整数根问题的几种思维策略
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【最新整理，下载后即可编辑】一元二次方程整数根问题的十二种思维策略 班级__________ 姓名__________ 1.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根， ∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根 ∴22164(445)0m m m =---≥ 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1∴x 可取的整数值是-1，0，1 当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0 ∴ m=1 例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-一定是完全平方数 设2244m m k +-=（k 为正整数） ∴22(2)8m k +-= 即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
2.利用求根公式例3.（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=- 由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+即12241,142x x k k =--=----由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++两式相减，得1224211x x -=++ 即12(3)2x x +=- 由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。
一元二次方程的整数根问题--数不清
设(5p－132)2－17 404＝n2(n＞0，n为自然数).移项分解可得
(5p－132＋n)(5p－132－n)
＝22×19×229. 又(5p－132＋n)，(5p－132－n)同奇偶，所以，
解得p＝76.
注：从表面上看，此题中的p是一切实数，但由韦达定理判断它实际上是 自然数，故可采用前法求得.
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一元二次方程的整数根问题
数不清
[ 2011-3-5 22:15:00 | By: 数不清 ]
一元二次方程的整数根问题
1
推荐 迄今为止，尚未找到使得整系数一元二次方程有整数根的充分条件， 通常的方法都是通过讨论其判别式，利用根与系数的关系进行分析和归纳，即使用必要条 件解题，然后通过检验确定答案.下面举例说明常用的几种方法，并指出每种方法适合的 范围.
例4
设m为整数，且4＜m＜40，又方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8
＝0有两个整数根.求m的值及方程的根.
(1993,天津市初中数学竞赛)
分析：考察判别式△＝4(2m＋1)，因是关于m的一次式，故例1，例2的方法均不可用 .
广 Re:期末宣誓词 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:《牵一只蜗牛去散步》 Re:我心目中的好老师(29号的 家长 Re:真情献给党 Re:我心目中的好老师(29号的 家长 Re:真情献给党 Re:信封?关爱?感悟
有理根问题本质上也是整数根的问题，要求方程的根的判别式必须为 一个整数或有理数的完全平方.考察判别式
△ ＝232＋36(n2＋2n＋2)
＝36(n＋1)2＋565.
一元二次方程结题12种思路
初三数学一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一. 利用判别式例1.（黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴22164(445)0m m m =---≥V 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1 ∴x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0 ∴ m=1例2．（四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m =－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-V 一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数）∴22(2)8m k +-=即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
二. 利用求根公式例3．（全国联赛题）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-V 由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++ 即 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略邹振兴 (江苏省兴化市城西中学 225700) 含有字母系数的一元二次方程整数根问题,一般要求待定字母值或整数根.这类问题涉及的知识面广,其解法灵活多样,技巧性强,需要有较强的综合分析问题的能力,是近几年各地数学竞赛及中考的热门问题.本文试图在已有常用解法的基础上,再作新的探索,并归纳出这类问题的思考策略.1 利用判别式例1 当m是什么整数时,关于x的一元二次方程m x2-4x+4=0与x2-4m x+ 4m2-4m-5=0的根都是整数.(2000年黑龙江省中考试题)解 ∵方程m x2-4x+4=0有整数根,∴∃=16-16m≥0,得m≤1.∵方程x2-4m x+4m2-4m-5=0有整数根,∴∃=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,得m ≥-54.综上有-54≤m≤1.∴m可取的整数值为-1,0,1.将此三个数分别代入原方程,可知:当m =1时,已知的两方程的根都是整数.例2 已知方程x2+m x-m+1=0有两个不相等的正整数根,求m的值.(1996年四川省初中数学竞赛题)解 设原方程的两个正整数根为x1, x2,则m=-(x1+x2)为负整数.∴原方程为整系数一元二次方程,它有整数根,从而判别式∃=m2+4m-4一定是完全平方数.设m2+4m-4=k2(k为正整数),∴(m+2)2-k2=8,即(m+2+k)(m+2-k)=8.注意到m+2+k>m+2-k,且这两式同奇偶性,可得m+2+k=4,m+2-k=2或m+2+k=-2,m+2-k=-4.解得m=1>0(舍去)或m=-5.当m=-5时,原方程为x2-5x+6=0,两根分别为x1=2,x2=3.2 利用求根公式例3 设关于x的二次方程(k2-6k+ 8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数,求满足条件的所有实数k的值.(2000年全国初中数学联赛试题)解 ∃=(2k2-6k-4)2-4(k2-4)(k2-6k+8)=4(k-6)2,由求根公式可得x=-2k2+6k+4±2(k-6)2(k2-6k+8).即x1=-1-2k-4,x2=-1-4k-2.由于x≠-1,则有k-4=-2x1+1 ①,k-2=-4x2+1 ②.②-①得:2x1+1-4x2+1=2.即x1(x2+3)=-2.由于x1,x2是整数,故可求得x1=2,x2 =-4;或x1=-2,x2=-2;或x1=1,x2= -5.分别代入①,②并检验可得k=103,6,3. 3 利用方程根的定义例4 b为何值时,方程x2-bx-2=0和x2-2x-b(b-1)=0有相同的整数根?并且求出它们的整数根.(1992年四川省初中数学竞赛试题)解 设相同的整数根为Α,由根的定义,它们适合于两方程,有Α2-bΑ-2=Α2-2Α-b(b-1),整理得(2-b)Α=(2-b)(1+b).当b≠2时,Α=1+b,代入第一个方程得(1+b)2-b(1+b)-2=0,解得b=1,Α=2;・43・ 中学数学月刊 2001年第12期当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整数根为2.4 利用因式分解例5 已知关于x的方程(a-1)x2+2x -a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有个.(2000年全国初中数学竞赛试题)解 当a=1时,x=1.当a≠1时,原方程左边因式分解得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0,即得x1=1,x2=-1+21-a.∵x是整数,∴1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3.由上可知符合条件的整数a有5个.例6 当m是什么整数时,关于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0的两根都是整数?(1994年福州市初中数学竞赛试题)解 设方程的两整数根分别是x1,x2,由韦达定理得x1+x2=m-1 ①,x1x2=m +1 ②,②-①消去m,可得x1x2-x1-x2 =2.∴(x1-1)(x2-1)=3=1×3=(-1)×(-3).则有x1-1=1,x2-1=3,即x1=2,x2=4;或x1-1=-1,x2-1=-3,即x1=0,x2=-2.由此x1・x2=8或0,分别代入②得:m=7或m=-1.∴当m=7或-1时,原方程两根都是整数. 5 利用根与系数的关系例7 求所有正实数a,使得方程x2-ax +4a=0仅有整数根.(1998年全国初中数学联赛试题)解 设方程两整数根为x1,x2,且x1≤x2,由根与系数关系得x1+x2=a>0 ①,x1x2=4a>0 ②.由①得 a2≤x2≤a ③.将③代入②得4a=x1x2≤x1a;4a=x1x2≥x1・a2,∴4≤x1≤8.显然x1≠4,故x1可取5,6,7,8,依次代入原方程可得a1=x21x1-4=25,x2=20;a2=x21x1-4=18,x2=12;a3=x21x1-4=493不是整数;a4=x21x1-4=16,x2=8.∴a取25或18或16.6 构造新方程例8 方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整数根,求a的值.(1996年全国初中数学联赛试题)解 原方程变为(x-8)2+(8-a)(x-8)-1=0.设y=x-8,则得新方程为y2+(8-a)y-1=0.设它的两根为y1,y2,则y1+y2=a-8,y1y2=-1.∵x是整数,∴y1,y2也是整数,则y1,y2只能分别为1,-1或-1,1,即y1+y2=0,∴a=8.7 构造等式例9 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的所有的根都是正整数.(2000年全国初中数学联赛试题C卷)解 设三个方程的正整数解分别为x1与x2,x3与x4,x5与x6,则有x2-3ax+2b=(x-x1)(x-x2);x2-3bx+2c=(x-x3)(x-x4);x2-3cx+2a=(x-x5)(x-x6).令x=1并将三式相加,注意到x i≥1(i=1,2,…,6),有3-(a+b+c)=(1-x1)(1-x2)+(1-x3)(1-x4)+(1-x5)(1-x6)・53・2001年第12期 中学数学月刊 ≥0+0+0=0,但a≥1,b≥1,c≥1,又有3-(a+b+c)≤0,∴3-(a+b+c)=0.故a=b=c=1.8 分析等式例10 n为正整数,方程x2-(3+ 1)x+3n-6=0有一个整数根,则n=.(1993年安徽省初中数学竞赛试题)解 不妨设已知方程的整数根为Α,则Α2-(3+1)Α+3n-6=0,整理得Α2-Α-6=3(Α-n).因为Α为整数,所以Α2-Α-6为整数, 3(Α-n)也一定为整数,要使3(Α-n)为整数,必有Α=n,由此得Α2-Α-6=0,即n2-n-6=0.解得n=3或-2(舍去).∴n=3.9 反客为主例11 求出所有正整数a,使方程ax2+ 2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解.(第三届《祖冲之杯》初中数学竞赛试题)解 由原方程知x≠2,不妨反客为主,将原方程整理成关于a的一元一次方程(x2+4x+4)a=2x+12,得a=2x+12(x+2)2≥1(因a是正整数).则得(x+4)(x-2)≤0,解得-4≤x≤2.因此,x只能取-4,-3,-1,0,1,2.将这六个值分别代入a的表达式得x=-4, a=1; x=-3,a=6;x=-1, a=10; x=0,a=3;x=1,a=149;x=2,a=1.故所求a的正整数值是1,3,6,10.10 利用配方法例12 已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根,则整数a 的值是.(第四届《祖冲之杯》初中数学竞赛试题)解 原方程可变为a2x2-10ax-x2-2x+24=0,即a2x2-10ax+25=x2+2x+1,亦即(ax-5)2=(x+1)2.∴ax-5=±(x+1),得x1=6a-1,x2=4a+1 (a≠±1).当a-1=-1,-2,-3,-6,即a=0, -1,-2,-5时,x1为负整数.但a=0时,x2>0;a=-5时,x1=x2=-1,又a≠-1,∴a=-2.11 利用奇偶分析例13 已知方程x2-1999x+a=0有两个质数根,则常数a=.(1999年江苏省第十四届初中数学竞赛试题)解 设方程的两个质数根为x1,x2(x1< x2).由根与系数关系得:x1+x2=1999,故x1,x2不可能均为奇数,其中必有一个偶数,而2是唯一的偶质数,于是x1=2,x2=1997 (也是质数),所以a=p q=2×1997=3994. 12 利用反证法例14 不解方程,证明方程x2-1997x +1997=0无整数根.证明 假设方程有两个整数根Α,Β,则Α+Β=1997,ΑΒ=1997,由第二式知Α,Β均为奇数,于是Α+Β为偶数,但这与第一式相矛盾,所以Α,Β不可能都是整数.假设方程只有一个整数根,则Α+Β不可能是整数,也与第一式矛盾,所以方程不可能只有一个整数根.综上可知,原方程无整数根.・63・ 中学数学月刊 2001年第12期。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。
解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。
而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。
2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。
2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
一元二次方程整数根问题的解法技巧
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
・94・ 重庆
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期)
一元二次方程整数根问题的解法技巧
( 云南省曲靖市会泽县大井镇一中 654222) 朱家海
在近些年来的初中数学竞赛中, 经常出现含参数 的一个或几个一元二次方程有整数根的问题, 这类试 题或求整数根或求参数或求含参数的代数式的值, 其 类型繁多涉及的知识面广, 解法灵活多样且技巧性极 强. 本文试对这类问题的常用解法技巧系统归纳如下, 供读者参考.
x2 0 x2 0 bx 0 -
( 1) 判别式 ∃ = b2 - 4ac 为参数的一次式
① 结合已知, 利用 ∃ ≥ 0 求出参数的范围. 例 3 ( 1997 年江西省赣州地区初三数学竞赛题) k 为何整数时, 关于 x 的一元二次方程 kx 2 - 4x + 4 = 0 和 x 2 - 4kx + 4k 2 - 4k - 5 = 0 的根都是整数. 解析: 设两方程的判别式分别为 ∃ 1 , ∃ 2 , 则依题意, 有
- x ± 28 - 3x 2 , ∴ 当x 2 (x 2 - 7)
四、 方程中参数均为一次则分离参数求解
11 分离参数后, 依参数范围列不等式求解
初中数学-一元二次方程的整数根
一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。
这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么q p p q +的值是（ ）A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22127 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根.解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk k p k+的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则ba ab +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．38365 6．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．以上结论都不对7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．21-D ．21 8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（） A ．100 B ．400 C ．700 D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数.10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.11．若关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.。
初中数学一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。
因此成为近年来各种自招考试的热点。
下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。
一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。
利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。
故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。
可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。
（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。
当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。
中考数学一元二次方程的整数根与公共根问题小结精编
特殊根问题题型 对应题目题型目标整数根问题 例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；公共根问题 例5，例6，练习4，练习5．题型一：整数根问题解决整数根问题的思路： 1.先看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0； 2.确定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值； 3.不能因式分解的：⑴判别式是完全平方数；⑵b -∆2a 的整数倍． 以上两个条件需同时满足，缺一不可，如果只满足⑴，则只能保证方程有有理根．【引例】 已知m 为整数，求证关于x 的一元二次方程2220x mx m +-=有根且都是整数． 【解析】 法1：将原方程直接因式分解求出两根 ()()20x m x m -+=，即1x m =，22x m =-，故符合题意． 法2：不用因式分解，利用根的判别式是完全平方数 ()()222242930m m m m ∆=-⨯-==≥，且29m m -2的倍数，故符合题意. 【例1】 已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=． ⑴讨论此方程根的情况； ⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．【例2】 已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根．⑴求k 的取值范围；⑵若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【例3】 当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程 2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例4】 当整数m 取何值时，关于x 的方程()21(21)10m x m x --++=有整数根．题型二：公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题． 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：⑴设公共根为a ，则a 同时满足这两个一元二次方程；⑵用加减法消去a 2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；⑶把公共根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．【引例】 已知两方程20x mx n ++=，20x nx m ++=有且仅有一个公共根，求m ，n 关系．【解析】 设a 为两方程公共根，则2200a ma n a na m ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①② ①-②得()()0m n a n m -+-=()()10m n a --=∵有且只有一个公共根，则0m n -≠∴1,a =即1x =将1x =代入，1m n +=-且m n ≠．【例5】 已知2a >，2b >，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与2()0x abx a b -++=有没有公共根，请说明理由．【例6】 已知关于x 的一元二次方程()2200ax bx c a ++=>①．⑴ 若方程①有一个正实根c ，且20ac b +<．求b 的取值范围；⑵ 当1a =时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根， 求2288b c b c-+的值．题型一 整数根问题 巩固练习【练习1】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根是整数，求符合条件的a 的整数值.【练习2】 当k 为何正整数时，关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有两个非零整数根．【练习3】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．题型二 公共根问题 巩固练习【练习4】 已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程21=0x mx +-与22=0x x m ++-仅有一个相同的实根？【练习5】 设关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.。
一元二次方程的整数解
一元二次方程的整数解姓名：一、解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：1、从求根入手：求出根的有理表达式，利用整除求解。
【例1】若关于x的方程（6-k）（9-k）-（117-15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个。
同类拓展：（1）、已知关于x的方程（a-1）+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a的值有个。
（2）、方程+px+1997=0恰有两个整数根、，则的值是2、从判别式入手：运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数（设△=），通过穷举，逼近求解。
【例2】当m为整数时，关于x的方程（2m-1）-（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由。
同类拓展：边长为整数的直角三角形，若其两直角边是方程-（k+2）x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。
3、从韦达定理入手：从根与系数的关系中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解。
【例3】若a、b都是整数，方程a+bx-2008=0的相异两根都是质数，则3a+b的值为（）A、100B、400C、700D、1000同类拓展：求使关于x的方程k+（k+1）x+k-1=0的根都是整数的k值。
4、从变更主元入手：当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解。
【例4】试求出所有这样的正整数a，使得二次方程a+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根。
二、巩固练习1、关于x的一元二次方程4+4mx++m-10=0（m为正整数）有整数根时，则m的值可以取个。
2、若整数m使方程-mx+m+2006=0的根为非零实数，则这样的整数m的个数为个。
3、设m为整数，且4＜m＜40,方程-2(2m-3）x+4-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根。
4、已知k是整数，且方程+kx-k+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值。
5、已知方程-6x-4-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
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一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：△=(2k 2-6k-4)2-4(k 2-4)(k 2-6k+8)=4(k-6)2 由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142x x k k =--=---- 只有当x≠－1时，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++, 去分母，整理得 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得121,5x x ==-或122,4x x ==-或122,2x x =-=-.分别代入，易得k=3，103，6.23.(丰台模拟) 已知：关于x 的方程2(23)30+-+-=kx k x k .（1）求证：方程总有实数根；（2）当k 取哪些整数时，关于x 的方程2(23)30+-+-=kx k x k 的两个实数根均为负整数？23. 解：（1）分类讨论：若k =0，则此方程为一元一次方程，即033=--x ，∴1-=x 有根，……1分若k ≠0，则此方程为一元二次方程，∴△=()()934322=---k k k ＞0， …………………………………………2分∴方程有两个不相等的实数根，…………………………………………………3分综上所述，方程总有实数根.（2）∵方程有两个实数根 ∴方程为一元二次方程. ∵利用求根公式()k k x 2932±--=， ………………………………………4分 得132261-=-=kk k x ；12-=x ，……………………………………………5分 ∵方程有两个负整数根 ∴13-k是负整数，即k 是3的约数 ∴k =1±，3±但k =1、3时根不是负整数，∴k =1-、3-.…………………………………7分三、 利用方程根的定义例3. b 为何值时，方程220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当b≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)(1)20b b b +-+-=解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整数根是2四.利用因式分解例4. 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个.解: 当a=1时,x=1当a≠1时,原方程左边因式分解,得 (x －1)[(a －1)x+(a+1)]=0 即得1221,11x x a==-+- ∵ x 是整数∴ 1-a=±1,±2, ∴a= -1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.五.分析等式例5. n 为正整数，方程21)60x x --=有一个整数根，则n=__________.解：不妨设已知方程的整数根为α，则21)60a a -+-=整理。
得26)a a a n --=- 因为a 为整数，所以26a a --为整数)a n -)a n -为整数，必有a n =.由此得260a a --=，即260n n --=解得n=3或-2（舍去）∴ n=3。
上述策略都是平常我们经常使用的策略，由于根系关系的弱化，对于一元二次方程根的题也就随之简单和弱化了。
但是还是有部分题目在这里做文章，我觉得做这种题的常规套路一般可以这样，求判别式分析参数、利用求根公式求根，结合条件和判别式分析参数、分类讨论与试数、舍值求解。
有时还要注意奇偶性的分析、方程的变形、整体带入换元思想的应用、还要注意在对根的确定时的分类等等！总之这种题对于学生来讲，只要有套路就相对容易解决，反之就无从下手。
练习题：1已知关于x 的一元二次方程240x mx ++=有两个正整数根，则m 可能取的值为( ).（A ） 0m > （B ）4m > （C ）-4，-5 （D ）4，52.如果关于x 的一元二次方程x 2－x －m=0的两个根都是有理数，试确定m 的值（写出两个不同的值即可），并求出方程的根。
3、已知关于m 的方程01322)2(2=-+++-n n m m a 是一元二次方程（1） 求a 的值（2） 当n=0时，判断原方程是否有整数解（3） 求当n 取哪些整数时，原方程有整数解4、已知关于x 的方程kx 2+2(k+1)x-3=0（1） 请你为k 选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根。
（2） 若k 满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况5、已知关于x 的一元二次方程x 2－2mx －3m 2+8m －4=0.（1） 求证原方程总有两个实数根；‘（2） 给m 一个合适的值，使这个一元二次方程的两个根都是分数.6.k 是整数，已知关于x 的一元二次方程01)12(2=-+-+k x k kx 只有整数根,则k=．7．已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．8． 已知关于x 的一元二次方程022=+-a x x 只有．．正整数根，试求非负整数a 的值．9．已知：抛物线22++=x ax y ．（1）当对称轴为21=x 时，求此抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若代数式22++-x x 的值为正整数，求x 的值．附：一模试题1、（朝阳12）. 已知抛物线22)1(2m x m x y ++-=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数， 且m <5，则整数m 的值为 . （ 常规套路）2、(房山23)已知关于x 的一元二次方程kx 2＋（3k ＋1）x ＋2k ＋1＝0.（1）求证：该方程必有两个实数根；（2）设方程的两个实数根分别是12,x x ，若y 1是关于x 的函数，且11y mx =-，其中m=12x x ,求这个函数的解析式； （与函数结合）（3）设y 2＝kx 2＋（3k ＋1）x ＋2k ＋1，若该一元二次方程只有整数根，且k 是小于0 的整数.结合函数的图象回答：当自变量x 满足什么条件时，y 2>y 1?3、（门头沟23）．已知以x 为自变量的二次函数y=x 2＋2mx ＋m －7．（1）求证：不论m 为任何实数，二次函数的图象与x 轴都有两个交点；（2）若二次函数的图象与x 轴的两个交点在点（1，0）的两侧，关于x 的一元二次方程m 2x 2＋(2m＋3)x ＋1=0有两个实数根，且m 为整数，求m 的值；（3）在（2）的条件下，关于x 的另一方程 x 2＋2(a ＋m )x ＋2a －m 2＋6 m －4=0 有大于0且小于5的实数根，求a 的整数值． （与函数结合）4、（密云23）. 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值.（注意奇偶性）5、（顺义23）. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．（1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-，求m 的值．（易）6、(通州22)． 若关于x 的一元二次方程m 2x 2-(2m -3)x ＋1=0的两实数根为x 1 、x 2 ，且x 1＋x 2=223m m -, x 1·x 2=21m,两实数根的倒数和是S . 求：（1）m 的取值范围；（2）S 的取值范围.（注意对方程的变形）7、（海淀23）．已知: 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2-bx +kc（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcab b kc +-22)(的值； （3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根.8、（东城23.）已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=（1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．（常规套路）9、（崇文23）．（本小题满分7分）已知：关于x 的一元二次方程kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0有两个不相等实数根（k<0）． （I ）用含k 的式子表示方程的两实数根；（II ）设方程的两实数根分别是1x ，2x （其中21x x >），若一次函数y=(3k －1)x+b 与反比例函数y =xb 的图像都经过点（x 1，kx 2），求一次函数与反比例函数的解析式． （对根的确定要注意）。